第七章 非线性控制系统分析

& e& = 1 & e 2 = 2e
相轨迹图
开关线
T = 0 e=0
T = 0 . 5 e = − 2e &
§7.2
13） 相平面法（13）
§7.2.2 绘制相平面的等倾斜线法 等倾斜线 —— 相轨迹斜率为常数的曲线
&& & 系统方程 x + f ( x , x ) = 0
& & d x − f ( x, x) = & dx x
7 — 1, 4
自动控制原理
（第 38 讲）
§7 非线性控制系统分析
§7.1 非线性控制系统概述 §7.2 相平面法 §7.3 描述函数法 §7.4 改善非线性系统性能的措施 及非线性特性的利用
自动控制原理
（第 37 讲）
§7 非线性控制系统分析
§7.2 相平面法
§7.2
相平面法（9）
c(0) = 0 系统如右， 确定开关线方程， 例1 系统如右，已知 r ( t ) = 4 × 1( t )，确定开关线方程，奇点
> > < <
h & − h, e < 0 −h & h, e > 0
比较点
e= r−c
整理
c < 1 c < && + c = u = & c − 1 c > c >
−h & h, c > 0 h & − h, c < 0
§7.2
16） 相平面法（16）
§7.2
17） 相平面法（17）
不稳定 的节点
§7.2
相平面法（5）
&& + ( 3 x − 0 .5 ) x + x + x 2 = 0 & 例3 设系统方程为 x ，& 并判定平衡点附近相轨迹的性质 相轨迹的性质。 求系统的平衡点xe，并判定平衡点附近相轨迹的性质。
解
&& & 令 x= x=0 xe1 = 0 2 x + x = x (1 + x ) = 0 xe 2 = −1 & x ∆ && − 0 .5 ∆ x + ∆ x = 0 线化 & ∆ x − 0 .5 ∆ x + ( ∆ x − 1) + ( ∆ x − 1) 2 &&
位置和类型，绘制相平面图。 位置和类型，绘制相平面图。
解
C (s) 1 线性部分 U ( s ) = s 2 0 非线性部分 u = e − 2 e+2
& ⇒ c&( t ) = u ( t )
e ≤2 (I) e > 2 ( II ) e < − 2 ( III)
开关线方程
综合点
e = r −c = 4−c
相平面法（7）
& x≥0 & x<0 I II
& x 例6 系统方程为 && + x + sign x = 0，分析系统的自由响应。 分析系统的自由响应。
解
I 奇点 II x e1 = −1 xe 2 = 1
特征 I 方程 II
s2 + 1 = 0 s2 + 1 = 0
中心点 中心点
不满足叠加原理 稳定性问题 — 线性系统理论原则上不能运用 — 不仅与自身结构参数，且与输入，初条件 不仅与自身结构参数，且与输入， 有关， 有关，平衡点可能不惟一 nonlinear1 — 非线性系统特有的运动形式 nonlinear6 自振运动 跳频响应， 分频响应 分频响应， 混沌) 频率响应的复杂性 — 跳频响应，倍/分频响应，组合振荡 (混沌 混沌
对于线性定常系统，原点是惟一的平衡点。 对于线性定常系统，原点是惟一的平衡点。
&& x = 0 & x = 0
§7.2
相平面法（3）
§7.2
相平面法（4）
演示） (3) 二阶系统的相轨迹 （演示） 极点分布 奇点 相迹图 极点分布 奇点 相迹图
中心点
鞍 点
稳定的 焦点
不稳定 的焦点
稳定的 节点
§7.2
相平面法（14)
§7.2
15） 相平面法（15）
& 平面上分析系统的自由响应运动。 系统如右， 例4 系统如右，在( c ~ c ) 平面上分析系统的自由响应运动。
C (s) 1 = 2 解 线性部分 U (s) s + s
& & c& + c = u
1
非线性部分 u =
−1
e e e e
§7.2
19） 相平面法（19）
课程小结 §7.2 相平面法
§7.2.1 相平面的基本概念
(1) 相平面和相轨迹 (2) 相轨迹的性质
& & dx dx dx && = & & x = x = − f ( x, x) d x dt dx
& − f ( x, x) α= & x
&& & 用等倾斜线法绘制系统相轨迹图。 例3 系统方程 x + x + x = 0 ，用等倾斜线法绘制系统相轨迹图。 & dx & && & & x= x = −( x + x ) α = − ( x + x) 解 dx & x −x & (1 + α ) x = − x & x= 等倾斜线方程 1+α
1 e>h (I) 非线性部分 u = e e ≤ h ( II ) − 1 e < − h ( III ) e = r − c = −c 比较点
& & c& + c = u
整理
& & c& + c = u = − c c ≤ h ( II ) − 1 c > h ( III )
1
c < −h
(I)
e = 2 e = −2
c = 4 − e & & c = − e & c& = − e& &
0 & & e& = − c& = − u = 2 − e −2−e
e ≤2 (I) e > 2 ( II ) e < − 2 ( III)
§7.2
奇 点 类 型
10） 相平面法（10）
区域 运动方程 && = 0 I e II && + e - 2 = 0 e III && + e + 2 = 0 e
(I) & e& = 0
( II )
( III)
奇点 e1 e2 = 2 e 3 = -2
特征方程 s2 = 0 s2 + 1 = 0 s2 + 1 = 0
极点 奇点性质 s=0 s = ± j 中心点 s = ± j 中心点
振荡性↓，σ%↓ 振荡性↓ 限制跟踪速度 晶体管特性
滤除小幅值干扰 稳态误差ess ↑ 电动机，仪表 电动机，
抑制系统发散 容易导致自振 开关特性
§7.2
(1) 相平面和相轨迹 相平面： 相平面：
相平面法（1）
§7.2.1 相平面的基本概念
由系统变量及其导数（ c, & 由系统变量及其导数（如 c , c ） 构成的用以描述系统状态的平面。 构成的用以描述系统状态的平面。
相轨迹： 相轨迹：
系统变量及其导数随时间变化 系统变量及其导数随时间变化 在相平面上描绘出来的轨迹。 在相平面上描绘出来的轨迹。 例1 单位反馈系统
5 ω n = 2 .236 G(s) = s ( s + 1) ξ = 0 .2236 r ( t ) = 1( t )
§7.2
相平面法（2）
& 解 线性部分 c&( t ) = u ( t )
非线性部分 u = 比较点 整理 在 I 区：
& 1 e + Te > 0 ( I ) & − 1 e + T e < 0 ( II) e = r − c = 1− c & − 1 e + Te > 0 ( I ) −1 & e& = &= e 开关线方程 e & 1 e + T e < 0 ( II) T & & de de de & & & e& = =e = −1 ⇒ e 2 = − 2e 抛物线方程 de dt de 2
§7.2
相平面法（6）
利用二阶线性系统的相轨迹分析一类非线性系统 x & 分析系统的自由响应。 例5 系统方程为 && + x + x = 0 ，分析系统的自由响应。
解
&& & x + x + x = 0 && & x + x − x = 0
xe1 = 0 xe 2 = 0
x≥0 x<0
I II
§7.1.3 非线性系统运动的特殊性
§7.1.4 非线性控制系统的分析方法
小扰动线性化 非线性系统研究方法
全数字仿真 仿真方法 半实物仿真 相平面法 描述函数法 波波夫法 反馈线性化法 微分几何方法
§7
非线性控制系统分析（3）
饱和 死区 继电特性
非线性特性的定性分析
非线性特性
等效K* 等效
对系统的 影响 举 例
& e = C 水平线
相轨迹
以 e 2 = 2 为中心的圆 以 e 3 = − 2 为中心的圆
c (t ) 响应
e= r−c c = r −e = 4−e
§7.2
11） 相平面法（11）
系统如右， 分别讨论系统运动。 例2 系统如右， ( t ) = 1( t ) ， = 0 , 0 .5 ，分别讨论系统运动。 r T
极限环 —— 对应二阶非线性系统的周期运动
各 类 极 限 环
稳定的极限环
不稳定的极限环
半稳定的极限环
§7.2
18） 相平面法（18）
& 平面上分析系统的自由响应运动。 系统如右， 例5 系统如右，在( c ~ c ) 平面上分析系统的自由响应运动。
1 C (s) = 2 解 线性部分 U (s) s + s
x = ∆x + xe1 = ∆x x = ∆x + xe 2 = ∆x − 1
=0
ຫໍສະໝຸດ Baidu
& x ∆ && − 0 .5 ∆ x + ∆ x = 0 && & ∆ x − 0 .5 ∆ x − ∆ x = 0 s = 0 .5 ± j 0 .97 不稳定焦点 2 特征 s − 0 .5 s + 1 = 0 0 .78 2 鞍点 方程 s − 0 .5 s − 1 = 0 s = − 1 .28
同理在 II 区： 0 时，开关线为：e = 0 开关线为： 当T = & 0 .5 e = − 2e
& ⇒ e = 2e
§7.2
12） 相平面法（12）
( I ) e + Te > 0 & 系统方程
& ( II ) e + T e < 0
& e& = − 1 & e 2 = − 2e
I 奇点 II
特征 I 方程 II
s2 + s + 1 = 0 s2 + s − 1 = 0
s1 , 2 = − 0 .5 ± j 0 .866 稳定焦点 极点 0 .62 鞍点 s1 , 2 = − 1 .62
开关线
§7.2
&& x + x +1 = 0 && x + x −1 = 0
(2) 相轨迹的性质 & 设系统方程为：x 设系统方程为：&& + f ( x , x ) = 0
& 上半平面 x > 0 — 向右移动
运动方向
& 下半平面 x < 0 — 向左移动
顺时针运动
& 通过横轴时( x = 0 ) ，以90°穿越 x ° 轴 平衡点) 奇点 (平衡点 ： 平衡点 相轨迹上斜率不确定的点 & & & d x d x dt − f ( x, x) 0 ⇒ α= = = = & d x d x dt x 0
§7.2 相平面法
§7.2.1 相平面的基本概念
(1) 相平面和相轨迹 (2) 相轨迹的性质
（运动方向，奇点，奇线，开关线） 运动方向，奇点，奇线，开关线）
(3) 线性二阶系统的相轨迹（分析一类非线性系统的自由响应） 线性二阶系统的相轨迹 分析一类非线性系统的自由响应）
自动控制原理
本次课程作业
(36)
自动控制原理
（第 36 讲）
§7 非线性控制系统分析
§7.1 非线性控制系统概述 §7.2 相平面法 §7.3 描述函数法 §7.4 改善非线性系统性能的措施 及非线性特性的利用
自动控制原理
（第 36 讲）
§7 非线性控制系统分析
§7.1 非线性控制系统概述 §7.2 相平面法
§7
§7.1概述 7.1概述
非线性控制系统分析（1）
§7.1.1 非线性现象的普遍性 非线性是宇宙间的普遍规律 非线性系统的运动形式多样， 非线性系统的运动形式多样，种类繁多 线性系统只是在特定条件下的近似描述 演示） §7.1.2 典型非线性特性 （演示）
饱和
死区(不灵敏区) 死区(不灵敏区)
间隙
继电特性
§7
非线性控制系统分析（2）
s1 , 2 = ± j 1 极点 s1 , 2 = ± j 1
—— 划分不同线性区域的边界线 开关线 平衡线（奇线） 平衡线（奇线） —— 不同区域的相轨迹相互影响而产生
课程小结
§7.1概述 7.1概述
§7.1.1 §7.1.2 §7.1.3 §7.1.4 非线性现象的普遍性 典型非线性特性 非线性系统运动的特殊性 非线性控制系统的分析方法