巧解海伦公式

海伦公式

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海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王希伦（Heron,也称海龙）二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表（未查证)。

目录

1原理简介

2证明过程

证明⑴

证明⑵

证明⑶

证明⑷

3推广

4应用

证明

推广

5例题

1原理简介

中国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。

假设在平面内，有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：

而公式里的p为半周长（周长的一半）：

注1："Metrica"(《论》）手抄本中用s作为半周长，所以

和

两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。

由于任何n边的多边形都可以分割成（n-2）个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式，但需要先知道分割用的对角线的长度。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。

2证明过程

证明⑴

与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》）中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为下述推导[1]

cosC = (a^2+b^2-c^2）/2ab

S=1/2*ab*sinC

=1/2*ab*√（1-cos^2 C)

=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2）^2/4a^2*b^2]

=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2）^2]

=1/4*√[（2ab+a^2+b^2-c^2）（2ab-a^2-b^2+c^2）]

=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]

=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]

设p=(a+b+c)/2

则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,

上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]

=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

证明⑵

中国宋代的数学家秦九韶在1247年也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是三角形，要找出它来并非易事。

所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，中国著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”。

秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除，所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。

所谓“实”、“隅”指的是，在方程px 2=q,p为“隅”，q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以

q=1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2）/2 ]^2}

当P=1时，△ 2=q,

△=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2）/2 ]^2}

因式分解得

△ ^2=1/4[4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2）^2]

=1/4[(c+a) ^2-b ^2][b^ 2-(c-a)^ 2]

=1/4(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)

=1/4(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)

=1/4[2p（2p-2a）（2p-2b）（2p-2c)]

=p(p-a)(p-b)(p-c)

由此可得：

S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

其中p=1/2(a+b+c)

这与海伦公式完全一致，所以这一公式也被称为“海伦－秦九韶公式”。

S=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2）/2 ]^2} .其中c>b>a.

根据海伦公式，我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题：

已知四边形ABCD为圆的内接四边形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四边形ABCD 的面积

这里用海伦公式的推广

S圆内接四边形= 根号下（p-a)(p-b)(p-c)(p-d) （其中p为周长一半，a,b,c,d，为4边）

代入解得s=8√ 3

证明⑶

在△ABC中∠A、∠B、∠C对应边a、b、c

O为其内切圆圆心，r为其内切圆半径，p为其半周长

有tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1

r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2）=r

∵r=(p-a)tanA/2=(p-b)tanB/2=(p-c)tanC/2

∴ r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2）

=[(p-a)+(p-b)+(p-c)]tanA/2tanB/2tanC/2

=ptanA/2tanB/2tanC/2

=r

∴p^2r^2tanA/2tanB/2tanC/2=pr^3

∴S^2=p^2r^2=(pr^3）/(tanA/2tanB/2tanC/2）

=p(p-a)(p-b)(p-c)

∴S=√p(p-a)(p-b)(p-c)

证明⑷

通过使用正弦定理和余弦定理的结合证明（具体可以参考证明方法1）

3推广

关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：

设△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，ha为a边上的高，R、r

分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，p = (a+b+c)/2，则

S△ABC

=1/2 aha

=1/2 ab×sinC

= r p

= 2R^2sinAsinBsinC

= √[p(p-a)(p-b)(p-c)]

其中，S△ABC =√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：

设△abc中，a、b、c分别为角a、b、c的对边，ha为a边上的高，r、r

分别为△abc外接圆、内切圆的半径，p = (a+b+c），则

s△abc = aha= ab×sinc = r p

= 2r2sinasinbsinc =

=

其中，s△abc = 就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。

海伦公式在解题中有十分重要的应用。

一、海伦公式的变形