高等量子力学 角动量算符和角动量表象 自旋表象

（8.6）
这两个算符不是厄米算符，因而它们不是物理量；但它们有很重要的作用，满足
J
J
即二者互为伴算符。它们与 J 2 和 J z 的对易关系是
J 2 , J 0
J z , J J
8.7 8.8
把 J z J J J z J 和 J 2 J J J 2 作用于 m 得
球谐函数与 Legendre 多项式 Pl cos 的关系是
Yl0
2l
4
1
Pl
cos
(8.71)
球谐函数的加法定理是
l
Ylm* 1,1 Ylm 2 ,2
ml
2l
4
1
Pl
cos
(8.72)
式中 1,1 和 2 ,2 代表两个单位矢量的方向,而 是二矢量间
的夹角.
另一个有用公式为
一个.
1
r1
r2
4
l 0
l ml
1 2l 1
rl rl 1
Ylm*
1,1
Ylm
2,2
(8.74)
§8-6 自旋和自旋表象
粒子的自旋态是粒子的内禀状态,无法用以前的完全基于位
形空间 r 的希尔伯特空间的矢量来描述.必须另外建立一个描
述自旋态的矢量空间,这个空间我们称之为自旋空间.与此相对应, 以前我们一直讨论的那个抽象希尔伯特空间或函数空间,可以称 之为位置希尔伯特空间或位置空间.完整地描述单粒子状态的希 尔伯特空间,是这两者的直积空间.
即
m2 2 0
（8.10）
可见，当 一定时，m 有其上下限 m 和 m ，而 m m 一定是整数；因
此就必须要求有
J m 0,
否则将与（8.10）式矛盾。
J m 0
为求 m 和 m ，再利用两个算符等式：
JJ
J2
J
2 z
J z
（8.11）
JJ
J2
J
2 z
J z
（8.12）
用第一式作用于 m 得
c 0 ），即 m 在一定范围内取相差为 1 的一系列数。J 是量子数 m 的
上升算符而 J 是下降算符。
J 2 m 2 m ， J z m m m
下面讨论 J 2
J
2 z
J
2 x
J
2 y
的
m
矩阵元，由于等号右边算符的
矩阵元肯定不会为负，所以
m
J
2
J
2 z
m
m
J
2 x
J
2 y
m
0
同本征向量 lm . 这后一组基矢的完全性关系可以写成
l
lm lm 1
l0 ml
它们的正交归一化关系是
lm' lm l l m'm
(8.67) (8.68)
而 的完全性关系和正交归一化关系见(7.59)式和(7.62)式：
r r r 2dr 1，
r r 1 r r
r2
sindd 1 （7.59）
k
自旋角动量：
粒子的自旋角动量算符 S 各分量间的对易关系为
Si , S j i ijk Sk
（8.1）
粒子自旋 S的各分量与粒子k 的位置及动量算符均对易。
这是一个新的基本假设，是从前面的五条基本原理推不出来的。现在我们把自旋的存
在和它的对易关系补充到原理3中去。这样，就产生了粒子的总角动量的概念。
ijk J k
k
k
k
任意多个角动量算符之和，其分量都服从角动量的对易关系：
J i , J j i ijk J k
k
下面，以 J代表任何角动量算符，显然有
J2,J 0
现在我们求 J 2 与任何一个分量，例如 J 3 J z 的本征值。由于 J 2 与 J z 对易，它们有共同本征矢量完全组，可以写出
eikr 4 l il jl kr Ylm* ek Ylm er l0 ml
2l 1il jl krPl cos
(8.73)
l0
式中 ek 和 er 为 k和 r的单位矢量, 为二者之间的夹角, jl kr 是球
Bessel 函数.
还有一个有用的公式如下,式中 r r 是 r1 , r2 中较大的(较小的)那
J z
即 Jˆ jm ( j m)( j m 1) jm 1
（8.15）
由于 jm 是一组对易的厄米算符的共同本征矢量，它们必定 满足正交归一化关系：
jm jm jj mm
（8.16）
此式对轨道角动量、自旋角动量或其它角动量的本征矢量均成立。
§8-2 轨道角动量和方向算符（自学） §8-3 量子数l的升降算符（自学） §8-4 球谐函数（自学）
事实上只需要一个具体的Ylm , 就可以了.利用量子数 l 和 m 的升降
算符, 就可以算出所有其余的 Ylm , 。升降算符的作用是一些微分
运算,要比解微分方程简单的多。
Ylm , 可以写成两种普遍形式:
Ylm
,
1l
2l l！
2l 1
4
l l
mm！ ！eim
1 sin m
d
d
1
sin
（7.62）
这 样 , 空 间 的 态 矢 量 g 可 以 有 两 种 表 象 : 表 象
g g 和 lm 表象 lm g .前者是连续表象而后者是离散
表象. 球谐函数
lm Ylm ,
正是这两种表象之间的变换矩阵,它是一个行和列双方一方连续一方离散的幺正矩阵.
由(8.68)式和 的完全性关系(7.59)式可得
J z J J J z J
J 2J JJ 2
J z J m mJ m J m m 1J m
J 2 J m 2 J m
由此知 J m 也是 J 2 与 J z 的共同本征矢量，其 J 2 的本征值不变而
m 则增加或减少 1，即
J m c , m 1
（8.9）
可见若 m 是 J z 的本征值，则 m 1 和 m 1 也是本征值（除非
以外的所有重子, s 都是1 2 ; 所有的介子 s 0 ; 而 的 s 3 2 .
在非相对论量子力学中无法讨论的光子,它的 s 是 1.至于复合粒子,例 如 粒子基态 s 0 ,氘核基态 s 1,Li 核基态 s 3 2 ,复合粒子的量子 数 s 有时可以发生变化.
对于自旋为零的粒子,完全不用讨论其自旋,或者说它的自旋 空间是一个一维空间,其中只有一个自旋态.对于非相对论量子力 学的主要对象电子来说 s 1 2 , m 只能取 1 2 两值,自旋空间是二 维的.一般情况下,自旋空间的维数是 2s 1.
我们建立了与抽象的希尔伯特空间一一对应的态矢量和算符,而且 把这一函数空间分解为两个较小的函数空间的直积空间:一个是以 r 为自变量的函数所组成的空间,以算符 Rˆ 的本征矢量为基矢;另一
个由以 , 为自变量的函数组成,以方向算符 Nˆ 的本征矢量为基矢. 前者称为 r 空间,后者称为 空间.一般的态函数可以写成:
x, y, z r,, f rg,
现在,又在 空间中求出了一组球谐函数 Ylm , ,它们是厄
米算符 Lˆ2 和 Lˆz 的共同本征函数.从数学上知道,球谐函数具有完全
性,能够用它们来展开由 cos , sin , cos 和 sin 所组成的函数.
而 空间中的函数正好就是这种函数,因为它们是从各点 x, y, z
粒子的总角动量 ：
J LS
一个两粒子系统中的二轨道角动量之和或二自旋角动量之和甚至全部四个角动 量之和，都是总角动量；前者称为总轨道角动量或总自旋角动量，而后者就称为系 统的总角动量。
设总角动量 J为两个角动量 J1 和 J2 之和（ J泛指任何角动量），
即
J
J1
J2
对易关系：
J（i1）,
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0 J J m
(J
2
J
2 z
J z
)
m
m 2 m 2 m
J 2 m 2 m
mm 1
J z m m m
用第二式作用于 m 得 mm 1
结合上两式：
mm 1 mm 1
m 1
解得
m
m
m 1
m
m
mm 1
第一个解不合理，于是得 m m ；令 m m j
则得 j j 1。将 改为 j j 1，并将本征矢量中的量子数
自旋算符 S 是一个矢量厄米算符, 通常取 S 2 和 S z 作为对易
算符完备组,讨论它们的共同本征矢量 sm .
S 2 sm ss 12 sm
Sz sm m sm
根据前面角动量的普遍讨论, 量子数 s 和 m 的可能取值如下:
s 0, 1 2, 1, 3 2, 2, m s,s 1,s 1, s 自旋与轨道角动量不同的特点是, 非复合粒子的自旋量子数 s 只能取 一个值, 例如电子 s 取1 2 ; 在基本稳定的粒子态中, 所有的轻子和
J（1） j
i
ijk J（k1），
J（i 2）,
J（2） j
i
J（2） ijk k
J1 , J2 0 k
k
Ji , J j
J
(1) i
J（i 2）,
J
(1) j
J（j2）
J
(1) i
,
J
(1) j
J（i 2）, J（j2）
i
ijk
J（1） k
i
ijk
J（2） k
i
§8 角动量算符和角动量表象
§8-1 几种角动量算符 §8-2 轨道角动量和方向算符（自学） §8-3 量子数l的升降算符（自学） §8-4 球谐函数（自学）
§8-5 lm 表象和 表象
§8-6 自旋和自旋表象
§8-1 几种角动量算符
轨道角动量：
L RP
对易关系：
Li , L j i ijk Lk
§8-4 球谐函数
轨道角动量的本征函数, 在位置表象中记为Ylm , :
lm Ylm ,
它所满足的方程为
2
s
1
in
s in
1
sin 2
2
2
Ylm
,
ll
1 2Ylm ,
i
Ylm
,
mYlm
,
通常的办法是解上面的微分方程以求出Ylm , 。利用方向算符
和各种升降算符,可以很简捷的完成这一工作。
改为 j ，则（8.4）和（8.5）两式成为
J 2 jm j j 12 jm
J 2 m 2 m J z m m m
J z jm m jm
（8.13）
因为 m m 整数，即 2 j 整数，所以量子数 j, m 的可取值为
j 0, 1 , 1, 3 , 2, 22
m j, j 1, j 1, j
jm Jˆ Jˆ jm jm 1 c*c jm 1 c 2
jm [Jˆ 2 Jˆz (Jˆz )] jm [ j( j 1) m(m 1)]2
[( j m)( j m 1)]2
c ( j m)( j m 1)
同理
c ( j m)( j m 1)
JJ
J2
J
2 z
J 2 m 2 m
(8.4)
J z m m m
8.5
m 是 J 2 与 J z 的共同本征矢量。我们来求 和 m 可以取什么
值。
为了求 和 m 的取值，我们所能依据的只有对易关系（8.2）式。
为此，引入两个算符 J 和 J ：
J i , J j i ijk J k
k
J J x iJ y
的函数而来的.因此,球谐函数又构成 空间的另一组基矢.
从抽象的希尔伯特空间来看,与此相对应,一般的态矢量是
f g .单粒子的态空间也可以分解成两个较小的空间的直
积:一个以算符 R 的本征向量 r 为基矢;另一个以方向算符 N的
本征矢量 为基矢,后者也可以有另外一套基矢,即 L2 与 Lz 的共
'
'
l0 ml
(8.70)
这也是函数形式的球谐函数的完全性关系.
任何函数 r, , 都可以展开成为
l
r, , clmRlm rYlm , l0 ml
式中
clmRlm r Ylm* , r,,sindd
Rlm 前面带有常数 clm 是因为我们希望 Rlm r 本身是对 r 归一化的.
l'm' lm l'm' sindd lm
Y* l 'm'
，
Ylm
，
sindd
l'l m'm
(8.69)
此式即是球谐函数的正交归一化关系,又是表象变换矩阵的幺正性关系; 另一幺正性关系是
l
'' '' lm lm l0 ml
l
Ylm*
, Ylm
','
1
s in
cos
lm
sin 2l
(8.63)
Ylm
,
1l m
2l l！
2l 1
4
l l
mm！ ！eim
sinm
d
d cos
lm sin 2l
(8.64)
Ylm* , 1mYl,m,
全部球谐函数构成完全函数组 。
§8-5 lm 表象和 表象
在以单粒子的位置 x, y, z或 r, , 为自变量的函数空间中,
（8.14）
这是 J 2 和 J z 的本征值的所有可能的取值。
Jˆ jm c jm 1 Jˆ jm c jm 1
Jˆ Jˆ Jˆ 2 Jˆz (Jˆz )
还剩下的一件事是求 c 的值。这只要把（8.9）式两边取模方，
注意到
J
J
并利用（8.11）和（8.12）两式即可求出，
jm Jˆ jm Jˆ (Jˆ jm ) jm 1 c*