第四章原子的精细结构(修改)

1 0 0 2 c
r 是一个变量，用平均值代替：
1 Z *2 ( 3) 1 3 3 r a1 n l (l )(l 1) 2
其中：
4 0 h 2 a1 2 2 4 me
代入整理得：
El ,s Rhc 2 Z *4 j ( j 1) l (l 1) s ( s 1) 1 2 3 n l (l )(l 1) 2
n 2D3 / 2 22P3 / 2
~ 2 p nd
n 2D3 / 2 2 2P / 2 1
n 2D5 / 2 22P3 / 2
4．基线系：
n 2F5 / 2 32 D5 / 2
n 2F7 / 2 32 D5 / 2
n 2D5 / 2 22P / 2 1
~ 3d nf
o
二、自旋—轨道相互作用能
电子由于自旋运动而具有自旋磁矩： 具有磁矩的物体在外磁场中具有磁能：
El ,s
e s S m
s B s B cos
电子由于轨道运动而具有磁场：
* * 0 q r 0 Z e (r m ) 0 Z e L B 3 3 4 r 4 m 4m r 3 r e 0 Z *e 0 Z *e 2 S L El ,s s B S L 2 3 3 4m r m 4mr
原子的总能量：
En,l
R hc (n l ) 2
E En,l El ,s
三、碱金属原子能级的分裂
1 j l ，能级分裂为双层 2
当 当
1 j l 时， 2
El ,s
Rhc 2 Z *4 1 3 2n (l )(l 1) 2
j l
1 时， 2
El ,s
电子的运动=轨道运动+自旋运动
一、电子的总角动量
轨道角动量： L l (l 1) h 2 h 自旋角动量： S s( s 1) 总角动量：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ J LS
2
l 0,1,2 n 1
1 s 2
J j ( j 1) h 2
j l s，l s 1 ，…… l s
四、对碱金属光谱精细结构的解释
~ 1．主线系： 2s np
l 1
j 0,1
n 2P / 2 22S1/ 2 1
n 2P3 / 2 22S1/ 2
2．第二辅线系：
n 2S1/ 2 22P / 2 1
~ 2 p ns
n 2S1/ 2 22P3 / 2
3．第一辅线系：
d 力是引起动量变化的原因： F (m ) dt d (m ) dL 力矩是引起角动量变化的原因：M r F r dt dt
二、电子轨道运动的磁矩
电子轨道运动的闭合电流为：
e i T
z

“-”表示电流方向与电子运动方向相反 面积：
1 1 2 dA r rd r dt 2 2
iA
方向与 i 方向满足右手螺旋关系。
均匀磁场中： F 0
非均匀磁场中：
磁场方向沿
M B
z 轴，随 z

dB 的变化为 dz
z
dB dB 合力 Fz cos z dz dz


z cos ： 在外场方向的投影
i
3．力和力矩
2s 1 个值 当 l s 时，共 2l 1 个值
当 l s 时，共
由于
1 s 当 2 当
例如：当
1 l 0 时，j s ，一个值。 2 1 时， j l ，两个值。 l 1,2,3 2 1 3 1 1 l 1 时， j 1 2 2 j 1 2 2
可见总磁矩


和总角动量 J 并不反向。
2．原子的有效磁矩 J 守恒， 绕 J 旋进，不守恒。 将 分解成两个分量： J ：与 J 反平行，沿 J 的反向沿长线。 有效磁矩
n 2F5 / 2 32 D3 / 2
n 2F7 / 2 32 D3 / 2
§6 塞曼效应
1896年，荷兰物理学家塞曼发现：若把光源放入磁场中， 则一条谱线就会分裂成几条，这种现象称为塞曼效应。
正常塞曼效应：一条谱线在外磁场作用下，分裂为 等间隔的三条谱线。 反常塞曼效应：除正常塞曼效应外的塞曼效应。
i
一个周期扫过的面积：
A dA 0
T
1 2 1 T 2 1 T L r dt 0 mr dt 2m 0 Ldt 2m T 2 2m
L iA e 2m h L l (l 1) 2
e L 2m
是量子化的
e he L l (l 1) l (l 1) B 量子化的。 2m 4m
1 l 0 时，j l ， 能级分裂为双层。 2
2．能级分裂的间隔由 n l 决定 当 n 一定时，l 大，E 小，即
E4 p E4 d E4 f
当
n l 一定时， 大，E 小，即
E2 p E3 p E4 p
3．双层能级中， j
值较大的能级较高。
共2个，
外场方向投影： z
e S z B m
共两个偶数,与实验结果相符。
1928年，Dirac从量 子力学的基本方程出 发，很自然地导出了 电子自旋的性质，为 这个假设提供了理论 依据。 原子的磁矩= 电子轨道运动的磁矩+电子自旋运动磁矩+核磁矩。
§4.4 碱金属原子的精细结构
双层能级的间隔：
Rhc 2 Z *4 E 2n 3l (l 1)
Rhc 2 Z *4 1 3 2n l (l ) 2
l0
讨论：
1．能级由
当
l 0 时， j s ，能级不分裂；
Rhc 2 Z *4 n j l 三个量子数决定， E 2n3l (l 1)
当
h p n 2 h p n 2
n 1,2,3, n
n 0,1,2,, n
2n 个 1
共
e p n B 2m
外场方向投影： z cos n cosB n B 共 2n 1个奇数，但实验结果是偶数。
考虑相对论效应后，再乘以因子
0 Z *e 2 S L El , s 2 3 8m r 1 h 2 S L LS cos [ j ( j 1) l (l 1) s( s 1)]( ) 2 2
1 2
做修正
Z *e 2 1 h El , s [ j ( j 1) l (l 1) s( s 1)]( ) 2 2 4 0 4m 2 c 2 r 3 1
4．碱金属原子态符号： n 2 s 1L j 1 n3 l 0 j 如 2 3 l 1 j 2 1 j 2 5 l2 j 2 3 j 2 5．单电子辐射跃迁的选择定则
32 S1 / 2
32 P3 / 2
32 P / 2 1
32 D5 / 2
32 D3 / 2
l 1
j 0,1
3．量子力学与实验的比较 轨道角动量： 外场方向投影： 轨道磁矩：
h L l (l 1) 2
h Lz ml 2
l 0,1,2, n 1
ml 0,1,2,,l 共 2l 1个
e L l (l 1) B 2m
外场方向投影：
共
z cos ml B
总自旋角动量： S Si
i e e 总轨道磁矩： l li L i 2m L 2m i i
总自旋磁矩：
e e s si S i S m i m i
i
总角动量： J L S e e l s ( L 2S ) (J S ) 总磁矩： 2m 2m
§4 原子的精细结构
问题的提出
玻尔：谁如果在量子面前不感 到震惊，他就不懂得现代物理 学；同样如果谁不为此理论感 到困惑，他也不是一个好的物 理学家。
§4.1 原子中电子轨道运动的磁矩
一、有关的电磁学知识 1．电偶极矩
p ql
(1) 均匀电场中：
F 0 M l F l (qE ) p E
均匀磁场中： F 0 M B
非均匀磁场中：
dB dB Fz cos z dz dz
1．实验证明了原子的空间量子化。 两条细痕 两个 Fz 两个 z两个 空间量子化 2．玻尔-索末菲理论与实验比较
轨道角动量：
外场方向投影： 轨道磁矩：
L 和 S 不是平行或反平行，而是有一定的夹角
当
j l s时
s 0 s ( s 1)
s 0 s( s 1)
l cos l (l 1)
90 ， 称 L 和 S “平行”
o
当
j l s时
l 1 cos l (l 1)
90 ，称 L 和 S “反平行”
he B 9.2740 10 23 A m2 玻尔磁子 4m
h Lz ml 2
空间取向量子化
e z Lz ml B 2m
§4 .2、施特恩—盖拉赫实验
实验结果： 当 B 0 时，P上只有一条细痕，不受力的作用。
当 B 均匀时，P上仍只有一条细痕，不受力的作用。 当 B 不均匀时，P上有两条细痕，受两个力的作用。
1 h s 自旋角动量： S s( s 1) 2 2 h 1 S z ms ms 外场方向投影： 2 2 e e 自旋磁矩： s S，( l )L m 2m e e h s S s( s 1) 3 B m m 2
h h h 3 h L l (l 1) 2 S s ( s 1) 2 2 2 2 2 h 15 h 3 h J j ( j 1) , 2 2 2 2 2
J 2 L2 S 2 2LS cos
J 2 L2 S 2 j ( j 1) l (l 1) s ( s 1) cos 2 LS 2 l (l 1) s ( s 1)
2l 1 个奇数，但实验结果是偶数。
施特恩和盖拉赫实验证明了原子具有磁矩， 的数值和 取向是量子化的，同时也证明了 L 的空间取向也是量子 化的。

§4 .3、电子自旋角动量和自旋磁矩
1925年，荷兰的乌伦贝克和古德史密特提出了电子自 旋的假设： 每个电子都具有自旋的特性，由于自旋而具有自旋 角动量 S 和自旋磁矩 s ，它们是电子本质所固有的， 又称固有矩和固有磁矩。
q
l
F qE
E
F
q
z 的变化为 dE (2) 非均匀电场中：电场强度沿 z 轴，随
q
dE q( E l cos ) dz
dz
)
z
qE
q
合力
dE dE Fz q l cos pz dz dz
pz p cos ：
p 在外场方向的投影
2．磁矩
一、原子的总磁矩和有效磁矩
1．原子的总磁矩
h 轨道运动： Li li (li 1) 2
e l i Li 2m e s i Si m
自旋运动：
h Si si ( si 1) 2
原子的磁矩电子的轨道磁矩+电子的自旋磁矩 L-S耦合法： 总轨道角动量： L Li