初三二次函数与几何图形面积

【例1】 （改编题）如图，抛物线233y mx mx =+-（0m >）与y 轴交于点C ,与x 轴交于A 、B 两点，

点A 在点B 的左侧，且1

tan 3OCB ∠=．

⑴求此抛物线的解析式；

⑵如果点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，设D 点的横坐标为x ，ACD ∆的面积为S ，求S 与x 的关系式，并求当S 最大时，点D 的坐标；

例题精讲

二次函数与几何图形面积

【例2】 已知：如图，抛物线2334y x =-+与x 轴交于点A 、点B ，与直线3

4

y x b =-+相交于点B 、点C ，

直线3

4y x b =-+与y 轴交于点E ．

⑴求直线BC 的解析式．

⑵若点M 在线段AB 上以每秒1个单位长度的速度从A 向B 运动（不与A ，B 重合），同时，点

N 在射线BC 上以每秒2个单位长度的速度从B 向C 运动．设运动时间为t 秒，请写出MNB ∆的

面积S 与t 的函数关系式，并求出点M 运动多少时间时，MNB ∆的面积最大，最大面积是多少？

【例3】如图①，梯形ABCD中，90

∠=︒．动点E、F同时从点B出发，点E沿折线BA AD DC

--运

C

动到点C时停止运动，点F沿BC运动到点C时停止运动，它们运动时的速度都是1cm/s．设E、

cm．已知y与t的函数图象如图②所示，其中曲线OM为抛F出发t s时，EBF

∆的面积为y2

物线的一部分，MN、NP为线段．请根据图中的信息，解答下列问题：

⑴梯形上底的长______

AD=cm，梯形ABCD的面积＝__________cm2；

⑵当点E在BA、DC上运动时，分别求出y与t的函数关系式（注明自变量的取值范围）；

⑶当t为何值时，EBF

∆与梯形ABCD的面积之比为1:2

图①

【例4】 如图，已知直角梯形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，2OA AB ==，

3OC =，过点B 作BD BC ⊥，交OA 于点D ．将DBC ∠绕点B 按顺时针方向旋转，角的两边分

别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于E 和F ． ⑴求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式； ⑵当BE 经过⑴中抛物线的顶点时，求CF 的长；

⑶连结EF ，设BEF ∆与BFC ∆的面积之差为S ，问：当CF 为何值时S 最小，并求出这个最小值．

【例5】 如图1，在Rt △AOB 中，OB ＝8，tan ∠OBA ＝

4

3

，若以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点C 在x 轴负半轴上，且OB ＝4OC ，抛物线y ＝ax

2

＋bx ＋c 经过A 、B 、C 三点 ⑴求该抛物线的解析式

⑵设抛物线的顶点为D ，求四边形OADB 的面积

⑶如图2，动点P 、Q 同时从点O 出发，其中点P 以每秒2个长度单位的速度沿折线OAB 按O →A →B 的路线运动，点Q 以每秒4个单位长度的速度沿折线按O →B →A 的路线运动，当P 、Q 两点相遇时，它们都停止运动，设t 秒时△OPQ 的面积为S ①求S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围

②判断在①的过程中，t 为何值时，△OPQ 的面积最大，最大面积是多少？

【例6】 如图，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（3，0），（0，1），点D 是线段BC 上的动

点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线y ＝－

2

1

x ＋b 交折线OAB 于点E ． ⑴记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式；

⑵当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形1111O A B C ，试探究四边形1111O A B C 与矩形OABC 重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．

【例7】 在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，CD 是斜边AB 上的高，点E 在斜边AB 上，过点E 作

直线与△ABC 的直角边相交于点F ，设AE ＝x ，△AEF 的面积为y ． ⑴求线段AD 的长；

⑵若EF ⊥AB ，当点E 在斜边AB 上移动时，

①求y 与x 的函数关系式（写出自变量x 的取值范围） ②当x 取何值时，y 有最大值？并求其最大值；

⑶若点F 在直角边AC 上（点F 与A 、C 两点均不重合），点E 在斜边AB 上移动，试问：是否存在直线EF 将△ABC 的周长和面积同时平分？若存在直线EF ，求出x 的值；若不存在直线EF ，请说明理由．

B

A

D

C B

A

D

C

（备用图）

【例8】已知：如图，抛物线22

=-+(0

y ax ax c

a≠)与y轴交于点(04)

C，，与x轴交于点A、B，点A 的坐标为(40)

，

⑴求该抛物线的解析式；

⑵点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE AC

∆的面积最

∥，交BC于点E，连接CQ。当CQE Array

大时，求点Q的坐标；

【例9】如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(22)

，，抛物线经过A、O、

-，,点B的坐标为(66)

B三点，连结OA、OB、AB，线段AB交y轴于点E．

⑴求点E的坐标；

⑵求抛物线的函数解析式；

⑶点F为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线EF与抛物线交于M、N两点（点N

在y轴右侧），连结ON、BN，当点F在线段OB上运动时，求BON

∆面积的最大值，并求出此时点N的坐标；