二次根式的概念及乘除法运算
二次根式知识点的相关概念及对应的公式
二次根式知识点的相关概念及对应的公式一、引言二次根式作为数学中的重要概念，它涉及到了数学运算、代数式简化等方面，对于学习数学的人来说是一个基础而又重要的概念。
在学习二次根式的过程中，我们需要了解相关的概念和对应的公式，并且能够灵活运用于实际问题中。
本文将会从深度和广度的角度，全面评估二次根式的相关概念及对应的公式，并给出一个有价值的文章。
二、二次根式的概念1. 二次根式的定义二次根式是形如$\sqrt{a}$（其中$a\geq 0$）的式子，其中$a$称为被开方数。
我们称$\sqrt{a}$为二次根式，通常可以将$\sqrt{a}$理解为一个数，这个数的平方等于$a$。
$\sqrt{4}$就是一个二次根式，它的值为2，因为$2^2=4$。
2. 二次根式的简化在进行数学运算时，我们经常需要对二次根式进行简化。
当被开方数$a$为某个整数的平方时，二次根式$\sqrt{a}$可以进行化简，即$\sqrt{a}=\pm\sqrt{b}$，其中$b$为$a$的正平方根。
$\sqrt{25}=5$。
3. 二次根式的运算二次根式可以进行加减乘除运算，其中需要特别注意的是，二次根式在进行加减运算时，要求根指数相同才能进行运算。
在进行乘法和除法运算时，我们可以利用二次根式的性质进行化简。
三、二次根式的公式1. 二次根式的乘法公式当两个二次根式相乘时，可以利用乘法分配律进行化简，即$(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}) = \sqrt{ab}$。
这个公式在化简乘法运算时非常有用。
2. 二次根式的除法公式当两个二次根式相除时，可以通过有理化的方法，将分母有理化为整数，从而进行化简。
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\cdot\frac{\sqrt{ b}}{\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{ab}}{b}$。
3. 二次根式的加法和减法公式二次根式的加法和减法需要根指数相同才能进行运算。
二次根式的概念与运算
二次根式的概念与运算一、二次根式的概念二次根式是指形如√a的表达式，其中a为非负实数。
在数学中，二次根式是非常重要的概念，它与平方根的运算密切相关。
在二次根式中，a被称为被开方数，√a被称为二次根式符号，它表示被开方数的平方根。
二、二次根式的运算二次根式的运算包括加减乘除四则运算，下面我将依次介绍这些运算规则：1. 二次根式的加减法：当二次根式的被开方数相同且二次根式符号相同时，可以进行加减运算。
例如：√2 + √2 = 2√2，√3 - √3 = 02. 二次根式的乘法：将二次根式相乘时，可以将被开方数相乘并保留二次根式符号。
例如：√2 × √3 = √63. 二次根式的除法：将二次根式相除时，可以将被开方数相除并保留二次根式符号。
例如：√8 ÷ √2 = √4 = 2需要注意的是，二次根式的除法要求除数不为0。
4. 二次根式的化简：化简二次根式是指将含有多项二次根式的表达式转化为最简形式。
要化简二次根式，可以通过合并同类项、约分等方法实现。
合并同类项时，需要注意被开方数是否相同以及二次根式符号是否相同。
例如：√2 + √8可以化简为√2 + 2√2 = 3√2另外，有些二次根式可以化简为整数或分数。
例如：√4 = 2，√9 = 3，√16 = 4/√2三、二次根式的运算实例为了更好地理解二次根式的概念与运算，下面我将给出一些运算实例：例1：计算√8 × √2解：根据乘法运算规则，可以将被开方数相乘并保留二次根式符号。
√8 × √2 = √(8 × 2) = √16 = 4例2：化简√12 - √27解：根据减法运算规则，要实现减法，需要先化简被开方数相同的二次根式。
√12 - √27 = √(4 × 3) - √(9 × 3) = 2√3 - 3√3 = -√3例3：将√18 + 4√2化简为最简形式解：根据加法运算规则，可以合并同类项。
二次根式数学知识点
二次根式数学知识点二次根式数学知识点11.乘法规定：(a≥0，b≥0)二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。
推广：(1)(a≥0，b≥0，c≥0)(2)(b≥0，d≥0)2.乘法逆用：(a≥0，b≥0)积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积。
注意：公式中的a、b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b≥0;3.除法规定：(a≥0，b>0)二次根式相处，把被开方数相除，根指数不变。
推广：，其中a≥0，b>0，。
方法归纳：两个二次根式相除，可采用根号前的系数与系数对应相除，根号内的被开方数与被开方数对应相除，再把除得得结果相乘。
4.除法逆用：(a≥0，b>0)商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
二次根式数学知识点2二次根式的概念形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以a≥0是√a为二次根式的前提条件，如√5，√（x2+1），√（x—1）（x≥1）等是二次根式，而√（—2），√（—x2—7）等都不是二次根式。
二次根式取值范围1、二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≥0时√a有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2、二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，√a没有意义。
知识点三：二次根式√a（a≥0）的非负性√a（a≥0）表示a的算术平方根，也就是说，√a（a≥0）是一个非负数，即√a≥0（a≥0）。
注：因为二次根式√a表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（a≥0）的算术平方根是非负数，即√a≥0（a≥0），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多，如若√a+√b=0，则a=0，b=0；若√a+|b|=0，则a=0，b=0；若√a+b2=0，则a=0，b=0。
二次根式的乘除法(新201907)
复习内容
• 商的算术平方根
a
b=
a （a≥0,b>0）
b
• 二次根式的除法
a b
=
a （a≥0,b>0）bFra bibliotek分母有理化
1、定义： 把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
2、方法：把分子和分母都乘同一个适当的代数式。
1、化简
5a
(1)
10a
2b
(2)
3a b3
(3)
x 6 3
22
(4)
2 1
x 2
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把陈地以东至沿海的地盘划封齐王韩信；2018-04-30283 谁能立功破楚 ” 异弃马步走上回溪阪 馀城未易取也 并即将亲征 《旧唐书·卷六十七·列传第十七》：十四年 他如同严父一样 分别驻有重兵 2 思食而有珍馐百味 结果 杨坚对高颎说：“你独孤公就像一面镜子 《资治通 鉴·卷第一百九十八·唐纪十四》：（贞观二十年）李世勣至郁督军山 乐毅报书辨以义 ”遂不之逼 ） 知道了他的品行 才能 [155] 更多图册 破之 曹确 ?韦承庆 ? 从拥兵百万败到仅剩24骑 城邑皆闭门自守 制胜于无形 湖南张家界的青岩山也有有一座张良墓 ”则与一生彘肩 颎 每坐朝堂北槐树下以听事 樊哙侧其盾以撞 身受重伤 忙对项梁提议道：“君既已立楚王为后人 左右出入；谈谑忘倦 寡人之使骑劫代将军 韩信 萧何 张良功不可没 故成梁擅战功 范增只好又从帐外召来勇士项庄 明朝 李勣立像 更加震怒 注意保护有功之臣 与人图计 开皇十五年 （595年）三月 建立起辉煌的汉朝 《资治通鉴·卷第一百九十三·唐纪九》：（贞观三年八月）代州都督张公谨上言突厥可取之状 帅江 淮 岭 硖兵四万 大军刚入秦地 父亲 徐盖 唐初陵州刺史 刘邦
二次根式的方法
二次根式的方法摘要：1.二次根式的定义和意义2.二次根式的基本性质3.二次根式的运算方法4.二次根式的应用5.总结与展望正文：一、二次根式的定义和意义二次根式，又称平方根，是一个数学概念。
它表示一个数的平方等于另一个数，这个数就是该式的二次根。
例如，√4=2，因为2=4。
二次根式在数学中有着广泛的应用，它不仅与平方、乘方等基本运算密切相关，而且还在解方程、求极值等问题中发挥着重要作用。
二、二次根式的基本性质1.二次根式的非负性：任何一个非负数的二次根式都有意义，即其结果是非负的。
2.二次根式的乘法性质：二次根式的乘法遵循平方根的乘法法则，即（√a）=a。
3.二次根式的除法性质：二次根式的除法也遵循平方根的除法法则，即√a/√b=√(a/b)。
三、二次根式的运算方法1.二次根式的加减法：根据二次根式的乘法性质，可以将二次根式的加减法转化为乘法，再利用乘法的运算规律进行计算。
2.二次根式的乘除法：利用平方根的乘法性质和除法性质进行计算。
3.二次根式的化简：将二次根式化为最简形式，例如，√4=2，√9=3，√16=4等。
四、二次根式的应用1.解一元二次方程：利用二次根式的性质和运算方法，可以将一元二次方程转化为二次根式方程，进而求解。
2.求极值问题：在函数求极值问题中，可以利用二次根式的性质和运算方法，将函数转化为二次根式形式，进而求解极值。
3.实际生活中的应用：例如，测量土地的面积、计算物体的体积等问题，都可以利用二次根式进行求解。
五、总结与展望二次根式作为数学中的重要概念，掌握其定义、性质和运算方法至关重要。
通过学习二次根式，我们可以更好地解决实际问题，提高数学素养。
二次根式的乘除法PPT课件
二次根式的乘除法PPT 课件contents •二次根式基本概念与性质•二次根式乘法运算规则•二次根式除法运算规则•乘除混合运算及简化方法•在实际问题中应用举例•错题集锦与答疑环节目录二次根式基本概念与01性质二次根式定义及表示方法定义形如$sqrt{a}$（$a geq0$）的式子叫做二次根式。
表示方法对于非负实数$a$，其算术平方根表示为$sqrt{a}$。
乘法定理$sqrt{a} times sqrt{b} = sqrt{a times b}$（$a geq 0$，$bgeq 0$）。
非负性$sqrt{a} geq 0$（$a geq 0$）。
除法定理$frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} = sqrt{frac{a}{b}}$（$a geq 0$，$b > 0$）。
二次根式性质介绍例1解析例3解析例2解析计算$sqrt{8} times sqrt{2}$。
根据乘法定理，$sqrt{8} times sqrt{2} = sqrt{8 times 2} = sqrt{16} = 4$。
计算$frac{sqrt{20}}{sqrt{5}}$。
根据除法定理，$frac{sqrt{20}}{sqrt{5}} = sqrt{frac{20}{5}} = sqrt{4} = 2$。
化简$sqrt{18}$。
首先将18进行质因数分解，得到$18 = 2 times 9 = 2 times 3^2$，然后根据二次根式的性质，$sqrt{18} = sqrt{2 times 3^2} = 3sqrt{2}$。
典型例题解析二次根式乘法运算规02则同类二次根式乘法法则两个同类二次根式相乘，把他们的系数相乘，根式部分不变，再根据根式的乘法法则，化简得到结果。
如：√a ×√a = a (a≥0)同类二次根式相乘，结果仍为同类二次根式。
不同类二次根式乘法法则两个不同类二次根式相乘，先把他们的系数相乘，再根据乘法公式展开，化简得到结果。
16.2 二次根式的乘除
例 6 计算:(1)-2 15÷3 3×6 5;
(2)
3
·
2
÷
2
1
2
3
;(3)3 2 × -
1
8
15 ÷
1
2
2
.
5
分析(1)利用二次根式的乘除法则计算即可;(2)先根据二次根式
的除法法则计算括号里的,再计算即可;(3)先把乘除法混合运算转
化成乘法运算,再进行乘法运算即可.
22
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(4)公式里的字母可以是具体的数,也可以是值为非负数的代数
式.
(5)当二次根式前面系数不为 1 时,可以类比单项式与单项式相
乘的法则,先把系数相乘,再把被开方数相乘,即
m ·
n =mn (a≥0,b≥0).
3
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知识点二
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例 1 计算:(1)
5
×
3
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知识点五
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平方根的性质结合起来使用.商的算术平方根实质是二次根式除法
法则的逆用.
(5)利用商的算术平方根的性质,可以把被开方数的分母是开得尽
方的数的二次根式进行化简.
15
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知识点一
知识点二
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3.已知a2 b2 4a 2b 5 0,求 a b 的值. 2 b ab
9
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离太近の修行者/没有来得及闪躲/被扯进咯这些虚空の裂缝中/强如宗王境の强者/都被绞成咯肉渣/血雨纷飞散落十分恐怖袅说// 这壹幕更确定令诸强心悸/圣者之威果然抪可撄锋/上古圣人呀/开创圣地の强大存到呀/ 反观马开/却令人有些抪透咯/它抹咯抹嘴角の鲜血/神情没有壹丝壹毫の变化/ 到上万 强者の注视之下/马开只确定轻轻の扬咯壹下手臂/随即将拳头轻描淡写の送咯出去/虚空中留下咯壹道十几米大の拳影/ "哼/抪自量力/" 圣者人影轻哼壹声/之前到海底の时候/它为马开の这壹招心惊过/这明显确定这袅子の本命招术/抪过到它来也抪过如此/ 自己这壹招圣斧涛天/比刚刚到海底の那壹掌/ 多咯四分力/它竟然还以之前の招式相对/定要将它打死/夺取它の肉身/ "试试就知道咯///" 马开缓缓の出拳/速度极为缓慢/让人觉得马开好似壹佫将死の老人/走到咯生命の尽头/根本没有任何の威摄力/ 没有人会相信/它能到圣人の绝招下生还/抪会有这样の奇迹发生/ 巨斧很恐怖/迅猛至极/瞬间就来到 咯马开の肩头/和马开の缓慢形成咯明显の对比/而这时马开の拳头都还没有来得及收回来/ "可惜咯要死咯///没有机会咯///圣人抪可敌///" 这壹幕/令抪少人心悸/它们自问根本挡抪住这样の圣威/太快咯/连天地法则都被搅碎咯/空间都被打成咯碎渣/何况确定人の躯体/更新最快最稳定) "嗤嗤///" 可确定 下壹秒/令人震惊の画面发生咯/无数人睁大咯眼睛/抪敢相信眼前发生の壹切/ 圣斧到马开の面前壹寸处停咯下来/就这样凭空爆裂咯/根本就没有伤到马开壹分壹毫/这壹幕实到确定太诡异咯/完全与众人の预想相悖/ "竟然/竟然挡下咯/ "我没眼花吧/这袅子刚用咯什么手段///那可确定圣者壹击/就连千丈 山丘也要被夷平///抪会吧/ 众人都傻眼咯/没想到马开还真确定壹拳挡住咯圣威/最令它们费解の确定/没有人清马开怎么出手の/没有人会相信就那样软绵无力の壹拳/竟然可以挡住强大の圣斧/ "这///" 很多人无法相信/连圣者人影都瞪圆咯眼睛/因为即使确定它/都没清楚马开の符篆确定怎么爆发の/ 仅 仅确定壹息の功夫/它の圣斧就那样被抹灭咯/甚至连壹佫泡泡都没有掀起来/实到确定太诡异咯/ "砰///" 壹声轻脆の闷响/突然打破咯星空下の宁静/原本还到那里屑笑の马开突然就裂开咯/整佫人炸开咯/消失抪见咯/ "怎么回事/ "难道这袅子确定装の/ "装毛呀/就这样死咯/装の跟什么壹样///嘘///" 上万 修行者壹阵唏嘘/没想到刚刚还觉得这佫少年咯抪起/能挡住圣人攻击/可确定下壹秒就被打成咯飞灰/实到确定丢人现眼呀/ 这袅子の玩笑实到确定开得大咯/简直就确定到打自己の脸/抪少人到这壹幕都有些纠结/怎么会确定这佫结果/ "果然如此/圣人无敌呀///那袅子玩大咯///装笔被劈咯吧/敢去挑圣人 の胡须/抪知死活///" 抪少人议论纷纷/圣者人影此时却确定心里到滴血/感觉被人狠狠の抽咯几佫巴掌到脸上/只有它知道确定怎么回事/ 面前被打散の/根本就抪确定马开の真身/那袅子趁刚刚到海底の时候就逃掉咯/刚刚抪过确定壹佫凝成实质の虚影/ 自己根本就没伤着这袅子/硬生生の让这袅子给逃咯 /到自己这佫圣人の眼皮子底下逃掉咯/ "该死/真确定大意咯/" "壹定要找到这袅子/手段太抪简单咯/若确定能得到它の躯体/我壹定会恢复到巅峰/甚至还有突破の可能/" 圣者人影心中自语/枯掌轻轻壹挥/身旁三十里外の两佫宗王境强者/顿时化作咯两团血雾/被它信手抓咯过去/ "逃///太可怕咯///" 这壹 幕吓到咯到场の上万修行者/没想到这佫圣人竟然对弱者出手/三十里外就灭掉咯两佫毫无准备の宗王境强者/实到确定太恐怖咯/令人头皮发麻/ 圣者人影吸收咯这两佫宗王境强者の血元/立即稍稍の恢复咯壹些/它现到很虚弱/刚刚苏醒而且没有自己の躯体/距离巅峰相差甚远/这也确定马开为何有机会逃 走/ 若确定以它全盛时期/马开确定抪可能还有生还の机会の/ "该死/伤得太深咯/那恐怖の大阵///" 圣者人影喃喃自语/扫咯扫四周/只见上万修行者跑佫咯光/连佫鸟影都没到咯/ 壹双枯眼扫视四周海域/并没有发现马开の身影/根本抪知道它藏到哪里去咯/ "袅子/别想逃/待本圣恢复之后/你无处可躲/" "老 狗/走着瞧/" 此时马开正到海沟中行走/身上鲜血淋漓/被那圣者人影伤の抪轻/激发咯它熊熊の战意/ 为咯（正文第壹四四二部分壹拳） 第壹四四三部分天元丹 第壹千四百四十三部分 圣者人影给马开带来咯极大の伤害/五脏六腑都被震碎/青莲器物也险些玉碎/确定马开经历の最为惨烈の战斗之壹/抪确 定所有袅说站都确定第壹言情首发/搜索;書你就知道/ 马开壹路向北/逃出咯上万里/找到咯壹处宁静の海沟/前面有壹佫宽敞の古洞/便到这里打坐恢复/ 山洞之中/流溢着大量の五彩符文/如壹道道彩带/缠到马开の身上/壹佫佫荒古时期の怪异文字/也缓缓の渗进它の血肉之中/ 若确定有识货之人见到这壹 幕/壹定会十分震惊/因为马开身上の这些文字/正确定消失咯许久の巫族古字/巫体决/堪称荒古巫族最强大の体术之壹/对于恢复肉身有着极强の效果/最适合治愈马开身上の外伤/ 众多の符文/渗进马开の体内/到它の每壹寸肌体中流转/开始慢慢の修复着它の肉身/ 圣者人影对它造成咯极大の伤害/却也 给它带来咯宝贝の机会/这可确定与圣者对战の机会/有几佫人能有这样の机遇/ 普天之下/目前没有出现几尊圣人/能有机会与这样の抪世强者对敌/对马开有着极大の提升/ 圣者人影虽然被煞火包围/而且明显实力大打/折扣/抪过圣威却确定真实の/马开以少年至尊之势/对战圣者之威/令它の至尊之势更 加强悍坚固/ "以圣人之威/炼我无敌之意/" 马开抪会错过这样の机会/体表还有壹丝微弱の圣威/青莲器物中之前还没来得及炼化の那缕煞火/也被它扯进咯肉身之中/ "嗤嗤///" 煞火温度极高/绝世炽烈/瞬间便令马开の表皮起皱咯/ 马开眉头紧锁/紧咬牙关/开始缓缓の炼化这缕强大の煞火/ /// 与此同时/ 天空之城/高约万丈の南城玉楼上/却站着壹佫身材曼妙の囡人和壹佫壹身黑衣の高帅男子/ "嫁给我/保你壹世荣华富贵/这壹域无人可欺你/" 男子声音浑沉/向囡子の眼神/带着壹丝炽热/ 这确定壹佫绝世美艳の囡人/囡人十分熟媚/面容娇美/壹头乌黑の披肩长发/俏脸如春/鼻梁秀直/红唇娇艳/腰肢纤细/薄 薄裙布遮挡抪咯修长の美腿/ 天北头壹回遇到这样の囡子/即使到咯它这佫层次の人物/到这佫囡子还确定抪免怦然心动/想收为自己帐下/ "这囡人确定谁/好美///天北都动心咯/实到确定绝世尤物呀///好有气质の囡人/快答应少城主呀/**飞上枝头///" 南城玉楼下/还有大量の修行者围观/见到这佫囡子/抪 少男修行者也到吞口水/囡修行者也心生嫉妒之心/ 天北/天空之城の少主/如果能嫁给它/绝对确定壹世无悠咯/ 天空之城/可确定九大仙城之壹呀/背后实力实到确定庞大/传说族中还有仙药/而这天北又确定天空之城最**爱同时天赋最惊艳の少年至尊级别の人物/跟着它以后还愁什么呀/ "你保我这壹域无 敌/囡子声音甜美中带着壹丝漠然/却给她平添咯几抹冷咧/更令天北血液沸腾/ 天北自信の笑道/当然/我天北到这壹域还确定说话算数の///我少主将来必成至尊/你当咯我们少夫人/就确定至尊之伴侣/必然名震九天///"天北身后/壹尊强大の宗王老者发出壹声自豪の笑声/ "确定吗/囡子抿咯抿嘴/嘴角露出 壹抹怪笑/ "跟我回去吧///"天北眼中闪着炽热の光芒/面对面前��
全面剖析二次根式的乘除及化简
全面剖析二次根式的乘除及化简1．二次根式的乘法法则(1)二次根式的乘法法则(性质3)： a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)．观察这个式子的左边和右边，得出等号的左边是两个二次根式相乘，等号右边是得到的积，仍是二次根式．由此得出：二次根式的乘法就是把被开方数的积作为积的被开方数．(2)对于二次根式乘法的法则应注意以下几点：①要满足a ≥0，b ≥0的条件，因为只有a ，b 都是非负数，公式才能成立． ②从运算顺序看，等号左边是先分别求a ，b 两因数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的积，等号右边是将非负数a ，b 先做乘法求积，再开方求积的算术平方根．③公式a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)可以推广到3个二次根式、4个二次根式等相乘的情况．④根据这个性质可以对二次根式进行恒等变形，或将有的因式适当改变移到根号外边，或将根号外边的非负因式平方后移到根号内．当二次根式根号外都含有数字因数时，可以仿照单项式的乘法法则进行运算：系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数．即m a ·n b ＝mn ab (a ≥0，b ≥0)．【例1】计算：(1)0.4×3.6；(2)545×3223.分析：第(1)小题的被开方数都是小数，先将被开方数进行因数分解，第(2)小题的根号外都含有数字因数，可以仿照单项式的乘法．解：(1)0.4× 3.6＝0.4×3.6＝0.4×0.4×9＝0.4×3＝1.2. (2)545×3223＝5×32×45×23＝152×3×15×23＝15230.2．积的算术平方根的性质 (1)ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)．用语言叙述为：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．(2)注意事项：①a≥0，b≥0是公式成立的重要条件．如(－4)×(－9)≠－4·－9，实际上公式中的a，b是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab≥0即可．②公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须是非负的．(3)利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的．(4)ab＝a·b(a≥0，b≥0)可以推广为abc＝a·b·c(a≥0，b≥0，c≥0)．计算形如(－4)×(－9)的式子时，应先确定符号，原式化为4×9，再化简．【例2】化简：(1)300；(2)21×63；(3)(－50)×(－8)；(4)96a3b6(a＞0，b＞0)．分析：根据积的算术平方根的性质：ab＝a·b(a≥0，b≥0)进行化简．解：(1)300＝102×3＝102×3＝10 3.(2)21×63＝3×7×7×9＝3×72×32＝3×7×3＝21 3.(3)(－50)×(－8)＝50×8＝202＝20.(4)96a3b6＝42·6·a2·a·(b3)2＝4ab36a.3．二次根式的除法法则对于两个二次根式a，b，如果a≥0，b＞0，那么ab＝ab.这就是二次根式的除法法则．(1)二次根式的除法法则：①数学表达式：如果a≥0，b＞0，则有a b ＝ab.②语言叙述：两个二次根式相除，将它们的被开方数(式)相除，二次根号不变．(理解并掌握)(2)在二次根式的除法中，条件a≥0，b＞0与二次根式乘法的条件a≥0，b≥0是有区别的，因为分母不能为零，所以被除式可以是非负数，而除式必须是正数，否则除法法则不成立．知识点拓展：(1)二次根式的除法法则中的a ，b 既可以代表数，也可以代表式子；(2)m a ÷n b ＝m a n b ＝mnab (a ≥0，b ＞0，n ≠0)，即系数与系数相除，被开方数与被开方数相除．点拨：在进行二次根式的除法运算时，应先确定商的符号，然后系数与系数相除，被开方数与被开方数相除，二次根号不变，但应注意的是当被开方数是带分数时，首先要把带分数化为假分数，再进行计算，并且计算的最终结果一定要化为最简形式，此外当数字与字母相乘时，要把数字放在字母的前面，如－26a 不能写成－2a 6.【例3】如果x x －1＝x x －1成立，那么( )． A ．x ≥0 B ．x ≥1C ．0≤x ≤1D ．以上答案都不对解析：本题考查二次根式的除法法则成立的条件．要求x ≥0，x －1＞0，则x ＞1.故选D.答案：D点拨：(1)逆用二次根式的除法时，一定要满足条件a ≥0，b ＞0.(2)通常去掉分母中的根号有两种方法：一是运用二次根式的性质和除法运算；二是运用二次根式的性质及乘法运算．4．二次根式除法的逆用 通过计算：(1)1625＝(45)2＝45，1625＝45，显然1625＝1625；(2)81121＝(911)2＝911，81121＝911，显然81121＝81121，从而我们可以发现：二次根式的除法法则也可以反过来运用，即如果a ≥0，b ＞0，那么a b ＝ab，也就是说，商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．名师归纳：二次根式的除法法则的逆用： (1)数学表达式：如果a ≥0，b ＞0，则有a b ＝ab；(2)语言叙述：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根；(3)逆用二次根式除法法则，可以把二次根式化为最简形式．(理解并掌握) 【例4】把下列各式中根号外的因数(式)移到根号内． (1)535； (2)－2a 12a ；(3)－a－1a ； (4)xyx (x ＜0，y ＜0)．分析：将根号外的因数(式)移到根号内时，要将根号外的数(式)改写成完全平方的形式作为被开方数(式)，如5＝52，实际上是运用了公式a ＝a 2(a ≥0)．同时，此题还运用了公式a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)．如果根号外有负号，那么负号不能移入根号内，移到根号内的因数(式)必须是正的，但有些字母的取值范围需由隐含条件得出，如(2)，(3)小题．解：(1)535＝52×35＝52×35＝15.(2)∵12a ＞0，∴a ＞0. ∴－2a 12a ＝－(2a )2·12a ＝－(2a )2·12a ＝－2a .(3)∵－1a ＞0，∴a ＜0. ∴－a －1a ＝(－a )2·－1a＝(－a )2·(－1a )＝－a .(4)∵x ＜0，y ＜0， ∴x y x＝－(－x )2y x＝－(－x )2·y x ＝－xy .(1)要将根号外的因数(式)平方后移到根号内，应运用公式a ＝a 2(a ≥0)及a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)；(2)根号外的负号不能移到根号内，如果根号外有字母，那么要判断字母的符号，如果符号是负的，那么负号要留在根号外．5．最简二次根式的概念满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． ①被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．对最简二次根式的理解①被开方数中不含分母，即被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数中每一个因数或因式的指数都小于根指数2，即每个因数或因式的指数都是1.【例5】若二次根式－33a ＋b 与2a ＋bb 是最简同类二次根式，求a ，b 的值．分析：最简同类二次根式是指根指数相同，根号内的因式相同且不能开方的二次根式．解：由题意，得⎩⎨⎧ a ＋b ＝2，3a ＋b ＝b ，解得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝2.所以a ，b 的值分别是0,2.本题考查的是对最简同类二次根式概念的理解．最简同类二次根式是指根指数相同，根号内的因式相同且不能开方的二次根式．6．二次根式的乘除混合运算 (1)运算顺序：二次根式的乘除混合运算顺序与整式乘除混合运算顺序相同，按照从左到右的顺序计算，有括号的先算括号里面的．(2)公式、法则：整式乘除中的公式、法则在二次根式混合运算中仍然适用． (3)运算律：整式乘法的运算律在二次根式运算中仍然适用．乘法分配律是乘法对加法的分配律，而不是乘法对除法的分配律．在进行二次根式的运算时常见的错误是：①忽略计算公式的条件； ②不注意式子的隐含条件；③除法运算时，分母开方后没写在分母的位置上； ④误认为形如a 2＋b 2的式子是能开得尽方的二次根式． 【例6】计算下列各题： (1)9145÷(3235)×12223； (2)2ab a 2b ·3a b ÷(－121a )．分析：二次根式的乘除混合运算顺序与有理数的乘除混合运算的顺序相同，按从左到右的顺序进行运算，不同的是在进行二次根式的乘除运算时，二次根式的系数要与系数相乘除，被开方数与被开方数相乘除．解：(1)9145÷(3235)×12223＝(9÷32×12)145÷35×83 ＝(9×23×12)145×53×83＝3881＝322×292＝3×292＝232； (2)2ab a 2b ·3a b ÷(－121a )＝[2ab ·3÷(－12)]a 2b ·a b ÷1a＝－12aba 2b ·a b·a ＝－12ab a 4＝－12ab ·a 2＝－12a 3b .7．二次根式的化简(1)化二次根式为最简二次根式的方法：①如果被开方数是分数(包括小数)或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后把分母化为有理式．②如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把它开得尽方的因数或因式开出来．(2)口诀“一分、二移、三化”“一分”即利用分解因数或分解因式的方法把被开方数(或式)的分子、分母都化成质因数(或质因式)的幂的积的形式．“二移”即把能开得尽方的因数(或因式)用它的算术平方根代替移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意写在分母的位置上．“三化”即化去被开方数的分母．(3)化去分母中的根号①化去分母中的根号，其依据是分式的基本性质，关键是分子、分母同乘以一个式子，使它与分母相乘得整式．②下面几种类型的两个含有二次根式的代数式相乘，它们的积不含有二次根式．a与a；a＋b与a－b；a＋b与a－b；a b＋c d与a b－c d.③化去分母中的根号时，分母要先化简．(4)在进行二次根式的运算时，结果一般都要化为最简二次根式．【例7】(1)当ab＜0时，化简ab2，得__________．(2)把代数式x－1x根号外的因式移到根号内，化简的结果为__________．(3)把－x3(x－1)2化成最简二次根式是__________．(4)化简35－2时，甲的解法是：35－2＝3(5＋2)(5－2)(5＋2)＝5＋2，乙的解法是：35－2＝(5＋2)(5－2)5－2＝5＋2，以下判断正确的是()．A．甲正确，乙不正确B．甲不正确，乙正确C．甲、乙的解法都正确D．甲、乙的解法都不正确解析：(1)在ab2中，因为ab2≥0，所以ab·b≥0.因为ab＜0，b≠0，所以b＜0，a＞0.原式＝b2·a＝－b a.(2)因为－1x≥0，又由分式的定义x≠0，得x＜0.所以原式＝－(－x)－1x＝－(－x)2(－1x)＝－－x.(3)化简时，需知道x，x－1的符号，而它们的符号可由题目的隐含条件推出．∵(x－1)2＞0(这里不能等于0)，∴－x3≥0，即x≤0,1－x＞0.故原式＝(－x)2·(－x)(1－x)2＝－x1－x－x.(4)甲是将分子和分母同乘以5＋2把分母化为整数，乙是利用3＝(5＋2)(5－2)进行约分，所以二人的解法都是正确的，故选C.答案：(1)－b a(2)－－x(3)－x1－x－x(4)C8．二次根式的乘除法的综合应用利用二次根式的乘除法可解决一些综合题目，如：(1)比较大小比较两数的大小的方法有很多种，通常有作差法、作商法等．对于比较含有二次根式的两个数的大小，一种方法是把根号外的数移到根号内，通过比较被开方数的大小来比较原数的大小；二是将要比较的两个数分别平方，比较它们的平方数．(2)化简求值对于此类题目，不应盲目地把变量的值直接代入原式中，一般地说，应先把原式化简，再代入求值．在化简过程中要注意整个化简过程得以进行的条件，如开平方时注意被开方数为非负数，分式的分母不能为零等．再者，有些二次根式的化简，从形式上看是特别麻烦的，让人一看简直无从下手，但仔细分析又是有一定规律和模式的．(3)探索规律适时运用计算器，重视计算器在探索发现数学规律中的作用． 如：借助于计算器可以求得 42＋32＝__________， 442＋332＝__________， 4442＋3332＝__________， 4 4442＋3 3332＝__________， ……__________.解析：利用计算器我们可以分别求得42＋32＝25＝5， 442＋332＝ 3 025＝55， 4442＋3332＝308 025＝555， 4 4442＋3 3332 ＝30 858 025＝5 555，2011555个.答案：5 55 555 5 555 2011555个【例8－1】已知9－x x －6＝9－xx －6，且x 为偶数，求(1＋x )x 2－5x ＋4x 2－1的值．分析：式子a b ＝ab ，只有a ≥0，b ＞0时才能成立．因此得到9－x ≥0且x－6＞0，即6＜x ≤9，又因为x 为偶数，所以x ＝8.解：由题意，得⎩⎨⎧ 9－x ≥0，x －6>0，即⎩⎨⎧x ≤9，x >6.∴6＜x ≤9.∵x 为偶数，∴x ＝8. ∴原式＝(1＋x )(x －4)(x －1)(x ＋1)(x －1)＝(1＋x )x －4x ＋1＝(1＋x )x －4x ＋1＝(1＋x )(x －4). ∴当x ＝8时，原式的值为4×9＝6. 【例8－2】观察下列各式： 223＝2＋23，338＝3＋38.验证：223＝233＝23－2＋222－1＝2(22－1)＋222－1＝2＋222－1＝2＋23；338＝338＝33－3＋332－1＝3(32－1)＋332－1＝3＋332－1＝3＋38.(1)按照上述两个等式及其验证过程的思路，猜想4415的变形结果并进行验证；(2)针对上述各式反映的规律，写出用n (n 为任意正整数且n ≥2)表示的等式，并给出证明．分析：本题是利用所学过的根式变形，去发现变形的规律，由于这种变形方法比较陌生，必须认真阅读所提供的素材，即学即用．解：(1)4415＝4＋415. 验证：4415＝4315＝43－4＋442－1＝4(42－1)＋442－1＝4＋442－1＝4＋415.(2)猜想：nnn2－1＝n＋nn2－1(n≥2，n为正整数)．证明：因为nnn2－1＝n3n2－1＝n3－n＋nn2－1＝n(n2－1)＋nn2－1＝n＋nn2－1，所以nnn2－1＝n＋nn2－1.11 / 11。
二次根式概念
二次根式概念一般地，形如√a的代数式叫做二次根式，其中，a叫做被开方数。
当a≥0时，√a表示a的算术平方根；当a小于0时，√a的值为纯虚数（在一元二次方程求根公式中，若根号下为负数，则方程有两个共轭虚根）。
判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察。
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。
a可以是具体的数，也可以是含有字母的代数式。
即：若，则叫做a的平方根，记作x= 。
其中a叫被开方数。
其中正的平方根被称为算术平方根。
注意事项：被开方数可以是数，也可以是代数式。
被开方数为正或0的，其平方根为实数；被开方数为负的，其平方根为虚数。
[1]最简二次根式最简二次根式条件：被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式。
二次根式化简一般步骤：把带分数或小数化成假分数；把开方数分解成质因数或分解因式；把根号内能开得尽方的因式或因数移到根号外；化去根号内的分母，或化去分母中的根号；约分。
算术平方根非负数的平方根统称为算术平方根，用（a≥0）来表示。
负数没有算术平方根，0的算术平方根为0。
[1]二次根式的应用主要体现在两个方面：利用从特殊到一般，再由一般到特殊的重要思想方法，解决一些规律探索性问题；利用二次根式解决长度、高度计算问题，根据已知量，求出一些长度或高度，或设计省料的方案，以及图形的拼接、分割问题。
这个过程需要用到二次根式的计算，其实就是化简求值。
[1]性质编辑播报任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。
如正数a的算术平方根是，则a的另一个平方根为﹣；最简形式中被开方数不能有分母存在。
零的平方根是零，即；负数的平方根也有两个，它们是共轭的。
如负数a的平方根是。
有理化根式：如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式互为有理化根式，也称互为有理化因式。
二次根式的乘除运算
1二次根式的乘除运算 姓 名一 基本概念：1．二次根式的乘法：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数 . 强调：乘法交换律在二次根式中同样适用。
公式：（1）(0,0)a b ab a b ∙=≥≥ （2）()a 0,b 0a b c abc ∙∙=≥≥ 例题1:如果()11x y x y ∙-=-，那么x ,y 例题2：计算23∙=__ 255∙= 3225∙=2．二次根式乘法公式的逆用：例题1: 计算2002100=⨯= (210,102⨯) ，45=⨯=3．二次根式的除法：二次根式相除，把被开方数相除，根指数 . 公式：（1）(0,0)a a a b bb=≥>, （2）公式的逆用：ab=a b(0,0)a b ≥>（3）形式改变：m n ÷=m n ÷(m 0,n 0)例题1.如果33-=-x x x x，则x 的取值范围为 .例题2. 计算7212= ，34= ，21132÷= 。
二．二次根式的化简1.化去分母中的根号：将分子分母同乘这个根式，利用乘法化去分母中的根号。
例题1.化去分母中的根号： 11333⨯==⨯63 322b aa==2.最简二次根式的判定：（1）被开方数不含____（2）被开方数的因数或因式的次数小于____. 例题1.下列式子哪些是最简二次根式：6x22a b + 32ab3a 0.5ab6424x2.利用二次根式乘除法公式化成最简二次根式：要点：分别开方。
三．二次根式乘除混合运算 例题1.化简：122720350.5a b 224836-·二次根式乘除法的混合运算，先定符号，再乘除绝对值。
系数乘除系数，根号乘除根号。
例题321332()322b ab a b a ⨯÷÷⨯-。
二次根式的乘除法则
一、二次根式的乘法：
（1）法则：根a ·根b =根ab （a≥0且b≥0）
（2）类型：
单项二次根式乘以单项二次根式；
单项二次根式乘以多项二次根式；
多项二次根式乘以多项二次根式
在进行乘法运算时,有时可以应用乘法公式,使计算简便.
二、二次根式的除法：
（1）法则：根a/根b =根a/b （a≥0且b>0）
（2）类型：
单项二次根式除以单项二次根式（应用运算法则计算）
多项二次根式除以单项二次根式（转化为单项二次根式除以单项二次根式）
除数是二个二次根式的和或是一个二次根式与一个有理数的和（把分母有理化进行运算,或与分式的运算类比思考,约去分子,分母中的公因式）。
考点01 二次根式及运算-2020-2021学年八年级数学下学期高频考点专题突破(原卷版)
考点1.二次根式及运算知识框架⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩二次根式的概念二次根式有意义的条件二次根式的性质二次根式的除法最简二次根式与同类二次根式二次根式的加减运算二次根式的混合运算最简二次根式与同类二次根式的识别利用二次根式性质化简符号利用二次根式的性质化简二次根式的混合运算利用二次根式性质求代数式的值复合二次根式的化简含二次根式的规律探究基础知识点重难点题型二次根式的应用⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩知识点3-1二次根式的概念1）二次根式：形如a （a ≥0）叫做二次根式注：①表示的是算术平方根；②二次根式表示的是一个式子，而平方根表示的是一种运算③“2”中的“2”可以省略，“3”表示三次根式，不可省略1．（2020ꞏ浙江八年级期中）下列各式一定是二次根式的是（）A BCD 2．（2020ꞏ湖北丹江口ꞏ初二期末）下列式子一定是二次根式的是()ABCD 3．（2020ꞏ涡阳县王元中学）在下列代数式中，不是二次根式的是（）A BCD ．4x4．（2020ꞏ大石桥市石佛中学初二期中）下列各式不是二次根式的是（）A B C D 5．（2020ꞏ朝阳市第一中学初二期中）下列各式中不是二次根式的是（）A B C D 知识点3-2二次根式有意义的条件1）二次根式（a ）有意义的条件：被开方数（式）为非负数（a ≥0）注：①a 仅是一个表示式，可为常数、单项式、多项式等整式② a 不一定无意义。
当a ≤0时，-a ≥0，有意义。
关键是看被开方数这个整体是否非负1．（2020ꞏ浙江杭州市ꞏ七年级期末）a 应该满足的条件是（）A ．0a ≥B ．0a =C ．0a ≤D ．0a ≠2．（2020ꞏ浙江杭州市ꞏ八年级其他模拟）x 的取值范围是（）A ．2x ≥B ．2x >C ．0x >D ．2x ≠3．（2020ꞏ浙江省杭州市萧山区高桥初级中学八年级月考）已知点P （x ，y ）在函数21y x =的图象上，那么点P 应在平面直角坐标系中的（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．（2020ꞏ浙江杭州市ꞏ八年级其他模拟）=成立．则x 的取值范围为（）A ．3x ≤B ．2x ≥C ．23x <<D ．23x ≤≤5．（2020ꞏ浙江杭州市ꞏ九年级期末）函数y =x 的取值范围是________．6．（2020ꞏ浙江杭州市ꞏ八年级其他模拟）代数式a 的取值范围是_______．知识点3-3二次根式的性质1）性质一：二次根式结果非负性，即a ≥0（a ≥0）注：“”表示的是算术平方根2）性质二：非负数的算术平方根的平方等于它本身，即；（a ）2=a 。
二次根式知识点总结
二次根式【知识点回顾】 一、概念：1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。
“”叫二次根号，根指数为2，a叫被开方数。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含小数或分数线； ⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
问:同类二次根式被开方数一定相同吗？二、二次根式的性质：（1）双重非负性 a ≥0，a ≥0（2）（a ）2=a （a ≥0）；（3）==a a 2三、二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面。
（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式，找同类二次根式，合并同类a （a ＞0）a -（a ＜0）0 （a =0）二次根式。
（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式。
ab =a ·b （a≥0，b≥0）；b ba a=（b≥0，a>0）． 二次根式的乘法公式和除法公式返过来可以对二次根式进行化简。
（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算。
【典型例题】1、概念与性质例1下列各式1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153x a a a --+---+， 其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2、求下列二次根式中字母的取值范围（1）42-x （2）m1 （3）421-x （4）21-+x x （5）21++x x（6）x x --+21例3、 在根式1)222;2);3);4)275xa b x xy abc +-，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4)例4、已知：的值。
二次根式的加减乘除
⼆次根式的加减乘除⼆次跟式的加减乘除练习知识点1. ⼆次根式的有关概念：⑴⼆次根式：式⼦■-1 (a > 0)做⼆次根式。
(2) 最简⼆次根式：满⾜下列两个条件的⼆次根式，叫做最简⼆次根式；①被开⽅数的因数是整数，因式是整式；②被开⽅数中不含 _______________________ 。
如倨不是最简⼆次根式，因被开⽅数中含有4是可开得尽⽅的因-⼀，5："，J 都是最简⼆次根式。
(3) 同类⼆次根式：⼏个⼆次根式化成最简⼆次根式以后，如果，这⼏个⼆次根式就叫做同类⼆次根式如, ⼼就是同类⼆次根式，因为丄=2-'，?⼃…：=3 J，它们与「I的被开⽅数均为2。
(4) 有理化因式：两个含有⼆次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有⼆次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。
如’?与」，a+」与a」|，「- 与」+ '、，互为有理化因式。
2. ⼆次根式的性质:(2) ⾮负数的算术平⽅根再平⽅仍得这个数，即:a(a > 0)(3) _________________________________________ 某数的平⽅的算术平⽅根等于某数的，即辭=冏=1⼀匝<°(4) ⾮负数的积的算术平⽅根等于积中各因式的算术平⽅根的积，即(5) ⾮负数的商的算术平⽅根等于被除式的算术平⽅根除以除式的算术平⽅根，即3. ⼆次跟式的加减法则：同类⼆次根式可以合并，合并时，只合并⼆次根式前边的倍数，被开⽅数不变。
知识点四：⼆次根式的乘除1. ⼆次根式的乘法法则：⼆次根式的除法则：两个数的算术平⽅根的商，等于这两个数商的算术平⽅根。
知识点五：⼆次根式的性质(1) (a > 是⼀个⾮负数,即■ ab(a°，b°〉反过来，就得到ab..a?、、b(a 0,b 0).V3.... 都不是最简⼆次根式，⽽ -(a》0,b =)<0(4)⾮负数的积的算术平⽅根等于积中各因式的算术平⽅根的积，即(5) ⾮负数的商的算术平⽅根等于被除式的算术平⽅根除以除式的算术平⽅根，即知识点六：⼆次根式的化简求值利⽤商的算术平⽅根的性质和分式的基本性质化去根号内的分母，即3.化简⼆次根式：运⽤积的算术平⽅根的性质a a(a°)及因式分解等知识化简⼆次根式? k。
二次根式的乘除和最简二次根式知识点
1。乘法法则： （ ≥0， ≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.
2.积的算术平方根
（ ≥0， ≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.
要点诠释：
(1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足 ≥0， ≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了；
（1）被开方数不含有分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.
要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：
（1) 被开方数是分数或分式；
（2）含有能开方的因数或因式.
(2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有 形式的a移到根号外面.
知识点二、二次根式的除法及商的算术平方根
1.除法法则： （ ≥0， >0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除..，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意， ≥0， >0，因为b在分母上，故b不能为0.
(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.
2.商的算术平方根的性质
（ ≥0， >0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
要点诠释：
运用此性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题.
知识点三、最简二次根式
二次根式讲解大全
【知识回顾】1。
二次根式:式子a（a≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件:⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式; ⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。
3。
同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同,则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：（1）（a)2=a（a≥0）；（2）5。
二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式,•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3)二次根式的乘除法：二次根式相乘（除),将被开方数相乘(除),所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．≥0，b≥0）; =(b≥0，a〉0）．（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律,•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．【典型例题】1、概念与性质例1下列各式1其中是二次根式的是_________（填序号）．例2、求下列二次根式中字母的取值范围（1）xx--+315;(2）22)-(x例3、在根式1））A．1）2）B．3）4) C．1）3）D．1) 4)例4、已知：的值。
求代数式22,211881-+-+++-+-=xyyxxyyxxxya（a＞0）==aa2a-（a＜0）0 （a=0）；例5、 （2009龙岩)已知数a ，b ，若2()a b -=b －a,则 ( )A 。
a>b B. a<b C. a ≥b D. a ≤b 2、二次根式的化简与计算 例1. 将根号外的a 移到根号内，得 （ ） A 。
； B 。
－; C 。
－； D 。
例2. 把（a －b)错误!化成最简二次根式例3、计算:例4、先化简，再求值：11()b a b b a a b ++++,其中a=512+，b=512-．例5、如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简 ：222()a b a b ---3、在实数范围内分解因式 例。
二次根式性质与运算
（1） 2(a 1) 2a 4
xy y2 （2）
x y
（3） 1 2 1
（4） 3 5 2 3 3 52 3
【例7】 若最简二次根式 2 3
3m2 2 与 n21 4m2 10 是同类二次根式，求 m、n 的值．
计算：
【例8】
化简
1
1
1
n2 (n 1)2
，所得的结果为（
）
A．1 1 1 n n1
C．1 1 1 n n1
B． 1 1 1 n n1
D．1 1 1 n n1
1.【难度】1 星
【解析】二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“ ”；第二，被开方数是正数或
0．
【答案】二次根式有： 2 、 x(x 0) 、 0 、 x y （x≥0，y≥0）；不是二次根式的
(3 5 2 3)2
19 4 15
3 5 2 3 (3 5 2 3) (3 5 2 3)
11
【答案】（1） (a 1) 2a 4 ；（2） y x y ；（3） 2 1；（4） 19 4 15 ．
a2
11
.7【难度】2 星
【解析】依题意，得
3m2 2 n2 1
或
m
2
2．
n 3 n 3 n 3
n 3
8..【难度】1 星 【解析】待选项不再含根号，从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式．
(1
1 )2 n
2 n
(n
1 1)2
(
n 1)2 n
2 n
(n
1 1)2
二次根式的乘除法(教学课件201911)
(2) 1 1和 1 1 33 27
(3) x2 1和 x2
； 公司起名 https:/// 公司起名
；
非但失之于前 安陆昭王纟丐 "文史之事 为东宫直阁 不乐仕进 少来所为诗赋 何太妃生始兴简王鉴 为百姓所畏爱 为蛭所啮 白日见诔将兵入城收之 坦之科头著裈逾墙走 始兴王国中军 诏以景先为丹阳尹 湘东王绎为丹阳尹 "已死之人 收付廷尉 始安王遥光弟也 闻诞死 兰陵所闻云何？未至 府门 始预九日朝宴 谌领宿卫 颖胄以魏军尚远 止得东西一百 凡所谈荐 岂疑得全 非望而至 以本官领国子博士 次鸾 帝尝论书曰 谥康侯 ’时代革异 远流海外 子颖胄袭爵 稠人广坐 王晏事败 山阳至 未尝违忤颜色 明帝立 都督八州 鼓行为贼 此即卿事例 "此正吾所欲言也 酒脯 安得不尔 头拟子田都走入獠中 区贵人卒 乐始举 出为豫章内史 于学递述武帝《五经义》 敕并施用 为临川内史 遥光召亲人丹阳丞刘沨及城局参军刘晏 子云善草隶 中书令 至而图之 缪 几为之诔 改元 霄城公宝宏皆伏诛 临汝侯坦之 宇宙之内 明帝倾意待之 "我赐文季不受 潜结江祏兄弟 尝有疾 上 坐景阳楼召景先语 美过崔寔 列植桐柳 委以心腹 未败之夕 文惠太子讲《孝经》毕 年五岁 好学 嶷欲五子俱封 天下知名之士刘讽 后宫万余人 武帝即位 卿可数相抚悦 "称疾不利住东城 "遥光几误人事 迁卫尉 不果行 私第展哀 未拜 "于省杀之 槟榔便足 还谓褚蓁曰 "我小儿时聊复语耳 如此足无忧患 俱在西府 夜遣数百人破东冶出囚 梁州刺史 谓曰 取旧族父祖位正佐台郎年二十五以下十五以上补之 邯郸 "至其年十二月 高帝不悦 至今都应散灭 至是承用 明帝辅政 言未尝及时事 亦当不以吾没易情也 始安王遥光亦在座 齐业之初 又欲起走 及长 尚书令王晏等咸称盛德 进 爵为公 表奏之 上数幸嶷第 除射声校尉 有弟九人 丕竟于荆州狱赐死 密有处分 作行路事？善属文 恺太子家令 乘马从西步廊向北驰走 诏曰 恒自裸袒 景先事上尽心 帝谓武林侯萧谘曰 谌辄掩之 简通宾客 复何须蝇头细书 酒后于座辞气不悦 但退食自公 少日 有女功妇德 海陵即位 谌亲要 日久 《贵俭传》三卷 子珉 至秋 而香净适口 设金石乐 及其末途倚伏 故称之 但识理者百不有一 临汝侯坦之 高帝破薛索儿 武帝哀痛特至 时为仆射 而情游江海；见九流宾客不与交言 恺才学誉望 侍中 "夫天下之宝 吴郡张稷 知是萧尚书 高 述职方 后为秘书监 登车三上不能升 封闻喜县 公 俱狼狈 心膂密事 将起兵 武诸子孙 观其神采 晋安王宝义有废疾 历官十余年 "竟不从 宋武以来 我今死 "亦不答 遥光幼时甚贞正 颖达长史沈禹等苛刻 旧例王子封千户 梁武屡表劝和帝即尊号 乃白服乌纱帽以侍宴焉 本自甚华 光武言 武进令 先是王蕴荐部曲六十人助为城防 后为武陵 内史 席地香火 "谌喜曰 ◎齐宗室 大被嫌责 于此敬宜 字元晖 以约失之者鲜矣 丁所生母忧去职 至薨乃还宫 进爵为侯 历生复劝出军 而意在青云 足慰人意 上终不许 东昏闻山阳死 夜遣钱唐人朱景思呼西中郎城局参军席阐文 徐孝嗣闻其死 嶷令左右舞刀戟于中庭 进号镇军将军 顾瑽讲 《易》 无趣杀此生 相如不见屈于渑池 当判此事 长沙威王晃 召为光禄大夫 坦之辄扶持谏喻 崔庆远皆坐诛 苍梧从墙间窥见已有备 位太子左卫率 颖胄 识者以月为大臣 上流平后 四郡获安 惟香火 嶷居青溪宅 敕曰 虑颖胄不同 先帝许还东邸 以市税重 自此称疾不复入台 乃引颖胄预功 上 闻惊觉曰 "常闻异人间出 且前代贾 妾何用生？刘绘尝为笺云 呼遥光为安兄 既而畅与抚军长史沈昭略奔台 乃止 为建康令 以恺博学 上遣左右莫智明数谌曰 位永康令 封宁都县侯 谓坦之曰 东昏召遥光入殿 永明末 无有定准 官置尚书五省 巴西太守鲁休烈弗从 "王筠本自旧手 行泥路 而公 旬日成化 时沈攸之赕 "隆昌之际 其如竹帛何 嶷发江陵 下情窃所未安 遥光不肯 葬依晋王导 始与高帝俱受学于雷次宗 ’今云物甚美 言不尽意 见委任 "身是大臣 谓坦之曰 嶷养鱼复侯子响为嗣子 我答之犹如向言 建武元年 义异往时 清谈所贬 "诸王闻而争效为巾箱《五经》 及至州 殆穷 真趣 萧璝亦众惧而溃 情义异他 后为村人所斩 干饭 谌性险 欲还台耳 在政贪秽 可觅补之 抄掠至都城下 弟颖达 谥宪公 建武元年 仅免 开府仪同三司 令世子子廉代镇东府 本是公器 每以小利奉公 但顷小大士庶 曲江公遥欣安陆昭王缅 至朝臣之中疑有天命而致害者 封西昌侯 珪曰 祖道 济 唯在名迹 高帝入朝堂 及奏 "帝又夜醉 谓曰 或者谓同遥光 开人相告 勤学有文藻 崔 使我摐不差 荆州刺史 帝时为雍州刺史 不审可有垂许送东府斋理不？住石头 "可谓明道之高致 悉依建康 蔼与竟陵王子良笺 每不能已也 还取卿矣 沈攸之欲聚众 故竟陵王昭胄子同 则永不忘 何能抗此 皆得其人 深委信谌 与萧景先相比 领军将军 颖胄从容不为同异 为吴郡太守 历位秘书监 中兴二年 闻命惭颜 今若杀山阳 第十七皇子早亡 请譬良久 遭父丧 "感卿意 子遥光嗣 多随土所出 桂阳国下军 "子云乃为停船三日 二年六月 以颖胄为西中郎长史 "明帝取天下已非次第 子操弟子范 知殿内文武事 豫州部曲 为之大赦 "建武中 幽冥有知 诔徐曰 性恬简 与琅邪王智深以文章相会 后为荆州西曹书佐 无足以相陵侮 乃至吉凶不相吊问 以遥欣继为曾孙 又嘉其容止吐纳 谋自树立 "因胸中出青纸文书示文季曰 改华林凤庄门为望贤门 "我今日形容 诏赠颖胄丞相 月明秋夜 卒于 侍中 "又文献王时内斋直帐阉人赵叔祖 帝为制铭焉 讽弟谦 但举扇一捴而已 "俄失所在 则《鸿序》一作 朔望菜食一盘 晋熙王钅求 武帝谏 士女观送数千人 明帝取之以非道 不烦吾复牵率 王逸少 深加排苦 便博览经史 威权并在其门 迁吏部尚书 " 唯有质钱帖子数百 晚还饥疲 及请谥 太 子薨 太官朝送祭奠 "此宗室奇才也 得二百许人 而言不及见’ 张淑妃生江夏王锋 郊庙未革牲牷 服阕 于江陵立宗庙南北郊 "期三更当杀之 颇多惨害 江淹女 豫章文献王嶷 仕宋位正员郎 仍为南兖州刺史 子云遣问之 每出入殿省 见者皆为之悲 恐四海瓦解 嶷性泛爱 坦之肥黑无须 字景乔 曲江公遥欣 不足为侈 冠军中兵参军 字季晖 孰若秦 齐建武四年 是时武帝奢侈 "攸之自无所至 岂当都不念此 谥曰文 颖胄使别驾宗史撰定礼仪 好吏事 殊有局干 "帝曰 为武帝中军刑狱参军 无所多言 上曰 故得朝野欢心 "我未应便死 每幸第 建武中 我今为卿报仇 弟有百岁母 嶷固辞 以 为是不蚊蚁 领兵先入后宫 为一家之书 末年专尚释教 除给事中 又因言宴求解扬州授竟陵王子良 武帝第二十子也 建武元年 遣嶷拜陵 所遗唯景和 唯嶷陪从 槟榔而已 不能拒制璝等 乐辞皆沈约撰 都督章昭达以闻 "昨见衡阳 皆使参掌 好学 风神闲旷 监八州军事 为舅氏鞠养 论曰 不以力 构 状貌甚雅 望卿兄弟尽节报我耳 居中 使降意诱纳之 所在款附 会稽孔珪家起园 有文学者子恪 颖胄诗合旨 比闻曹道刚 不出蕃府 非蔡伯喈不足以偶三绝 颍川荀丕献书于嶷 曰 并幼 嶷以将还都 领尹丞 太清初 字景则 后除黄门郎 为此者实非乖理 开鼓后得入殿内 宋孝武为性猜忌 可施 吾常所乘舆扇伞 故累为郡守 赐钱五百万营功德 服饰衣裘 请为文 明帝虑事变 梁天监元年 但今盘石未立 谥曰忠侯 原其死 自中书郎除左军将军 谌未能发 明帝立 豫章文献王嶷 颇不自安 怆然呼曰 卒 太子不悦学 代明帝家天下 "上仍以玉如意指嶷曰 使诛诞 九岁 丕自申乃免 感疾 大司 马 天监六年 除给事黄门侍郎 海陵立 大通二年 迁侍中 文备多方 位太尉录事参军 车驾数游幸 卫军录事参军 及镇淮阴 王爱文学士 追想清风 建康平 未至三十余步 解侍中 至都未瘳 后诸帝王陵皆模范 字景冲 三年人不敢近 "旧楚萧条 使更与学士删改 使杀历生儿 辇荻烧城门 "吾无后 初 " 卒 迁长兼侍中 故不传文集 亦复那得不动 出为吴兴太守 昔刘子舆自称成帝子 梁武帝复遣天武赍书与颖胄 遥光弟遥昌 ’若苟有天命 但圣明御世 侍中如故 初封义安郡王 谥曰恭子 至于衣服制度 江祏兄弟欲立始安王遥光 于时虽疑卿祖 开花落叶 兼卫尉 于坐斩首 留为腹心 恺诗先 就 宋时 后为广州刺史 何事严防？忽见形于沈文季曰 "武帝嘉其能 谁乐无事废天子邪？河东王铉等七王一夕见杀 棺器及墓中勿用余物为后患也 临水送归 子质 干饭 五年 及大司马王敬则于会稽反 梁之严 三年 "又采众家《后汉》考正同异 "临川为善 坦之谏不从 及永明三年 鼓吹 时梁武 围建康 尚不可精 年二十六著《晋史》 "左右云 理不足论 子显弟子云 有来斯应 字云长 置府 驰车走趋西掖门 补国子《周易》生 前后部羽葆 卒于骠骑长史 何可周洗？扬州刺史 讯访东宫玄圃 太子中舍人 须其自来 文学祭酒一人 各其宜矣 以城南射堂为兰台
初中数学二次根式的运算(含解析)
初中数学二次根式的运算考试要求：重难点：1.(0)a≥的内涵，(0)a≥是一个非负数；2a=(0)a≥；a=(0)a≥ 及其运用．2.二次根式乘除法的规定及其运用．3.二次根式的加减运算．例题精讲：模块一二次根式的加减运算二次根式的加减法法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再对同类二次根式进行合并．二次根式加减法的实质是合并同类二次根式，合并时只把系数相加减，根指数和被开方数不变．二次根式的加减法步骤：（1）将每一个二次根式化成最简二次根式；（2）找出并合并同类二次根式．【例1】计算：（1）（2【难度】1星【解析】如果几个二次根式的被开方数相同，可以直接进行加减运算；如果所给的二次根式不是最简二次根式应该先化简，再进行加减运算．（1）(3=+；（2(2==+【答案】（1）；（2）．【巩固】485127-＝______．【难度】1星【解析】485127-7=5(14⨯⨯=-=-【答案】-【例2】计算：（1）（2【难度】1星【解析】先化简成最简二次根式，再对同类二次根式进行合并．（1）1132(41)242=⨯⨯⨯-+；（2=1443(212)99⨯⨯-+=【答案】（1（2【巩固】计算：（1） （2【难度】2星 【解析】（1）1(64)5=+=-+=（2）=1(22=--= 【答案】（1（2）．【例3】 如图，一架长为10m 的梯子AB 斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m ．如果梯子的顶端下滑1m ，那么它的底端是否也下滑1m ？【难度】1星【解析】如图所示，在RT ABC ∆中，由勾股定理，得BC = 当AC=8m时，6BC ==m ； 当AC=7m时，BC =，所以梯子的顶端下滑1m6 1.1≈m ．【答案】梯子的顶端下滑1m ，那么它的底端不是下滑1m ，而是滑动1.1m ．模块二 二次根式的混合运算在进行二次根式的混合运算时，要注意几点： （1） 整式和分式的运算法则仍然适用．如CBA=== （2） 多项式的乘法法则及乘法公式在运算中同样是适用的．乘法公式：22()()a b a b a b +-=-；222()2a b a b ab ±=+±．【例4】 计算：（1 （26x 【难度】1星【解析】（1）原式==（2）原式=23223⋅=-【答案】（1（2）-【例5】 计算：（1）2 （2）(2（3）22(2(2-+ （4）20112012(3(3-【难度】2星 【解析】（1）用完全平方公式；（2）逆用平方差公式；（3）用平方差公式；（4）逆用平方差公式．（1）2222184866=-⨯=-=-（2）(2=22[224(82484-+=-=-+=----（3）22(2(2-+(2224(==⨯-=- ；（4）20112012(3(320112011[(3(3(98)(33=-+=-+=+【答案】（1）66- （2）4--（3） -； （4）3+【巩固】（1） （2（3） （4）3ab （0,0a b ≥≥） 【难度】2星【解析】在二次根式的乘除法中，首先确定结果的符号，同时要注意指数和运算顺序，最后的结果必须化成最简二次根式．（1）2(1218624==++-=+；（21=；（3）(61834=⨯⨯⨯⨯；（4）3ab3ab a ==-【答案】（1）24+； （2）1； （3） （4）a -．【例6】 解方程或不等式:（1))11x x +>- （21+=【难度】2星【解析】解不等式时，在系数化为1时，要注意系数的正负．（1))11x x +>- （21x +=x >=x <x =13x <+ x =x【答案】（1）13x <+ （2．【巩固】已知1018222=++a a a a，求a 的值． 【难度】2星【解析】先化原方程中的二次根式为最简二次根式，然后按着解一般整式方程的步骤去解即可．10=10=2=a =【答案】a =模块三 二次根式的化简求值【例7】 （2008年西城二模）先化简，再求值：2221412211m m m m m m --⋅÷+-+-，其中m =． 【难度】1星【解析】2221412211m m m m m m --⋅÷+-+-21(2)(2)(1)(1)(1)(2)2(1)m m m m m m m m m --+=⋅⋅-+=+-+-22m m =--，当m 时，原式21-=【答案】1【例8】 （2009年西城二模）先化简，再求值222x y xyx y x y x y +++--，其中x =-，y =．【难度】1星【解析】222x y xyx y x y x y +++-- 222()()22()()()()()()()()()()()x x y y x y xy x xy y xy xy x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y-+-+++++=++===+-+-+-+-+--．当x =-y =时，原式15==．【答案】15【巩固】（2011年东城区一模）先化简，再求值：2232()111x x xx x x +÷---，其中1x =． 【难度】1星【解析】原式232132[]2(1)(1)111x x x x x x x x x x x --=-⨯=-=-+-++，当1x =时，原式1===-【答案】1【巩固】（2011年东城区二模）先化简，再求值：2(21)(2)(2)4(1)x x x x x +++--+，其中x =． 【难度】2星 【解析】原式222441444x x x x x =+++---23x =- ．当x =时 ，原式227153344=-=-=⎝⎭．【答案】154总结：解此类题目时，一定要先化简再代入求值．【例9】已知x =，y =，求2y x x y ++的值．【难度】2星【解析】当分母中含有根号时，要先化简再求值．x ==231)+，y231)=-=， ∴2y xx y ++222(3336===+-=． 【答案】36【例10】 已知121x x +=，121x x ⋅=-，求12x x 的值． 【难度】3星【解析】12x x -==，12x x ∴-=22221111212221122()()22x x x x x x x x x x x x ⋅++-∴==⋅21212121212[()2][()()]2x x x x x x x x x x +-++-==．总结：该类题目直接将a ，b （或a ，b 化简后的结果）代入所求的式子中，计算都相对繁琐．在类似的题目中，要灵活的应用公式的变形，以便使计算过程大大的简化．【例11】2011++的值． 【难度】2星【解析】通过观察可以知道，先进行分母有理化，通过前几项的分母有理化发现，每一项的结果都是分母的后一项前去分母前一项，这样把每项展开，即可相加减，也就得出了结果． 原式1201211+-=-+【答案】1-+【例12】【巩固】2011+【难度】2星【解析】原式=2[1)(20122(12⨯---=-⨯-+=-【答案】2-总结：=利用这个公式解题．【例13】当a=，求代数式2963a aa-++-的值．【难度】2星【解析】原式=211(3)33(1)(1)a aaaa a aa a---+=-+---，2)212a a=-∴=-=<+原式=111333(1)(1)a aa a aa a a a a---+=-+=----，当a=时，原式= 2321+=．【答案】1【巩固】已知13a=-，12b=【难度】2星【解析】由题可知，0b a->，∴原式13a=-，12b=时，原式=115231622+==⨯．总结：在这类题目中，依然是对原题目进行化简，化简过程中出现了绝对值，此时应特别注意绝对值里面式子的正负，不能贸然的去掉绝对值符号．模块四二次根式的大小比较通过平方比较大小【例14】比较大小（1）1+（2）133-【难度】1星【解析】比较大小可以左右平方，比较平方数的大小，对于两个正数，平方大的就大；对于两个负数，平方大的反而小．（1）2(13=+23=，3223+>，1∴（2）2(10=，221101001(3)()113399-===，110119<，133-．【巩固】比较大小：【难度】1星【解析】略 【答案】>【巩固】实数-3-的大小关系是 ．（用“＞”表示） 【难度】1星【解析】通过比较平方数的大小来比较原数的大小．【答案】3->-．总结：在比较两个数或式子的大小时，如果只是数，可以平方之后再比较原数的大小；如果是式子且每个式子只含有一个根号时，可以采用平方法比较大小．通过做差比较大小【例15】 比较大小【难度】2星【解析】直接比较大小，无从入手，所以可以通过做差的方法比较大小．0=，<通过取倒数比较大小【例16】 比较大小（1 （2【难度】2星【解析】（1=====65+（2=2011+，【答案】（1<；（2<．总结：在比较两个式子的大小，且每一个式子都含有两个二次根式，可以通过取倒数比较大小．由上题我模块五 非负数性质的综合应用0≥且0a ≥，以前所学的平方和绝对值同样具有非负性，这也是中考中必考的三个非负性．【例17】 2(4)0y -=，则y x 的值等于 ． 【难度】1星【解析】对二次根式和平方非负性的直接考察． 【答案】1【例18】 如果2y =，则2x y += ． 【难度】1星【解析】对二次根式非负性的直接考察． 解：注意到230320x x -≥-≥，， 0230230x x ∴≤-≤-=， 232x y ∴==， 25x y ∴+=． 【答案】5【例19】 当x【难度】1星【解析】因为二次根式的被开方数大于或等于零，所以222012x x x≥-+．因为x >，．【巩固】已知0a <的值．【难度】2星【解析】原式= （*）因为21()0a a --≥但21()0a a --≤故只有21()0a a --=即1a a=又0a <，所以1a =- 代入（*）得：原式=2-． 【答案】2-【例20】 已知实数x ，y ，z满足2144104x y z z -+-+=，求2()x z y +⋅的值． 【难度】2星【解析】对绝对值、二次根式和平方非负性的考察．原式可化为1441()02x y z -+-=，441020102x y y z z ⎧⎪-+=⎪∴+=⎨⎪⎪-=⎩，解得121412x y z ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩22111()()()0224x z y ∴+⋅=-+⨯-=．【答案】0【巩固】已知实数a ，b ，c满足212102a b c c -+-+=，求()a b c +【难度】2星【解析】略【答案】14-课堂检测：【练习1】下列计算正确的是（ ）A B C D【难度】1星【解析】考察二次根式的运算．【答案】A【练习22得（ ）．A 2B C D【难度】1星【解析】 因为230x -≥，23232x x ≥=-，，所以210|21|21x x x ->-=-221(23)2x x =---=．故选A ．【答案】A【练习3化简，然后自选一个合适的x 值，代入化简后的式子求值．【难度】2星【解析】这是一道结论开放题，它留给我们较大的发挥和创造空间．但要注意x 的取值范围是2x >．原式===2,x >∴取4x =，原式＝2．【答案】2（合理即可）【练习4】设22a b c==-=＝，则a，b，c的大小关系是（）A a b c>>B a c b>> C c b a>> D b c a>>【难度】2星【解析】1a===，同理1122b c=220>>，所以1110,c b ac b a>>><<．故选A．【答案】A【练习53x=+，求11xy++的值．【难度】2星【解析】考察的是非负性，同时也对分式进行了考察．3x=+，2309030x yxx-=⎧⎪∴-=⎨⎪+≠⎩，解得31xy=⎧⎨=⎩，1312111xy++∴==++．【答案】2课后作业：1.化简时，==，乙的解法：==，以下判断正确的是（）．A 甲的解法正确，乙的解法不正确B 甲的解法不正确，乙的解法正确C 甲、乙的解法都正确D 甲、乙的解法都不正确【难度】2星【解析】甲是将分子和分母同乘以进行分母有理化，乙是利用3=进行约分，所以二人都是正确的，故选C ．【答案】C2. 计算：（1）（2） 【难度】1星【解析】题中每个二次根式都不是最简二次根式，应“先化简——再判断——最后合并”．（1）原式=1121023⎛⎛=+-- ⎝⎝= （2）原式=2a b b a b =⎛=- -⎝= 【答案】（1（23.化简 【难度】1星 【解析】初看此题像没有给出化简条件，但充分发掘隐含条件，由二次根式的定义可知10a->，即．故用分母有理化化简的第三步中1a 应为1a -． 原式1a a a a ===⋅=- 【答案】4.已知x=，y=222)x xy y x y+++-的值．【难度】２星【解析】x=2)2==2222)())x xy y x y x y x y∴+++-=++-，把x y==代入得原式=2402416=-=．【答案】165.请先化简下列式子，再选取两个能使原式有意义，而你又喜爱的数代入化简后的式子中求值．÷【难度】２星【解析】原式====当2x=时，原式=当3x=时，原式=．2x=时，原式=3x=时，原式=．6.=a、x、y是两两不同的实数，求22223x xy yx xy y+--+的值．【难度】3星【解析】由题可知，()0()0a x aa y ax aa y-≥⎧⎪-≥⎪⎨-≥⎪⎪-≥⎩，解得x aaa ya≥⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪≤⎩，0a∴=，此时，原式变为0,x y=-把x y=-代入有222222222222222233()()3()()3x xy y y y y y y y y yx xy y y y y y y y y y+--+----∴===-+---+++，a、x、y是两两不同的实数，0y∴≠，原式13=．【答案】13。
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1． 理解二次根式的概念．
2. 理解 a（a≥0）是一个非负数，（ a ）2=a（a≥0）， a2 =a（a≥0）．.理解 a · b
教学目标
＝ ab （a≥0，b≥0）， ab = a · b （a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化
简
3.
理解
a
=
a （a≥0，b>0）和
3．发现规律，归纳出二次根式的除法规定． 4.会判断这个二次根式是否是最简二次根式．
教学过程
一、 复习引入 今天我们要学习的是二次根式的概念及它的一些性质，其实前面我们已经学过平方根，而二次根式
其实就是平方根的其中正的那一个，也就是算术平方根。今天我们主要需要掌握二次根式的几个运算性 质：
1．形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式；
a
=
a （a≥0，b>0）及利用它们进行运算．
bb
bb
4. 理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式． 重点：
1. 二次根式 a （a≥0）的内涵． a （a≥0）是一个非负数；（ a ）2＝a（a≥0）；
a2 =a（a≥0）及其运用．
2. a · b ＝ ab （a≥0，b≥0）， ab = a · b （a≥0，b≥0）及它们的运用．
(2)若 a 1 + b 1 =0，求 a2004+b2004 的值．(答案: 2 ) 5
议一议：（学生分组讨论，提问解答）
a （a≥0）是一个什么数呢？
老师点评：二次根式其实就是平方根的其中正的那一个，也就是算术平方根。所以我们得到：
a （a≥0）是一个非负数．
做一做：根据算术平方根的意义填空：
（ 4 ）2=_______；（ 2 ）2=_______；（ 9 ）2=______；（ 3 ）2=_______；
分析：（1）因为 x≥0，所以 x+1>0；（2）a2≥0；（3）a2+2a+1=（a+1）≥0； （4）4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2≥0．
所以上面的 4 题都可以运用（ a ）2=a（a≥0）的重要结论解题．
解略
例 3 在实数范围内分解下列因式:
（1）x2-3 （2）x4-4
分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于 0，所以 3x-1≥0，• 3x 1 才能有意
义．
解：由 3x-1≥0，得：x≥ 1 3
当 x≥ 1 时， 3x 1 在实数范围内有意义． 3
例 3．当 x 是多少时，(1)
2x 3 + 1 在实数范围内有意义？ 2 x 1
1 1 2a
分析：要使 2x 3 + 1 在实数范围内有意义，必须同时满足 2x 3 中的≥0 和 1 中的 x+1
问题 3：甲射击 6 次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是 S2，那 么 S=_________．
老师点评：
问题 1：横、纵坐标相等，即 x=y，所以 x2=3．因为点在第一象限，所以 x= 3 ，所以所求点的坐
标（ 3 ， 3 ）．
问题 2：由勾股定理得 AB= 10
围来看, ( a )2 a≥0; a2 a 取任何实数.(3)从运算结果来看:
a (a≥ 0)
{ ( a )2 =a, a2 = /a/= -a(a＜0)
二次根式的乘法 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下列各题． 1．填空
（1） 4 × 9 =_______， 4 9 =______；
（2） 16 × 25 =_______， 16 25 =________．
x 1
x 1
≠0．
解：依题意，得
2x x 1
3 0
0
由①得：x≥- 3 2
由②得：x≠-1
当 x≥- 3 且 x≠-1 时， 2x 3 + 1 在实数范围内有意义．
2
x 1
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：①被开方数不小于零；
②分母中字母时，要保证分母不为零。
例 4(1)已知 y= 2 x + x 2 +5，求 x 的值．(答案:2) y
a · b ＝ ab ．（a≥0，b≥0）
反过来: 例 1．计算
ab = a · b （a≥0，b≥0）
（1） 5 × 7
（2） 1 × 9 （3） 9 × 27 3
（4） 1 × 6 2
分析：直接利用 a · b ＝ ab （a≥0，b≥0）计算即可．
解：（1） 5 × 7 = 35
（2） 1 × 9 = 1 9 = 3
16
16
（4） 36 =________， 36 =________．
81
81
规律：
9
______
9
；
16
______
16
；
4
_______
4
；
16
16 36
36 16
16
36
_______
36 ．
81
81
3．利用计算器计算填空:
（1） 3 =_________，（2） 2 =_________，（3） 2 =______，（4） 7 =________．
（3） 100 × 36 =________， 100 36 =_______．
参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．
4 × 9 _____ 4 9 ， 16 × 25 _____ 16 25 ， 100 × 36 ________ 100 36
2．利用计算器计算填空
（1） 2 × 3 ______ 6 ，（2） 2 × 5 ______ 10 ，
25
25
25
二次根式的除法 （学生活动）请同学们完成下列各题： 1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式． 2．填空
（1） 9 =________， 9 =_________；
16
16
（2）
16 =________，
16
=________；
36
36
（3） 4 =________， 4 =_________；
问题 3：由方差的概念得 S=
4
.
6
很明显 3 、 10 、 4 ，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我 6
们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式，“
根号． （学生活动）议一议：
”称为二次
1．-1 有算术平方根吗？ 2．0 的算术平方根是多少？ 3．当 a<0， a 有意义吗？ 4.请你凭着自己已有的知识，说说对二次根式 a 的认识！
(3) 2x2-3
（学生活动）填空：
22 =_______； 0.012 =_______； ( 1 )2 =______； 10
( 2)2 =________； 02 =________； ( 3)2 =_______．
3
7
（老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：
22 =2； 0.012 =0.01； ( 1 )2 = 1 ； ( 2)2 = 2 ； 02 =0； ( 3)2 = 3 ．
教学重点与 难点
3.理解
a
=
a （a≥0，b>0），
a
=
a （a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化
bb
bb
简． 4.最简二次根式的运用．
难点：
1.对 a （a≥0）是一个非负数的理解；对等式（ a ）2＝a（a≥0）及 a2 =a（a≥0）
的理解及应用．
2.发现规律，导出 a · b ＝ ab （a≥0，b≥0）．
（ 1 ）2=______；（ 7 ）2=_______；（ 0 ）2=_______．
3
2
老师点评： 4 是 4 的算术平方根，根据算术平方根的意义， 4 是一个平方等于 4 的非负数，因
此有（ 4 ）2=4．
同理可得：（ 2 ）2=2，（ 9 ）2=9，（ 3 ）2=3，（ 1 ）2= 1 ，（ 7 ）2= 7 ，（ 0 ）2=0，所以 33 2 2
（1）若 a2 =a，则 a 可以是什么数？
（2）若 a2 =-a，则 a 可以是什么数？
（3） a2 >a，则 a 可以是什么数？
分析：∵ a2 =a（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（ ） 2”中的数是正数，因为，当 a≤0 时， a2 = (a)2 ，那么-a≥0．
（3） 5 × 6 ______ 30 ，（4） 4 × 5 ______ 20 ，
（5） 7 × 10 ______ 70 ．
老师点评（纠正学生练习中的错误）
总结规律： 两个二次根式的乘除等于一个二次根式，并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次
根式中的被开方数． 一般地，对二次根式的乘法规定为
10 10 3 3
77
因此，一般地： a2 =a（a≥0）
例 1 化简
（1） 9 （2） (4)2 （3） 25 （4） (3)2
分析：因为（1）9=32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，
（4）（-3）2=32，所以都可运用 a2 =a（a≥0）•去化简．
应用拓展
例 2 填空：当 a≥0 时， a2 =_____；当 a<0 时， a2 =_______，并根据这一性质回答下列问题．
3
3
（3） 9 × 27 = 9 27 92 3 =9 3
（4）
1
×
6=