一元函数微分学教案

第二章 一元函数微分学

一、 导数

（一）、导数概念

一、导数的概念：

设函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有概念，当自变量在点0x 处取得改变量x ∆时，函数)(x f 取得相应的改变量，)()(00x f x x f y -∆+=∆，若是当0→∆x 时，x

y ∆∆的极限存在，即x y x ∆∆→∆0lim

x x f x x f x ∆-∆+=→∆)()(lim 000存在，则此极限值为函数)(x f 在点0x 的导数，可记作)(0x f '或|0x x y ='或|0x x dx dy =或|0)(x x dx

x df = 二、依照概念求导数的步骤（即三步曲）

①求改变量)()(x f x x f y -∆+=∆ ②算比值

x y ∆∆x

x f x x f ∆-∆+=)()( ③取极限x y x f y x ∆∆='='→∆0lim )(x x f x x f x ∆-∆+=→∆)()(lim 0 例1：依照概念求2

x y =在点3=x 处的导数。

解：223)3(-∆+=∆x y 2)(6x x ∆+∆= x x

y ∆+=∆∆6 6)6(lim lim 0

0=∆+=∆∆→∆→∆x x y x x 3、导数概念的几种不同表达形式 ①x x x x

x f x x f x f x ∆+=⇓∆-∆+='→∆00000)

()(lim

)(令 ②0

00)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→ 时＝当0)()(lim

)(0000x x

x f x f x f x ⇓∆-='→∆ ③x f x f f x )0()(lim )0(0

-='→ 4、左右导数的概念：

若是当)0(0-+→∆→∆x x 时，x

y ∆∆的极限存在，则称此极限为)(x f 在点0x 为右导数（左导数），记为)(0x f +'［)(0x f -'］

000000)()(lim )()(lim )(x x x f x f x x f x x f x f x x --=∆-∆+='--→∆→∆- 000000

0)()(lim )()(lim )(x x x f x f x x f x x f x f x x --=∆-∆+='++→∆→∆+ 五、函数)(x f 在点0x 处可导的充要条件：

)(x f 在点0x 的左、右导数都存在且相等

即)(0x f '存在)(0x f +'⇔＝)(0x f -' 【或x y x ∆∆→∆0lim 存在x

y x y x x ∆∆=∆∆⇔+-→∆→∆00lim lim 】 六、函数的可导性与持续性的关系：

若是函数)(x f y =在点0x 处可导，则)(x f 在点0x 处必持续，反之不必然成立。

即连续可导→

例如：||x y =在0=x 处持续，但不可导。

解：⎩

⎨⎧<-≥==0,0,||x x x x x y 0lim lim 0

0=∆=∆→∆→∆x y x x 持续 又10lim )()(lim )(0000-=--=-='--→∆→∆-x

x x x f x f x f x x 10lim )()(lim )(0000=-=-='++→→+x

x x x f x f x f x x )0(+'f )0(-'≠f )0(f ∴不存在

7、导数)(0x f '与导函数)(x f '之间的区别，联系是什么？

①区别：)(0x f '是数值，)(),,(00是取定的x b a x ∈；)(x f '是函数x b a x (),,(∈是任意一点）； ②联系：)()(0|0x f x f x x '='=

注：导函数)(x f '简称导数

八、导数的物理意义和几何意义？

① 物理意义：瞬时转变率

因变量相对自变量的瞬时转变率

②几何意义：曲线)(x f y =在点))((0,0x f x 处切线的斜率。现在曲线)(x f y =过点))((0,0x f x 处的切线方程：))(()(000x x x f x f y -'=- 法线方程：)()

(1)(000x x x f x f y -'=- )0)((0≠'x f 例2、依照概念求x y =

的导数 解：x x x y -∆+=∆

x x x x x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆00lim lim

)(lim 0x x x x x x x x +∆+∆-∆+=→∆x x x x +∆+=→∆1lim 0x 21=

因此x x 21

)(=' 或x

dx x d 21)(= 同理可推导：n x y = 1-='n nx y

例3、依照概念求x y sin =的导数 x

x x x x y y x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆sin )sin(lim lim

00x x x x x ∆∆∆+-=→∆2sin )2cos(2lim 0 x x

x x x x cos 2

2sin )2cos(lim 0=∆∆∆+-=→∆ 因此x x cos )(sin ='

同理可推导x x sin )(cos -='

例4、依照概念求x y ln =的导数 x

x x x x y y x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆ln )ln(lim lim

00x x x x ∆∆+=→∆)1ln(lim 0x x x x ∆→∆∆+=10)1ln(lim x e x x x x x x x 1ln ])1[ln(lim 110==∆+=∆→∆ 例5、求正弦曲线x y sin =在3π=

x 时的切线方程和法线方程。 解：x y cos =' 213cos |3=='

==ππx y k 当3π

=x 时，2

33

sin ==πy 切线方程：)3

(2123π-=-x y 即03363=+--πy x 法线方程：)3

(223π--=-

x y 即：1203346=--+πy x

小结如何验证)(x f y =在0x 处的可导性： ⑴、用概念的三种表达形式之一；

⑵、也能够用左导数，右导数是不是存在而且相等；

⑶、下列三种情形之一，函数在0x 处确信不可导：

①、函数在0x 处不持续；

②、函数在0x 处左导数和右导数至少有一个不存在；

③、函数在0x 处左、右导数都存在，但不相等。 （二）、导数的大体公式与运算法则

一、导数的四则运算

⑴、v u v u '±'='±)(

例5、x x x y ln sin 4-+= 解：x

x x y 1cos 43-

+=' ⑵、v u v u uv '+'=')(

当C u =时，u c cu '=')(