传输原理教案(第8节)传热

第二篇 热量传输 第8章 固体中的热传导 §8.2 导热微分方程
柱坐标系（r, φ, z ）下导热微分方程的形式：p146
T t
a
1 r
r
(r
T ) r
1 r2
2T
2
2T z 2
Q
c p
a
T r
2 2
1 r
T r
1 r2
2T
2
2T z 2
Q
c p
（8-13）
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第二篇 热量传输 第8章 固体中的热传导 §8.2 导热微分方程
傅立叶热传导定律——描述导热体内部温度梯度与热流密度之 间的关系。可以解决导热体的热流量大小问题。 导热微分方程——描述导热体内部温度随时间和空间变化的规 律。可以解决导热体的温度分布问题。
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第二篇 热量传输 第8章 固体中的热传导 §8.2 导热微分方程
注意以下点：
如果是一维稳态导热，由Fourier导热定律
——有内热源的三维非稳定导热微分方程
（8-11）
若无内热源，且稳定导热，则： Q 0
c p
（8-11）可以简化为：
T 0 t
2T 2T 2T 0 x 2 y 2 z 2
即：
2T 0
拉普拉斯方程（8-12） 11
第二篇 热量传输 第8章 固体中的热传导 §8.2 导热微分方程
傅立叶热传导定律、导热微分方程的作用
三、砂型导热系数 （铸造业）
见 P.144 式（8－8）
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第二篇 热量传输 第8章 固体中的热传导 §8.1 傅立叶热传导定律及导热系数
四、热扩散系数α
对傅立叶定律改写： q T (cpT ) a (cpT )
x
cp x
x
a
c p
热扩散系数（导温系数） m2/s
c pT
(cpT )
x
单位体积物体的热量梯度。
说明： ①非稳态导热定解条件有两个；
②稳态导热定解条件只有边界条件，无初始条件。
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第二篇 热量传输 第8章 固体中的热传导 §8.2 导热微分方程
导热问题常见的边界条件
第一类边界条件：规定了边界上的温度值。对于 非稳态导热，这类边界条件要求给出以下关系：
第二类边界条件：边界上的热流密度（热通量）
1
第二篇 热量传输 第8章 固体中的热传导 §8.1 傅立叶热传导定律及导热系数
傅立叶热传导定律的物理意义：
热传导时，单位时间内通过给定面积的热量， 正比于垂直于导热方向的截面积及温度变化率。
热流(量) Q F T
x
2
第二篇 热量传输 第8章 固体中的热传导 §8.1 傅立叶热传导定律及导热系数
用傅立叶定律，可求得热流量计算公式：
热流量 Q Fq T
F
(8 17)
讨论：若是变热导率问题（λ随温度变化） 令：
a bT
只需取平均温度下的λ代入前式即可。 即令：
m
a
bTm
a
b(T1
T2 2
)
则：
q T
m
Q T
mF
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第二篇 热量传输 第8章 固体中的热传导 §8.3 一维稳定导热
热扩散系数反映导热过程中材料的导热能力（ ）与沿途物质
储热能力（ cp）之间的关系 。 它具有运动学的量纲，表达
了温度随时间变化时，物体内部热量传播速度的大小（即物体
内部温度趋于一致的能力），因此， 它反应导热过程动态特性，
是研究不稳态导热重要物理量。
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第二篇 热量传输 第8章 固体中的热传导 §8.2 导热微分方程
T y
dxdz
Qxdx
x
(T
T x
dx)dydz
Qydy
y
(T
T y
dy)dxdz
研究对象为各向同 性物体，常物性。
Qz
T z
dxdy
Qz dz
z
(T
T z
dz)dxdy
设单位体积内热源，在单位时间放出的热能为Õ （热源强度，W/m3）
（4）微元体内热源生成的热为：Õdxdydz 10
第二篇 热量传输 第8章 固体中的热传导 §8.2 导热微分方程
对于液体 ， 见P.142
气体… 见P.142
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第二篇 热量传输 第8章 固体中的热传导 §8.1 傅立叶热传导定律及导热系数
金属 非金属固体 液体 气体
常温下一些物质的导热系数:
纯铜 398W (mK); 纯铁 81W (mK);
大理石 2.7W /(mK) 水 0.6W (mK); 空气 0.026W (mK) （20C）
q T const
x
两边求导一次后，导热微分方程简化为：
d 2T dx 2
0
这是一维拉普拉斯方程 (Lap·lace) 方程
以上讨论的前提是常物性，有些场合，热导率不能作为常量， 这时称变热导率问题，导热微分方程的形式为：
c p
T
(
x
T ) x
y
(
T ) y
z
(
T ) z
Q
c p
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接触热阻
δ1 δ2 δ3 x
x T2 ΔT
T1
T
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第二篇 热量传输 第8章 固体中的热传导 §8.3 一维稳定导热
接触热阻 :
普遍存在，而目前对其研究尚不充分，往往 采用一些实际测定的经验数据。
对于导热系数较小的多层壁导热问题, 接触 热阻多不予考虑；但对金属材料之间的接触热 阻一般不容忽视。
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单层组合平壁问题 p147
（两块不同材料的单层平壁压合成单层组合平壁）
这种情况下，组合璧的导热系数相差不 大的情况下，组合面间的热流影响忽略 不计。可以利用热流量公式（8-17）求 得通过两块单层平壁的热流量：
Q1
T
1 F1
பைடு நூலகம்
T R1
Q2
T
2 F2
T R 2
Q
Q1
Q2
T R
1 1 1 R R1 R 2
§ 8.2 导热微分方程 p145
1、研究热传导要解决的问题： 物体在特定条件下，三维温度场 T = f （x,y,z,t）的具
体函数关系。
2、直接利用傅立叶热传导定律可以解决的问题： （1）稳定的平壁导热、 （2）圆筒壁导热、 （3）球壁
导热的热流和温度分布。
3、复杂几何形状以及不稳定导热问题解决（×） 仅仅依靠 “傅立叶热传导定律” 往往无法解决，建立
二、各类物质的导热系数 λ
对于固体： 金属中，银的导热系数最大。 纯金属一般大于合金。 合金的导热系数与结构有关。 常温下，当λ< 0.23 W / m·K， 称为绝热材料（保温材料、 隔热材料）。高效能的保温材料多为蜂窝状多孔结构。 水份对材料的λ有影响 。 （ λ水> 0.23 ） 有些材料的λ是各向异性的。
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第二篇 热量传输 第8章 固体中的热传导 §8.2 导热微分方程
数学表达式：
（1）微元体内的热量积累＝ （2）导入微元体的总热流－（3）导出微元体总热流＋ （4）微元体内热源生成的热量
（1）热量积累：
(cpT )
t
dxdydz
c p
T t
dxdydz
（2）导入：
（3）导出：
Qx
T x
dydz
Qy
并联
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第二篇 热量传输 第8章 固体中的热传导 §8.3 一维稳定导热
（二）多层组合平壁 P147
y
紧密接触，稳定导热情况下， 经过各层平壁的热流量相等。 Q = Q1= Q2= Q3 （见p148）
T1 λ1 T2
λ2 λ3 T3 T4
理想接触： 两材料接触界面两边温度 相等，并且流过的热量也 相等（无接触热阻）
所以：
T
T2 T1
x T1
或者 : T T1 x
T2 T1
（8-15）平壁内温度分布表达式。 说明：大平壁内稳定导热时，温度 是在x方向线性分布的）
用傅立叶定律，可求得热流密度计算公式：
q dT (T1 T2 ) T
dx
（8-16）
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第二篇 热量传输 第8章 固体中的热传导 §8.3 一维稳定导热
热流(量) Q F T
T 是x方向的温度梯度
x
x
Fourier法国数学家
其中：
（1768~1830）
λ－导热系数（热导率） W / (m·K)（即单位温度梯度下的热流密度）
F－传输面面积 （m2 ）
负号表示热量传输方向与温度梯度方向相反。
•用向量表示： Q Fgrad T F n T
n
n 是单位向量
8.1.2. 导热系数 λ 与热扩散系数 （p138）
一、导热系数 λ q T
x
单位 W / m·K （8-2）
（1）导热系数等于单位温度梯度作用下，物体内部所产 生的热流密度。
（2）导热系数表征物体导热能力， 它与物体的种类和 温度有关。
（3）物体的导热系数均由实验测定而得。
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第二篇 热量传输 第8章 固体中的热传导 §8.1 傅立叶热传导定律及导热系数
球坐标系下（r, φ, θ） (8-14)
(p146)
T t
a[
1 r2
r
(r 2
T ) r
1
r 2 sin
(sin
T )
1
r 2 sin 2
2T
2
]
Q
c p
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第二篇 热量传输
第8章 固体中的热传导 §8.2 导热微分方程
导热微分方程的定解条件
1. 定解条件定义： 是指使导热微分方程获得适合某一特定导热问题的求解的附
加条件。
2 、导热微分方程的定解条件分类 : 对于导热问题，对象的几何形状（几何条件）和材
料性质（物理条件）是已知的。那么非稳态导热问题的 定解条件有两个定解条件——求解导热微分方程的初始 条件和边界条件有两个方面：
(1) 初始条件：初始时间温度分布的初始条件； (2) 边界条件：导热物体边界上温度或换热情况的边界条件。
第二篇 热量传输 第8章 固体中的热传导 §8.1 傅立叶热传导定律及导热系数
第8章 固体中的热传导 p138
§8.1 傅立叶热传导定律及导热系数
8.1.1傅立叶热传导定律（ 热传导基本定律）
（该定律由实验总结而得到，反映物体内部温度变化 和热流量关系。）
热通量 q T
T 是x方向的温度梯度
x （8-1） x
固体、液体、气体的导热系数λ值与温度有关, 一般可视为与 压力无关。 水, 干空气、烟气性质 见附录 P.360 表2，3 多孔材料（绝热材料）见P.143～144 低温－表观导热系数λ， 高温－有效导热系数λ（p144）
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第二篇 热量传输 第8章 固体中的热传导 §8.1 傅立叶热传导定律及导热系数
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第二篇 热量传输 第8章 固体中的热传导 §8.3 一维稳定导热
8.3.1 无限大平壁导热 平壁的长度和宽度都远大于其厚度，因而平板两侧 保持均匀边界条件的稳态导热就可以归纳为一维稳 态导热问题。
（一）单层平壁 设壁厚远小于高度和宽度，平
y
壁材料均匀，厚度为δ，平壁内
的等温面为垂直于X轴的平行平
微分方程式，结合具体条件可以求物体内部温度分布。
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第二篇 热量传输 第8章 固体中的热传导 §8.2 导热微分方程
导热微分方程的建立
研究对象（导热体）条件设定：
导热体（可以是固体或者是静止流体） 为各向同性、均匀材料组成。 条件：常物性 （即：导热系数λ、比热 Cp 、密度ρ均为常数。）
（1）在导热体中取一个微元体Δx Δ y Δ z, （2）利用能量守恒原理：单位时间导入微元体的热量减去单 位时间导出微元体的热量，再加上微元体内热源的生成热，等 于微元体内能的增量。
第三类边界条件：边界上物体与周围流体间的表面导 热系数α，以及周围流体的温度Tf。
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第二篇 热量传输 第8章 固体中的热传导 §8.2 导热微分方程
导热微分方程的适用范围
（1）适用于热通量 q 不很高，而作用时间长。同 时傅立叶定律也适用该条件。
（2）若时间极短，而且热流密度极大时，则不适 用。
第二篇 热量传输 第8章 固体中的热传导 §8.3 一维稳定导热
对于稳定导热，且理想接触：
Q T1 T2 T2 T3 T3 T4
（3）若属极低温度（ -273 ℃ ）时的导热不适用。
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第二篇 热量传输 第8章 固体中的热传导 §8.3 一维稳定导热
§8.3 一维稳定导热
稳定导热一般只出现在固体当中，有些 问题在一定条件下可以简化成一维稳态导热 ，即温度只沿一个空间坐标方向变化。对于 这种问题，如大平板、长圆筒、球壁等几何 形状规则的物体的导热问题，采用直接积分 的方法即可得到其分析解。
面。属于一维稳定导热问题。
T1
所以，平璧内导热微分方程为：d 2T dx2
0
边界条件： x= 0 时，T＝T1
0
x=δ时，T=T2
T1>T2
T2
δ
x
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第二篇 热量传输 第8章 固体中的热传导 §8.3 一维稳定导热
解得：T = ax +b
因为 x= 0 时，T＝T1 x=δ时，T=T2
可得 b = T1, a = （T2 - T1 ） /δ
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第二篇 热量传输 第8章 固体中的热传导 §8.3 一维稳定导热
一维稳定导热的典型问题
已知： 单层平壁两侧恒温，分别为 t1、t 2 ，壁厚 δ， 建立坐标系，边界条件为： x=0 时，t=t 1 ；x=δ时， t=t 2 温度只在 x 方向变化属一维温度场。
试求：温度分布并确定
q ＝ f （ t 1, t 2, λ, δ）