天津市部分区2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试题含答案

2019-2020学年天津市部分区高二（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

1．经过两点A（4，a），B（2，3）的直线的倾斜角为，则a=（）

A．3 B．4 C．5 D．6

2．双曲线=1的离心率是（）

A． B． C． D．2

3．命题“∃m∈N，曲线=1是椭圆”的否定是（）

A．∀m∈N，曲线=1是椭圆 B．∀m∈N，曲线=1不是椭圆

C．∃m∈N+，曲线=1是椭圆 D．∃m∈N+，曲线=1不是椭圆

4．已知向量=（λ，1，3），=（0，﹣3，3+λ），若，则实数λ的值为（）

A．﹣2 B．﹣C．D．2

5．“直线a与平面M垂直”是“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

6．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（）

A．πB．πC．πD．3π

7．直线y=kx﹣k与圆（x﹣2）2+y2=3的位置关系是（）

A．相交B．相离C．相切D．与k取值有关

8．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中真命题是（）

A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，m∥β，则α⊥β

C．若m∥α，α∥β，则m∥βD．若m⊥n，m∥α，则n⊥α

9．已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点M的纵坐标为2，则点M到该抛物线的准线的距离为（）A．2 B．3 C．4 D．5

10．已知P（x，y）为椭圆C：=1上一点，F为椭圆C的右焦点，若点M

满足|MF|=1且MP⊥MF，则|PM|的取值范围是（）

A．[2，8] B．[，8] C．[2，] D．[，]

二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）

11．抛物线y2=﹣4x的焦点坐标为．

12．椭圆=1的两个焦点为F

1，F

2

，过F

1

且垂直于x轴的直线与椭圆相交，

一个交点为P，则|PF

2

|= ．

13．已知三条直线l

1：2x+my+2=0（m∈R），l

2

：2x+y﹣1=0，l

3

：x+ny+1=0（n∈R），

若l

1∥l

2

，l

1

⊥l

3

，则m+n的值为．

14．如图，在底面是正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱ABC﹣A

1B

1

C

1

中，AB=1，

点D在棱BB

1上，且BD=1，则直线AD与平面AA

1

C

1

C所成角的余弦值为．

15．平面上一质点在运动过程中始终保持与点F（1，0）的距离和直线x=﹣1的距

离相等，若质点接触不到过点P（﹣2，0）且斜率为k的直线，则k的取值范围是．

三、解答题（共5小题，共60分）

16．（12分）已知圆的方程x2+y2﹣2x+2y+m﹣3=0（m∈R）．

（1）求m的取值范围；

（2）若m=1，求圆截直线x﹣y﹣4=0所得弦的长度．

17．（12分）已知顶点为O的抛物线y2=2x与直线y=k（x﹣2）相交于不同的A，B 两点．

（1）求证：OA⊥OB；

（2）当k=时，求△OAB的面积．

18．（12分）如图，在多面体P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD 是等边三角形，已知BD=2AD=4，AB=2DC=2．

（1）设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；

（2）求三棱锥P﹣BCD的体积．

19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A

1B

1

C

1

D

1

中，AB=AA

1

=1，E为BC的中点．

（1）求证：C

1D⊥D

1

E；

（2）动点M满足（0＜λ＜1），使得BM∥平面AD

1

E，求λ的值；

（3）若二面角B

1﹣AE﹣D

1

的大小为90°，求线段AD的长．

20．（12分）椭圆C：=1（a＞b＞0，经过椭圆右焦点且垂

直于x轴的直线被椭圆截得弦的长度为3．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若斜率为k的直线l与椭圆C相交于A，B 两点（A，B不是左、右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

天津市部分区2017～2018学年度第一学期期末考试

高二数学（理科）参考答案

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．

1112 1314

三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）

解：（1……………4分

（2

6分

分

分

分17．（12

解：（1

分

分

O

D

C

A

P

M ∴2

AOB π

∠=

……………………………………………………………………6分

（2）因为2k =

，由（1）可得122,22y y =-=，

代入抛物线方程可得121,4x x ==

∴()

1,2A -，()

4,22B ……………………………………………………9分

∴11

3263222

OAB S OA OB ∆=

⋅=⨯⨯=………………………………12分 18．（12解：（1）证明：在

ABD 中，∵2,4,25AD BD AB ===，

∴2

2

2

AD BD AB +=

∴AD BD ⊥．……………………………………………………3分 又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =， BD ⊂面ABCD ，

∴BD ⊥面PAD ，又BD ⊂面BDM ，

∴平面MBD ⊥平面PAD ．………………………6分 （2）解：过P 作PO AD ⊥，

∵平面PAD ⊥平面ABCD ， ∴PO ⊥平面ABCD ，

即PO 为四棱锥P BCD -的高． 又PAD ∆是边长为2的等边三角形，

∴3PO =

．………………………9分

在底面四边形ABCD 中，AB DC //，2AB DC =，

在Rt ABD ∆中，斜边AB 边上的高为24455

25⨯=，

此即为BCD ∆的高． ∴145

5225

BCD S ∆=

⨯⨯=．…………………11分 ∴1232333

P BCD V -=

⨯⨯=．…………………12分 19．解：（12分）

（1）证明：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，设2AD a =,

则(0,0,0)D ，(2,0,0)A a ，(2,1,0)B a ，()12,0,1A a ，

()10,1,1C ,()10,0,1D ,()12,1,1B a ，(,1,0)E a ，