2、线性变换的运算
第七章 线性变换
(4) 多项式:
1) n 个( n 是正整数)线性变换 /A的乘积为/A的
n次幂，记为/An，即/An=/A/A.../A(n个). 规定 /A0 = /E. 当线性变换/A可逆时, 规定/A-n=(/A-1)n 2) 设 f (x) = amxm + am -1xm -1 + … + a0 是P[ x ] 中 一多项式，/A是 V 的一线性变换，则称 f (/A ) = am /A m + am -1 /A m -1 + … + a0/E
xi1, xi 2 ,, xiri
，则向量组
x11 , x12 ,, x1r1，x21 , x22 ,, x2r2， ，xs1, xs 2 ,, xsrs
线性无关.
6) 设B=X-1AX,即矩阵A与B相似. 如果i是A的特征
值，xi是A对应特征值i的特征向量，则i是B的特征值 ,且B对应特征值i的特征向量是X-1x.
是线性变换 /A 的多项式.
3) 线性变换的幂运算规律 ① /A n + m = /A n /A m , (/A n )m = /A m n (m , n 0) . ② 一般来说:(/A /B )n /A n /B n . 4) 如果在 P[ x ] 中，有 h(x) = f (x) + g(x) , p(x) = f (x) g(x) , 那么 h(/A ) = f (/A ) + g(/A ) , p(/A ) = f (/A ) g(/A ) .
1+ 2+ ...+n=a11+a22+...+ann; 12...n=|A|.
4) 如果1, 2, ..., s是矩阵A的互异特征值，其对应
8.2线性变换的运算一、加法及其算律
8.2 线性变换的运算V 是数域F 上的向量空间，用()L V 表示数域F 上向量空间V 的一切线性变换所成的集合.我们将在()L V 中引进加法、数乘和乘法.如何研究线性变换：注10第一个手段是对某空间V 的全体线性变换的集合()L V 引进运算：加法、数乘和乘法。
这样()L V 构成F 上的向量空间。
我们可以利用这些运算来研究线性变换。
20第二个手段。
在空间给定一个基，在该基下引入线性变换的矩阵，从而把空间的几何对象“线性变换”与数量对象“矩阵”进行了对应。
在解析几何中，点与坐标的对应称为“形”“数”转换，现在的线性变换与矩阵的对应是更广义的“形”“数”转换。
这种转换有两方面的好处：一方面可把向量空间与线性变换的一些问题转换为数字计算的问题；另一方面可把一些数量关系的问题联系上空间的性质（如线性变换的性质）而得到解决。
一、加法及其算律定义8.2.1 设()L V στ∈，，对于V 的每一向量ξ，令()()+στξξ与之对应，这样得到V 的一个变换，叫做σ与τ的和，记作+στ，即+στ：()()+στξξξ或()()()()+=+στστξξξ.求σ与τ的和的运算叫做σ与τ的加法.注10先定义和，再定义加法，()()+στξξ是V 中的向量。
+στ应看做一个整体，代表V 的一个新变换。
例8.2.1 设向量空间3F 的两个线性变换，对任意的()3123=x x x F ∈，，ξ，规定： ()()1231212=+x x x x x x x σ，，，，，()()123123312=+0x x x x x x x x x τ---，，，，，则()()()12312323=2x x x x x x x x στ+-，，+，，.命题1 V 的线性变换σ，τ的和+στ也是V 的一个线性变换.即()L V στ∀∈，，()+L V στ∈。
事实上，对任意的a b F ∈，，V ∈，ξη，()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()+=.a b a b a b a b a b a b a b a b στστσσττστστστστστστ+=+=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+++++++++++ξηξηξηξηξηξξηηξξηηξη所以+στ是V 的一个线性变换.容易证明，线性变换的加法满足交换律和结合律.对任意的()L V ρστ∈，，，（1）+=+σττσ；（2）()()++=++ρστρστ；（3）令θ表示V 的零变换，对任意的()L V σ∈，有+=θσσ；（4）设()L V σ∈，σ的负变换σ-是指V 到自身的映射()σσ--：ξξ.σ-也是V 的线性变换，并且()+σσθ-=.命题2 σ-也是V 的线性变换。
矩阵分析与计算--02-线性变换
,n ) A , n ) B
基发生变化
A 与 B 的 关 系？
定理2 线性变换T 在不同基下的所对应的矩阵 是相似的
设T 在Vn的两个基1 , 2 , , n 及1 , 2 ,
,n ) P
, n
下的矩阵分别为A与B, 且有
（1 , 2 , , n）=(1 , 2 ,
线性变换的逆
基本性质
4）可逆线性变换把线性无关的向量组映射成向量 无关的向量组，即， 若x1 , x2 , 线性无关 xr 线性无关，则T ( x1 ), T ( x2 ), T ( xr )
线性变换的多项式
1．线性变换的幂
设T 为V中线性变换，n N , 定义 T T
n n
T
称之为T 的n次幂
T ( r 1 ) a1r 1 1 a2r 1 2 arr 1 r ar 1r 1 r 1 ,,anr 1 n T ( n ) a1n 1 a2n 2 arn1 r ar 1n r 1 ,,ann n
T( + )=T( )+T( ) T(k )=kT( )
, Vn
Vn , k P
则称T 为Vn到Vm的线性映射或线性算子
线性映射
Vn
Vm
T
应用：
T ( ) T ( )
k1T ( )
Vn , k2 P
k1
k2
k2T ( )
k1T ( ) k2T ( )
线性变换的逆
设T 为V的线性变换，若有V的线性变换S TS ST I 则称T 为可逆变换，称S 为T的逆变换， 记作T
-1
线性变换的逆
线性变换的运算解读
一. 线性变换的加法 二. 线性变换的乘法 三. 线性变换数量乘法 四. 可逆的线性变换 五. 线性变换的多项式
L(V) = {A │ A : V→V的线性变换}
A : V→V是线
性空间V上的 一种运动，变 化。本节将研 究这样的运动、 变化之间的运 算，联系及进 一步的特征性 质。
证明： 首先要证明A +B ∈L(V)，即证明A +B 是V上
的变换；且对向量加法和数乘保持不变.
, V, (A ＋B )( ) = A ( )＋B ( ) = A ( )＋
B ( ) = (A ＋B )( ) → A ＋B 是 V 上的变换.
证明：首先证明A, B ∈L(V), 即A, B 是上的变换，且保持
向量加法，数乘运算不变. 据映射合成即知确为V上的变换.对任意的α,β ∈V, k ∈P, A, B (α+β ) = A, (B (α+β )) = A, (B (α) +B (β )) = A, (B (α)) +A, (B (β )) = A, B (α) +A, B (β )； A, B (kα) = A, (B (kα)) = A, (kB (α)) = kA, (B (α)) = k A, B (α) . 故 A, B 是V上的线性变换，即A, B ∈L(V). 5. 因一般映射的合成满足结合律，故5.成立.
4) 据三角形法则, R x ( ) 2 ( ) E( ) → (R x 2 )( ) E( )
( R 3 )→ R x E － 2 . 因 E ， L(R 3 ) ， 故 R x E － 2 L(R3 ) .
线性变换的运算
当k=2时，若 AB BA E,
①
对①两端左乘 A ，得 A2B ABA A,
对①两端右乘 A，得 ABA BA 2 A,
上两式相加，即得 A2B BA2 2A 2A 21.
第22页共24页
假设命题对 k 1时成立，即
Ak1B BAk1 (k 1)Ak2 .
②
对②两端左乘 A ，得
证：" " 设 A 为线性空间V上可逆线性变换.
任取 , V , 若 A( ) A( ), 则有 ( A1A)( ) A1(A( )) A1(A( ))
(A1A)( ) . A 为单射. 其次，对 V , 令 A1( ), 则 V ,且 A( ) A(A1( )) AA1( ) . A 为满射.
D f x f x
J
f
x
x
0
f
t
dt
DJ f x D
x
0
f t dt
f x,
即 DJ E.
而，
JD
f
x
J
f x
x
0
f t dt
f
x
f
0
DJ JD.
第4页共24页
例2. 设A、B Pnn为两个取定的矩阵，定义变换
A( X ) AX , B( X ) XB,
X P nn
故 A(1 ), A( 2 ), , A( n ) 线性无关. " " 若 A(1 ), A( ), , A( n ) 线性无关，则它
也为V的一组基. 因而，对 V , 有
k1A(1 ) k2 A( 2 ) kn A( n ),
即有 A(k11 k2 2 kn n ) .
又 A 可逆，于是 A 是一一对应，且 A(0) 0
线性变换的运算
主要内容
线性变换的加法 线性变换的数量乘法 线性变换的乘积 线性变换的逆变换 线性变换的多项式 举例
二、线性变换的加法
1. 定义 定义3 设 A , B 是线性空间 V 的两个线性变
换，定义它们的和 A+ B 为 (A + B ) ( ) = A ( ) + B ( ) ( V ) .
可以用公式
x ( ) = - ( )
来表示 (如图 7-7 ).
因此
( )
x( )
x R x ( )
图 7-7
x = E - ,
对于平面 x 的反射
R x也是一个线性变换，且 R x ( ) = - 2 ( )
所以
R x = E - 2 .
2. 运算规律
1) 2) ( kl ) A = k ( l A ) , (k+l)A=kA+lA,
3)
4)
k (A + B ) = k A + k B ,
1A =A.
三、线性变换的乘积
1. 定义
线性空间的线性变换作为映射的特殊情形当然 可以定义乘法.
定义2 设 A , B 是线性空间 V 的两个线性变
线性变换的多项式有以下性质： 1) f (A ) 是一线性变换. 2) 如果在 P[ x ] 中，有 h(x) = f (x) + g(x) , p(x) = f (x) g(x) , 那么 h(A ) = f (A ) + g(A ) , p(A ) = f (A ) g(A ) . 特别地， f ( A ) g(A ) = g( A ) f (A ) .
线性变换的运算
则 i cij j ,
j 1
n
i 1,2, , r
就是属于这个特征值 0 的全部线性无关的特征向量. 而 k11 k22 krr , （其中， k1 , k2 , , kr P 不全为零） 就是 的属于 0 的全部特征向量.
§7.4 特征值与特征向量
§7.4 特征值与特征向量
2. 求特征值与特征向量的一般步骤
i) 在V中任取一组基 1 , 2 , , n ,写出 在这组基下
的矩阵A .
ii) 求A的特征多项式 E A 在P上的全部根它们 就是 的全部特征值. iii) 把所求得的特征值逐个代入方程组
( E A) X 0
§7.4 特征值与特征向量
二、特征值与特征向量的求法
分析： 设 dimV n, 1 , 2 ,, n 是V的一组基，
线性变换 在这组基下的矩阵为A.
设 0是 的特征值，它的一个特征向量 在基
x01 1 , 2 , , n 下的坐标记为 , x 0n
§7.4 特征值与特征向量
把 5 代入齐次方程组 ( E A) X 0, 得
4 x1 2 x2 2 x3 0 2 x1 4 x2 2 x3 0 2 x1 2 x2 4 x3 0
解得它的一个基础解系为： (1,1,1) 因此，属于5的一个线性无关的特征向量为
并求出它的一组基础解系.(它们就是属于这个特征值 的全部线性无关的特征向量在基 1 , 2 , , 下的坐标.) n
§7.4 特征值与特征向量
如果特征值 0 对应方程组的基础解系为：
(c11 , c12 , , c1n ),(c21 , c22 ,, c2 n ),,(cr 1 , cr 2 ,, crn )
第七章 线性变换
第七章 线性变换一. 内容概述1. 线性变换的概念设n V 是n 维线性空间，T 是n 维线性空间n V 中的变换，且满足1） 对任意向量n V ∈βα,,有 )()()(βαβαT T T +=+ 2） 对任意向量F k V n ∈∈,α,有)()(ααkT k T =则称为中的线性变换。
2. 线性变换的性质及运算1)0)0(=T )()(ααT T -=-2) )()()()(22112211n n n n T k T k T k k k k T αααααα+++=+++ΛΛ3）设向量组n ααα,,,21Λ线性相关，则向量组)(),(),(21n T T T αααΛ也线性相关。
线性变换的和：)()())((2121αααT T T T +=+ 线性变换的积：))(())((2121ααT T T T = 数乘变换：)())((αλαλT T = 线性变换T 可逆时，逆变换1-T都是线性变换。
线性变换的多项式：0111)(a a a a f m m m m ++++=--σσσσΛ 3. 线性变换的矩阵设σ是V 的一个线性变换，n εεε,,,21Λ是V 的一个基，且n n a a a εεεεσ12211111)(+++=Λn n a a a εεεεα22221122)(+++=ΛΛΛΛΛn nn n n n a a a εεεεσΛ++=2211)(记))(),(),((),,,(2121n n εσεσεσεεεσΛΛ=A n n n ),,,())(,),(),((),,,(212121εεεεσεσεσεεεσΛΛΛ== 则称A 为线性变换σ在基n εεε,,,21Λ下的矩阵。
4. 设n εεε,,,21Λ是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，在这组基下，每个线性变换按公式)(*对应一个n n ⨯矩阵，这个对应具有以下性质：1） 线性变换的和对应与矩阵的和； 2） 线性变换的积对应与矩阵的积；3） 线性变换的数量乘积对应与矩阵的数量乘积；4） 可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对于与逆矩阵。
7.2 线性变换的运算
第七章 线性变换学习单元2： 线性变换的运算_________________________________________________________● 导学学习目标：理解线性变换的加法、数乘、乘法运算的定义；了解线性变换关于加法、数乘、乘法的运算性质；理解线性变换的幂运算及线性变换的多项式。
学习建议：建议大家多看书，多看例题，一个一个的对运算进行理解掌握，可以自己对某个具体线性空间的某些线性变换进行加法、数乘、乘法运算，看看运算后的线性变换是怎样的。
重点难点：重点：深刻理解线性变换的加法、数乘、乘法运算的定义。
难点：理解可逆线性变换的概念及线性变换的多项式。
_________________________________________________________● 学习内容一、线性变换的加法、数乘、乘法的定义及性质定义 设V 为数域P 上线性空间，,,()k P A B L V ∈∈令:()kA V V kA αα→→； :()()A B V VA B ααα+→→+；:(())AB V V A B αα→→。
称kA 为k 与A 的数乘，A B +为A 与B 的和，AB 为A 与B 的积。
注：()()(())kA k A αα=（写成()kA α）；()()()()A B A B ααα+=+；()()(())AB A B αα=。
定理 ,,()kA A B AB L V +∈。
性质（1）A B B A +=+；（2）()A B ++C (A B =++C )；（3）A O A +=；（4）对()A L V ∈，存在()B L V ∈，使A B O +=；（5）1A A =；（6）()()kl A k lA =；（7）()k l A kA lA +=+；（8）()k A B kA kB +=+；（9）(A B C )=(AB ) C ；（10）A (B + C )=AB +AC ；（11）(A +B ) C =AC +BC ；（12）EA =A E =A ；（13）()()k AB kA B =；（14）(1)A A -=-。
4.1线性变换及其运算
k1α1 + k2α 2 + L + krα r = 0
则由2即有，k1σ (α1 ) + k2σ (α 2 ) + L + krσ (α r ) = 0. 则由 即有， 即有
高 等 代 数
线性相关， 若 α1 ,α 2 ,L ,α r 线性相关，则 σ (α1 ) ,σ (α 2 ) ,L ,σ (α r ) 也线性相关. 也线性相关 事实上， 事实上，若有不全为零的数 k1 , k2 ,L , kr 使
V = R 3 , α ∈ V 为一固定非零向量，把V中每 为一固定非零向量， 例4.1.5． ． 中每
上的内射影 内射影是 上的一个线 一个向量 ξ 变成它在 α 上的内射影是V上的一个线 性变换. 表示， 性变换 用 ∏α 表示，即 (α , ξ ) 3 3 α , ∀ξ ∈ R 3 ∏α : R → R , ξ a (α ,α ) 这里 (α , ξ ),(α ,α ) 表示内积 表示内积.
σ (τ + δ ) = στ + σδ
(τ + δ )σ
= τσ + δσ
高 等 代 数
负变换
为线性空间V的线性变换 的线性变换， 设 σ 为线性空间 的线性变换，定义变换 −σ 为：
( −σ ) (α ) = −σ (α ) ,
∀α ∈ V
也为V的线性变换 的线性变换， 负变换. 则 −σ 也为 的线性变换，称之为 σ 的负变换
高 等 代 数
和的基本性质 和的基本性质
（1）满足交换律：σ + τ = τ + σ ）满足交换律： （2）满足结合律：(σ + τ ) + δ = σ + (τ + δ ) ）满足结合律： 为零变换. （3） 0 + σ = σ + 0 = σ , 0为零变换 ） 为零变换 （4）乘法对加法满足左、右分配律： ）乘法对加法满足左、右分配律：
2 线性变换的运算
τ
τ 使στ = τσ = E,则称 σ 为可逆变 则称
2．基本性质
(1) 可逆变换
σ 的逆变换 σ −1也是 的线性变换 也是V的线性变换 的线性变换. (2)线性变换 σ 可逆 ⇔ 线性变换 σ 是一一对应 是一一对应. 线性变换
ε 1 , ε 2 ,⋯ , ε n是线性空间 的一组基， σ 为V的线性变换，则σ 可逆当且仅当 是线性空间V的一组基 的一组基， 的线性变换， 的线性变换 σ (ε 1 ),σ (ε 2 ),⋯ ,σ (ε n ) 线性无关. 线性无关
线性变换的运算 一、线性变换的乘积
1．定义 为线性空间V的两个线性变换 定义它们的乘积 的两个线性变换， 设 σ ,τ 为线性空间 的两个线性变换，定义它们的乘积 为：
(στ ) (α ) = σ (τ (α ) ) ,
στ
∀α ∈ V
则
στ
也是V的线性变换 也是 的线性变换. 的线性变换
２．基本性质 满足结合律： （1）Eσ = σ E = σ ）满足结合律： （2） ）
(3) 设 (4) 可逆线性变换把线性无关的向量组变成线性无关的向量组 可逆线性变换把线性无关的向量组变成线性无关的向量组.
五、线性变换的多项式
1．线性变换的幂
设
σ 为线性空间 的线性变换，n为自然数，定义 为线性空间V的线性变换 的线性变换， 为自然数 为自然数， σ n = σ ⋯σ ,
n
次幂. 称之为 σ 的n次幂 次幂 当 n = 0 时，规定 （单位变换） σ 0 = E 单位变换）.
（4）乘法对加法满足左、右分配律： ）乘法对加法满足左、右分配律：
σ (τ + δ ) = στ + σδ
高等代数.第七章.线性变换.课堂笔记
第七章 线性变换§7.1 线性变换的定义与判别一、线性变换的定义：定义1 设V 为数域P 上线性空间，A 为V 的一个变换(即V ⟶V 的映射)，若A 保持加法和数乘运算，即A (α+β)=A (α)+ A (β),∀α,β∈V ，A (kα)=k A (α),∀k ∈P ，则称A 为V 的一个线性变换.注记： 以后我们用花体拉丁字母A,B,C,...表示V 的线性变换，除了特别说明外，本章节中V 均指数域P 上有限维线性空间.例1.说明下列变换均为线性变换： (1)把V 中任一向量都映射为0（称为零变换，记作0）； (2)把V 中任一向量α映射为本身（恒等变换，记作E ）； (3)取定k ∈P ，把V 中的每一个向量α映射为kα（数乘变换，记作k ）.例2.判定下列规则σ是否为指定线性空间的线性变换： (1)ℝ,x -:σ(f (x ))=f′(x );(2)C ,a,b -: σ(f (x ))=∫f (t )dt x0;(3)P n×n : σ(A )=A +A ′,σ2(A )=SAT ，S,T 为固定二个n ×n 矩阵. (4)ℝ,x -n : σ1(f (x ))=xf (x ),σ2(f (x ))=f (x )+1. 解：可验证(1)-(3)均为线性变换，下面证明(1)： ∀ f (x )∈ℝ,x -，其导函数唯一确定，且f (x )∈ℝ,x -，因而σ为V ⟶V 的变换，即V 的一个变换，σ(f (x )+g (x ))=(f (x )+g (x ))′=f ′(x )+g ′(x )= σ(f (x ))+ σ(g (x )), ∀k ∈ℝ,σ(kf (x ))=(kf (x ))′=kf ′(x )=kσ(f (x )).(4): σ1与σ2均不是线性变换，取f (x )=x n−1+1=ℝ,x -n ，但σ1(f (x ))=xf (x )=x n +x ∉ℝ,x -n ， 因而σ1不是ℝ,x -n 的一个变换， σ2是ℝ,x -n 的一个变换，但运算不保持，因而不是线性变换.习题：P320、1例3.设α为通常几何空间ℝ3中固定的向量，把空间中每个向量η映射为η在α上的内映射（正投影），即Πα: η⟶(α∙η)(α∙α)α是ℝ3的线性变换，这里(α∙η),(α∙α)表示通常向量的内积.证：如图，Πα(η)=OD ⃗⃗⃗⃗⃗ =ηcos (η∙α)α|α|=(α∙η)(α∙α)α，唯一确定， 从而Πα为ℝ3的一个变换，如图，AC ⊥W(垂足为C)，OCD LA Wα1α2η因此L 与W 为ℝ3的子空间且ℝ3=W ⊕L ，令 η=α1+α2,α1=OD⃗⃗⃗⃗⃗ =Πα(η),α2∈W , δ=β1+β2,β1=Πα(δ)∈L,β2∈W ，则η+δ=(α1+β1)+(α2+β2),α1+β1∈L,α2+β2∈W ， 从而Πα(η+δ)=α1+β1=Πα(η)+Πα(δ)， 同理，Πα(kη)=kΠα(η).二、线性变换的性质： 设A 为V 的线性变换，则： (1) A (0)=0, A (−α)=−A (α),∀α∈V ; (2) A (k 1α1+k 2α2+⋯+k t αt )=k 1A (α1)+k 2A (α2)+⋯+k t A (αt ); (3) A 把线性相关的向量组映射为线性相关的向量组（反之不真）.2011-04-02A : V ⟶V 线性变换性质： (3) A 为V 中线性相关的向量组，映为V 中线性相关的向量组，即α1,α2,…,αs 相关⟹A (α1), A (α2),…, A (αs )相关;但A (α1), A (α2),…, A (αs )线性相关⇒α1,α2,…,αs 相关. 如A =0,∀ α∈V,α≠0, A (α)=0.(4)设α1,α2,…,αn 为V 的一个基，∀ α∈V,α=x 1α1+x 2α2+⋯+x n αn ⟹A (α)=A (x 1α1+x 2α2+⋯+x n αn ) 线性变换A 由V 中一个基中的像唯一确定;(5)设α1,α2,…,αn 为V 的一个基，则对V 中任一向量组β1,β2,…,βn 必存在一个线性变换 A : V ⟶V ，使得：A (αi )=βi ,1≤i ≤n ;证：作V ⟶V 映射：A (α)= x 1β1+x 2β2+⋯+x n βn ，其中：α=x 1β1+x 2β2+⋯+x n βn ,则A (αi )=βi ,1≤i ≤n ; 下证：A 为V 的线性变换：∀ α=x 1α1+x 2α2+⋯+x n αn ∈V,β=y 1α1+y 2α2+⋯+y n αn ∈V,A (α+β)= A .(x 1+y 1)α1+(x 2+y 2)α2+⋯+(x n +y n )αn /=(x 1+y 1)β1+(x 2+y 2)β2+⋯+(x n +y n )βn=(x 1β1+x 2β2+⋯+x n βn )+(y 1β1+y 2β2+⋯+y n βn ) = A (x 1α1+x 2α2+⋯+x n αn )+ A (y 1α1+y 2α2+⋯+y n αn )= A (α)+A (β)同理，∀k ∈P ，A (kα)=k A (α).§7.2 线性变换的运算为方便，引入记号：Hom (V,V )，它表示数域P 上线性空间V 的所有线性变换的集合。
线性变换及其运算
线性变换及其运算概述：线性变换是数学中重要的概念之一。
它是指将一个向量空间中的元素映射为另一个向量空间中的元素，同时保持线性关系的变换。
线性变换可以用矩阵来表示，并且有着丰富的运算规则。
定义：在向量空间V和W之间，如果存在一个映射T，对于任意的向量u和v以及任意的标量k，满足以下两个条件：1.T(u + v) = T(u) + T(v)2.T(ku) = kT(u)这样的映射T被称为线性变换。
线性变换保持向量的线性组合关系，即映射后的向量的线性组合等于原向量线性组合的映射。
线性变换可以将向量空间中的向量映射到另一个向量空间中。
属性：线性变换有许多重要的属性：1.线性变换保持零向量不变：T(0) = 02.线性变换保持向量的长度和角度：对于向量v和w，如果它们的夹角为θ，则经过线性变换后的向量T(v)和T(w)的夹角也为θ，且长度也相同。
3.线性变换保持向量的共线性：对于向量v和w，如果它们共线，则线性变换后的向量T(v)和T(w)依然共线。
4.线性变换在两个向量的和上的作用等于这个线性变换在每个向量上的作用之和：T(u + v) = T(u) + T(v)5.线性变换在一个向量上的作用乘以一个标量等于这个标量乘以这个线性变换在向量上的作用：T(ku) = kT(u)线性变换的运算：线性变换可以进行加法、数乘和复合运算，具体如下：1.加法运算：对于线性变换T1和T2，它们的加法运算是指将T1作用于一个向量v，然后将T2作用于T1作用后的向量T1(v)。
即 (T1 + T2)(v) = T2(T1(v))，其中v为向量。
2.数乘运算：对于线性变换T和标量k，它们的数乘运算是指将T作用于一个向量v，然后将k乘以T作用后的向量T(v)。
即(kT)(v) = k(T(v))，其中v为向量。
3.复合运算：对于线性变换T1和T2，它们的复合运算是指先将T2作用于向量v，然后再将T1作用于T2作用后的向量T2(v)。
高等代数线性变换
线性变换 (1) (2) (3) (4)
§1 线性变换的定义
例1 判断下列所定义的变换 A 是否为线性变换。 在线性空间V中，A x = x+a，a为V中一固定向量； 在线性空间V中，A x = a，a为V中一固定向量； 在P [x]中，A f (x) = f (x+1) ； 在P [x]中，A f (x) = f (x0)，x0为P中一固定数；
则h(A) = f(A)+g(A), p(A) = f(A)g(A)。特别地, f(A)g(A)=g(A)f(A)，
例4 设 A 是n维线性空间V的一个线性变换, A3=2E, B =A2-2A+2E， 证明：A，B都是可逆变换。
线性变换
§3 线性变换的矩阵
§3 线性变换的矩阵
定理1 设 1 , 2 ,, n 是线性空间V的一组基, 对V中任意n个向量 任何元素都可以是基 1 , 2 ,, n 存在唯一的线性变换 A∈L(V) 使得 的像，只要选取适当
(3)
A ( BC ) = ( A B )C
(4) k( AB ) = ( kA )B = A ( kB ) 例1 在R 2中，设A(x, y)=(y, x)，B(x, y)=(0, x)，则A, B是R2中的 线性变换，求A + B，AB，BA，3A-2B。
线性变换
§2 线性变换的运算
三、可逆的线性变换
则对∀A∈L(V) ， f (A) anA n an1A n1 a1A a0E 称为线性变换 A 的多项式。
结论6 设f(x), g(x)∈P[x], A ∈L(V), 若h(x)=f(x)+g(x), p(x)=f(x)g(x)
即同一个线性变换的多项式的乘法是可交换的。
双线性变换法公式
双线性变换法公式
z=x*B*y^T
其中，^T表示矩阵的转置运算符。
x和y是输入向量，z是输出向量。
*表示矩阵的乘法运算符。
1.将输入向量x和y表示为列矩阵形式：
x = [x1, x2, ..., xn]^T
y = [y1, y2, ..., ym]^T
2.将输出向量z表示为列矩阵形式：
z = [z1, z2, ..., zk]^T
3. 对于输出向量z的每一个元素zi，都可以通过如下的内积运算来
进行计算：
zi = x^T * Bi * y
其中，Bi是B的第i行。
4. 将所有的zi组合起来形成输出向量z：
z = [z1, z2, ..., zk]^T
双线性变换法的优点是可以灵活地定义不同的变换。
通过选择不同的
双线性变换矩阵B，可以实现各种不同的变换操作，如旋转、缩放、平移等。
这使得双线性变换法在图形学中被广泛应用，可以用来实现图像的几
何变换、纹理映射、颜色合成等功能。
然而，双线性变换法也存在一些限制。
由于双线性变换法只能处理线性变换，无法处理非线性变换。
此外，双线性变换矩阵B的大小会直接影响计算的复杂性，特别是在高维空间中，矩阵的大小可能会非常庞大，导致计算量很大。
因此，在实际应用中，需要根据具体的情况来选择合适的变换方法。
总之，双线性变换法是一种通过对输入空间和输出空间中的向量进行适当的线性变换来实现其中一种特定的变换的方法。
通过选择不同的双线性变换矩阵，可以实现各种不同的变换操作，具有广泛的应用前景。
高等代数线性变换解析
(3)
A ( BC ) = ( A B )C
(4) k( AB ) = ( kA )B = A ( kB ) 例1 在R 2中，设A(x, y)=(y, x)，B(x, y)=(0, x)，则A, B是R2中的 线性变换，求A + B，AB，BA，3A-2B。
线性变换
§2 线性变换的运算
三、可逆的线性变换
A m n A m A n ,
(A m )n A mn ,
m, n N
若A是可逆的，则以上法则对任意整数m，n都成立。
注意： 由于线性变换的乘法不满足交换律，故( AB ) ≠ A B 。
n
n n
线性变换 定义5 设
§2 线性变换的运算
f ( x) an xn an1xn1 a1x a0 P[ x]
线性变换
§3 线性变换的矩阵
定理2 设 1 , 2 ,, n 是数域 P 上 n 维线性空间 V 的一组基，
A, B∈L(V), 且 A, B 在这组基下的矩阵分别为A和B，则在该 组基下： (1) A + B 的矩阵是 A+B；
(2) AB 的矩阵是 AB； (3) kA 的矩阵是 kA； (4) 若A 是可逆的，则矩阵 A 也可逆，且A-1的矩阵是A-1。
矩阵的相似性是由 线性变换所决定的
则 B 为线性变换 A 在基 1 ,2 ,,n 下的矩阵。 A A
1 , 2 ,, n
A可逆的充要条件是它在 一组基下的矩阵A可逆
例5 设 V是数域P上的n维线性空间，则L(V)与P n×n同构。
例6 设 A1，A2是 n 维线性空间 V 的两个线性变换，证明： A2V⊂A1V 的充要条件是存在线性变换 A 使得 A2=A1A 。
§2 线性变换的运算
= ( A + B )(α ) + ( A + B )( β ), ( A + B )(kα ) = A ( kα ) + B (kα ) = k A (α ) + kB (α ) = k ( A (α ) + B (α )) = k ( A + B )(α ). 这就说明A＋B 是线性变换.
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线性变换乘法运算的性质 既然一般映射的乘法适合结合律，线性变换的乘 法当然也适合结合律，即 ( AB )C = A (BC ). 当线性变换的乘法一般是不可交换的. 例如，在实数域R上的线性空间R[x]，线性变换 的乘积
J ( f ( x)) = ∫ f (t )dt
0
x
d x (DJ )( f ( x)) = ∫ f (t )dt ) = f ( x) = E ( f ( x)), dx 0 ( JD )( f ( x)) = ∫ f ′(t )dt ) = f ( x) − f (0).
= A −1[ A ( A −1 )(α )) + A ( A −1 ( β ))] = A −1{ A[ A −1 (α ) + A −1 ( β )]} = ( A −1 A )[ A −1 (α ) + A −1 ( β )] = A −1 (α ) + A −1 ( β ), A −1 (kα ) = A −1[k ( AA −1 )(α )] = k A −1[( AA −1 )(α )] −1 −1 −1 = k ( A A ) A (α ) = k A (α ).
a2 a n −1 f (λ + a) = f (λ ) + af ′(λ ) + f ′′(λ ) + L + f ( n −1) (λ ), 2! (n − 1)!
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k 1.
①
,
2
,
2
上两式相加，即得 2 2 2 2 21 .
§7.2 线性变换的运算
假设命题对 k 1 时成立，即
k 1 k 1 (k 1) k 2 .
对②两端左乘 ，得
第七章 线性变换
§1 线性变换的定义 §2 线性变换的运算 §3 线性变换的矩阵 §6线性变换的值域与核 §7不变子空间 §8 若尔当标准形介绍
§4 特征值与特征向量 §9 最小多项式 §5 对角矩阵
§7.2 线性变换的运算
一、线性变换的乘积 二、线性变换的和 三、线性变换的数量乘法 四、线性变换的逆 五、线性变换的多项式
§7.2 线性变换的运算
一、 线性变换的乘积
1、定义
设 , 为线性空间V的两个线性变换，定义它们 的乘积 为： , V 则 也是V的线性变换.
事实上，( )( ) ( ( )) ( ( ) ( ))
则 也是V的线性变换.
事实上， ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ), ( )( k ) ( k ) ( k ) k ( ) k ( ) k ( ( ) ( )) k ( )( ).
( )( X ) ( ( X )) ( XB ) A( XB ) AXB, ( )( X ) ( ( X )) ( AX ) ( AX ) B AXB.
.
§7.2 线性变换的运算
二、 线性变换的和
1、定义
设 , 为线性空间V的两个线性变换，定义它们 的和 为： , V
为V的一个线性变换，则
f ( ) am m a1 a0 E
也是V的一个线性变换，称 f ( )为线性变换 的 多项式.
§7.2 线性变换的运算
练习
设 , 为线性变换，若 E ,
证明： k k k k 1 , 证：对k作数学归纳法. 当k=2时，若 E , 对①两端左乘 ，得 对①两端右乘 ，得
的数量乘积 k 为：
k k ,
则 k 也是V的线性变换.
V
§7.2 线性变换的运算
2、基本性质
(1) ( kl ) k ( l ) (3) k ( ) k k (2) ( k l ) k l (4) 1
3、负变换
设 为线性空间V的线性变换，定义变换 为：
,
注意
( ) 0
V
则 也为V的线性变换，称之为 的负变换.
§7.2 线性变换的运算
三、 线性变换的数量乘法
1、定义
设 为线性空间V的线性变换，k P , 定义 k 与
注意
线性空间V上的全体线性变换所成集合对于线性变换
的加法与数量乘法构成数域P上的一个线性空间，记
作 L(V ).
§7.2 线性变换的运算
四、 线性变换的逆
1、定义
设 为线性空间V的变换，若有V的变换 ，使
E
则称 为可逆变换，称 为 的逆变换，记作 1 .
DJ JD.
§7.2 线性变换的运算
f t dt f x f 0
例2
nn P 设A、B 为两个取定的矩阵，定义变换
( X ) AX ,
n 的线性变换，且对 X P nn , 有
.
§7.2 线性变换的运算
例1
线性空间R[ x] 中，线性变换
D f x f x
J f x f t dt
x 0
x
DJ f x D 0 f t dt
即 DJ E .
f x,
x
JD f x J f x 0
1.易证
m n
,
m n
m
n
mn
,
m, n 0
2. 当 为可逆变换时，定义 的负整数幂为
n
1
n
3. 一般地， n n .
n
§7.2 线性变换的运算
2、线性变换的多项式
m f x a x 设 m
a1 x a0 P[ x ],
§7.2 线性变换的运算
2、基本性质
（1）满足交换律：
（2）满足结合律： （3） 0 0 , 0为零变换. （4）乘法对加法满足左、右分配律：
§7.2 线性变换的运算
②
k
k 1
(k 1)
k 1
,
③
对①两端右乘 k 1 , 得
k 1
k
k 1
,
④
③＋④，得 k k k k 1 .
§7.2 线性变换的运算
2、基本性质
可逆线性变换 的逆变换 1 也是V的线性变换.
§7.2 线性变换的运算
五、线性变换的多项式
1、线性变换的幂
设 为线性空间V的线性变换，n为自然数，定义
n
n
,
称之为 的n次幂.
0 E 当 n 0 时，规定 （单位变换）.
§7.2 线性变换的运算
注意
( ( )) ( ( )) ( )( ) ( )( ), ( )( k ) ( ( k )) ( k ( )) k ( ( )) k ( )( )
§7.2 线性变换的运算
２、基本性质
（1）满足结合律： （2） E E ，E为单位变换 （3）交换律一般不成立，即一般地，