《电路》第五版 邱关源罗先觉第四章电路定理

+ –
uk
ik
例
u 10 i1 110 / 5 (5 10) // 10 ＋ 解 110V － 10 A － i2 3i1 / 5 6 A i3 2i1 / 5 4 A 替 代 u 10i2 60V
5 替代以后有：
求图示电路的支路电压 和电流。
5
5 ＋
第4章 电路定理 (Circuit Theorems)
4.1 叠加定理 (Superposition Theorem)
4.2 4.3 4.4 替代定理 (Substitution Theorem) 戴维宁定理和诺顿定理 (Thevenin-Norton Theorem) 最大功率传输定理
重点: 掌握各定理的内容、适用范围及 如何应用。
(1)
U 4 wk.baidu.com 6 2V
画出分 电路图
– 12V + 2
8
6
3
＋
+ U(1) －
8 2
3A
6 + U(2） 3 －
例2
求电流源的电压和发出 的功率
(1)
＋
10V
2 ＋ 2A u
10V电源作用：
3 2 － u ( ) 10 2V 5 5 23 ( 2) 2 2 4.8V 2A电源作用：u 5
解
保留Rx支路，将其余一端 口网络化为戴维宁等效电路：
6
b 10V +
–
a + – U1 + U2 – 10V + – + Rx Uoc
_
(1) 求开路电压
Uoc = U1 + U2 I = -104/(4+6)+10 6/(4+6) = -4+6=2V b
(2) 求等效电阻Req
Req=4//6+6//4=4.8
R1 21A R1 8A R1 3A + 3V – + 21V– + 8V – + + R2 us 13A R2 5A R2 – –us'=34V
i
i '=1A
2 RL A
+ 2V –
解
则
采用倒推法：设i'=1A。
i us ' i' us
us 51 即 i ' i' 1 1.5 A us 34
以用一个电压源和电阻的串联组合来等效置换；此电压源
的电压等于外电路断开时端口处的开路电压 uoc ，而电阻 等于一端口的输入电阻（或等效电阻Req）。
i
i a
Req + -
a
u b
A
u
b
Uoc
例
a
a
10 + 20V –
10 U0C + 10V – – b a
+
2A
1A
5
+ U0C
– b
(1) 求开路电压Uoc
iS
无源 线性 网络
i
研 究 激 励 和 响 应 关 系 的 实
求 uS － V , i S 5 A 时， 3 响应 i ？
解
根据叠加定理，有：
k1 k2 2 代入实验数据，得： 2k1 k2 1 i uS i S 3 5 2 A
i k1i S k2 uS
iS 1 G2uS 2 G3uS 3 un1 G2 G3 G2 G3 G2 G3
或表示为：
1
i2 R1 is1
R2 + –
us2
i3 R3 + us3 –
un1 a1i S 1 a 2 us 2 a 3 uS 3 u u
(1 ) n1 ( 2) n1
u
( 3) n1
4. 2
替代定理 (Substitution Theorem)
1.替代定理
对于给定的任意一个电路，若某一支路电压为uk、
电流为 ik ，那么这条支路就可以用一个电压等于 uk 的
独立电压源，或者用一个电流等于 ik的 独立电流源来 替代，替代后电路中全部电压和电流均保持原值。
ik
支 路 k
+ uk –
1 1 1 20 对a点 ( )ua 1 2 4 4
ua ub 8V
I1 1 A
uR uC ub 20 8 12V 12 R 6 2
I R I1 1 2 A
4.3 戴维宁定理和诺顿定理 (Thevenin-Norton Theorem)
u Req i
a
iSC
b
2 3
方法更有一般性。
注： (1) 外电路可以是任意的线性或非线性电路，外电路
发生改变时，含源一端口网络的等效电路不变(伏 -安特性等效)。 (2) 当一端口内部含有受控源时，控制电路与受控源 必须包含在被化简的同一部分电路中。
例1.
4 Rx
a I
6 4
计算Rx分别为1.2、 5.2时的I；
( ( ( i31) i3 2) i33)
结论
结点电压和支路电流均为各电源的一次函数，均 可看成各独立电源单独作用时，产生的响应之叠加。
3. 几点说明
1. 2.
叠加定理只适用于线性电路。 一个电源作用，其余电源为零
1
电压源为零—短路。 电流源为零—开路。
1
(1 i2 )
i2 R1 is1
4.1
1. 叠加定理
叠加定理
(Superposition Theorem)
在线性电路中，任一支路的电流(或电压)可以看成 是电路中每一个独立电源单独作用于电路时，在该支路 产生的电流(或电压)的代数和。
1
2 .定理的证明
用结点法： G1 is1
i2
G2 + – us2
i3 G3 + us3 –
(G2+G3)un1=G2us2+G3us3+iS1
5.
含受控源(线性)电路亦可用叠加，但叠加只适用于 独立源，受控源应始终保留。
4. 叠加定理的应用 例1 解
求电压U.
8 – 12V + 2
3A
6 + 3 U －
3 12V电源作用： U 12 4V 9 3A电源作用： U ( 2 ) (6 // 3) 3 6V
+
9V – 3
I
+ 3 oc U0 U – –
b
a + Req + Uoc – b (2) 求等效电阻Req 方法1：加压求流
3
U0
-
6
6I + I0 – I
3
a + U0 – b
U0=6I+3I=9I I=I06/(6+3)=(2/3)I0
U0 =9 (2/3)I0=6I0
Req = U0 /I0=6 (Uoc=9V) 6 I1 +3I=9
R2 + – us2
i3 R3 + us3 –
=
R1 is1
R2
(1 i3 )
R3
三个电源共同作用
is1单独作用
1
(2 i2 )
1
+
R1
R2 + –
us2
i
( 2) 3
R3
+
R1
(3 i2 )
R2
(3 i3 )
R3
+
us3 –
us2单独作用
3.
us3单独作用
功率不能叠加(功率为电压和电流的乘积，为电源的 二次函数)。 4. u,i叠加时要注意各分量的参考方向。
k1 1 k2 1
5. 齐性原理（homogeneity property)
线性电路中，所有激励(独立源)都增大(或减小)同样 的倍数，则电路中响应(电压或电流)也增大(或减小)同样 的倍数。 当激励只有一个时，则响应与激励成正比。
例6.
RL=2 R1=1 R2=1 us=51V 求电流 i 。
（2）等效电阻的计算 等效电阻为将一端口网络内部独立电源全部置零(电压源 短路，电流源开路)后，所得无源一端口网络的输入电阻。 常用下列方法计算：
1 当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联和△－Y
互换的方法计算等效电阻；
2 外加电源法（加压求流或加流求压）。 a a P P + + u i u i Req Req – – b b 3 开路电压，短路电流法。 Req + uoc Uoc Req – i sc
＋
6 － 6V ＋
3 ＋ － 1 ＋ 12V 2A －
说明：叠加方式是任意的，可以一次一个独立源单独作用， 也可以一次几个独立源同时作用，取决于使分析计算简便。
例4
i
( 1)
计算电压u电流i。
10V电源作用：
＋ 10V －
i
2
5A ＋ 1 ＋ 2i － u －
(10 2i ) /( 2 1)
i1
i2
i3
10
5
i1 (110 60) / 5 10 A
i1
＋
i3 60 / 15 4 A i2 i1 i3 6 A
＋ 110V － －
i2 60V
i3
10
替代后各支路电压和电流完全不变。
2. 替代定理的应用 例1
试求I1。 3 + 2 – 4 ＋ 7V － I1 4A 6 I1 ＋ 7V － 5 1 4 + 6V – 6 + 3V －
工程实际中，常常碰到只需研究某一支路的电
压、电流或功率的问题。对所研究的支路来说，电
路的其余部分就成为一个有源二端网络，可等效变 换为较简单的含源支路(电压源与电阻串联或电流 源与电阻并联支路), 使分析和计算简化。戴维宁 定理和诺顿定理正是给出了等效含源支路及其计算
方法。
1. 戴维宁定理
任何一个线性含源一端口网络，对外电路来说，总可
(1)
i (1) 2 A
u(1) 1 i (1) 2i (1) 3i (1) 6V
5A电源作用： 2i
( 2)
1 (5 i ) 2i
( 2)
( 2)
0
i ( 2 ) 1 A
受控源始 终保留
u
( 2)
2i
( 2)
2 (1) 2V
i 2 (1) 1 A
其余电源作用：
3A ＋ 12V －
1 2A
i ( 2) (6 12) /( 6 3) 2 A ( 2) ( 2) u 6i 6 2 1 8V
画出分 电路图 6
＋ （1） － u 1 3
3A
u u(1) u( 2 ) 9 8 17V u (2） (2) i
解
用替代：
4A
2
7 2 4 15 I1 2.5 A 6 24 6
例2
4 1A I
已知: uab=0, 求电阻R。 C R IR +
解 用替代：
uab 3 I 3 0 I 1A
用结点法： 20V －
a
3 ＋ 3V － 8 2
b
I1
uC 20V
Isc
独立源置零 方法2：开路电压、短路电流 6 – 6I + a
I1
+ 9V – 独立源保留 3
I
I=-6I/3=-2I Isc=I1=9/6=1.5A
I=0
b
Req = Uoc / Isc =9/1.5=6
a (3) 等效电路 + Req + Uoc – 9V b 计算含受控源电路的等效电阻是用外加电源法还是开 路、短路法，要具体问题具体分析，以计算简便为好。
I Req + Uoc – b a Rx
(3) Rx =1.2时， I= Uoc /(Req + Rx) =0.333A Rx =5.2时， I= Uoc /(Req + Rx) =0.2A
例2.
6
求U0 。 – 6I + a
解
+
(1) 求开路电压Uoc
Uoc=6I+3I I=9/9=1A Uoc=9V
U oc 3 5 15V
(2) 求等效电阻Req
Req + Uoc –
5 15V
+
b
Req 10 // 10 5 Ω
3.定理的应用
(1) 开路电压Uoc 的计算 戴维宁等效电路中电压源电压等于将外电路断开时的开 路电压Uoc，计算Uoc的方法视电路形式选择前面学过的任 意方法，使易于计算。
3 2
－
3
u 6.8V
P 6.8 2 13.6W
＋
3
为两个简 单电路
画出分 电路图 10V －
＋
2 ＋
U（1） － 3
2
2 ＋ 2A U（2） 3 2 － 3
例3
(1)
计算电压u。
6 － 6V ＋ 3
＋ u －
3A电流源作用：
u (6 // 3 1) 3 9V
支路电流为：
G2iS1 G2G3 G2G3uS 3 i2 (un1 u S 2 )G2 uS 2 G2 G3 G2 G3 G2 G3
( ( ( b1iS1 b2uS 2 b3u S 3 i21) i22) i23) G3iS1 G2G3 G2G3 i3 (un1 u S 3 )G3 uS 2 uS 3 G2 G3 G2 G3 G2 G3
1 u（1） ＋ (1) 2i － － ＋
u 6 2 8V
i（1） ＋ 画出分 电路图 10V － 2
＋
i (2)
2
5A ＋ 1 u(2) ＋ (2) 2i － －
例5
封装好的电路如图，已知下 ＋ 列实验数据：
uS
－
当 uS 1V , i S 1 A 时， 响应 i 2 A 当 uS 1V , i S 2 A 时， 响应 i 1 A