第二章_数值积分 1——【地球物理计算方法】

使其具有1阶的代数精度．
解：对于f(x)=1，x是否精确相等；
b
∫ 当f (x) = 1时，左 = a 1dx = b − a ，右 = ( A0 + A1)
∫ 当f (x) = x时= ，左
b
= xdx
1 (b2 − a2 ) ，右 = [ A0a + A1b]；
a
2
得到：
A=0
A=1
b−a； 2
∫ 2 ∫0 f (x)dx ≈ f (0) + f (2)
2 f (x)dx ≈ 1 [ f (0) + 4 f (1) + f (2)]
0
3
计算 f (x) = 1, x, x 2 , x 3 , x 4 , e x 时积分结果并与准确值进
行比较.
解:梯形公式和Simpson公式的计算结果与准确值比较如下表所示
∫b f (Hale Waihona Puke Baidu= )dx a
F(b) − F(a)
F′(x) = f (x)
面临的困难：
(1) 被积函数f(x)并不一定能够找到用初等函数的 有限形式表示的原函数F(x)，例如：
∫ ∫ 1 sin x dx 和 1 e−x2 dx
0x
0
(2) 还有被积函数f(x)的原函数能用初等函数表示，
但表达式太复杂，例如函数 f (x) = x2 2x2 + 3
例
若对于给定的一组求积节点
xk (k
=
0,1, 2, , n)
相应的求积公式
∫ ∑ b
n
f (x)dx ≈
a
Ak f ( xk )
k =0
至少具有n次代数精度，试确定其求积系数．
解 由已知对于 f (x) = 1, x, x2 ,, xn，求积公式
均成立等式，得：
∫ ∑ b
n
a
f (x)dx ≈ Ak f (xk )
f(x) 准确值 梯形公式 辛卜生公式
1 x x2
x3 x4
ex
2 2 2.67 4 6.40 6.389
22 4
8 16 8.389
2 2 2.67 4 6.67 6.421
17
2、代数精度的概念
定义：
设求积公式
∫ ∑ b
n
f ( x)dx ≈
a
Ak f ( xk )
k =0
对于一切次数小于等于m的多项式是准确的，而对于
x0n x1n xnn
当xk,(k=0,1,…n) 互异时非奇异, 故 Ak有唯一解．
在求积节点给定的情况下，求积公式的构造本质上是个解
其原函数F(x)为：
= F(x) 1 x3 2x2 + 3 + 3 x 2x2 + 3 − 9 ln ( 2x + 2x2 + 3) + C
4
16
16 2
4
(3) 被积函数f(x)没有具体的解析表达式, 其函数 关系由表格或图形表示．
y=f(x)
a
b
1、求积方法的历史变迁
求曲边图形的面积：
y
(1) 微积分方法
次数为m+1的多项式是不准确的，则称该求积公式具
有m阶代数精度（简称精度）
等价定义： 设求积公式
∫ ∑ b
n
f ( x)dx ≈
a
Ak f ( xk )
k =0
对于 1, x, x2 , , xm 是准确的，而对于 xm+1 是
不准确的，则称该求积公式具有m阶代数精度
例 试构造求积公式
b
∫a f (x)dx ≈ A0 f (x0 ) + A1 f (x1)
《地球物理计算方法》
第2章 数值积分
1
1、机械求积 2、Newton-cotes积分公式 3、复化求积方法 4、Romberg加速算法 5、Gauss积分公式 6、数值微分
2
问题的提出 函数积分：
I = ∫ab f (x)dx.
若能求出被积函数f (x)的一个原函数F(x)，则 定积分I能根据牛顿-莱布尼茨公式求出，即
1 2 n −1
0 n n n 1
x
7
外接梯形面积：
y
Tn
=
1 n
⋅
1 n2
+
1 n
⋅ ( 2 )2 n
+
1 n
⋅ ( 3 )2 n
++
1 n
⋅ ( n )2 n
∑ =
1 n3
n
i2
i =1
=
1 (1+ 3
3 2n
+
1 2n2 )
2
y= x
n→∞→ 1 3
1 2 n −1
0
1
x
n n n
8
1、机械求积的概念
k =0
20
解：对于f(x)=1，x…xn均精确相等；令左=右
A0
+
A1
++
An
=b
−a
x0
A0
+
x1 A1
++
xn An
=b2
− a2 2
x0n A0
+
x1n A1
++
xnn An
=bn+1 − an+1 (n +1)!
其系数矩阵
1 1 1
x0
x1
xn
x02
x12
xn2
y y=f(x)
a (a+b)/2 b x
12
Simpson公式
y
f (ξ ) ≈ 1 [ f (a) + 4 f (a + b) + f (b)]
6
2
∫b a
f
(x)dx
≈
1 (b 6
−
a)
f
(a)
+
4
f
(a
+b) 2
+
f
(b)
a
a+b 2
bx
机械求积公式：
y 求积节点
一般地
∫ ∑ b
n
f (x)dx ≈
∫ = S * 1 x2= dx 0
x3= 3 10
1 3
2
y= x
S*
0
1
x
S* = 1 3
(2) 穷竭法
内接梯形面积：
y
Rn
=
1 n
⋅
1 n2
+
1 n
⋅ ( 2 )2 n
+
1 n
⋅ ( 3 )2 n
++
1 n
⋅ ( n −1)2 n
=
1 3
(1 −
3 2n
+
1 2n2
)
2
y= x
n→∞→ 1 3
a
Ak f ( xk )
k =0
a
y=f(x) b
求积系数
注意：
权系数,
机械求积公式：求积分用某些节点的函数值来计算；
求积系数（权系数）,与函数没有关系，只与求积节点有关。14
问题：
1．求积系数及节点如何确定？ 2．此公式与多项式有何关系？ 3．公式的计算精度如何判断？提高计算精度？
15
例 设积分区间[a, b]为[0, 2]，分别用梯形和Simpson公式
根据积分中值定理，函数积分：
b
∫a f (x)dx= (b − a) f (ξ ) ,
ξ ∈(a,b)
y
ξ 的取值是关键？
y=f(x)
平均高度
a
ξ
bx
左矩形公式 f (ξ ) ≈ f (a )
b
∫a f (x)dx ≈ (b − a) f (a)
y
右矩形公式 f (ξ ) ≈ f (b )
b
∫a f (x)dx ≈ (b − a) f (b)
y
y=f(x)
y=f(x)
10
a
bx a
bx
中矩形公式
f (ξ ) ≈ f ( a + b)
2
∫b f (x)dx ≈(b − a) f ( a + b)
a
2
y y=f(x)
a
a+b
b
2
梯形公式
f (ξ ) ≈ f (a) + f (b)
2
b
∫a
f
(x)dx
≈
1 (b 2
−
a)[
f
(a)
+
f
(b)]