2010年 陕西省高考数学试卷(理科)
2010年陕西高考数学_理科_试题评析
具体应用；函数值不等式的证明，构造新
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2010 年 陕西高考数学（理科）试题评析 ■文/刘大鸣
2010 年 是 陕 西 高 考 新 课 改 的 第 一 年 ，面 对 清 新 、鲜 活 的 高 考 数 学 试 题 ，比 照 2006 至 2009 年 陕 西 自 主 命
｝ 制 的 高 考 试 题 ： 试 题 立 意 朴 实 又 不 失 新 颖 ， 选 材 寓 于 教 材 而 又 高 于 教 材 ， 很 好 地 考 查 了 考 生 学 习 所 必 需 的 数 学
（19） 题在情景设置上更贴近现实生活。 中学主干知识的考查，涉及内容均是高
如解答题中数列的前移，回避了以往考 中数学的重点知识，运用的解题方法均
查递推数列的热点，降低难度，并安排在 是最根本最基础的方法，这也与未来大
解答题的首位，改变了“数列与不等式证 明作为压卷题”的陕西 4 年命题的“不动 点””，三角不变，概率统计和立体几何的
的前 8 个题，填空的前 3 个题等，应该说 说明的界定。传统知识的设计也作了一 通常将几个关联的知识点糅合起来进行
考查的也是我们高中数学最重要、最基 定的调整，在保证主干的同时，尽量覆盖 考查，凸现了新增内容命题的网络化。如
本的核心内容，考查的是数学本质的东 常用的数学知识与方法。
程序框图与统计相结合的第 6 题，三视
当，大部分试题趋于稳定，同时又在稳定 法，函数最值和不等式的证明的有机结 尚且如此，在传统知识的设计上也毫不
2010年普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解陕西理
2010年陕西理一、选择题（共10小题；共50分）1. 集合A=x∣−1≤x≤2，B=x∣x<1，则A∩∁R B= A. x∣x>1B. x∣x≥1C. x∣1<x≤2D. x∣1≤x≤22. 复数z=i1+i在复平面上对应的点位于 A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 对于函数f x=2sin x cos x，下列选项中正确的是 A. f x在π4,π2上是递增的 B. f x的图象关于原点对称C. f x的最小正周期为2πD. f x的最大值为24. x+ax 5x∈R展开式中x3的系数为10，则实数a等于 A. −1B. 12C. 1D. 25. 已知函数f x=2x+1,x<1x2+ax,x≥1，若f f0=4a，则实数a等于 A. 12B. 45C. 2D. 96. 如图所示是求样本x1，x2，⋯，x10平均数x的程序框图，图中空白框中应填入的内容为 A. S=S+x nB. S=S+x nn C. S=S+n D. S=S+1n7. 若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A. 13B. 23C. 1D. 28. 已知抛物线y2=2px p>0的准线与圆x2+y2−6x−7=0相切，则p的值为 A. 12B. 1C. 2D. 49. 对于数列a n，" a n+1>∣a n∣n=1,2,⋯ "是" a n为递增数列"的 A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件10. 某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=x （x表示不大于x的最大整数）可以表示为 A. y=x10B. y=x+310C. y=x+410D. y=x+510二、填空题（共7小题；共35分）11. 已知向量a=2,−1，b=−1,m，c=−1,2，若 a+b∥c，则m=．12. 观察下列等式：13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102,⋯,根据上述规律，第五个等式为．13. 从如图所示的长方形区域内任取一个点M x,y，则点M取自阴影部分的概率为．14. 铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：a b 万吨c 百万元A50%13B70%0.56某冶炼厂至少要生产1.9（万吨）铁，若要求CO2的排放量不超过2（万吨），则购买铁矿石的最少费用为（百万元）．15. 不等式∣x+3∣−∣x−2∣≥3的解集为．16. 如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3 cm，4 cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BDDA=．17. 已知圆C的参数方程为x=cosα,y=1+sinα,（α为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ=1，则直线l与圆C的交点的直角坐标为．三、解答题（共6小题；共78分）18. 已知a n是公差不为零的等差数列，a1=1且a1，a3，a9成等比数列．（1）求数列a n的通项公式；（2）求数列2a n的前n项和S n．19. 如图，A、B是海面上位于东西方向相距53+3海里的两个观测点，现位于A点北偏东45∘，B点北偏西60∘的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60∘且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里 / 小时，该救援船到达D点需要多长时间?20. 如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，BC=22，E，F分别是AD，PC的中点．（1）证明：PC⊥平面BEF；（2）求平面BEF与平面BAP夹角的大小．21. 为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：（1）估计该校男生的人数；（2）估计该校学生身高在170∼185 cm之间的概率；（3）从样本中身高在165∼180 cm之间的女生中任选2人，求至少有1人身高在170∼180 cm之间的概率．22. 如图，椭圆C:x2a2+y2b2=1的顶点为A1，A2，B1，B2，焦点为F1，F2，∣A1B1∣=7，S平行四边形A1B1A2B2=2S平行四边形B1F1B2F2．（1）求椭圆C的方程；（2）设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A，B两点的直线，∣∣OP∣∣=1，是否存在上述直线l使AP⋅PB=1成立?若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．23. 已知函数f x=x，g x=a ln x，a∈R．（1）若曲线y=f x与曲线y=g x相交，且在交点处有共同的切线，求a的值和该切线方程；（2）设函数 x=f x−g x，当 x存在最小值时，求其最小值φa的解析式；（3）对（2）中的φa和任意的a>0,b>0，证明：φʹa+b2≤φʹa+φʹb2≤φʹ2aba+b．答案第一部分1. D2. A 【解析】提示：i1+i =i1−i1+i1−i=12+12i．3. B4. D 【解析】T r+1=C5r x5−r ax r=a r C5r x5−2r，由5−2r=3，得r=1，从而a C51=10，解得a=2．5. C【解析】f0=2，f f0=f2=4+2a=4a，解得a=2．6. A7. C 【解析】该空间几何体为直三棱柱，其中高为1、角三角形．8. C 【解析】抛物线y2=2px p>0的准线方程为x=−p2，因为该准线与圆x−32+y2=16相切，所以3+p2=4，解得p=2．9. B 【解析】由a n+1>∣a n∣n=1,2,⋯，知a n从第二项起均为正项，且a1<a2<⋅⋅⋅<a n<a n+1<⋅⋅⋅，即a n为递增数列；反之，a n为递增数列，不一定有a n+1>∣a n∣n=1,2,⋯，如−2，−1，0，1，2，⋯．10. B【解析】法一：特殊取值法，若x=56，y=5，排除C、D，若x=57，y=6，排除A，所以选B法二：设x=10m+α0≤α≤9，0≤α≤6时,x+310= m+α+310=m=x10,当6<α≤9时,x+310= m+α+310=m+1=x10+1，所以选B第二部分11. −1【解析】因为a=2,−1，b=−1,m，所以a+b=1,m−1，由 a+b∣∣c得1−1=m−12，所以m=−1．12. 13+23+33+43+53+63=212【解析】第i个等式左边为1到i+1的立方和，右边为1+2+⋯+i+1的结果的平方，所以第五个等式为13+23+33+43+53+63=212．13. 13【解析】长方形区域的面积为3，阴影部分的面积为103x2d x=1，所以点M取自阴影部分的概率为13．14. 15【解析】设购买铁矿石A和B各x,y万吨，则购买铁矿石的费用z=3x+6y，x,y满足约束条件0.5x+0.7y≥1.9,x+0.5y≤2,x≥0,y≥0.其所表示平面区域如图所示：则当直线z=3x+6y过点B1,2时，购买铁矿石的费用最少，最少费用z=15（百万元）．15. x∣x≥1【解析】分成x≥2，−3<x<2，x≤−3三种情况去讨论．16. 16917. −1,1，1,1第三部分18. （1）由题设知公差d≠0，由a1=1，且a1，a3，a9成等比数列，得1+2d1=1+8d1+2d，解得d=1,d=0舍去,故a n的通项a n=1+n−1×1=n.（2）由1知2a n=2n，由等比数列前n项和公式，得S n=2+22+23+⋯+2n=21−2n=2n+1−2.19. 由题意知AB=53+3,∠DBA=90∘−60∘=30∘,∠DAB=45∘,所以∠ADB=180∘−45∘+30∘=105∘.在△DAB中，由正弦定理得DB sin∠DAB =AB sin∠ADB,于是DB=AB⋅sin∠DABsin∠ADB=53+3⋅sin45∘sin105∘=53+3⋅sin45∘∘∘∘∘=331+32=103,又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30∘+90∘−60∘=60∘,在△DBC中，由余弦定理得CD=BD+BC−2BD⋅BC⋅cos∠DBC=300+1200−2×103×203×1=30,则需要的时间为t=3030=1．故救援船到达D点需要1小时．20. （1）证法一：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．∵AP=AB=2，BC=AD=22，四边形ABCD是矩形，∴A，B，C，D，P的坐标为A0,0,0，B2,0,0，C 2,22,0，D 0,22,0，P0,0,2．又E，F分别是AD，PC的中点，∴E 0,2,0，F 1,2,1，所以PC=2,22,−2,BF= −1,2,1,EF=1,0,1,所以PC⋅BF=−2+4−2=0,PC⋅EF=2+0−2=0,所以PC⊥BF,PC⊥EF,所以PC⊥BF,PC⊥EF,BF∩EF=F,所以PC⊥平面BEF．证法二：如图，连接PE，EC，在Rt△PAE和Rt△CDE中，PA=AB=CD，AE=DE，∴PE=CE，即△PEC是等腰三角形．又F是PC的中点，∴EF⊥PC，又BP= AP2+AB2=22=BC，F是PC的中点，∴BF⊥PC，又BF∩EF=F∴PC⊥平面BEF．（2）解法一：由（1）知平面BEF的法向量n1=PC=2,22,−2,平面BAP的法向量n2=AD=0,22,0,∴n1⋅n2=8，设平面BEF与平面BAP的夹角为θ，则cosθ=∣cos⟨n1,n2 ⟩∣=∣n1⋅n2∣∣n1∣∣n2∣=4×22=2,∴θ=45∘，∴平面BEF与平面BAP的夹角为45∘．解法二：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又ABCD是矩形，∴AB⊥BC，∴BC⊥平面BAP，BC⊥PB，又由（1）知，PC⊥平面BEF，∴直线PC与BC的夹角即为平面BEF与平面BAP的夹角，在△PBC中，PB=BC，∠PBC=90∘，∠PCB=45∘，所以平面BEF与平面BAP的夹角为45∘．21. （1）样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400人．（2）由统计图知，样本中身高在170∼185 cm之间的学生有14+13+4+3+1=35人，样本容量为70，所以样本中学生身高在170∼185 cm之间的概率P=3570=0.5．（3）样本中女生身高在165∼180 cm之间的人数为10，身高在170∼180 cm之间的人数为4，设A表示事件"从样本中身高在165∼180 cm之间的女生中任取2人，至少有1人身高在170∼180 cm之间"，则P A=1−C62C102=23 或 P A=C61×C41+C42C102=23.22. （1）由∣A1B1∣=7，知a2+b2=7, ⋯⋯①由S平行四边形A1B1A2B2=2S平行四边形B1F1B2F2，知a=2c, ⋯⋯②又b2=a2−c2, ⋯⋯③由①②③解得a2=4,b2=3，故椭圆C的方程为x2+y2=1.（2）设A，B两点的坐标分别为x1,y1,x2,y2，假设使AP⋅PB=1成立的直线l存在，（ⅰ）当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m，由l与n垂直相交于P点且∣∣OP∣∣=1，得∣m∣1+k2=1即m2=k2+1.因为AP⋅PB=1，∣∣OP∣∣=1，所以OA⋅OB= OP+PA⋅ OP+PB=OP2+OP⋅PB+PA⋅OP+PA⋅PB=1+0+0−1=0即x1x2+y1y2=0将y=kx+m代入椭圆方程，得3+4k2x2+8kmx+4m2−12=0由求根公式可得x1+x2=−8km2, ⋯⋯④且0=x1x2+y1y2=x1x2+kx1+m kx2+m=x1x2+k2x1x2+km x1+x2+m2=1+k2x1x2+km x1+x2+m2将④⑤代入上式并化简得1+k24m2−12−8k2m2+m23+4k2=0 ⋯⋯⑥将m2=1+k2代入⑥并化简得−5k2+1=0，矛盾．即此时直线l不存在．（ⅱ）当l垂直于x轴时，满足∣OP∣=1的直线l的方程为x=1或x=−1，当x=1时，A，B，P的坐标分别为1,32,1,−32,1,0，所以AP=0,−32,PB=0,−32，所以AP⋅PB=94≠1．当x=−1时，同理可得AP⋅PB≠1，矛盾．即此时直线l也不存在．综上可知，使AP⋅PB=1成立的直线l不存在．23. （1）由题意得fʹx=2x gʹx=ax>0,由已知得x=a ln x,2x =a,解得a=e,x=e2,所以两条直线交点的坐标为e2,e，切线的斜率为k=fʹe2=12e，所以切线的方程为y−e=12ex−e2，即x−2e y+e2=0．（2）由条件知x=x−a ln x x>0,所以ʹx=2x −ax=x−2a2x.（i）当a>0时，令 ʹx=0，解得x=4a2，所以当0<x<4a2时， ʹx<0， x在0,4a2上递减；当x>4a2时， ʹx>0， x在4a2,+∞上递增．所以x=4a2是 x在0,+∞上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是 x的最小值点．所以最小值φa= 4a2=2a−a ln4a2=2a1−ln2a;（ii）当a≤0时， ʹx=x−2a2x>0， x在0,+∞上递增，无最小值，故 x的最小值φa的解析式为φa=2a1−ln2a a>0．（3）由（2）知φʹa=−2ln2a.对任意的a>0,b>0，有φʹa+φʹb2=−2ln2a+2ln2b2=−ln4ab, ⋯⋯①当且仅当a=b时等号成立．φʹ2aba+b=−2ln2⋅2aba+b≥−4ab2ab=−ln4ab, ⋯⋯③当且仅当a=b时等号成立．故由①②③得φʹa+b2≤φʹa+φʹb2≤φʹ2aba+b.。
2010年陕西省高考数学试卷及解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1. 复数A. B. 1 C. D.2. 设集合，则集合M，N的关系为A. B. C. D.3. 执行如图所示的程序框图，则输出的n的值为A.5B.6C.7D.84. 已知圆上两点M、N关于直线2x+y=0对称，则圆的半径为A．9 B．3 C．2 D．25. 一空间几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图为6. 设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最大值为A.1B.4C.5D.67. 在等比数列中，，，则A．64 B．32 C．16 D．1288. 为了解疾病A是否与性别有关，在一医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：患疾病A 不患疾病A 合计男 20 5 25女 10 15 25合计 30 20 50请计算出统计量，你有多大的把握认为疾病A与性别有关下面的临界值表供参考：0.05 0.010 0.005 0.0013.841 6.635 7.879 10.828A. B. C. D.9. 函数是A．最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数C. 最小正周期为的奇函数D. 最小正周期为的偶函数10. 设是空间两条直线， , 是空间两个平面，则下列选项中不正确的是A．当时，“ ”是“ ”的必要不充分条件B．当时，“ ”是“ ”的充分不必要条件C．当时，“ ”是“ ∥ ”成立的充要条件D．当时，“ ”是“ ”的充分不必要条件11. 函数的图象大致为A. B. C. D.12. 已知函数，若函数的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.13. 若向量，，，则实数.14. 已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为，点为坐标原点，则此双曲线的离心率为.15. 在中，，，，则.16. 对大于或等于的自然数的次方幂有如下分解方式：根据上述分解规律，若的分解中最小的数是73，则的值为.三、解答题：本大题共6小题，共74分.17. (本小题满分12分)设函数 (其中＞0)，且函数f(x)图象的两条相邻的对称轴间的距离为 .（1）求ω的值；（2）将函数的图象上各点横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在区间的最大值和最小值.18. (本小题满分12分)为了宣传今年10月在济南市举行的“第十届中国艺术节”，“十艺节”筹委会举办了“十艺节”知识有奖问答活动，随机对市民15～65岁的人群抽样n人，回答问题统计结果如下图表所示：（1）分别求出a，x的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，“十艺节”筹委会决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．19. (本小题满分12分)如图，斜三棱柱中，侧面底面ABC，底面ABC是边长为2的等边三角形，侧面是菱形，，E、F分别是、AB的中点．求证：（1）；（2）求三棱锥的体积.20. (本小题满分12分)已知数列的前项和为，且，数列满足，且 .（1）求数列 , 的通项公式；（2）设，求数列的前项和．21．(本小题满分13分)已知函数的图象如右图所示．（1）求函数的解析式；（2）若在其定义域内为增函数，求实数的取值范围．22. (本小题满分13分)已知点F1 和F2 是椭圆M: 的两个焦点，且椭圆M经过点 .（1）求椭圆M的方程；（2）过点P(0,2)的直线l和椭圆M交于A、B两点，且 ,求直线l的方程；（3）过点P(0,2)的直线和椭圆M交于A、B两点，点A关于y轴的对称点C，求证：直线CB必过y轴上的定点，并求出此定点坐标.2013年4月济南市高三巩固性训练文科数学参考答案1.D2.D3.C4.B5.A6.D7.A8. C9.B 10. A 11.B 12.C13. 14.2 15. 1或 16.917.解：（1）= . ………………………………3分∵函数f(x)图象的两条相邻的对称轴间的距离为，∴ . ………………………………5分∴ . ………………………………6分（2）由（1）得，∴ . ………………………………8分由x 可得，……………………………10分∴当，即x= 时，取得最大值 ;当，即x= 时，取得最小值. …………12分18. 解：（1）由频率表中第1组数据可知，第1组总人数为，再结合频率分布直方图可知. ………………………………2分∴a=100×0.020×10×0.9=18，………………………………4分, ………………………………6分（2）第2，3，4组中回答正确的共有54人．∴利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：人，第3组：人，第4组：人．………………………………8分设第2组的2人为、，第3组的3人为、、B3，第4组的1人为，则从6人中抽2人所有可能的结果有：，，，，，，，，，，，，，，，共15个基本事件，………………………………10分其中第2组至少有1人被抽中的有，，，，，，，，这9个基本事件．∴第2组至少有1人获得幸运奖的概率为. ………………………………12分19. 证明：（1）在平面内，作，O为垂足．因为，所以，即O为AC的中点，所以.……3分因而．因为侧面⊥底面ABC，交线为AC，，所以底面ABC．所以底面ABC. ……6分（2）F到平面的距离等于B点到平面距离BO的一半，而BO= . ……8分所以. ……12分20.解：（1）当，；…………………………1分当时，，∴ . ……………2分∴是等比数列，公比为2，首项，∴ . ………3分由，得是等差数列，公差为2. ……………………4分又首项，∴ . ………………………………6分（2）……………………8分……………10分．……………………………12分21.解：（1）∵，…………………………………………2分由图可知函数的图象过点，且 .得 , 即 . ………………………………………………4分∴ . ………………………………………………5分（2）∵ , ………………………………6分∴ . …………………………………………8分∵函数的定义域为, …………………………………………9分∴若函数在其定义域内为单调增函数，则函数在上恒成立，即在区间上恒成立. ……………………………10分即在区间上恒成立.令，，则（当且仅当时取等号）. …………………12分∴ . …………………………………………………………………………13分22.解：（1）由条件得：c= ，设椭圆的方程，将代入得，解得，所以椭圆方程为 . --------4分（2）斜率不存在时，不适合条件；----------------------5分设直线l的方程，点B(x1,y1), 点A(x2,y2),代入椭圆M的方程并整理得： .，得 .且 . -------------------7分因为 ,即，所以 .代入上式得，解得，所以所求直线l的方程： . --------------------9分（3）设过点P(0,2)的直线AB方程为：，点B(x1,y1), 点 A(x2,y2), C(-x2,y2).将直线AB方程代入椭圆M: ，并整理得：，，得 .且 .设直线CB的方程为：，令x=0得： .----------11分将代入上式得：.所以直线CB必过y轴上的定点，且此定点坐标为 . ---------12分当直线斜率不存在时，也满足过定点的条件。
2010年陕西省高考数学试卷(理科)答案与解析
2010年陕西省高考数学试卷(理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题,每小题5分，满分50分）1．（5分）（2010•陕西）集合A=｛x｜0≤x≤2｝，B=｛x｜x＜1｝，则A∩（∁R B）=（）A．｛x｜x≥1｝B．｛x|x＞1} C．{x｜1＜x≤2｝ D．{x｜1≤x≤2｝【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题．【分析】根据题意，由集合B结合补集的含义，可得集合∁R B，进而交集的含义，计算可得A∩（∁R B），即可得答案．【解答】解：根据题意，B=｛x｜x＜1}，则∁R B=｛x｜x≥1},又由集合A={x|0≤x≤2},则A∩（∁R B）=｛x|1≤x≤2}，故选D．【点评】本题考查集合的交集、补集的运算，解题的关键是理解集合的补集、交集的含义．2．（5分）（2010•陕西）复数z=在复平面上对应的点位于(）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】计算题．【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母根据平方差公式得到一个实数，分子进行复数的乘法运算，得到最简结果，写出对应的点的坐标,得到位置．【解答】解：∵z===+i，∴复数z在复平面上对应的点位于第一象限．故选A．【点评】本题考查复数的乘除运算，考查复数与复平面上的点的对应，是一个基础题，在解题过程中,注意复数是数形结合的典型工具．3．（5分）(2010•陕西）对于函数f（x)=2sinxcosx，下列选项中正确的是(）A．f(x）在（,）上是递增的B．f（x)的图象关于原点对称C．f（x）的最小正周期为2πD．f（x）的最大值为2【考点】二倍角的正弦．【分析】本题考查三角函数的性质，利用二倍角公式整理，再对它的性质进行考查，本题包括单调性、奇偶性、周期性和最值，这是经常出现的一种问题，从多个方面考查三角函数的性质和恒等变换．【解答】解：∵f(x）=2sinxcosx=sin2x，是周期为π的奇函数，对于A，f（x)在（，）上是递减的,A错误；对于B，f（x）是周期为π的奇函数，B正确；对于C，f（x）是周期为π，错误；对于D，f（x)=sin2x的最大值为1，错误；故选B．【点评】在三角函数中除了诱导公式和八个基本恒等式之外,还有两角和与差公式、倍角公式、半角公式、积化和差公式、和差化化积公式，此外，还有万能公式,在一般的求值或证明三角函数的题中，只要熟练的掌握以上公式，用一般常用的方法都能解决我们的问题．4．（5分)（2010•陕西）(x+）5（x∈R）展开式中x3的系数为10，则实数a等于（）A．﹣1 B．C．1 D．2【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题．【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为3,列出方程求出a 的值．【解答】解：∵T r+1=C5r•x5﹣r•（）r=a r C5r x5﹣2r，又令5﹣2r=3得r=1，∴由题设知C51•a1=10⇒a=2．故选D．【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决展开式的特定项问题．5．（5分）(2010•陕西）（陕西卷理5）已知函数f（x）=若f（f(0)）=4a，则实数a等于(）A．B．C．2 D．9【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【专题】常规题型．【分析】先求出f(0)=2,再令f(2)=4a，解方程4+2a=4a，得a值．【解答】解：由题知f(0）=2,f(2）=4+2a，由4+2a=4a,解得a=2．故选C．【点评】本题考查对分段函数概念的理解．6．（5分)（2010•陕西）如图是求样本x1,x2，…，x10平均数的程序框图，图中空白框中应填入的内容为(）A．S=S+x n B．S=S+C．S=S+n D．S=S+【考点】设计程序框图解决实际问题．【专题】操作型．【分析】由题目要求可知：该程序的作用是求样本x1,x2，…，x10平均数，循环体的功能是累加各样本的值，故应为：S=S+x n【解答】解：由题目要求可知:该程序的作用是求样本x1，x2，…,x10平均数,由于“输出”的前一步是“"，故循环体的功能是累加各样本的值，故应为：S=S+x n故选A【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点,应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是:不能准确理解流程图的含义而导致错误．7．（5分）（2010•陕西)若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2 B．1 C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】由题意可知图形的形状,求解即可．【解答】解:本题考查立体图形三视图及体积公式如图，该立体图形为直三棱柱所以其体积为．【点评】本题考查立体图形三视图及体积公式,是基础题．8．（5分)(2010•陕西）已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆x2+y2﹣6x﹣7=0相切，则p 的值为（）A．B．1 C．2 D．4【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】先表示出准线方程，然后根据抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆（x﹣3）2+y2=16相切,可以得到圆心到准线的距离等于半径从而得到p的值．【解答】解:抛物线y2=2px（p＞0)的准线方程为，因为抛物线y2=2px（p＞0)的准线与圆(x﹣3）2+y2=16相切，所以故选C【点评】本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系．9．（5分）（2010•陕西）对于数列{a n｝，“a n+1＞｜a n｜(n=1，2,…）"是“｛a n}为递增数列”的（)A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】数列的概念及简单表示法；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】压轴题．【分析】要考虑条件问题,需要从两个方面来考虑，由a n+1＞｜a n｜（n=1,2，）知{a n｝所有项均为正项，且a1＜a2＜…＜a n＜a n+1,这样前者可以推出后者，反过来，｛a n}为递增数列，不一定有a n+1＞|a n｜(n=1，2，)．【解答】解：由a n+1＞｜a n｜(n=1,2，）知{a n｝所有项均为正项，且a1＜a2＜…＜a n＜a n+1,即｛a n｝为递增数列反之，{a n}为递增数列,不一定有a n+1＞|a n｜（n=1,2，),如﹣2，﹣1，0，1，2，故选B【点评】有关数列的试题经常是综合题,经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列,求极限和数学归纳法综合在一起．本题是把数列同条件的判断结合在一起．10．（5分)（2010•陕西）某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=［x］（[x］表示不大于x的最大整数)可以表示为（）A．y=[]B．y=[]C．y=[]D．y=［]【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】压轴题．【分析】根据规定10推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增加一名代表，即余数分别为7，8，9时可以增选一名代表,也就是x要进一位,所以最小应该加3．进而得到解析式．代入特殊值56、57验证即可得到答案．【解答】解：根据规定10推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增加一名代表,即余数分别为7，8，9时可以增选一名代表，也就是x要进一位，所以最小应该加3．因此利用取整函数可表示为y=[]也可以用特殊取值法若x=56，y=5,排除C、D，若x=57，y=6,排除A；故选：B．【点评】本题主要考查给定条件求函数解析式的问题，这里主要是要读懂题意，再根据数学知识即可得到答案．对于选择题要会选择最恰当的方法．二、填空题(共5小题，每小题5分,满分25分）11．（5分）（2010•陕西)已知向量=（2，﹣1)，=（﹣1，m)，=(﹣1，2）,若（+）∥,则m=﹣1．【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示．【分析】先求出两个向量的和的坐标，再根据向量平行的充要条件写出关于m的等式，解方程得到要求的数值，注意公式不要用错公式．【解答】解：∵+=（1，m﹣1），∵（+）∥∴1×2﹣（m﹣1）×（﹣1)=0，所以m=﹣1故答案为：﹣1【点评】掌握两个向量共线、垂直的几何判断,会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题,能用坐标形式的充要条件解决求值问题．12．（5分）（2010•陕西）观察下列等式:13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102，…，根据上述规律，第五个等式为13+23+33+43+53+63=212．【考点】归纳推理．【专题】规律型．【分析】解答此类的方法是从特殊的前几个式子进行分析找出规律．观察前几个式子的变化规律，发现每一个等式左边为立方和，右边为平方的形式，且左边的底数在增加,右边的底数也在增加．从中找规律性即可．【解答】解:∵所给等式左边的底数依次分别为1，2；1，2，3；1，2,3，4；,右边的底数依次分别为3，6，10，（注意：这里3+3=6，6+4=10），∴由底数内在规律可知：第五个等式左边的底数为1，2，3，4，5，6，右边的底数为10+5+6=21．又左边为立方和，右边为平方的形式，故第五个等式为13+23+33+43+53+63=212．故答案为：13+23+33+43+53+63=212．【点评】所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理．它与演绎推理的思维进程不同．归纳推理的思维进程是从个别到一般，而演绎推理的思维进程不是从个别到一般，是一个必然地得出的思维进程．属于基础题．13．（5分）（2010•陕西)从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y），则点M取自阴影部分部分的概率为．【考点】定积分的简单应用．【专题】数形结合．【分析】本题利用几何概型概率．先利用定积分求出图中阴影部分部分的面积，再结合概率计算公式求出阴影部分部分面积与长方形区域的面积之比即可．【解答】解：长方形区域的面积为3，阴影部分部分的面积为=x3｜=1，所以点M取自阴影部分部分的概率为．故答案为：．【点评】本题考查的定积分的简单应用，解决本题的关键是熟练掌握定积分的几何意义及运算公式．简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．14．（5分）（2010•陕西)铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表a b(万吨）c（百万元）A 50% 1 3B 70% 0.5 6某冶炼厂至少要生产1。
2010年陕西高考数学试题总体评价(理工农医类)
2010年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）数学试题评析（理工农医类）试题总体评价陕西高考数学自主命题经历了4年的旧课程试题，积累一定的命题经验，彰显了陕西试题的特色与风格.2010年陕西高考数学试题处在新、旧(课程)高考的交替、继承和发展的阶段；纵观整卷试题，我们以为，它很好的把握了传统知识的继承点和新增知识起步点，从试卷试题设计、布局到相关技术处理，独有匠心；试题对数学思想方法的考查体现深刻，恰到好处.从新课程的实施到高考的平稳过渡，可以说，是一份很有特色的成功试题.新课程里的新增内容，框图、三视图、定积分与几何概率、合情推理、概率与统计，以及选做题里的三个试题的设计，完全吻合于陕西考试说明的界定.传统知识的设计也做了一定的调整，在保证主干的同时，尽量覆盖常用的数学知识与方法，特别是对数列解答题的设计，回避了以往考查递推数列的热点，降低难度，并安排在解答题的首位.一、在继承与创新中求发展1.传统在创新中继承例如理科第3题，三角函数f(x)=2sinxcosx的关系式简洁，一改过去复杂的三角化简变形，体现了新课程对传统内容的要求，该题的选项的设计仅仅围绕三角函数的基本问题——单调性、周期、最值和图像对称问题而命制，体现了三角的主干知识，是一道好题；再如理科第9题，将数列的单调性巧妙地与充要条件的判断结合，给学生一种时曾相识之感，虽载体陈旧，但考查能力的力度未减，第20题为解析几何试题，巧妙地将圆锥曲线基本量蕴含在面积关系中，第二问探索性问题的设计，一改过去结论总存在的模式，通过多参数的复杂运算，考查综合能力，拉开档次，是一道考查代数推理和运算真功夫的好试题.2.新点在平稳中闪光理科第6题的算法框图问题，将数求和的基本框图紧密地与算术平均值进行结合，不落俗套；理科的第13题将定积分与几何概率自然地融合在一起，图文并茂，虽是一道小题，但体现了数学中积分这个重要知识；第12题，体现了新教材要求的抽象概括能力，只要求考生写出第五个等式，学生容易观察出结论，事实上，此题是一个常用的公式的变相考察，没有考察难度较大的概括出一般结论的问题，而是只写出第五个等式(文科只写第四个)，一方面降低了难度要求，同时，更好地体现新课程的理念与课标中归纳推理的基本要求；第19题考查了直方图、折线图、分层抽样、概率和统计等问题，将读图、识图、用图结合在一起，以图算数，概率的计算仅考察基本算法，一改过去复杂的概率计算，但思维要求没有降低.3.应用中呈现新亮点新教材与旧教材的最大区别是知识问题引入，螺旋上升，不论是教材内容还是习题都花了较大篇幅，培养学生在解决实际问题中应用数学的能力.数学应用题成为新教材的一个亮点，自然也成为高考试题的一个亮点，今年明显地加大了考察力度；理科的第14题，考察了线性规划的应用问题，渗透了环保理念；理科的第10题学生代表选举问题，虽然含有点竞赛味道的高斯函数，但解答方法独特，只需取特殊值验证即可快速选出正确答案，在另一个层次上体现了数学的应用意识!第17题将三角测量、解三角形和营救的速度问题有机地结合在一起，计算量适中，是一道好题；在解答题里设计应用性试题，应当说是陕西试题的创新点所在，值得关注.4.图形里露出新视觉整卷的图形有9个之多，体现了新课程的特点，也是读图时代信息处理的需要.增强了应用意识的考查，将实际应用性问题设计在三角函数与航海救援和图形的交汇处理中，更好地体现图像的直观作用；函数图像、框图、三视图、统计图，立体直观图的点缀，增强了试卷的视觉效应，更可贵的是识图、读图、用图意识增强，对数学潜能的培养有良好作用.5.背景内彰显特色今年试题的背景植根于课本和往年考题，也有一些经典数学作为背景的亮点题，诸如联系高斯函数的第10题，结合正整数立方和公式的第12题，交汇算术平均值、几何平均值和调和平均值之间不等关系的理科压卷题，这凸现了数学试题的高度和深度，蕴含了命题人的数学功力，意在检查考生进入高校的发展潜力.总之，我们可以说，2010年陕西数学试题，既有利于高校新生的选拔，也有利于中学的教学，更有利于陕西课程改革的推进和发展.二、对今后高三数学备考的一些思考学习新课程省份高考数学试题，特别是阅读、思考、研讨陕西2010年新课程高考真题的命题风格，我想，我们是完全能把握好复课的风向标的.我们需要理清高考的知识清单，也就是：高考考什么，怎样考，考的怎么样？从知识板块看，必修1-5是文理科必考的内容，选修1-1,1-2是文科的必考内容；选修2-1,2-2,2-3是理科必考的内容.选修系列3不属于高考的内容.至于选修系列4，陕西2010考查不等式证明、几何选讲、坐标系和参数方程，我想，这会稳定几年的.1.关于高考考什么？高考考什么，是要明确考查哪些知识，考查哪些思想方法.怎样考，考的形式如何，是要弄清楚、搞明白考题的类型，考查的方式，命题的难度.1.1.以往的知识梳理集合，函数，导数，三角函数，向量，数列，不等式，概率，立体几何，解析几何.1.2.新增的知识梳理算法初步，常用逻辑用语，统计案例，框图，三视图，积分，推理与证明，几何概率.对于选修系列4，陕西高考的模板为：考查选修4-1几何证明选讲，4 -4坐标系和参数方程、4-5不等式证明.1.3.文理考查的区别对于文理科的数学高考，我们既要关注考查知识点的差异，难度的区别，更要特别关注考查的思想方法的区别.我们需要思考的问题是：传统的知识如何考查？是加强趋势还是削弱趋向？数列有解答题目吗？还那样需要强化数列的递推关系吗？新增内容的命题方向，2007年、2008年、2009年海南如何考查，有规律吗？陕西2010年考查的试题，其题目是比较简单、比较基本的，这需要我们多多揣摩今后的走向.一个需要在教学过程中，不断学习、持续揣摩的文件那就是：新课程全国高考数学大纲，特别做做与旧课程高考大纲的差异比较，也许是有积极意义的.1.4.高考考查的数学思想从考纲看，有7种数学思想方法：函数与方程的思想，数形结合的思想，分类与整合的思想，化归于转化的思想，特殊与一般的思想，有限与无限的思想，偶然与必然的思想.考查的通性通法：配方法，待定系数法，换元法、消去法.注重通法、淡化特技，这是高考复课过程里，需要特别注意的.2.关于教师教什么？教师教什么，怎样教，教的怎么样？这是我们教师需要反复思考我们以往的教学工作，特别是课堂教学的效率，也就是教学的有效性.2.1如何把数学的高考形态转化为课堂教学的教育形态？教透了，不给学生思考的空间，学生的思想会变化吗？学生能学透吗？变式教学，新旧知识的联系、联想，解题方法、解题思想的迁移、移动和对接.知识网络的形成，学生需要的是动动脑、动动手，看了又看，想了又想，做了又做，反思中琢磨和提高.激活高考的思维，点燃学生解题思维的火花，需要教师想点办法.新的课程理念如何变换为我们具体的教学行为呢？2.2如何在解题教学中关注通性通法2.2.1关于解题方法的认识对于中学阶段用于解答数学问题的方法，罗增儒先生将其分为三类：（1）具有创立学科功能的方法.如公理化方法，模型化方法，结构化方法，以及集合论方法、极限方法、坐标方法、向量方法等. 在具体的解题中，具有统帅全局的作用.（2）体现一般思维规律的方法. 如观察、试验、比较、分类、猜想、类比、联想、归纳、演绎、分析、综合等.在具体的解题中，有通理通法、适应面广的特征，常用于思路的发现与探求.（3）具体进行论证演算的方法.这又可以依其适应面分为两个层次，第一层次是适应面较宽的求解方法，如消元法、换元法、降次法、待定系数法、反证法、同一法、数学归纳法（即递推法）、坐标法、三角法、数形结合法、构造法、配方法，等等.第二层次是适应面较窄的求解技巧，如因式分解法以及因式分解里的“裂项法”、函数作图的“描点法”、以及三角函数作图的“五点法”、几何证明里的“截长补短法”、“补形法”、数列求和里的“裂项相消法”等.从上可以看出，一类是建立学科的统帅作用的方法，这在相应的教学过程中，教师的思维意识里，应当紧扣数学本质，依此为主线，整体把握，逐渐渗透和深化；另一类是对于探究解题思路通理通法的一般思维规律，这是解题分析、寻找解题思维程序、探求过程的通性通法；再一类就是实现解题思维过程里的推理、论证、运算的具体方法，有很强的操作性.2.2.2关于解题通性通法的思考我们知道，数学是关于数与形的科学，数与形的有机结合是数学解题的基本思想.数学是关于模式的科学，这反映了数学解题时，需要进行“模式识别”，需要建构标准的模型.往往遇到的问题是标准模型里的参数是需要待定的，这说明待定系数法属于解题的通性通法.数学是一种符号，引入符号可以将自然语言转换为符号语言，通过中间量的代换，就能将复杂问题简单化.数学解题就是一系列连续的化归与转化，将复杂问题简单化、陌生问题熟悉化，其消元、减少参变元的个数是常用的方法.在代数式的变形中，往往要分离出非负的量，配方技术是经常使用且很凑效的方法.看来，数形转换、待定系数、变量代换、消元、配方法等是中学数学解题的通性通法.把几何是直观推理、代数是有序推理、解题的通性通法与具体的题案结合起来，整体把握数学解题的通性通法，抓住通性通法的本质，科学有效地实施解题分析、解题思维链的形成、解题后的反思与优化，其目的在于通过有限道问题的训练来获得解答无限道问题的解题智慧.3. 学生学什么，怎样学，学的怎么样如何落实“听、说、读、写、算”，“听、看、议、做”并举，这是我们需要不断思考的课题，对学法指导教师需要下功夫研究，需要应用到自己的日常教育教学的行为中.请大家记住：“教得轻松，学得愉快，考的满意”，这是一节好课的标准，望大家为此而努力，为理解而教学，不断提升教与学的有效性.。
2010年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)(含解析版)
0.1，故没有发芽的种子数 ξ 服从二项分布，即 ξ～B（1000，0.1）．又没发芽的补种 2 个，故补 种的种子数记为 X=2ξ，根据二项分布的期望公式即可求出结果． 【解答】解：由题意可知播种了 1000 粒，没有发芽的种子数 ξ 服从二项分布，即 ξ～B（1000， 0.1）． 而每粒需再补种 2 粒，补种的种子数记为 X 故 X=2ξ，则 EX=2Eξ=2×1000×0.1=200． 故选：B． 【点评】本题主要考查二项分布的期望以及随机变量的性质，考查解决应用问题的能力．属于基础 性题目． 7．（5 分）如果执行如图的框图，输入 N=5，则输出的数等于（ ）
A．q1，q3
B．q2，q3
C．q1，q4
D．q2，q4
【考点】2E：复合命题及其真假；4Q：指数函数与对数函数的关系． 菁优网版权所有
【专题】5L：简易逻辑． 【分析】先判断命题 p1 是真命题，P2 是假命题，故 p1∨p2 为真命题，（﹣p2）为真命题，p1∧
【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CN：二项分布与 n 次独立重复试验的模型． 菁优网版权所有
2，…，N）的点数 N1，那么由随机模拟方案可得积分
的近似值为 ．
14．（5 分）正视图为一个三角形的几何体可以是 （写出三种） 15．（5 分）过点 A（4，1）的圆 C 与直线 x﹣y=1 相切于点 B（2，1），则圆 C 的方程为 ． 16．（5 分）在△ABC 中，D 为边 BC 上一点，BD= DC，∠ADB=120°，AD=2，若△ADC 的面积为
另
解
：
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2010年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)及解析
2010年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={x∈R||x|≤2}}，，则A∩B=（）A．（0，2）B．[0，2]C．{0，2}D．{0，1，2}2．（5分）已知复数，是z的共轭复数，则=（）A．B．C．1 D．23．（5分）曲线y=在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（）A．y=2x+1 B．y=2x﹣1 C．y=﹣2x﹣3 D．y=﹣2x﹣24．（5分）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．5．（5分）已知命题p1：函数y=2x﹣2﹣x在R为增函数，p2：函数y=2x+2﹣x在R为减函数，则在命题q：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：（￢p1）∨1p2和q4：p1∧（￢p2）中，真命题是（）A．q1，q3 B．q2，q3 C．q1，q4 D．q2，q46．（5分）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X 的数学期望为（）A．100 B．200 C．300 D．4007．（5分）如果执行右面的框图，输入N=5，则输出的数等于（）A．B．C．D．8．（5分）设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＞0}=（）A．{x|x＜﹣2或x＞4}B．{x|x＜0或x＞4} C．{x|x＜0或x＞6} D．{x|x＜﹣2或x＞2}9．（5分）若，α是第三象限的角，则=（）A．B．C．2 D．﹣210．（5分）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．πa2B． C．D．5πa211．（5分）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）12．（5分）已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为（）A． B． C． D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设y=f（x）为区间[0，1]上的连续函数，且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组（每组N个）区间[0，1]上的均匀随机数x1，x2，…x N和y1，y2，…y N，由此得到N个点（x i，y i）（i=1，2，…，N），再数出其中满足y i≤f（x i）（i=1，2，…，N）的点数N 1，那么由随机模拟方案可得积分的近似值为．14．（5分）正视图为一个三角形的几何体可以是（写出三种）15．（5分）过点A（4，1）的圆C与直线x﹣y=1相切于点B（2，1），则圆C的方程为．16．（5分）在△ABC中，D为边BC上一点，BD=DC，∠ADB=120°，AD=2，若△ADC的面积为，则∠BAC=．三、解答题（共8小题，满分90分）17．（12分）设数列满足a1=2，a n+1﹣a n=3•22n﹣1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=na n，求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点（1）证明：PE⊥BC（2）若∠APB=∠ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．19．（12分）为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如表：（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人中，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由．附：20．（12分）设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1斜率为1的直线ℓ与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（1）求E的离心率；（2）设点P（0，﹣1）满足|PA|=|PB|，求E的方程．21．（12分）设函数f（x）=e x﹣1﹣x﹣ax2．（1）若a=0，求f（x）的单调区间；（2）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．22．（10分）如图：已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．（Ⅱ）BC2=BE•CD．23．（10分）已知直线C1（t为参数），C2（θ为参数），（Ⅰ）当α=时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．24．（10分）设函数f（x）=|2x﹣4|+1．（Ⅰ）画出函数y=f（x）的图象：（Ⅱ）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范围．2010年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2010•宁夏）已知集合A={x∈R||x|≤2}}，，则A∩B=（）A．（0，2）B．[0，2]C．{0，2}D．{0，1，2}【分析】先化简集合A和B，注意集合B中的元素是整数，再根据两个集合的交集的意义求解．【解答】解：A={x∈R||x|≤2，}={x∈R|﹣2≤x≤2}，故A∩B={0，1，2}．应选D．2．（5分）（2010•宁夏）已知复数，是z的共轭复数，则=（）A．B．C．1 D．2【分析】因为，所以先求|z|再求的值．【解答】解：由可得．另解：故选A．3．（5分）（2010•宁夏）曲线y=在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（）A．y=2x+1 B．y=2x﹣1 C．y=﹣2x﹣3 D．y=﹣2x﹣2【分析】欲求在点（﹣1，﹣1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=﹣1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：∵y=，∴y′=，所以k=y′|x=﹣1=2，得切线的斜率为2，所以k=2；所以曲线y=f（x）在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为：y+1=2×（x+1），即y=2x+1．故选A．4．（5分）（2010•新课标）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．【分析】本题的求解可以利用排除法，根据某具体时刻点P的位置到到x轴距离来确定答案．【解答】解：通过分析可知当t=0时，点P到x轴距离d为，于是可以排除答案A，D，再根据当时，可知点P在x轴上此时点P到x轴距离d为0，排除答案B，故应选C．5．（5分）（2010•宁夏）已知命题p1：函数y=2x﹣2﹣x在R为增函数，p2：函数y=2x+2﹣x在R为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：（￢p1）∨p2和q4：p1∧（￢p2）中，真命题是（）A．q1，q3 B．q2，q3 C．q1，q4 D．q2，q4【分析】先判断命题p1是真命题，P2是假命题，故p1∨p2为真命题，（﹣p2）为真命题，p1∧（﹣p2）为真命题．【解答】解：易知p1是真命题，而对p2：y′=2x ln2﹣ln2=ln2（），当x∈[0，+∞）时，，又ln2＞0，所以y′≥0，函数单调递增；同理得当x∈（﹣∞，0）时，函数单调递减，故p2是假命题．由此可知，q1真，q2假，q3假，q4真．故选C．6．（5分）（2010•宁夏）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为（）A．100 B．200 C．300 D．400【分析】首先分析题目已知某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，即不发芽率为0.1，故没有发芽的种子数ξ服从二项分布，即ξ～B（1000，0.1）．又没发芽的补种2个，故补种的种子数记为X=2ξ，根据二项分布的期望公式即可求出结果．【解答】解：由题意可知播种了1000粒，没有发芽的种子数ξ服从二项分布，即ξ～B（1000，0.1）．而每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X故X=2ξ，则EX=2Eξ=2×1000×0.1=200．故选B．7．（5分）（2010•新课标）如果执行右面的框图，输入N=5，则输出的数等于（）A．B．C．D．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=的值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=的值．∵S==1﹣=故选D．8．（5分）（2010•新课标）设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＞0}=（）A．{x|x＜﹣2或x＞4}B．{x|x＜0或x＞4} C．{x|x＜0或x＞6}D．{x|x＜﹣2或x＞2}【分析】由偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），可得f（x）=f （|x|）=2|x|﹣4，根据偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，再求解不等式，可得答案．【解答】解：由偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），可得f（x）=f（|x|）=2|x|﹣4，则f（x﹣2）=f（|x﹣2|）=2|x﹣2|﹣4，要使f（|x﹣2|）＞0，只需2|x ﹣2|﹣4＞0，|x﹣2|＞2解得x＞4，或x＜0．应选：B．9．（5分）（2010•宁夏）若，α是第三象限的角，则=（）A．B．C．2 D．﹣2【分析】将欲求式中的正切化成正余弦，还要注意条件中的角α与待求式中角的差别，注意消除它们之间的不同．【解答】解：由，α是第三象限的角，∴可得，则，应选A．10．（5分）（2010•宁夏）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．πa2B． C．D．5πa2【分析】由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，则其外接球的半径为，球的表面积为，故选B．11．（5分）（2010•新课标）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）【分析】画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，求出abc的范围即可．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，则ab=1，则abc=c∈（10，12）．故选C．12．（5分）（2010•宁夏）已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为（）A． B． C． D．【分析】已知条件易得直线l的斜率为1，设双曲线方程，及A，B 点坐标代入方程联立相减得x1+x2=﹣24，根据=，可求得a 和b的关系，再根据c=3，求得a和b，进而可得答案．【解答】解：由已知条件易得直线l的斜率为k=k PN=1，设双曲线方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），则有，两式相减并结合x1+x2=﹣24，y1+y2=﹣30得=，从而==1即4b2=5a2，又a2+b2=9，解得a2=4，b2=5，故选B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2010•宁夏）设y=f（x）为区间[0，1]上的连续函数，且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组（每组N个）区间[0，1]上的均匀随机数x1，x2，…x N和y1，y2，…y N，由此得到N个点（x i，y i）（i=1，2，…，N），再数出其中满足y i≤f（x i）（i=1，2，…，N）的点数N1，那么由随机模拟方案可得积分的近似值为．【分析】要求∫f（x）dx的近似值，利用几何概型求概率，结合点数比即可得．【解答】解：由题意可知得，故积分的近似值为．故答案为：．14．（5分）（2010•宁夏）正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱、圆锥（其他正确答案同样给分）（写出三种）【分析】三棱锥一个侧面的在正视图为一条线段的情形；圆锥；四棱锥有两个侧面在正视图为线段的情形，即可回答本题．【解答】解：正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱（放倒的情形）、圆锥、四棱锥等等．故答案为：三棱锥、圆锥、三棱柱．15．（5分）（2010•宁夏）过点A（4，1）的圆C与直线x﹣y=1相切于点B（2，1），则圆C的方程为（x﹣3）2+y2=2．【分析】设圆的标准方程，再用过点A（4，1），过B，两点坐标适合方程，圆和直线相切，圆心到直线的距离等于半径，求得圆的方程．【解答】解：设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，则，解得，故所求圆的方程为（x﹣3）2+y2=2．故答案为：（x﹣3）2+y2=2．16．（5分）（2010•宁夏）在△ABC中，D为边BC上一点，BD=DC，∠ADB=120°，AD=2，若△ADC的面积为，则∠BAC=60°．【分析】先根据三角形的面积公式利用△ADC的面积求得DC，进而根据三角形ABC的面积求得BD和BC，进而根据余弦定理求得AB．最后在三角形ABC中利用余弦定理求得cos∠BAC，求得∠BAC的值．【解答】解：由△ADC的面积为可得解得，则．AB2=AD2+BD2﹣2AD•BD•cos120°=，，则=．故∠BAC=60°．三、解答题（共8小题，满分90分）17．（12分）（2010•宁夏）设数列满足a1=2，a n+1﹣a n=3•22n﹣1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=na n，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（Ⅰ）由题意得a n+1=[（a n+1﹣a n）+（a n﹣a n﹣1）+…+（a2﹣a1）]+a1=3（22n﹣1+22n﹣3+…+2）+2=22（n+1）﹣1．由此可知数列{a n}的通项公式为a n=22n﹣1．（Ⅱ）由b n=na n=n•22n﹣1知S n=1•2+2•23+3•25++n•22n﹣1，由此入手可知答案．【解答】解：（Ⅰ）由已知，当n≥1时，a n+1=[（a n+1﹣a n）+（a n﹣a n）+…+（a2﹣a1）]+a1﹣1=3（22n﹣1+22n﹣3+…+2）+2=3×+2=22（n+1）﹣1．而a1=2，所以数列{a n}的通项公式为a n=22n﹣1．（Ⅱ）由b n=na n=n•22n﹣1知S n=1•2+2•23+3•25+…+n•22n﹣1①从而22S n=1•23+2•25+…+n•22n+1②①﹣②得（1﹣22）•S n=2+23+25+…+22n﹣1﹣n•22n+1．即．18．（12分）（2010•宁夏）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点（1）证明：PE⊥BC（2）若∠APB=∠ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．【分析】以H为原点，HA，HB，HP分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系．（1）表示，，计算，就证明PE⊥BC．（2）∠APB=∠ADB=60°，求出C，P的坐标，再求平面PEH的法向量，求向量，然后求与面PEH的法向量的数量积，可求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．【解答】解：以H为原点，HA，HB，HP分别为x，y，z轴，线段HA 的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则A（1，0，0），B（0，1，0）（Ⅰ）设C（m，0，0），P（0，0，n）（m＜0，n＞0）则．可得．因为所以PE⊥BC．（Ⅱ）由已知条件可得m=，n=1，故C（﹣），设=（x，y，z）为平面PEH的法向量则即因此可以取，由，可得所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为．19．（12分）（2010•新课标）为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如表：（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人中，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由．附：【分析】（1）由列联表可知调查的500位老年人中有40+30=70位需要志愿者提供帮助，两个数据求比值得到该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估算值．（2）根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，得到观测值的结果，把观测值的结果与临界值进行比较，看出有多大把握说该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．（3）从样本数据老年人中需要帮助的比例有明显差异，调查时，可以先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．【解答】解：（1）∵调查的500位老年人中有40+30=70位需要志愿者提供帮助，∴该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估算值为．（2）根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，．∵9.967＞6.635，∴有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．（3）由（2）的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．20．（12分）（2010•宁夏）设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1斜率为1的直线ℓ与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（1）求E的离心率；（2）设点P（0，﹣1）满足|PA|=|PB|，求E的方程．【分析】（I）根据椭圆的定义可知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，进而根据|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数表示出|AB|，进而可知直线l的方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），代入直线和椭圆方程，联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2进而根据，求得a和b的关系，进而求得a和c的关系，离心率可得．（II）设AB的中点为N（x0，y0），根据（1）则可分别表示出x0和y0，根据|PA|=|PB|，推知直线PN的斜率，根据求得c，进而求得a和b，椭圆的方程可得．【解答】解：（I）由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，又2|AB|=|AF2|+|BF2|，得，l的方程为y=x+c，其中．设A（x1，y1），B（x2，y2），则A、B两点坐标满足方程组化简的（a2+b2）x2+2a2cx+a2（c2﹣b2）=0则因为直线AB斜率为1，|AB|=|x 1﹣x2|=，得，故a2=2b2所以E的离心率（II）设AB的中点为N（x0，y0），由（I）知，．由|PA|=|PB|，得k PN=﹣1，即得c=3，从而故椭圆E的方程为．21．（12分）（2010•宁夏）设函数f（x）=e x﹣1﹣x﹣ax2．（1）若a=0，求f（x）的单调区间；（2）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．【分析】（1）先对函数f（x）求导，导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减．（2）根据e x≥1+x可得不等式f′（x）≥x﹣2ax=（1﹣2a）x，从而可知当1﹣2a≥0，即时，f′（x）≥0判断出函数f（x）的单调性，得到答案．【解答】解：（1）a=0时，f（x）=e x﹣1﹣x，f′（x）=e x﹣1．当x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0．故f（x）在（﹣∞，0）单调减少，在（0，+∞）单调增加（II）f′（x）=e x﹣1﹣2ax由（I）知e x≥1+x，当且仅当x=0时等号成立．故f′（x）≥x﹣2ax=（1﹣2a）x，从而当1﹣2a≥0，即时，f′（x）≥0（x≥0），而f（0）=0，于是当x≥0时，f（x）≥0．由e x＞1+x（x≠0）可得e﹣x＞1﹣x（x≠0）．从而当时，f′（x）＜e x﹣1+2a（e﹣x﹣1）=e﹣x（e x﹣1）（e x﹣2a），故当x∈（0，ln2a）时，f'（x）＜0，而f（0）=0，于是当x∈（0，ln2a）时，f（x）＜0．综合得a的取值范围为．22．（10分）（2010•新课标）如图：已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．（Ⅱ）BC2=BE•CD．【分析】（I）先根据题中条件：“”，得∠BCD=∠ABC．再根据EC 是圆的切线，得到∠ACE=∠ABC，从而即可得出结论．（II）欲证BC2=BE x CD．即证．故只须证明△BDC～△ECB即可．【解答】解：（Ⅰ）因为，所以∠BCD=∠ABC．又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE=∠ABC所以∠ACE=∠BCD．（5分）（Ⅱ）因为∠ECB=∠CDB，∠EBC=∠BCD，所以△BDC～△ECB，故．即BC2=BE×CD．（10分）23．（10分）（2010•新课标）已知直线C1（t为参数），C2（θ为参数），（Ⅰ）当α=时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．【分析】（I）先消去参数将曲线C1与C2的参数方程化成普通方程，再联立方程组求出交点坐标即可，（II）设P（x，y），利用中点坐标公式得P点轨迹的参数方程，消去参数即得普通方程，由普通方程即可看出其是什么类型的曲线．【解答】解：（Ⅰ）当α=时，C1的普通方程为，C2的普通方程为x2+y2=1．联立方程组，解得C1与C2的交点为（1，0）．（Ⅱ）C1的普通方程为xsinα﹣ycosα﹣sinα=0①．则OA的方程为xcosα+ysinα=0②，联立①②可得x=sin2α，y=﹣cosαsinα；A点坐标为（sin2α，﹣cosαsinα），故当α变化时，P点轨迹的参数方程为：，P点轨迹的普通方程．故P点轨迹是圆心为，半径为的圆．24．（10分）（2010•新课标）设函数f（x）=|2x﹣4|+1．（Ⅰ）画出函数y=f（x）的图象：（Ⅱ）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范围．【分析】（I）先讨论x的范围，将函数f（x）写成分段函数，然后根据分段函数分段画出函数的图象即可；（II）根据函数y=f（x）与函数y=ax的图象可知先寻找满足f（x）≤ax的零界情况，从而求出a的范围．【解答】解：（Ⅰ）由于f（x）=，函数y=f（x）的图象如图所示．（Ⅱ）由函数y=f（x）与函数y=ax的图象可知，极小值在点（2，1）当且仅当a＜﹣2或a≥时，函数y=f（x）与函数y=ax的图象有交点．故不等式f（x）≤ax的解集非空时，a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪[，+∞）．。
【历年高考】2010年全国高考理科数学试题及答案-陕西
2010年高校招生全国统一考试理数（陕西卷）理科数学（必修+选修Ⅱ）解析 重庆合川太和中学 杨建一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）。
1.集合A={}|12x x -≤≤，B={}|1x x <，则()R A C B ⋂=【D 】（A ） {}|1x x > （B ）{}|1x x ≥ （C ）{}|12x x <≤ （D ）{}|12x x ≤≤ 解析：本题考查集合的基本运算{}{}21|,1|≤≤=⋂≥=x x B C A x X B C R R2.复数1iz i =+在复平面上对应的点位于 【A 】A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 解析：本题考查复数的运算及几何意义1i i +i i i 21212)1(+=-=，所以点（)21,21位于第一象限 3.对于函数f(x)=2sinxcosx ，下列选项中正确的是 【B 】A.f(x)在（4π，2π）上是递增的 B 、f(x)的图象关于原点对称C 、f(x)的最小正周期为2πD 、f(x)的最大值为2 解析：本题考查三角函数的性质f (x )=2sin x cos x=sin2x ，周期为π的奇函数4、()5a x x R x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭展开式中3x 的系数为10，则实数a 等于【D 】A.-1 B 、12C.1D.2 解析：本题考查二项展开式的通项公式2,10,1325,15255551=∴===-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--+a aC r r x C a x a xC T r r r rrr r 有得由5.已知函数f(x)= 22111x x x ax x ⎧+<⎪⎨+≥⎪⎩，，若f （f （0））=4a ，则实数a 等于【C 】A.12 B 、45 C.2 D.9解析：f （0）=2，f （f （0））=f(2)=4+2a=4a ，所以a=26.右图是求样本1x ，2x ，…，10x 平均数x 的程序框图，图中空白框中应填入的内容为【A 】 A.S=S+n xB.S=S+n x nC.S=S+nD.S=S+ 1n7.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是【C 】A 、13 B 、23C.1D.2 解析：本题考查立体图形三视图及体积公式 如图，该立体图形为直三棱柱所以其体积为122121=⨯⨯⨯8.已知抛物线22(0)y px p =>的准线与圆22670x y x +--=相切，则p 的值为【C 】A 、12B 、1 C.2 D.4 解析：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系法一：抛物线y 2＝2px （p >0）的准线方程为2p x -=，因为抛物线y 2＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切，所以2,423==+p p法二：作图可知，抛物线y 2＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切与点（-1,0） 所以2,12=-=-p p9.对于数列{}n a ，“1(1...)n n a a n +>=，2，”是“{}n a 为递增数列”的【B 】221A.必要不充分条件 B 、充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：由1(1...)n n a a n +>=，2，知{}n a 所有项均为正项， 且⋅⋅⋅<+<<⋅⋅⋅<<121n n a a a a ，即{}n a 为递增数列反之，{}n a 为递增数列，不一定有1(1...)n n a a n +>=，2，，如-2，-1,0,1,2，…. 10.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表 ，当各班人数除以10的余数大于．．6．时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y=[x]( [x]表示不大于x 的最大整数)可以表示为 【B 】A 、y 10x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ B 、3y 10x +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ C 、4y 10x +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ D 、5y 10x +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦解析：法一：特殊取值法，若x=56，y=5,排除C 、D ，若x=57，y=6，排除A ，所以选B 法二：设)90(10≤≤+=ααm x ，，时⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≤≤10103103,60x m m x αα 1101103103,96+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≤<x m m x αα时当，所以选B 二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11.已知向量a=（2，-1），b=（-1，m ），c=（-1,2），若（a+b ）∥c ，则m=-1 解析：0)1()1(21//)(),1,1(=-⨯--⨯+-=+m c b a m b a 得由，所以m=-112.观察下列等式：332123+=，33321236++=，33332123410+++=，…，根据上述规律，第五个等式．．．．．为333333212345621+++++=。
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2010年陕西省高考数学试卷（理科）
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．（5分）（2010•陕西）集合A={x|0≤x≤2}，B={x|x＜1}，则A∩（∁R B）=（）
A．{x|x≥1} B．{x|x＞1} C．{x|1＜x≤2} D．{x|1≤x≤2}
2．（5分）（2010•陕西）复数z=在复平面上对应的点位于（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（5分）（2010•陕西）对于函数f（x）=2sinxcosx，下列选项中正确的是（）
A．f（x）在（，）上是递增的B．f（x）的图象关于原点对称
C．f（x）的最小正周期为2πD．f（x）的最大值为2
4．（5分）（2010•陕西）（x+）5（x∈R）展开式中x3的系数为10，则实数a等于（）A．﹣1 B．C．1 D．2
5．（5分）（2010•陕西）（陕西卷理5）已知函数f（x）=若f（f（0））=4a，则实数a等于（）
A．B．C．2 D．9
6．（5分）（2010•陕西）如图是求样本x1，x2，…，x10平均数的程序框图，图中空白框中应填入的内容为（）
A．S=S+x n B．S=S+C．S=S+n D．S=S+
7．（5分）（2010•陕西）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）
A．2 B．1 C．D．
8．（5分）（2010•陕西）已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆x2+y2﹣6x﹣7=0相切，则p的值为（）
A．B．1 C．2 D．4
9．（5分）（2010•陕西）对于数列{a n}，“a n+1＞|a n|（n=1，2，…）”是“{a n}为递增数列”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．（5分）（2010•陕西）某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为（）
A．y=[]B．y=[]C．y=[]D．y=[]
二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）
11．（5分）（2010•陕西）已知向量=（2，﹣1），=（﹣1，m），=（﹣1，2），若（+）
∥，则m=．
12．（5分）（2010•陕西）观察下列等式：13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102，…，根据上述规律，第五个等式为．
13．（5分）（2010•陕西）从如图所示的长方形区域内任取一个点M（x，y），则点M取自阴影部分部分的概率为．
14．（5分）（2010•陕西）铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2排放量b及
2
的最少费用为（百万元）
15．（5分）（2010•陕西）（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）
A．不等式|x+3|﹣|x﹣2|≥3的解集为．
B．如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则=．
C．已知圆C的参数方程为（a为参数）以原点为极点，x轴正半轴为极轴建
立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ=1，则直线l与圆C的交点的直角坐标系
为．
三、解答题（共6小题，满分75分）
16．（12分）（2010•陕西）已知{a n}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项；
（Ⅱ）记，求数列{b n}的前n项和S n．
17．（12分）（2010•陕西）如图，A，B是海面上位于东西方向相距5（3+）海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？
18．（12分）（2010•陕西）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，BC=2，E，F分别是AD，PC的中点．
（Ⅰ）证明：PC⊥平面BEF．
（Ⅱ）求平面BEF与平面BAP夹角的大小．
19．（12分）（2010•陕西）为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行抽样检查，测得身高情况的统计图如下：
（Ⅰ）估计该校男生的人数；
（Ⅱ）估计该校学生身高在170～185cm之间的概率；
（Ⅲ）从样本中身高在180～190cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190cm 之间的概率．
20．（13分）（2010•陕西）如图，椭圆C2的焦点为F1，F2，|A1B1|=，=2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设n为过原点的直线，l是与n垂直相交于点P，与椭圆相交于A，B两点的直线||=1，是否存在上述直线l使=0成立？若存在，求出直线l的方程；并说出；若不存在，请说明理由．
21．（14分）（2010•陕西）已知函数f（x）=，g（x）=alnx，a∈R，
（Ⅰ）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有共同的切线，求a的值和该切线方程；
（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），当h（x）存在最小值时，求其最小值φ（a）的解析式；
（Ⅲ）对（Ⅱ）中的φ（a）和任意的a＞0，b＞0，证明：φ′（）≤≤φ′（）．。