平面与与平面之间的位置关系-课件
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交点的连线必与直线A1D1相交,故可以有无数条直线与三 条直线同时相交. 答案:D
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9、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。2021/2/282021/2/28Sunday, February 28, 2021
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10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。2021/2/282021/2/282021/2/282/28/2021 5:36:31 PM
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17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。2021/2/282021/2/282021/2/282021/2/28
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
1.空间中直线与平面位置关系的分类
直线与平面的位置关系有且只有三种:
按公共点个数分类
直线和平面平行,
直线和平面不平行
直线和平面相交.
直线在平面内.
按是否在平面内分类
直线在平面内,
直线在平面外
直线和平面相交,
直线和平面平行.
2.两个平面位置关系的画法 (1)两个平行平面的画法 画两个平行平面时,要注意把表示平面的平行四边形画成对
α.
求证:直线a与平面α相交.
证明:如下图所示,
假设直线a与平面α不相交.
即a∥α或a α.
若a∥α,这与已知a∩α=A相矛盾.
若a α,这与B∈a,B α相矛盾.
∴假设不成立. ∴直线a与平面α相交.
易错探究
例4:如图,在长方体ABCD—A1B1C1D1的面A1C1上有一点P(P B1D1),过P点在平面A1C1上作一直线l,使l与直线BD成α
应边平行,如图(a). (2)两个相交平面的画法 ①先画表示两个平面的平行四边形的相交两边,如图(b). ②再画出表示两个平面交线的线段,如图(c). ③过图(c)中线段的端点分别引线段,使它们平行于图(c)中表
示交线的线段,如图(d).
④画出图(d)中表示两个平面的平行四边形的第四边(被遮住 的线,可以画成虚线,也可以不画),如图(e).
α,b∩α=A.
能力提升
9.如下图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,指出B1C,D1B所在直 线与各个面所在平面的关系.
解:B1C所在直线与各面所在平面的关系是:
B1C在平面BB1C1C内,B1C∥平面AA1D1D.与平面ABB1A1､ 平面CDD1C1,平面ABCD,平面A1B1C1D1都相交.直线D1B 与各个面都相交.
答案:A
2.若三个平面两两相交,则它们交线的条数是( )
A.1
B.2
C.3
D.1或3
答案:D
3.若两个平面平行,则分别在这两个平行平面内的直线( )
A.平行
B.异面
C.相交
D.平行或异面
答案:D
4.已知直线a∥平面β,直线b β,则a与b的关系是( )
A.相交
B.平行
C.异面
D.平行或异面
答案:D
答案:C
题型三 直线与平面相交的判定
例3:求证:两条平行线中的一条与已知平面相交,则另一条也 与该平面相交.
已知:直线a∥b,a∩α=P, 求证:直线b与平面α相交.
证明:如上图所示, ∵a∥b, ∴a与b确定一个平面,设为β. ∵a∩α=P. ∴平面α和平面β相交于过点P的一条直线l. ∵在平面β内l与两条平行线a,b中一条直线a相交. ∴l必与b相交于Q,即b∩l=Q,
10.求证:过平面内一点,作平面内一直线的平行线必在此平面 内.
证明:设点A∈平面α,a 平面α,
∵A a,∴过点A存在直线b∥a.
设a,b确定的平面为β,则A∈β,且a∈β.∴平面α､β都是由点A 和直线a确定的平面.
∴α与β重合,∴b
α,故结论成立.
11.(湖北高考)已知a,b,c是直线,α､β是平面,给出下列命题: ①若a⊥b,b⊥c,则a∥c; ②若a∥b,b⊥c,则a⊥c; ③a∥α,b α,则a∥b; ④若a､b异面,且a∥β,则b与β相交; ⑤若a､b异面,则至多有一条直线与a､b都垂直.
2.1.3 空间中直线与平面之间的位置 关系
2.1.4 平面与平面之间的位置关系
1.了解直线与平面的位置关系,并学会用符号和图形表示它 们.
2.了解两个平面有相交和平行两种位置关系,会用图形表示它 们.
1.直线和平面的位置关系(完成下表
a∩α=A
2.两个平面的位置关系(完成下表)
α∥β 无公共点
5.过平面外一点,可作这个平面的平行线的条数是( ) A.1条B.2条 C.无数条D.很多但有限 答案:C
6.如果直线a平行于平面α,则( ) A.平面α内有且只有一条直线与a平行 B.平面α内有无数条直线与a平行 C.平面α内不存在与a平行的直线 D.平面α内的任意直线与直线a都平行 答案:B
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14、意志坚强的人能把世界放在手中 像泥块 一样任 意揉捏 。2021年2月28日星期 日2021/2/282021/2/282021/2/28
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15、最具挑战性的挑战莫过于提升自 我。。2021年2月2021/2/282021/2/282021/2/282/28/2021
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16、业余生活要有意义，不要越轨。2021/2/282021/2/28Februar y 28, 2021
7.已知m\,n为异面直线,m 平面α,n 平面β,α∩β=l.则l( ) A.与m\,n都相交 B.与m\,n中至少一条相交 C.与m\,n都不相交 D.至多与m,n中的一条相交 答案:B
8.简述结论,并画图说明. 直线a在平面α内,直线b与直线a相交,则直线b与平面α的位置
关系如何?
解:直线b与平面α的位置关系有两种:b
其中真命题的个数为( ) A.1B.2 C.3D.4 解析:仅②为真命题. 答案:A
12.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E､F分别为棱AA1､CC1的 中点,则在空间中与三条直线A1D1､EF､CD都相交的直线 ()
A.不存在B.有且只有两条 C.有且只有三条D.有无数条 解析:过直线A1D1可做无数个平面与直线EF、CD相交,则其
①直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥α;
②若直线a在平面α外,则a∥α;
③若直线a∥b,直线b α,则a∥α;
④若直线a∥b,b 平面α,那么直线a就平行于平面α内的无数 条直线.
A.1
B.2
C.3
D.4
答案:A
解析:对于①,∵直线l虽与平面α内无数条直线平行,但l有可能 在平面α内(若改为平面α外的直线l与α内无数条直线都平 行,则必有l∥α),∴①是假命题.对于②,∵直线a在平面α外,包 括两种情况a∥α和a与α相交,∴a与α不一定平行,∴②为假 命题.对于③,∵a∥b,b α,只能说明a与b无公共点,但a可能 在平面α内,∴a不一定平行于平面α,∴③也是假命题.对于 ④,∵a∥b,b α.那么a α,或a∥α.∴a可以与平面α内的无 数条直线平行,∴④是真命题.综上,真命题的个数为1.
又∵ b,l .
∴b与平面α相交.
规律技巧:证明直线与平面相交的方法有:(1)反证法,即否定 直线在平面内,否定直线与平面平行,然后一一推出矛盾.(2) 证明直线与平面只有一个公共点.
变式训练3:如果一条直线经过平面内的一点,又经过平面外的 一点,则此直线和平面相交.
已知:a∩α=A,B∈a,B
变式训练1:完成下列作图. (1)在图中画出两个平行平面;
答案：
(2)在图中画出两个相交平面; 答案：
(3)在图中画出三个平行平面; 答案：
(4)在图中画出一个平面与两个平行平面相交; 答案：
(5)在图中分别画出三个两两相交的平面. 答案：
题型二 直线与平面间的位置关系
பைடு நூலகம்
例2:下列命题中正确命题的个数为( )
2
时的一般情况,而忽略了特殊情况.当 0或 时, 这样的
直线只有一条.
2
正解:(1)
当(0,)时，这样的直线ｌ有两条;
2
(2)当0或时，这样的直线ｌ只有１条.
2
答案:C
基础强化
1.a∥b,且a与平面α相交,那么直线b与平面α的位置关系是( )
A.必相交
B.有可能平行
C.相交或平行
D.相交或在平面内
角,这样的直线l有( )
A.1条
B.2条
C.1条或2条 D.无数条
错解:因为BD∥B1D1,所以l与B1D1所成的角α,就是l与BD所成 的角.在平面A1C1内以P为顶点,底边在B1D1上作一个等腰 三角形,使底角为α,则两腰所在直线就与B1D1成等角,所以 这样的直线有两条.应选B.
答案:B
错因分析:错解中受定势思维的影响,只考虑了 ( 0 , )
•
11、越是没有本领的就越加自命不凡 。2021/2/282021/2/282021/2/28Feb-2128-Feb-21
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12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人 的错儿 。2021/2/282021/2/282021/2/28Sunday, February 28, 2021
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13、知人者智，自知者明。胜人者有 力，自 胜者强 。2021/2/282021/2/282021/2/282021/2/282/28/2021
3.特别提醒 (1)在解答直线与平面的有关问题时,要想像所有可能情况,思
考要全面.
(2)平行平面具有传递性,即α∥β,β∥γ α∥γ.
(3)本节内容可以以长方体为模型,抽象出直线与平面,平面与 平面的位置关系.
题型一 空间图形的画法
例1:分别按下列条件画出直观图. (1)a∩b=P,a∥平面α,b∩平面α=A; (2)平面α∩平面β=l,a∩平面β=A,a∥平面α. 解:根据题设及平面图形直观图的画法,得直观图如下图所示.
规律技巧:解答本题关键在于两点:(1)弄清概念;(2)要有一定 的空间想象能力.
变式训练2:过平面外两点作该平面的平行平面,可以作( )
A.0个
B.1个
C.0个或1个 D.1个或2个
解析:当这两点的连线不与平面平行时,过这两点不存在与已 知平面平行的平面.当这两点的连线与已知平面平行时,能 作一个平面与已知平面平行,故选C.
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1.空间中直线与平面位置关系的分类
直线与平面的位置关系有且只有三种:
按公共点个数分类
直线和平面平行,
直线和平面不平行
直线和平面相交.
直线在平面内.
按是否在平面内分类
直线在平面内,
直线在平面外
直线和平面相交,
直线和平面平行.
2.两个平面位置关系的画法 (1)两个平行平面的画法 画两个平行平面时,要注意把表示平面的平行四边形画成对
α.
求证:直线a与平面α相交.
证明:如下图所示,
假设直线a与平面α不相交.
即a∥α或a α.
若a∥α,这与已知a∩α=A相矛盾.
若a α,这与B∈a,B α相矛盾.
∴假设不成立. ∴直线a与平面α相交.
易错探究
例4:如图,在长方体ABCD—A1B1C1D1的面A1C1上有一点P(P B1D1),过P点在平面A1C1上作一直线l,使l与直线BD成α
应边平行,如图(a). (2)两个相交平面的画法 ①先画表示两个平面的平行四边形的相交两边,如图(b). ②再画出表示两个平面交线的线段,如图(c). ③过图(c)中线段的端点分别引线段,使它们平行于图(c)中表
示交线的线段,如图(d).
④画出图(d)中表示两个平面的平行四边形的第四边(被遮住 的线,可以画成虚线,也可以不画),如图(e).
α,b∩α=A.
能力提升
9.如下图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,指出B1C,D1B所在直 线与各个面所在平面的关系.
解:B1C所在直线与各面所在平面的关系是:
B1C在平面BB1C1C内,B1C∥平面AA1D1D.与平面ABB1A1､ 平面CDD1C1,平面ABCD,平面A1B1C1D1都相交.直线D1B 与各个面都相交.
答案:A
2.若三个平面两两相交,则它们交线的条数是( )
A.1
B.2
C.3
D.1或3
答案:D
3.若两个平面平行,则分别在这两个平行平面内的直线( )
A.平行
B.异面
C.相交
D.平行或异面
答案:D
4.已知直线a∥平面β,直线b β,则a与b的关系是( )
A.相交
B.平行
C.异面
D.平行或异面
答案:D
答案:C
题型三 直线与平面相交的判定
例3:求证:两条平行线中的一条与已知平面相交,则另一条也 与该平面相交.
已知:直线a∥b,a∩α=P, 求证:直线b与平面α相交.
证明:如上图所示, ∵a∥b, ∴a与b确定一个平面,设为β. ∵a∩α=P. ∴平面α和平面β相交于过点P的一条直线l. ∵在平面β内l与两条平行线a,b中一条直线a相交. ∴l必与b相交于Q,即b∩l=Q,
10.求证:过平面内一点,作平面内一直线的平行线必在此平面 内.
证明:设点A∈平面α,a 平面α,
∵A a,∴过点A存在直线b∥a.
设a,b确定的平面为β,则A∈β,且a∈β.∴平面α､β都是由点A 和直线a确定的平面.
∴α与β重合,∴b
α,故结论成立.
11.(湖北高考)已知a,b,c是直线,α､β是平面,给出下列命题: ①若a⊥b,b⊥c,则a∥c; ②若a∥b,b⊥c,则a⊥c; ③a∥α,b α,则a∥b; ④若a､b异面,且a∥β,则b与β相交; ⑤若a､b异面,则至多有一条直线与a､b都垂直.
2.1.3 空间中直线与平面之间的位置 关系
2.1.4 平面与平面之间的位置关系
1.了解直线与平面的位置关系,并学会用符号和图形表示它 们.
2.了解两个平面有相交和平行两种位置关系,会用图形表示它 们.
1.直线和平面的位置关系(完成下表
a∩α=A
2.两个平面的位置关系(完成下表)
α∥β 无公共点
5.过平面外一点,可作这个平面的平行线的条数是( ) A.1条B.2条 C.无数条D.很多但有限 答案:C
6.如果直线a平行于平面α,则( ) A.平面α内有且只有一条直线与a平行 B.平面α内有无数条直线与a平行 C.平面α内不存在与a平行的直线 D.平面α内的任意直线与直线a都平行 答案:B
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8.简述结论,并画图说明. 直线a在平面α内,直线b与直线a相交,则直线b与平面α的位置
关系如何?
解:直线b与平面α的位置关系有两种:b
其中真命题的个数为( ) A.1B.2 C.3D.4 解析:仅②为真命题. 答案:A
12.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E､F分别为棱AA1､CC1的 中点,则在空间中与三条直线A1D1､EF､CD都相交的直线 ()
A.不存在B.有且只有两条 C.有且只有三条D.有无数条 解析:过直线A1D1可做无数个平面与直线EF、CD相交,则其
①直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥α;
②若直线a在平面α外,则a∥α;
③若直线a∥b,直线b α,则a∥α;
④若直线a∥b,b 平面α,那么直线a就平行于平面α内的无数 条直线.
A.1
B.2
C.3
D.4
答案:A
解析:对于①,∵直线l虽与平面α内无数条直线平行,但l有可能 在平面α内(若改为平面α外的直线l与α内无数条直线都平 行,则必有l∥α),∴①是假命题.对于②,∵直线a在平面α外,包 括两种情况a∥α和a与α相交,∴a与α不一定平行,∴②为假 命题.对于③,∵a∥b,b α,只能说明a与b无公共点,但a可能 在平面α内,∴a不一定平行于平面α,∴③也是假命题.对于 ④,∵a∥b,b α.那么a α,或a∥α.∴a可以与平面α内的无 数条直线平行,∴④是真命题.综上,真命题的个数为1.
又∵ b,l .
∴b与平面α相交.
规律技巧:证明直线与平面相交的方法有:(1)反证法,即否定 直线在平面内,否定直线与平面平行,然后一一推出矛盾.(2) 证明直线与平面只有一个公共点.
变式训练3:如果一条直线经过平面内的一点,又经过平面外的 一点,则此直线和平面相交.
已知:a∩α=A,B∈a,B
变式训练1:完成下列作图. (1)在图中画出两个平行平面;
答案：
(2)在图中画出两个相交平面; 答案：
(3)在图中画出三个平行平面; 答案：
(4)在图中画出一个平面与两个平行平面相交; 答案：
(5)在图中分别画出三个两两相交的平面. 答案：
题型二 直线与平面间的位置关系
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2
时的一般情况,而忽略了特殊情况.当 0或 时, 这样的
直线只有一条.
2
正解:(1)
当(0,)时，这样的直线ｌ有两条;
2
(2)当0或时，这样的直线ｌ只有１条.
2
答案:C
基础强化
1.a∥b,且a与平面α相交,那么直线b与平面α的位置关系是( )
A.必相交
B.有可能平行
C.相交或平行
D.相交或在平面内
角,这样的直线l有( )
A.1条
B.2条
C.1条或2条 D.无数条
错解:因为BD∥B1D1,所以l与B1D1所成的角α,就是l与BD所成 的角.在平面A1C1内以P为顶点,底边在B1D1上作一个等腰 三角形,使底角为α,则两腰所在直线就与B1D1成等角,所以 这样的直线有两条.应选B.
答案:B
错因分析:错解中受定势思维的影响,只考虑了 ( 0 , )
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考要全面.
(2)平行平面具有传递性,即α∥β,β∥γ α∥γ.
(3)本节内容可以以长方体为模型,抽象出直线与平面,平面与 平面的位置关系.
题型一 空间图形的画法
例1:分别按下列条件画出直观图. (1)a∩b=P,a∥平面α,b∩平面α=A; (2)平面α∩平面β=l,a∩平面β=A,a∥平面α. 解:根据题设及平面图形直观图的画法,得直观图如下图所示.
规律技巧:解答本题关键在于两点:(1)弄清概念;(2)要有一定 的空间想象能力.
变式训练2:过平面外两点作该平面的平行平面,可以作( )
A.0个
B.1个
C.0个或1个 D.1个或2个
解析:当这两点的连线不与平面平行时,过这两点不存在与已 知平面平行的平面.当这两点的连线与已知平面平行时,能 作一个平面与已知平面平行,故选C.