第十一讲 二次函数与一次函数、反比例函数综合

第11讲 二次函数、一次函数、反比例函数综合
【知识梳理】
一、二次函数与一次函数的联系
一次函数()0y kx n k =+≠的图像l 与二次函数()20y ax bx c a =++≠的图像G 的交点，由方程组2
y kx n
y ax bx c =+⎧⎨=++⎩
的解的数目来确定： ①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点； ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点； ③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.
一、二次函数与一次函数、反比例函数综合
【例1】 已知一次函数2y x =的图象与反比例函数k
y x
=
的图象交于M 、N 两点，且MN
=． ⑴ 求反比例函数的解析式；
⑵ 若抛物线2y ax bx c =++经过M 、N 两点，证明此抛物线与x 轴必有两个交点； ⑶ 设⑵中的抛物线与x 轴的两个交点分别为A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接AC 、BC ，若tan tan 3CAB CBA ∠+∠=，求此抛物线的解析式．
（定义：在直角三角形中，θ的对边为a ，邻边为b ，则tan a
b
θ=）
【例2】 如图，已知二次函数2y ax bx c =++的图像经过三点A ()1,0-，B ()3,0，C ()0,3，它的顶点为M ，
又正比例函数y kx =的图像于二次函数相交于两点D 、E ，且P 是线段DE 的中点。

（1）该二次函数的解析式，并求函数顶点M 的坐标；
（2）知点E ()2,3，且二次函数的函数值大于正比例函数时，试根据函数图像求出符合条件的自变量x 的取值范围；
（3）02k <<时，求四边形PCMB 的面积s 的最小值。

参考公式：已知两点()11D x y ，，()22E x y ，，则线段DE 的中点坐标为121222x x y y ++⎛⎫
⎪⎝⎭
，
例题精讲
【例3】 已知二次函数21(0)y ax bx c a =++≠的图象经过三点（1，0），（-3，0），（0，3
2
-）。

（1）求二次函数的解析式，并在给定的直角坐标系中作出这个函数的图像；
（2）若反比例函数22
(0)y x x
=>图像与二次函数21(0)y ax bx c a =++≠的图像在第一象限内交于
点()00A x y ，，0x 落在两个相邻的正整数之间。

请你观察图像，写出这两个相邻的正整数；
（3）若反比例函数2(0,0)k y k x x
=>>的图像与二次函数21(0)y ax bx c a =++≠的图像在第一象限
内的交点为A ，点A 的横坐标为0x 满足023x <<，试求实数k 的取值范围。

【例4】 如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点()33A ，．
（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；
（2）把直线OA 向下平移后与反比例函数的图象交于点()6B m ，，求m 的值和这个一次函数的解析式；
（3）第（2）问中的一次函数的图象与x 轴、y 轴分别交于C 、D ，求过A 、B 、D 三点的二次函数的解析式；
（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E ，使四边形OECD 的面积1S 与四边
形OABD 的面积S 满足：12
3
S S =？若存在，求点E 的坐标；若不存在，请说明理由．
【例5】 已知点A 、B 分别是x 轴、y 轴上的动点，点C 、D 是某个函数图像上的点，当四边形ABCD （A 、
B 、
C 、
D 各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图像的伴侣正方形。

例如：如图，正方形ABCD 是一次函数1y x =+图像的其中一个伴侣正方形。

（1）若某函数是一次函数1y x =+，求它的图像的所有伴侣正方形的边长；
（2）若某函数是反比例函数(0)k
y k x
=>，他的图像的伴侣正方形为ABCD ，点D （2，m ）（m <2）
在反比例函数图像上，求m 的值及反比例函数解析式；
（3）若某函数是二次函数2(0)y ax c a =+≠，它的图像的伴侣正方形为ABCD ，C 、D 中的一个点
坐标为（3，4）.写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标，写出符合题意的其中一条抛物线解析式，并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇数还是偶数？(本小题只需直接写出答案
)
【例6】 如图，已知二次函数2
y ax bx c =++的图像经过三点()10A -，、()30B ，、()03C ，，它的顶点
为M ，又正比例函数y kx =的图像与二次函数相交于两点D 、E ，且P 是线段DE 的中点．
⑴ 求该二次函数的解析式，并求出函数顶点M 的坐标； ⑵ 已知点()23E ，，且二次函数的函数值大于正比例函数时，试根据函数图像求出符合条件的自变量x 的取值范围；
⑶ 当02k <<时，求四边形PCMB 的面积S 的最小值．。