组合数学-第五节：多项式定理

2.4.4多项式定理

当n 为整数时，二项式定理给出了()n

x y +的展开式，本节我们将其推广到求任意t 个实数的和的n 次方

()

12n

t x x x +++ 的展开式。

在给出下面的多项式定理之前，我们先来看一个例子，将()3

123x x x ++的各项展开并整理，可以得到

()

3

333222222

1231231213121323231233333336x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++=++++=++++（2.4.12）

在（2.4.12）式右端的和式中，每项都是312123n

n n x x x 的形式，这里，123,,n n n 都是非负整数，且1233n n n ++=。其中312123n

n

n

x x x 的系数为：

1233!

!!!

n n n 。

定理2.4.3 ： 设n 为正整数，则：()12

121212

t n

n n n t t t n x x x x x x n n n ⎛⎫+++=

⎪⎝⎭∑

其中：1212!

!!!t t

n

n n n n n n n ⎛

⎫=

⎪

⎝⎭ 称为多项式系数；而其中的求和号是对所有满足12t n n n n +++= 的非负整数序列12t n n n +++ 求和。

证明 先将()12n

t x x x +++ 写成n 个12t x x x +++ 因子的乘积：

()

()()121212n

t t t n

x x x x x x x x x +++=++++++

现在我们将其展开，直到没有括号为止。因为每个因子中我们都可取12,,n x x x 中的任一个，所以展开式共有n

t 项，且每项都可以写成1212t n

n

n

t x x x 的形式。要得到这一项，我们应该在n 个因子中的1n 个里面取1x ，

有1n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭种取法；在剩下的1n n -个因子中的2n 个里面取2x ，有12n n n -⎛⎫ ⎪⎝⎭

种取法；……；最后，在

121()t t n n n n n -=-+++ 个因子里面取i x ，有121()t t

n n n n n --+++⎛⎫ ⎪⎝⎭

种取法。由乘法原则知，12

12t n n n t x x x 前的系数为：11211212()!!!!t t

t

n n n n n n n n n n n n n n ---+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 例1 展开()7

12345x x x x x ++++，则23

1345x x x x 的系数为：

7!

4202!0!1!3!1!

=

例2 展开6123(235)x x x -+，则32

123x x x 的系数为：326!

2(3)5360003!1!2!

⋅⋅-⋅=- 下面就多项式系数所满足的性质作一些说明：

（1）在多项式定理中，其右端的求和号中所包含的项数就是方程：12t n n n n +++= 的非负整数解的数目，即为1n t n +-⎛⎫

⎪⎝⎭

项。

例如，多项式()3

123x x x ++的展开式（2.4.12）中恰有331103+-⎛⎫

=

⎪⎝⎭

项。 （2）在多项式：()()1212t t n

x x x x x x ++++++

的第一个因子中选1i x ，第二个因子中选2i x ，……，第n 个因子中选n i x ，则多项式的展开项12,n i i i x x x 对应着多重集合{}12,,t A x x x =∞⋅∞⋅∞⋅ 的一个n 排列，并且这个对应显然是一一的，所以多项式的展开式中各项系数之和恰为A 的n 排列数。

在多项式定理中，令121t x x x ==== ，则有：

12120(1)

t i n

n n n n t n i t n t n n n +++=≥≤≤⎛⎫= ⎪⎝⎭

∑ 它反映的正是t 个不同的元素的多重集合{}12,,t x x x ∞⋅∞⋅∞⋅ 的n 排列数为n

t 。