线性规划-运输问题
线性规划算法在运输问题中的应用
线性规划算法在运输问题中的应用随着现代物流的发展，运输问题已成为企业经营中一个重要的问题。
如何在物流中实现优化运输，减少运输费用，增加效率，对企业利润的提升具有重要意义。
线性规划算法是运输问题优化中的一种重要算法，通过优化分配问题中的资源，实现最小化或最大化目标。
本文将探讨线性规划算法在运输问题中的应用。
一、运输问题在运输问题中，物流企业需要将各个厂商生产的货物运输到各个销售点。
假设存在m 个货源，n 个销售点，运输单位费用已知，并且每个销售点需要的货物数量也已知。
运输问题需要找到一种方案，使得总运输成本最小。
运输问题可以表示为如下形式的线性规划问题：$$\begin{aligned}\text{minimize}\quad & \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} c_{ij}x_{ij}\\\text{subject to}\quad & \sum_{j=1}^{n} x_{ij} =a_i\quad(i=1,\dots,m) \\& \sum_{i=1}^{m} x_{ij} = b_j\quad(j=1,\dots,n) \\& x_{ij} \geqslant 0\quad(i=1,\dots,m; j=1,\dots,n)\end{aligned}$$其中 $c_{ij}$ 表示从货源 $i$ 运输到销售点 $j$ 的单位费用，$x_{ij}$ 表示从货源 $i$ 运输到销售点 $j$ 的货物数量，$a_i$ 表示货源$i$ 需要的货物数量，$b_j$ 表示销售点$j$ 需要的货物数量。
二、线性规划算法线性规划算法是一种用于优化线性目标函数的算法。
其能够有效地解决一些商业或工程中的问题。
线性规划算法的步骤如下：1.建立目标函数：根据优化的目的，建立线性表达式，该表达式称为目标函数。
2.限制条件：列出所有限制条件，在限制条件中，变量的取值范围必须是非负数。
运筹学第3章：运输问题-数学模型及其解法
整数规划模型
01
整数规划模型是线性规划模型 的扩展，它要求所有变量都是 整数。
02
整数规划模型适用于解决离散 变量问题，例如车辆路径问题 、排班问题等。
03
在运输问题中，整数规划模型 可以用于解决车辆调度、装载 等问题，以确保运输过程中的 成本和时间效益达到最优。
混合整数规划模型
混合整数规划模型是整数规划和线性规划的结合，它同时包含整数变量和 连续变量。
运筹学第3章：运输问题-数学模 型及其解法
目录
• 引言 • 运输问题的数学模型 • 运输问题的解法 • 运输问题的应用案例 • 结论
01 引言
运输问题的定义与重要性
定义
运输问题是一种线性规划问题，主要 解决如何将一定数量的资源（如货物 、人员等）从起始地点运送到目标地 点，以最小化总运输成本。
总结词
资源分配优化是运输问题在资源管理 领域的应用，主要解决如何将有限的 资源合理地分配到各个部门或项目， 以最大化整体效益。
详细描述
资源分配优化需要考虑资源的数量、 质量、成本等多个因素，通过建立运 输问题的数学模型，可以找到最优的 资源分配方案，提高资源利用效率， 最大化整体效益。
05 结论
运输问题的发展趋势与挑战
生产计划优化
总结词
生产计划优化是运输问题在生产领域的应用，主要解决如何合理安排生产计划， 满足市场需求的同时降低生产成本。
详细描述
生产计划优化需要考虑原材料的采购、产品的生产、成品的销售等多个环节，通 过建立运输问题的数学模型，可以找到最优的生产计划和调度方案，提高生产效 率，降低生产成本。
资源分配优化
发展趋势
随着物流行业的快速发展，运输问题变得越来越复杂，需要更高级的数学模型和算法来 解决。同时，随着大数据和人工智能技术的应用，运输问题的解决方案将更加智能化和
运筹学中的运输问题例题
在运筹学中，运输问题是一类经典的线性规划问题，涉及将有限数量的货物从多个供应点运输到多个需求点，并且对应的成本最小化或者利润最大化。
以下是一个运输问题的例题：
假设有三个供应点A、B和C，和四个需求点X、Y、Z和W。
每个供应点都有一定数量的货物可供运输，每个需求点需要一定数量的货物。
给定的成本矩阵代表从每个供应点到每个需求点的运输成本。
供应点的供应量和需求点的需求量以及成本矩阵如下：
供应量：
A: 80单位
B: 70单位
C: 60单位
需求量：
X: 50单位
Y: 40单位
Z: 30单位
W: 70单位
成本矩阵：
X Y Z W
A 4 6 8 9
B 5 7 10 12
C 6 8 11 14
问题是如何将货物从供应点运输到需求点，以使总运输成本最小化。
在这个例题中，可以使用线性规划方法来解决运输问题，通过确定每个供应点向每个需求点运输的数量来最小化总成本。
解决该问题的线性规划模型可以表示为：
最小化ΣΣ(cost(i, j) * x(i, j))
i j
满足以下约束条件：
1. 每个供应点的供应量不能超过其可供应的数量：Σx(i, j) ≤供应点i的供应量, for each i
2. 每个需求点的需求量必须得到满足：Σx(i, j) ≥需求点j的需求量, for each j
3. x(i, j) ≥0, for each i, j
其中，x(i, j) 表示从供应点i到需求点j运输的货物数量，cost(i, j) 表示从供应点i到需求点j的运输成本。
通过求解该线性规划模型，我们可以获得最优的货物运输方案，以最小化总运输成本。
管理运筹学运输问题实验报告
管理运筹学运输问题实验报告一、实验目的通过研究和实践，掌握线性规划求解运输问题的基本模型和求解方法，了解运输问题在生产、物流和经济管理中的应用。
二、实验背景运输问题是管理运筹学中的一个重要问题，其主要目的是确定在不同生产或仓库的产量和销售点的需求之间如何进行运输，使得运输成本最小。
运输问题可以通过线性规划模型来解决。
三、实验内容1. 根据实验数据，建立运输问题的线性规划模型。
2. 使用Excel中的“规划求解器”功能求解模型。
3. 对不同情况进行敏感性分析。
四、实验原理运输问题是一种典型的线性规划问题，其目的是求解一组描述生产和需要之间的运输方案，使得总运输费用最小。
运输问题的一般模型如下：min ∑∑CijXijs.t. ∑Xij = ai i = 1,2,...,m∑Xij = bj j = 1,2,...,nXij ≥ 0其中，Cij表示从i生产地到j销售点的运输成本；ai和bj分别表示第i个生产地和第j个销售点的产量和需求量；Xij表示从第i个生产地向第j个销售点运输的物品数量。
五、实验步骤1. 根据实验数据，建立运输问题的线性规划模型。
根据题目所给数据，我们可以列出线性规划模型：min Z =200X11+300X12+450X13+350X21+325X22+475X23+225X31+275X32+400X 33s.t. X11+X12+X13 = 600X21+X22+X23 = 750X31+X32+X33 = 550X11+X21+X31 = 550X12+X22+X32 = 600X13+X23+X33 = 450Xij ≥ 02. 使用Excel中的“规划求解器”功能求解模型。
在Excel中，选择“数据”选项卡中的“规划求解器”，输入线性规划的目标函数和约束条件，并设置求解参数，包括求解方法、求解精度、最大迭代次数等。
3. 对不同情况进行敏感性分析。
敏感度分析是指在有些条件发生变化时，线性规划模型的最优解会如何变化。
运输问题
三、初始基础可行解的求法
• 1、西北角法 • 2、最小元素法
1、西北角法1 1 6 72 53 34 14
2
8
1 4 8
4
2
7
3
5
9
1 3
6
10 6
27
6
22 13 12 13
1 3
19
2、最小元素法（1）
1 6 1 8 2 5 3 22 9 4 7
2 5
3 3
4 14
2
7
12
10 6
27
15
运输问题系数矩阵的秩为m+n-1,即 基可行解只有m+n-1个变量
2、运输模型的特点
2) 对运输问题任一基B，其逆矩阵B 1必为一整数矩阵，若 ai , b j都为整数，则任一基可行解必为整数。 ( X B B 1b)
3) 对偶问题
max w ai ui b j v j
i 1 j 1 m n
19
0
最小元素法（6）
1 6 1 8 2 5 3 22 0 7
2 5
3 3
4 14 0
1
4 2 7
13 13
9 10
2 19
13 0
12
6
27
0
19 12 0 13 0
0
四、最优解的获得
1、检验数的求法：闭回路法
闭回路——从调运方案的某一空格出发，沿水平或垂直 的方向前进，遇到一个适当的数字格便按与前进方向垂 直的路径前进。经过若干次后，再回到原来出发的那个 格，由此形成的封闭折线称为闭回路。 闭回路的性质： 以空格出发的闭回路存在且唯一； 不存在所有顶点都为数字格的闭回路。
《管理运筹学》02-7运输问题
通过将问题分解为多个子问题，并应用分支定 界法等算法，可以找到满足所有约束条件的整 数解，实现运输资源的合理配置。
04运Leabharlann 问题的实际案例物资调拨案例
总结词
物资调拨案例是运输问题中常见的一种，主要涉及如何优化物资从供应地到需 求地的调配。
02
动态运输问题需要考虑运输过 程中的不确定性，如交通拥堵 、天气变化等，需要建立动态 优化模型来应对这些变化。
03
解决动态运输问题需要采用实 时优化算法，根据实际情况不 断调整运输计划，以实现最优 的运输效果。
多式联运问题
1
多式联运是指将不同运输方式组合起来完成一个 完整的运输任务，需要考虑不同运输方式之间的 衔接和配合。
生产计划案例
总结词
生产计划案例主要关注如何根据市场需求和生产能力制定合理的生产计划。
详细描述
生产计划案例需要考虑市场需求、产品特性、生产成本、生产周期等因素。通过 优化生产计划，可以提高生产效率、降低生产成本，并确保产品按时交付给客户 。
05
运输问题的扩展研究
动态运输问题
01
动态运输问题是指运输需求随 时间变化而变化的运输问题， 需要考虑时间因素对运输计划 的影响。
2
多式联运问题需要考虑不同运输方式的成本、时 间、能力等因素，需要建立多目标优化模型来平 衡这些因素。
3
解决多式联运问题需要采用混合整数规划或遗传 算法等算法，以实现多目标优化的效果。
逆向物流问题
1
逆向物流是指对废旧物品进行回收、处 理和再利用的物流活动，需要考虑废旧 物品的回收、分类、处理和再利用等环 节。
的情况。如果存在这些问题，就需要进行调整，直到找到最优解为止。
运用线性规划对运输问题进行研究运输问题在企业管理方面的应用
运用线性规划对运输问题进行研究运输问题在企业管理方面的应用一、本文概述随着全球化的推进和市场竞争的日益激烈，运输问题在企业管理中扮演着越来越重要的角色。
如何有效地进行物资运输、降低成本、提高效率，成为了企业运营中必须面对和解决的问题。
线性规划作为一种数学优化技术，为运输问题的研究和解决提供了有力的工具。
本文旨在探讨线性规划在运输问题中的应用，以及它在企业管理中的实际作用。
本文将首先介绍线性规划的基本概念、原理及其在运输问题中的应用原理。
接着，通过具体案例，分析线性规划在运输问题中的实际应用，包括如何建立运输问题的数学模型、如何运用线性规划求解最优运输方案等。
本文还将探讨线性规划在企业管理中的其他应用，如资源分配、生产计划等。
本文将总结线性规划在运输问题和企业管理中的应用效果，并展望未来的发展趋势。
通过本文的研究，我们期望能够帮助企业更好地理解和应用线性规划，优化运输方案，提高运营效率，从而在激烈的市场竞争中获得优势。
也希望本文能为相关领域的研究人员提供参考，推动线性规划在运输问题和企业管理领域的研究和发展。
二、线性规划理论基础线性规划是一种数学方法，用于解决具有线性约束和线性目标函数的优化问题。
它广泛应用于各种领域，包括运输问题。
在企业管理中，线性规划尤其适用于资源分配、生产调度和物流优化等问题。
线性规划问题的基本形式可以描述为：在给定的线性约束条件下，最大化或最小化一个线性目标函数。
这些约束条件和目标函数都是由决策变量的线性组合构成的。
决策变量是在问题中需要优化的变量，例如运输量、生产量等。
在运输问题中，线性规划可以用于优化运输成本、运输时间和运输路线等。
例如，假设一个企业需要将其产品从多个工厂运输到多个销售点，每个工厂和销售点之间的运输成本可能不同。
通过线性规划，企业可以找出一种运输方案，使得总运输成本最低，同时满足各种约束条件，如每个工厂的生产能力、每个销售点的需求量等。
线性规划的理论基础包括线性代数、凸分析和优化理论等。
线性规划的应用
线性规划的应用引言概述：线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在许多领域都有广泛的应用，包括生产计划、资源分配、运输问题等。
本文将详细介绍线性规划的应用，并分为五个部分进行阐述。
一、生产计划的优化1.1 生产成本最小化：线性规划可用于确定生产计划，以最小化生产成本。
通过设定生产量的变量和成本的约束条件，可以得到最优的生产计划。
1.2 资源分配优化：线性规划可以帮助确定资源的最优分配，以满足生产需求。
通过考虑资源的供应量和需求量，可以得出最佳的资源分配方案。
1.3 生产效率提升：线性规划可以优化生产过程，提高生产效率。
通过考虑生产线上的各个环节和资源的利用率，可以得出最佳的生产安排，从而提升生产效率。
二、运输问题的解决2.1 最优运输方案：线性规划可用于解决运输问题，以确定最佳的运输方案。
通过考虑运输成本、运输量和运输距离等因素，可以得出最优的运输方案。
2.2 供应链优化：线性规划可以优化供应链的运作，以提高运输效率和降低成本。
通过考虑供应商、生产商和分销商之间的关系和需求，可以得出最佳的供应链优化方案。
2.3 库存管理：线性规划可用于优化库存管理，以最小化库存成本和满足需求。
通过考虑库存量、订购量和供应量等因素，可以得出最佳的库存管理方案。
三、资源分配问题的解决3.1 人力资源优化：线性规划可以优化人力资源的分配，以满足不同部门和项目的需求。
通过考虑人员的技能、工作量和工作时间等因素，可以得出最佳的人力资源分配方案。
3.2 资金分配优化：线性规划可用于优化资金的分配，以最大化利润或最小化成本。
通过考虑不同项目的收益和成本，可以得出最佳的资金分配方案。
3.3 能源利用优化：线性规划可以优化能源的利用，以提高能源效率和降低能源成本。
通过考虑不同能源的供应量和需求量，可以得出最佳的能源利用方案。
四、市场营销策略的制定4.1 定价策略优化：线性规划可用于优化产品定价策略，以最大化利润或市场份额。
数学建模_线性规划_运输问题lingo程序
X15 20.00000 0.000000
X16 0.000000 5.000000
X21 0.000000 7.000000
X22 0.000000 2.000000
X23 0.000000 17.00000
X24 0.000000 6.000000
X25 10.00000 0.000000
2 0.000000 -2.000000
3 0.000000 -6.000000
4 0.000000 -5.000000
5 0.000000 -1.000000
6 0.000000 0.000000
7 0.000000 -6.000000
8 0.000000 -4.000000
9 0.000000 -7.000000
MinZ=20x11+15x12+16x13+5x14+4x15+7x16+17x21+15x22+33x23+12x24+8x25+6x26+9x31+12x32+18x33+16x34+30x35+13x36+12x41+8x42+11x43+27x44+19x45+14x46+7x52+10x53+21x54+10x55+32x56+6x64+11x65+13x66
运输点1接收点1运输点23020接收点2运输点33040接收点3运输点41020接收点4运输点520接收点540运输点6接收点6这样的方案费用最小为1620
线性规划运输问题
第四章 运输问题Chapter 4Transportation Problem§4.1 运输问题的定义设有同一种货物从m 个发地1，2，…，m 运往n 个收地1，2，…，n 。
第i 个发地的供应量（Supply ）为s i （s i ≥0），第j 个收地的需求量（Demand ）为d j （d j ≥0）。
每单位货物从发地i 运到收地j 的运价为c ij 。
求一个使总运费最小的运输方案。
我们假定从任一发地到任一收地都有道路通行。
如果总供应量等于总需求量，这样的运输问题称为供求平衡的运输问题。
我们先只考虑这一类问题。
图4.1.1是运输问题的网络表示形式。
运输问题也可以用线性规划表示。
设x ij 为从发地i 运往收地j 的运量，则总运费最小的线性规划问题如下页所示。
运输问题线性规划变量个数为nm 个，每个变量与运输网络的一条边对应，所有的变量都是非负的。
约束个数为m+n 个，全部为等式约束。
前m 个约束是发地的供应量约束，后n 个约束是收地的需求量约束。
运输问题约束的特点是约束左边所有的系数都是0或1，而且每一列中恰有两个系数是1，其他都是0。
运输问题是一种线性规划问题，当然可以用第一章中的单纯形法求解。
但由于它有特殊的结构，因而有特殊的算法。
在本章中，我们将在单纯形法原理的基础上，根据运输问题的特点，给出特殊的算法。
图4.1x x x x x x x x x d x x x d x x x d x x x s x x x s x x x s x x x .t .s x c x c x c x c x c x c x c x c x c z min mn2m 1m n22221n11211n mnn 2n122m 221211m 2111m mn2m 1m 2n222211n11211mn mn 2m 2m 1m 1m n 2n 222222121n 1n 112121111≥=++=++=++=++=+++=++=+++++++++++++=在运输问题线性规划模型中，令X =（x 11，x 12，…，x 1n ，x 21，x 22，…，x 2n ，……，x m1，x m2，…，x mn ）TC =（c 11，c 12，…，c 1n ，c 21，c 22，…，c 2n ，……，c m1，c m2，…，c mn ）T A =[a 11，a 12，…，a 1n ，a 21，a 22，…，a 2n ，……，a m1，a m2，…，a mn ]T=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡行行n m 111111111111111111b =（s 1，s 2，…，s m ，d 1，d 2，…，d n ）T则运输问题的线性规划可以写成：min z=C TX s.t. AX =b X ≥0其中A 矩阵的列向量a ij =e i +e m+je i 和e m+j 是m+n 维单位向量，元素1分别在在第i 个分量和第m+j 个分量的位置上。
线性规划算法在运输问题中的应用
线性规划算法在运输问题中的应用1.前言线性规划是优化问题中的经典方法，它可以求解各种约束条件下的最优解，具有广泛的应用领域，其中之一就是在运输问题中。
本篇文章将会介绍线性规划算法在运输问题中的应用。
2.运输问题的概述运输问题指的是在不同生产地到不同销售地之间物资的转运方案问题。
一般情况下，都是要求在一定情况下，物资的总运输成本最低，因此这个问题就可以转化为一个线性规划问题。
我们可以用各种算法来求解这个线性规划问题，例如单纯形法、对偶单纯形法、内点法等。
3.运输问题的建模要把运输问题转化为线性规划问题，首先要建立一个合适的模型。
通常我们会假设存在 m 个生产地和 n 个销售地，将其分别标记为 i 和 j（i=1, 2, …, m, j=1, 2, …, n）。
同时，我们还需要知道每个生产地的产量（a_i）、每个销售地的销售需求（b_j）和每个单位物资的运输成本（c_ij）。
假设我们还有一个变量，表示从第 i 个生产地到第 j 个销售地所转移的物资量为x_ij，则我们可以设计如下的线性规划模型：min ∑i=1m∑j=1nc_ijx_ijs.t. ∑j=1nb_jx_ij = a_i, i = 1, 2, …, m∑i=1ma_ix_ij = b_j, j = 1, 2, …, nx_ij ≥ 0, i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n其中，第一个约束条件表达的是每个生产地的产量必须全部转移到销售地；第二个约束条件表达的是每个销售地需要满足的需求必须从生产地得到满足；第三个约束条件表达的是转移的物资量必须非负。
我们需要通过求解上述线性规划问题来确定每个变量的取值以及满足目标函数的最小值。
4.应用实例在现实生活中，许多企业都会面临着运输问题。
例如，一些工业公司需要从不同的原材料生产地将材料转移到不同的生产线上，然后将成品运输到各个销售地点。
在这个过程中，经常需要决策如何分配货物，选择哪些物流线路等问题。
运输问题中线性规划法的运用
运输问题中线性规划法的运用我国经济市场的开放，在很大程度上促进了交易活动的进行，这也意味着运输工作压力的进一步加大。
所以，为了更好地认识这一行情，本文将对线性规划在运输问题中的运用做出详尽的说明，以期能够为运输事业献一份力。
在实质的运输领域，有很多常有的问题急于被解决，经过频频的实践，发现以计算机作为载体的线性规划在运输问题中发挥了优秀的作用。
一、线性规划简介线性规划是数学中的一个重要部分，拥有实质应意图义，将现实中的问题记录，而后在成立必定的数学模型，使得某项指标获取最优化。
线性规划设计拥有必定的理论基础，主假如指，在某一要求下，从众多方案中找寻最优的方案。
在线性规划中，主要有拘束条件、数学目标函数、线性关系等几点元素，此中，拘束条件能够是等式，也能够是不等式，所谓的目标函数就是在拘束条件下获得的最值。
线性规划是运筹学中的重要构成部分，常被用于经济经营管理问题，在现代化的管理模式下拥有宽泛的实质意义，影响现代管理的最后决议。
常有的应用领域为生产制造、物流运输、经济规划、科学研究等方面，而且在这些领域都发挥了优秀的作用。
二、线性规划在运输问题中的运用背景剖析依据线性规划在运输问题中的实质运用状况，能够发现对其造成影响的主要有以下两点背景：市场开放惹起的交易活动增添以及煤炭资源资源散布不均惹起的煤炭运输屡次。
交易活动在现代全世界化背景下正在逐渐增添，在这一方面主要阐述网上交易和实质交易。
跟着网络覆盖面积的扩大，计算机普及率的提升，愈来愈多的人选择了进行网上交易，只要要经过网络就能够完成目的。
在网上交易的过程中，会有大批的物质需要进行运输，这就为运输事业创建了优秀的发展背景。
此外，就是实质交易，实质交易也是需要运输的，一般是之间的交易，对大批的物质进行交易。
这些促进了物流家产的发展，而在物流家产中，存在大批的相关规划的问题，依据规划能够很好地降低运输成本、提升运输质量。
不论是公司仍是个人都希望自己能够获取最大的收益，减少输出、消耗，在这一方面，就一定要对物质的运输方案进行合理的规划，事实上，在物质运输上，一般都会提早对运输方案进行规划，以期能够追求到最正确解决方案。
线性规划在运输问题中的应用
线性规划在运输问题中的应用一、引言线性规划是一种优化问题解决方法，应用广泛，特别是在生产和运输领域。
在运输问题中，线性规划可以用来最小化运输成本或最大化运输效益。
本文将探讨在运输问题中如何应用线性规划。
二、运输问题的定义运输问题是指在多个产地和多个销地之间运输商品的问题。
在一个运输问题中，首先需要确定每个产地和销地之间的运输费用，其次需要确定每个销地需要的商品数量和每个产地可供应的商品数量。
最终的目标是以最小的运输成本满足所有销售要求。
三、线性规划基础在运输问题中，线性规划可以用来最小化运输成本或最大化运输效益。
线性规划的目标是最小化或最大化一个线性函数，该函数的变量受到一组线性等式和不等式的限制。
线性规划的一般形式如下：最小值：c_1x_1 + c_2x_2 + ... + c_nx_n条件：a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n ≤ b_1a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + ... + a_{2n}x_n ≤ b_2 · ·· ·· ·a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + ... + a_{mn}x_n ≤ b_m 其中，x1，x2，...，xn是变量；c1，c2，...，cn是线性函数的系数；b1，b2，...，bm是不等式的约束条件；a11，a21，...，amn是系数矩阵。
确定这些系数矩阵可以从运输问题的定义中得出。
四、线性规划在运输问题中的应用1. 单位运输费用法单位运输费用法是解决运输问题的一种简单方法。
这种方法的基本思路是计算每个产地和销地之间的单位运输费用，然后将费用乘以需要运输的商品数量得出总费用。
这种方法没有考虑到不同销地的供求关系，也没有考虑到生产和销售的实际情况。
2. 广义网络法广义网络法是一种用图表达模型的线性规划方法，它可以解决多个销地和多个产地之间的运输问题。
线性规划模型在运输问题中的应用分析
线性规划模型在运输问题中的应用分析随着全球经济一体化进程的加快，各国经济间的联系日益紧密，物流运输也变得越来越重要。
在大量物流运输问题中，解决物流损失、成本分配等问题是最为关键的。
而运输问题通常可以被视为线性规划模型的一种，线性规划模型在运输问题中的应用也越来越受到人们的重视。
一. 运输问题的例子举一个简单的例子来说明运输问题。
假设A、B、C、D四个城市分别有工厂、仓库和销售点，且有以下数据：每个工厂生产的产品数量、仓库容量、销售点需要的产品数量、从一点到另一点的运输成本。
现在需要确定应该从哪些工厂生产哪些产品、应该从哪个工厂运送到哪个仓库、从哪个仓库运往哪个销售点、以及每个运输路径运输的数量等问题。
二. 运输问题的特点运输问题的特点在于：一个A城市的工厂能够生产的产品也可以被B、C、D城市的销售点使用，一个仓库也可以从多个工厂和向多个销售点运输货物。
这种“源-汇”模式的数据结构称为运输网络。
而线性规划模型正好可以处理这种模型，它使用高效的算法寻找最佳运输方案，从而最大程度地降低成本和货物的损失。
三. 模型的基本要素在解决运输问题时，需要建立一个线性规划模型。
它包括以下基本要素：1. 决策变量决策变量是需要最终确定的，例如面对这种运输问题，决策变量可以是每个工厂、仓库和销售点的生产、储存和销售数量等。
2. 目标函数目标函数是要最小化的总成本、总损失等等。
3. 约束条件约束条件是必须满足的等式或不等式，例如每个工厂生产的产品数量应该大于等于零，每个销售点的需求量应该小于等于该点的能力。
4. 非负条件决策变量必须满足非负条件，例如每个工厂、仓库和销售点的数量应该大于等于零。
四. 模型求解线性规划模型的目标是在约束条件下，最优化目标函数。
求解过程中需要使用线性规划算法，这些算法通常都是利用单纯形法、内点法等，来建立单个目标函数的等式或不等式的优化模型。
五. 结论在现代物流运输中，运输问题是一种常见的问题，线性规划模型正好可以处理这种问题。
线性规划在运输问题中的应用
线性规划在运输问题中的应用一、介绍线性规划是优化方法中的一种常见方法，它主要是指寻求在满足一系列约束条件的情况下最大限度地提高某种目标函数的值。
在对各种运输问题进行建模时，线性规划也广泛应用。
在本文中，我们将着重探讨线性规划在运输问题中的应用。
二、定义运输问题在了解线性规划如何应用于运输问题之前，我们需要了解运输问题是什么。
运输问题一般涉及将商品从一个地方运送到另一个地方，并需要最小化或最大化成本或利润等目标。
该问题可以表示为一个线性规划模型，其中各种变量和约束条件可以很好地描述该问题。
三、线性规划模型对于一个标准的运输问题，我们所需要的是一个线性规划模型。
根据这个模型，我们可以了解如何在运输问题中使用线性规划。
如果我们将一个运输问题表示为线性规划模型，我们可以得到以下组成部分：1. 目标函数：可以是最小化或最大化。
2. 变量：这是我们需要确定的变量，例如商品的数量，货物的运输费用等。
3. 约束条件：这些是约束条件，需要满足的条件，例如运输货物的容量限制，客户需求等。
4. 非负约束：这是一个常数，它有助于确保变量始终为正。
通过深入分析运输问题，我们可以确保我们将所有变量和约束条件插入正确的目标函数。
在这里，目标函数是最小化或最大化，而变量和约束条件则会影响该函数的结果。
四、线性规划解决运输问题通过了解运输问题的不同参数，我们可以使用线性规划快速解决运输问题。
我们可以运用简单的算法来求解问题，包括单纯形法、内点法等。
例如，在运输问题中，我们经常利用单纯形法来确定目标函数的最优解。
通过单纯形法，我们可以找到目标函数的最佳解，并确定每个变量的最佳值。
然后，我们可以使用这些值来确定问题的解决方案，以实现最小化或最大化我们的目标函数。
五、实际应用线性规划在运输问题中的实际应用是广泛的。
例如，在制造业中，线性规划可用于优化生产线，减少运输成本，以及减少生产时间，提高生产效率等方面中。
类似地，在供应链管理方面，线性规划是一个重要的工具，可以用来优化存储、运输，以及供应等方面的成本。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
多余的1吨供应B3，并给出表3-7，表3-8。
销 地 B1 B2 B3 B4 产
加工厂
量
A1
7
A2
3
1
4
A3
9
销量
36 5 6
销 地 B1
B2
B3
B4
加工厂
A1
3 11 3 10
A2
19 28
A3
7 4 10 5
清华大学出版社
13
2.1 确定初始基可行解
第三步：在表3-8未划去的元素中再找出最小运价3；这样一 步步地进行下去，直到单位运价表上的所有元素划去为止， 最后在产销平衡表上得到一个调运方案，见表3-9。这方案的 总运费为86元。
二、线性规划与目标规划
第1章 第2章 第3章 第4章
线性规划与单纯形法 对偶理论与灵敏度分析 运输问题 目标规划
清华大学出版社
1
第3章 运输问题
第1节 运输问题的数学模型 第2节 表上作业法 第3节 产销不平衡的运输问题及其求解方法 第4节 应用举例
清华大学出版社
2
第1节 运输问题的数学模型
❖ 已知有m个生产地点Ai,i=1,2,…，m。可供应某种物资， 其供应量(产量)分别为ai，i=1，2，…，m，有n个销地 Bj，j=1,2,…,n，其需要量分别为bj，j=1,2,…,n，从Ai 到Bj运输单位物资的运价(单价)为cij，这些数据可汇总 于产销平衡表和单位运价表中，见表3-1，表3-2。有 时可把这两表合二为一。
x11 x12 x1n x21 x22 x2n xm1 xm2 xmn
u1 1 1 1
u2
um
1
1
1
1
1
1
m行
v1
1
v2
vn
1
1
1
1
1
1
1
1
n行
清华大学出版社
5
第1节 运输问题的数学模型
该系数矩阵中对应于变量xij的系数向量Pij，其分量中除第i个和 第m+j个为1以外，其余的都为零。即 Pij=(0,… ,1,0,…,0,1,0,…,0)T=ei+em+j
清华大学出版社
8
第2节 表上作业法
❖ 解：先作出这问题的产销平衡表和单位运价表，见表 3-3，表3-4
表3-3 单位运价表
销 地 B1 B2 B3 B4 加工厂
A1
3 11 3 10
A2
19 2 8
A3
7 4 10 5
表3-4 产销平衡表
销 地 B1 B2 B3 B4 产
加工厂
量
A1
7
A2
4
A3
9
销 地 B1 B2 B3 B4 产
加工厂
量
A1
43 7
A2
3
1
4
A3
6
39
销量
36 56
清华大学出版社
14
2.1 确定初始基可行解
用最小元素法给出的初始解是运输问题的基可行解，其理由为：
❖ (1) 用最小元素法给出的初始解，是从单位运价表中逐次地 挑选最小元素，并比较产量和销量。当产大于销，划去该 元素所在列。当产小于销，划去该元素所在行。然后在未 划去的元素中再找最小元素，再确定供应关系。这样在产 销平衡表上每填入一个数字，在运价表上就划去一行或一 列。表中共有m行n列，总共可划(n+m)条直线。但当表中只 剩一个元素时，这时当在产销平衡表上填这个数字时，而 在运价表上同时划去一行和一列。此时把单价表上所有元 素都划去了，相应地在产销平衡表上填了(m+n-1)个数字。 即给出了(m+n-1)个基变量的值。
销量
36 5 6
清华大学出版社
9
2.1 确定初始基可行解
与一般线性规划问题不同，产销平衡的运输问题总是存在 可行解。因有
m
n
ai bj d
i 1
j 1
必存在xij≥0，i=1，…，m，j=1，…，n，这就是可行解。又因 0≤xij≤min(aj，bj)，故运输问题必存在最优解。
清华大学出版社
10
销地 产地
1 2 ┆ m
销量
1 2┉n
B1 B2 ┈ BNn
产量
A1 A2 ┆ Am
销地 产地
1 2 ┆ m
1 2┉n
C11 c12 ┈ c1n C21 c22 ┈ c2n
┇ cm1 cm2 ┈ cmn
清华大学出版社
3
第1节 运输问题的数学模型
❖ 若用xij表示从Ai到Bj的运量，那么在产销平衡的条件下， 要求得总运费最小的调运方案的数学模型为
❖ (2) 求各非基变量的检验数，即在表上计算空格的检验数， 判别是否达到最优解。如已是最优解，则停止计算，否则转 到下一步。
❖ (3) 确定换入变量和换出变量，找出新的基可行解。在表上 用闭回路法调整。
❖ (4) 重复(2)，(3)直到得到最优解为止。
清华大学出版社
7
第2节 表上作业法
❖ 例1 某公司经销甲产品。它下设三个加工厂。每日 的产量分别是：A1为7吨，A2为4吨，A3为9吨。该公 司把这些产品分别运往四个销售点。各销售点每日销 量为：B1为3吨，B2为6吨，B3为5吨，B4为6吨。已知 从各工厂到各销售点的单位产品的运价为表3-3所示。 问该公司应如何调运产品，在满足各销点的需要量的 前提下，使总运费为最少。
mn
min z cij xij
i1 j1
m xij bj j 1,2,, n
i 1
n
s.t.
xij
aij
i
1,2,,m
j1
xij 0
(3 1) (3 2)
清华大学出版社
4
第1节 运输问题的数学模型
❖ 这就是运输问题的数学模型。它包含m×n个变量，(m+n) 个约束方程，其系数矩阵的结构比较松散，且特殊。
对产销平衡的运输问题，由于有以下关系式存在：
n
bj
j 1
m n
i1
xij
j 1
jn1
m
i 1
xij
m
ai
i 1
清华大学出版社
6
第2节 表上作业法
❖ 表上作业法是单纯形法在求解运输问题时的一种简化方法， 其实质是单纯形法。但具体计算和术语有所不同。可归纳为：
❖ (1) 找出初始基可行解。即在(m×n)产销平衡表上用西北角 法或最小元素法，Vogel法给出m+n-1个数字，称为数字格。 它们就是初始基变量的取值。 。
2.1 确定初始基可行解
确定初始基可行解的方法很多，有西北角法，最小元素法 和伏格尔(Vogel)法。一般希望的方法是既简便，又尽可能 接近最优解。下面介绍两种方法： 1. 最小元素法
基本思想是就近供应，即从单位运价表中最小的运价开始确定 供销关系，然后次小。一直到给出初始基可行解为止。以例1 进行讨论。 第一步：从表3-3中找出最小运价为1，这表示先将A2的产品供 应给B1。因a2＞b1，A2除满足B1的全部需要外，还可多余1吨产 品。在表3-4的(A2，B1)的交叉格处填上3。得表3-5。并将表33的B1列运价划去。得表3-6。
清华大学出版社
11
Байду номын сангаас
2.1 确定初始基可行解
表 3-5 和表3-6
销 地 B1 B2 B3 B4 产
加工厂
量
A1
7
A2
3
4
A3
9
销量
36 5 6
销 地 B1 B2 B3 B4 加工厂
A1
3 11 3 10
A2
19 2 8
A3
7 4 10 5
清华大学出版社
12
2.1 确定初始基可行解
第二步：在表3-6未划去的元素中再找出最小运价2，确定A2