椭圆的简单几何性质优质课课件

△ 0 方程组有两解
两个交点 相交
△=0
方程组有一解
一个交点 相切
△ 0 方程组无解
无交点
相离
知识点1.直线与椭圆的位置关系
1.位置关系：相交、相切、相离 2.判别方法(代数法)
联立直线与椭圆的方程 消元得到二元一次方程组 (1)△>0直线与椭圆相交有两个公共点； (2)△=0 直线与椭圆相切有且只有一个公共点； (3)△<0 直线与椭圆相离无公共点．
d 4x0 5 y0 40 4x0 5 y0 40
42 52
41
尝试遇到困难怎么办?
l
作出直线 l 及椭圆, 观察图形,数形结合思考.
且 x02 y02 1 25 9
m m
题型一：直线与椭圆的位置关系
例 2:已知椭圆 x2 y2 1 ,直线 4x 5 y 40 0 ,椭圆 25 9
当Δ 0时, 即m 2 5 时, 直线与椭圆相切
当 0时，即m 2 5或m 2 5时，直线与椭圆相离
练习3已知直线y=x- 1 与椭圆x2+4y2=2 ，判断它们的位置关系。
2
解：联立方程组
y x1 2
消去y
由韦达定理

x1 x1
x2 x2
通法
练习１：当m取何值时直线y=x+m与椭圆
4x2 y2 16 相交，相切，相离？
解：将y=x+m代入 整理得5x2+2mx+m2-16=0
4m2 20(m2 16) 16m2 16 20 16(m2 20)
当Δ 0时Hale Waihona Puke Baidu 即 2 5 m 2 5 时, 直线与椭圆相交
上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距y离是多少?
解：设直线m平行于l，
则l可写成：4x 5y k 0
x o
4x 5y k 0
由方程组

x2
y2
消去y，得25x2 8kx k 2 - 225 0
25 9 1
由 0，得64k 2 - 4 2（5 k 2 - 225） 0
解得k1=25，k2 =-25 由图可知k 25.
题型一：直线与椭圆的位置关系
例 2:已知椭圆 x2 y2 1 ,直线 4x 5 y 40 0 ,椭圆 25 9
上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距y离是多少?
直线m为：4x 5y 25 0
x 直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近。 o
解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用“中点”这 一 条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理，
题型二：直线与椭圆的位置关系
例 2:已知椭圆 x2 y2 1 ,直线 4x 5 y 40 0 ,椭圆 25 9
上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距离是多少?
分析:设 P( x0 , y0 ) 是椭圆上任一点, 试求点 P 到直线 4x 5 y 40 0的距离的表达式.
x2 对于椭圆 a 2
准线方程是 x

a
y2 2b 2
1，相应于焦点F（c,0)
, 根据椭圆的对称性，相应于
焦点F‘(-c.0) 准线方程c 是 x a 2 ,
所以椭圆有两条准线。
c
椭圆的第一定义与第二定义是相呼应的。
定义 1
图形
定义 2
平面内与 两个定点F1、 F2的距离的和 等于常数（大
(1)椭圆
x a
2 2

y2 b2
1(a
b

0)的准线方程为x


a2 c
椭圆 y2 a2

x2 b2
1(a
b
0)的准线方程为y

a2 c
(2)两准线间的距离为 2a2 ，焦点到相应准线的距离为 b2
c
c
(3)椭圆的第二定义隐含着条件“定点在定直线外”，
否则其轨迹不存在。
(4)由椭圆的第二定义得，椭圆离心率的几何意义： “椭圆上一点到焦点的距离与相应准线的距离之比”
题型三：中点弦问题
例 6 已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程.
点
作差
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造 出中点坐标和斜率．
题型三：中点弦问题
例6已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程.
所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得x+2y-4=0 从而A ,B在直线x+2y-4=0上 而过A,B两点的直线有且只有一条
2.1.2椭圆的简 单几何性质(2)
高二数学 选修1-1
第二章 圆锥曲线与方程
回忆：直线与圆的位置关系
1.位置关系：相交、相切、相离 2.判别方法(代数法)
联立直线与圆的方程 消元得到二元一次方程组 (1)△>0直线与圆相交有两个公共点； (2)△=0 直线与圆相切有且只有一个公共点； (3)△<0 直线与圆相离无公共点．
x2

6 5
2
二、弦长问题
设 l A（x1,y1） B（x2,y2）直线 的方程：y kx b 因 l A（x1,y1）， B（x2,y2） 在直线 上
A（x1,y1）
y1 kx1 b y2 kx2 b
y1 y2 (kx1 b) (kx2 b) 弦长公式: k(x1 x2 )
4
y
点M的轨迹就是集合P M
MF d

4 5
,
l Md
H
由此得 (x 4) y2 4.
25 x
5
oF
x
4
将上式两边平方，并化简，得9x2 25y2 225,
即 x2 y2 1 25 9
所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆。
探究：若点M(x, y)与定点F(c，0)的距离和它到定直线
c
a
轨迹还是同一个椭圆吗？
（4）当定点改为F (0， c)，定直线改为l : y a2 时，对应 c
的轨迹方程又是怎样呢？
探究、点M（x,y)与定点F （c,0)的距离和它到定直线 l:x=a2/c 的距离的比是常数c/a（a>c>0),求点M 的轨迹。
解：设 d是M到直线l 的距离，根
准焦线点：：xF1(ca,02)、F2 (c,0) c
平面内与 一个定点的距 离和它到一条
定直线的距离
于 F1F2 ）的点 的轨迹。
的比是常数
e c (0 e 1) a
的点的轨迹。
焦点：F1(0,c)、F2 (0, c) 准线：y a2
c
由椭圆的第二定义可得到椭圆的几何性质如下：
x1

x2

83 5
,
x1
x2

8 5
AB 1 k 2 x1 x2 1 k 2
8 (x1 x2 )2 4x1 x2 5
题型三：中点弦问题
例6 ：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程. 解：
韦达定理→斜率
韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造
l : x a2 的距离的比是常数c (a c 0)，求点M的轨迹。
c
a
思考上面探究问题，并回答下列问题：
（1）用坐标法如何求出其轨迹方程，并说出轨迹
（2）给椭圆下一个新的定义
（3）若点M( x, y)与定点F(c，0)的距离和它到定直线
l : x a2 的距离的比是常数c (a c 0)，此时点M的
4
5 1
5
5x2 4x 1 0 ----- (1)
x2+4y2=2
因为 ∆>0 所以，方程（１）有两个根， 则原方程组有两组解….
那么，相交所得的弦的弦长是多少？
AB
(x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
2(x1 x2)2
2
( x1

x2 )2

4 x1

设而不求
题型二：弦长公式
例3：已知斜率为1的直线L过椭圆 交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
的右焦点，
解 :由椭圆方程知 : a2 4,b2 1, c2 3. 右焦点F ( 3, 0). 直线l方程为: y x 3.
y x 3


x2 4

y2
1
消y得：5x2 8 3x 8 0 设A(x1, y1), B(x2, y2 )
通法
直线与椭圆的位置关系
种类: 相相离切交((没一二有个个交交点点)) 相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)
直线与椭圆的位置关系的判定
代数方法
Ax By C 0
由方程组

x
2
a2

y2 b2
1
mx2 nx p 0(m 0)
△=n2 4mp
且d 40 25 15 41 42 52 41
dmax
思考：最大的距离是多少？
40 25 42 52
65 41
41
例6 点M (x, y)与定点F (4,0)的距离和它到直线
l : x 25的距离的比是常数 4，求点M的轨迹。
4
5
解：设d是点M到直线l : x 25的距离，根据题意，
B（x2,y2）
|AB| = (x1 x2)2 ( y1 y2)2 (x1 x2)2 k(x1 x2)2
(1 k 2 )(x1 x2 )2 1 k 2 x1 x2

通 法
(1 k 2 ) (x1 x2 )2 4x1x2

1
1 k2
y1 y2
据题意，所求轨迹就是集合
I’
y
l
M
P={M|
MF d
c a
}
F’ o F
x
由此得
x c2 y 2 c

a2 x
a
c
将上式两边平方，并化简，得
a2 c2 x2 a2 y2 a2 a2 c2
设 a2-c2=b2,就可化成
x2 a2

y2 b2
1(a
b 0)
这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是长轴、 短轴分别为2a,2b 的椭圆
I’ y
l
F’ o F
x
由探究可知，当点M与一个定点的距离和它到一条定直
线的距离 的比是常数 e c 0 e 1 时，这个点的轨
a 迹 就是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常
数e是椭圆的离心率。 此为椭圆的第二定义.