一道数学题的证明

一道数学题的证明

题目：任取两个位数相同的自然数（至少为两位数），将两个自然数各位数字相加得到和1。再将两个自然数相加得到一个数，将此数的各位数字相加得到和2。请证明和1减去和

2之差为9的倍数。如：35，91，3+5+9+1=18，35+91=126，1+2+6=9，18-9=9。

证明：令数1=A1+10A2+100A3+1000A4+…..+10N-1A N;

数2=B1+10B2+100B3+1000B4+…..+10N-1B N;其中，A、B、

为小于等于9的自然数，且不同时为0,N为大于等于2的自

然数。

则和1=A1+A2+A3+A4+…..+A N+ B1+B2+B3+B4+…..+B N;

数1+数2=A1+10A2+100A3+1000A4+…..+10N-1A N+

B1+10B2+100B3+1000B4+…..+10N-1B N

=（A1+B1）

+10(A2+B2)+100(A3+B3)+1000(A4+B4)+…….10N-1(A N+B N)

令A1+B1=10H1+F1，根据加法进位规则，则有：

A2+B2+H1=10H2+F2

A3+B3+H2=10H3+F3

....

A N+

B N+H N-1=10H N+F N,H为1或0，F为小于等于9的自然数或

0。则：

数1+数

2=10H1+F1+100H2+10F2-10H1+1000H3+100F3-100H2+....+10N H

N+1

0N-1F N-10N-1H N-1

=F1+10F2+100F3+1000F4+...+10N-1F N+10N H N;F,H都为小于等于9的整数。所以和2=F1+F2+F3+....+F N+H N；

和1-和2= A1+A2+A3+A4+…..+A N+B1+B2+B3+B4+…..+B N- (F1+F2+F3+....+F N+H N)

=10H1+10H2+10H3+…+10H N–H1-H2-H3-....-H N-1-H N

=9(H1+H2+H3+....+H N-1+H N)。证明完毕。