数列中不定方程的整数解的求解策略

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— —２ 数学通讯 — 上半月 ） ０ １ ４ 年第 ７、 ８期（ · 辅教导学 ·
小， 从而求出这个未知量 的 整 数 解 ， 再进一步求出 其他未知量的整数解 ． 例 １ （ ａ ０ ９ 年苏北四市调研 ）已知 数 列 ｛ ２ ０ ｎ｝
｛ 是公差不为零的等差数列 ， ａ Ｓ ｎ｝ ｎ 为其前ｎ 项和 ，
０ ０ ０ １ １ ｐ ＋２ １ １· １ １， ｑ＋２ 即 数， 得ｋ＋２ ＝ ｋ ｐ ｑ ２ ０ ０ ０ ２ ０ １ １ １ １ ２ １ １ ２ １ １×２ ０ １ １， １＋ ＝ １＋ ＋ ＋ ｋ ｐ ｑ ｐ ×ｑ （ ） ０ １ １ 整理得ｑ ＝ ｋ ｐ ＋２ ． ｐ －ｋ ） （ 取 ｐ ＝ｋ＋１， 则ｑ ＝ｋ（ 也可以取ｐ ｋ＋２ ０ １ ２
３ ｃ ｓ ０ ＜θ ＜ ｏ ｓ ｉ ｎ 槡 θ＝５ θ（
３， ２ ２ 槡 与ｃ 所 ｉ ｏ ｓ ｎ ｎ ｉ θ＋ｓ θ ＝ １ 联立解得 ｓ θ＝ ２ ７ 槡 ２ １， 槡 选（ 以ｘ ＝ １ ＝ ２ Ｄ） ． ｓ ｉ ３ ｎ θ 解析２ 利用间接方法 ． 已知 Ｌ Ｌ １、 ３ 间距离等 ３槡 ７ 排除 必有 Ａ 于 ３， Ａ ∈Ｌ Ｃ ∈Ｌ Ｃ ＞３， １， ３， ＜３， ４ （ Ｃ） ． １ ，Ａ 分析 （ Ｂ ３， ｓ ｉ Ｂ ｎ Ｄ ＝ Ａ） ＝２ ＝ ∠Ａ 槡 Ａ Ｂ ３， ３ ３ ３， ２ 槡 槡 Ｂ Ｂ ｃ ｏ ｓ ｉ ｓ Ｄ＝ 槡 ； ｎ∠Ｃ Ｄ＝ ＝ ∠Ａ ６ ６
ａｍ＋１ 为数列 ｍ （ ）试求所有的正整数 ｍ， 使得ａ ２ ａ ｍ＋ ２
｛ 中的项 ． ａ ｎ｝ ） 的通项公式为ａ 解 （ 数列 ｛ ａ ｎ－７， １ ｎ｝ ｎ ＝２
２ 前 ｎ 项和为Ｓｎ ＝ ｎ ｎ． －６
） （ ） ａｍ＋１ （ ２ ｍ －７ ｍ －５ ２ ｍ （ ） ， 解法１ ａ 设 ２ ＝ ２ ａ ｍ －３ ｍ＋ ２ （ ） （ ） ａａ ， 则 ｍ ｍ＋１ ＝ ｔ－４ ｔ－２ ＝ｔ＋ ８ － ｍ －３＝ｔ ２ ａ ｔ ｔ ｍ＋ ２ （ 所以ｔ为８的约数 ． 又因为ｔ＝２ ｍ －３ ｍ ∈ Ｎ＊ ） ６， 为奇数 ， 故ｔ 可取的值为 ±１． ８ 当ｔ ＝ １ 时 ， ２×５－７ ｍ ＝ ２， ｔ＋ －６ ＝ ３， ｔ ＝ ３ 是数列中的第 ５ 项 ； ８ 由数 当ｔ ＝－１ 时 ， ｍ ＝ １， ｔ＋ －６ ＝－１ ５， ｔ 的通项公式为 ａ 知数列中的最 列｛ ａ ｎ－７， ｎ｝ ｎ ＝２ ， 小项为 －５ 不符合 ． （ ） （ ） ａａ ａ ａ ４ ｍ＋ ２ －２ 解 法 ２ 因为 ｍ ｍ＋１ ＝ ｍ＋２ － ａ ａ ｍ＋ ２ ｍ＋ ２ ８ 为数列 ｛ ｝ 故 ８ 为整 ａ ６＋ ＝ａ ｍ＋ ｎ 中的项 ， ２－ ａ ａ ｍ＋ ２ ｍ＋ ２ （ ） ）知 ： 数， 又由 （ ａ ｍ ＋２ ｍ －３ 为 １ －７ ＝ ２ ｍ＋ ２ ＝２ 奇数 ， 所以 ａ 即 ｍ ＝ １， ｍ －３ ＝±１， ２． ｍ＋ ２ ＝２ 经检验 ， 符合题意的正整数只有 ｍ ＝ ２． 评析 将方程中的一个未知量用含另一个未 知量的代数式表示 ， 分离 出 整 数 部 分 ， 可利用整除 的性质求其整数解 ． 例 ３ 已 知 数 列 ｛ ｃ ｎ｝ 的 通 项 公 式 ｃ ｎ ＝
２
ｎ ， 是否存在 ｐ， 对于任意给定的正整数ｋ， ｑ ０ ｎ ＋２ １ １ ＊ 若存在 ， 只 求出 ｐ， ｃ ｑ 的值 （ ｋ ＝ｃ ∈ Ｎ 使得ｃ ｐ· ｑ？
； 要求写出一组即可 ） 若不存在 ， 请说明理由 ． 则 解 假Fra Baidu bibliotek设 存 在 ｐ， ｃ ｑ，满 足 ｃ ｋ ＝ｃ ｐ· ｑ，
ｋ ｐ ｑ ， · 两边同时取倒 ＝ ０ ０ ０ ｋ ＋２ １ １ ｐ ＋２ １ １ ｑ ＋２ １ １
ｎ ＝ ６ ｎ＋３
１ １ ，故 ＜ ３ ６ ６＋ ｎ
ｍ２ １ 即 从而 ２ ｍ２ －４ ｍ －１ ＜ ０， ＜ ， ４ ｍ ＋４ ｍ ＋１ ６
２
６ ６ 以下同解法 ） 槡 槡 １ １． ＋ （ － ＜ ｍ ＜１ ２ ２
ｎ ， 得 解法 ３ 由 ２ ｍ ＝ ｎ＋３ ４ ｍ ＋４ ｍ ＋１ ６
丁称兴
（ ） 江苏省溧水高级中学 ， ２ １ １ ２ ０ ０
数列既 是 高 中 数 学 学 科 知 识 的 主 干 内 容 ， 又 是进一步学习 高 等 数 学 的 基 础 ， 历来是高考重点 考查的内容之 一 ． 高考关于数列的命题大致可分 （ ）考 查 数 列 本 身 的 有 关 知 识 ， 为 ２ 种类型 ： 如等 １ 差数列与等比数列的概念 、 性 质、 通项公式和数列 （ ）考 查 数 列 与 其 他 知 的求和公式 、 递 推 关 系 等； ２ 识交汇的问题 ， 如数列与 函 数 、 方 程、 不 等 式、 几何 等的结合及数 列 的 实 际 应 用 等 ． 纵观江苏近几年 的数学高考数列题 ， 尽管 题 型 有 变 化 ， 但从数列基 础知识入手 ， 注重对数列 知 识 的 理 解 和 应 用 ， 注重 对数学思想 、 方法和能力 的 考 查 没 有 变 ， 这也充分
的通项 公 式 为 ａ ｎ ＝ １， ｍ ， 解 由题意得 ： ａ ａ ａ １ ＝ ｍ ＝ ｎ ＝ ３ ２ ｍ ＋１
２ ｎ ， 若ａ 则（ ｍ ） ＝ ａ ａ １， ｍ， ｎ 成 等 比 数 列， ２ ｎ＋１ ２ ｍ ＋１ ２ １ ｎ ， ｎ 即 ２ ｍ ． ＝ × ３ ２ ｎ＋１ ４ ｎ＋３ ｍ ＋４ ｍ ＋１ ６
４ ｍ２ ＋４ ｍ ＋１ ６ ｎ＋３， ＝ ｎ ｍ２ １ ３ ４ 化简得 ： ＋ ＝ ２＋ ， ｍ ｍ２ ｎ 当 ｍ ＝２时， ｎ ＝１ ２； １ ３ 而２＋ ３ 易知 ４ ＋ １ 当 ｍ ≥３时 ， ＜２， ≤ ｍ ｍ２ ９ ｎ 所以 ｍ ≥ ３ 时 ， 不存在符合条件的 ｍ， ｎ． ＞ ２， 所以 ｍ ＝ ２， ２． ｎ ＝１ 评析 本题充分将条件进行等价变形， 利用等 式一边的取值范围， 得到另一边的范围， 从而建立不 等关系， 缩小未知量的取值范围， 求得整数解． 运用整数的整除性 ， 分离整数 ２． 例 ２ （ ０ ９ 年江苏高 考 卷 第 １ ２ ０ ７ 题 ）设 数 列
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） ０ ｋ， ｋ＋２ １ １ ． ＝２ ｑ ＝２ ） 评注 （ 要探究 需要先将 ｐ １ ｐ， ｑ 的存在性 ， （ ） 或ｑ表示出来 ； 本题中ｋ 是给定的 ， 作为已知常 ２ 数， 而不能理解为关于 ｋ 的恒等式 ． 借用整数的奇偶性 ， 分类考虑 ３． ， ｛ 的通项公式分别是 例４ 已知数列 ｛ ａ ｂ ｎ｝ ｎ｝
Ａ Ｂ
３
６ （ ｉ ｃ ｏ Ｂ Ｂ Ｂ ｓ ｉ ｓ Ｄ ＝ 槡． ｎ Ｃ ＝ｓ ｎ Ｄ＋ ∠Ｃ ∠Ａ ∠Ａ ３ ２ １ １ 槡 ３， ＋槡 ， Ｂ Ｂ ０ Ｄ ）＝ … ＝ 槡 Ｃ ≠６ ° ∠Ｃ ∠Ａ ≠ ６ ２ ； 排除 （ Ａ） 同理排除 （ 于是选 （ Ｂ） ． Ｄ） ．
数列中不定方程的整数解的求解策略
体现了数 学 高 考 “ 以 能 力 立 意 ”的 指 导 思 想 ． 如 ０ ８年高考江苏卷第 １ ０ ０ ９年高考江苏卷第 ２ ２ ０ ９题 、 综合运用数列与不定方 １ ７ 题都 是 以 数 列 为 载 体 ， 程知识解决问 题 ， 使数列与不定方程的整数解问 题成为高考命 题 的 一 个 新 热 点 ． 这类问题同时对 学生的思维能 力 与 探 究 能 力 有 较 高 的 要 求 ， 带有 很大的区分度 ， 因此在近年来的各省市高考模拟 卷中屡见不鲜 ． 本文将从以下几个方面浅谈与数 列有关的不定方程的整数解的求解策略 ． 妙用不等关系 ， 缩小范围 １． 可根据条件将其中 一 个 未 知 量 的 范 围 进 行 缩
２ ２ ２ ２ 满足 ａ Ｓ ． ７ ＝７ ２ ＋ａ ３ ＝ａ ４ ＋ａ ５， （ ） ｝ ｛ 求数列 的通项公式及前 ａ ｎ 项和Ｓｎ ； １ ｎ
ｎ ， 是 否 存 在 正 整 数 ｍ， ２ ｎ＋１ ， 使得ａ 若存 １ ＜ ｍ ＜ ｎ） ｎ（ ａ ａ １， ｍ， ｎ 成 等 比 数 列？ 若不存在 ， 在， 求出所有的 ｍ， 请说明理由 ． ｎ 的值 ；
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ｓ ｉ ｎ ＝２ θ ３ １ 槡 ｉ ｃ ｏ ｓ ｓ ｎ ｉ ｎ θ－ ｓ θ＝２ θ ２ ２ π） ， ３
总结 高考中的数学选择题一般是容易题或 中档题 ， 求解高考选择题 ， 既 １ 至 ２ 道属于较难题 ． 要用到各类常 规 题 的 解 题 思 想 ， 也要注意选择题 的特殊性 ， 数学选择题的四个选择支中有且仅有 一个是正确的 ， 解题突出一个 “ 选 ”字 ， 同学们要善 于利用直接法与间接法筛 选 答 案 ， 基本策略是“ 直 接法为主 ， 间 接 法 为 辅， 综合使用直接法和间接 法， 避免 小 题 大 作 浪 费 时 间 ” 如果选择题中含有 ． 特殊的信息 ， 如特殊数字 、 特 殊 方 程、 特 殊 函 数、 特 殊点 、 特殊位置 、 特殊 图 形 ， 或 含 有 其 它 重 要 信 息， 包括选项与条件 、 选项与 选 项 之 间 的 逻 辑 联 系 ， 能 够将正确选项 快 速 准 确 地 找 出 来 ， 此时使用间接 法是高效的 ． 然 而， 经 过 命 题 者 的 精 心 设 计， 一份 试卷的全部选 择 题 中 ， 能仅用间接法找到正确选 项的题目数量相对较少 ， 多数要用求解对照法（ 直 接法 ） 使用直接法时 ， 要 认 真 审 题， 探寻合理简明 ． 的求解途径 ， 防止“ 小 题 大 做” 面 对 一 道 选 择 题， ． 认真阅读审题 ， 包括分析 选 项 ， 第一念头是能用间 接法吗 ？ 如果不能用间接 法 快 速 解 决 ， 还是用直接 法或两者联用为好 ． ） （ 收稿日期 ： １ ４－０ ３－２ ０ ２ ０
ｎ 对任意的ｋ ∈ Ｎ＊ ， 在ｂ ａ ｎ， ｂ ｂ ｎ ＝２ ｎ ＝２ ， ｋ与 ｋ １ 之 ＋ ， ， 得到一个新数列 ｛ 间插入 ａ 试求满足等 ｃ ｋ 个２ ｎ｝ ｍ
综上所述 ， 满足条件的数列｛ ｎ ｋ ｝的 通 项 公 式
ｎ ｋ ＝
ｋ ３ －１． ２
评注 可以 看 出 ， 数列中的“ 整 解 ”问 题 ， 通 常围绕数列通 项 与 求 和 问 题 展 开 ， 常从等式两边 的符号 ， 奇偶性角度寻找 矛 盾 来 否 定 存 在 性 ， 再通 过构造等量关系来肯定存在性 ． 活用函数工具 ， 等价转换 ４． 关于数列的不定方 程 的 两 边 有 时 都 可 以 看 做 一个以某变量为主元的 函 数 ， 借 用 函 数 作 为 工 具， 分别研 究 这 两 个 函 数 的 性 质 ， 从而实现“ 方 程 ”到 “ 函数 ”的等价转换 ． ， ， 中ａ 例 ６ 数列 ｛ ａ ａ ｂ ｎ｝ １ ＝ａ ２ ＝ｂ ≠ ０ ｎ ＝ ｎ （ ） １＋ －１ ， ａ ａ ｂ １＋ｂ ｎ ｎ） ｎ＋ ｎ ２ ＝ （ １， ＋ ＋ ２ （ ）求数列 ｛ 的通项公式 ； １ ａ ｎ｝ （ ）当 ａ ＝ １， ａ ａ ａ ２ ２， ２ ４ ７， ９ 为某等差数列的第 １ ２ 且ａ 求ｍ 和 第ｋ＋７项 ， 项， 第ｋ项 ， ａ ２ ｍ－ ２ ｍ－ １ ＝ｍ ，
ｍ２ ｎ 解 法 １ 由 得， ＝ ２ ６ ｎ＋３ ４ ｍ ＋４ ｍ ＋１ ｍ２ ＋４ ｍ ＋１ ３ 两 边 同 时 取 倒 数， －２ 移项可 ＝ （ ｎ ｍ２
从而 所以 －２ 得） 因为 ３ ＞ ０， ｍ２ ＋４ ｍ ＋１ ＞ ０， ． ｎ ６ ６ 又 槡 且 ｍ ＞１， 所以 ｍ １－ 槡 ＜ ｍ ＜１ ｍ ∈ Ｎ， ＋ ， ２ ２ 此时 ｎ ＝ １ ２． ＝ ２， 故可 知 ： 当 且 仅 当 ｍ ＝ ２， ｎ ＝１ ２可使数列 ｛ 中的 ａ ａ ａ ａ ｎ｝ １， ｍ， ｎ 成等比数列 ． 解 法 ２ 因 为