人教版九年级上册数学实际问题与一元二次方程

引入
学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明 年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率. x 7.2万册 x 5(1＋x)万册
去年
5万册 2 5(1 ＋ x )(1 ＋ x ) 5(1 ＋ x ) 万册 设这两年的年平均增长率为x, 由题意得: 5(1＋x)2=7.2
关于两次平均增长(降低)率问题的一般关系: A(1±x)2=B(其中A表示基数,x表表示增长(或降低)率,B 表示新数)
例2：某商品经两次降价，零售价降为 原来的一半，已知两次降价的百分率一样。 求每次降价的百分率。（精确到0.1%）
分析：“两次降价的百分率一样”，指的是 第一次和第二次降价的百分数是一个相同的值， 即两次按同样的百分数减少，而减少的绝对数 是不相同的，设每次降价的百分率为x，若原价 为a，则第一次降价后的零售价为a-ax=a(1-x)， 又以这个价格为基础，再算第二次降价后的零 售价。
活动2
问题： （1）本题中有哪些数量关系？ （2）如何理解“正中央是一个与整个封面 长宽比例相同的矩形”？ （3）如何利用已知的数量关系选取未知 数并列出方程？ （4）解方程并得出结论，对比几种方法 各有什么特点？
活动3
如图，某中学为方便师生活动，准备 在长30m，宽20m的矩形草坪上修筑两横 两纵四条小路，横纵路的宽度之比为3∶2 ， 若使余下的草坪面积是原来草坪面积的 四分之三，则路宽应为多少？
又若第二年的增长率为第一年的2倍，那么第 一年的增长率为多少时可以实现市财政净收
入翻一番？
拓展应用
若调整计划，两年后的财政净收入值为 原值的1.5倍、1.2倍、…，那么两年中的平均年 增长率相应地调整为多少？ 又若第二年的增长率为第一年的2倍，那么第 一年的增长率为多少时可以实现市财政净收入翻 一番？
问题思考
思考：原价和现在的价格没有具体数 字，如何列方程？请同学们联系已有的知 识讨论、交流。
问题解答
解:设原价为1个单位，每次降价的百分率 为x.根据题意，得
1 (1 x) 2
2
解这个方程，得
2 2 x 2
问题解答
2 2 由于降价的百分率不可能大于1，所以 x 2
不符合题意，因此符合本题要求的x为
解这个方程，得
2
2 但x 1 >1不合题意，舍去 2 2 x 1 29.3%. 答：每次降价的百分率为29.3%. 2
2 2 x1 1 , x2 1 2 2
练习2.某种药剂原售价为4元, 经过两次降 价, 现在每瓶售价为2.56元,问平均每次降价 百分之几?
解 : 设每次平均降价的百分 数为x, 根据题意, 得
尝试探索，合作交流，解决问题
解：设平均年增长率应为x，依题意，得
(1 x) 2
2
解这个方程，得
1 x 2 x2 2 1 x1 2 1
x1 0.414
x2 3.414
因为增长率不能为负数 所以增长率应为41.4%
拓展应用
在例1中，（1）翻一番是什么意思？设原 值为1，方程应该如何列？设原值为A，方程又 应该如何列？ （2）若调整计划，两年后的财政净收入值为 原值的1.5倍、1.2倍、…，那么两年中的平均年 增长率相应地调整为多少？
4(1 x) 2 2.56.
解这个方程: (1 x ) 2 0.64, (1 x ) 0.8, x 1 0 .8 ,
x 1 1 0.8 20%; x 2 1 0.8 1(不合题意, 舍去).
答 : 每次平均平均降价的百 分数为20%.
今年
明年
例1：琼海市市政府考虑在两年后实现 市财政净收入翻Biblioteka Baidu番，那么这两年中财政净 收入的平均年增长率应为多少？ （精确到 0.1%）
尝试探索，合作交流，解决问题
1、翻一番，你是如何理解的？ （翻一番，即为原净收入的2倍，若设原值为1，那 么两年后的值就是2） 2、“平均年增长率”你是如何理解的。 （“平均年增长率”指的是每一年净收入增长的百分 数是一个相同的值。即每年按同样的百分数增加，而增 长的绝对数是不相同的） 3、独立思考后，小组交流，讨论。 4、展示成果，相互补充。
实际问题与 一元二次方程
活动1
问题： 通过上节课的学习，大家学到了哪些 知识和方法？
活动2
要设计一本书的封面，封面长27cm , 宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽 比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边 衬所占面积是封面面积的四分之一，上下 边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四 周边衬的宽度（精确到0.1cm）？ （课件：设计封面）
2 、某经济开发区今年一月份工 业产值达50亿元，第一季度总产值 达 175 亿元，问二、三月份平均每 月的增长率为多少？设平均每月增 长 率 为 x， 根 据 题 意 得 方 程 ： 2=175 50+50(1+x)+50(1+x) ________________________
练习1：某药品经两次降价，零售价降为原来 的一半.已知两次降价的百分率一样，求每次 降价的百分率.（精确到0.1%） 解：设原价为1个单位， 每次降价的百分率为 x. 根据题意，得 1 x 2 1
课件：设计图案
活动3
问题： （1）本题中有哪些数量关系？ （2）由这些数量关系还能得到什么新 的结论？你想如何利用这些数量关系？为 什么？如何列方程？ （3）对比下列两个图形，它们有什么 联系与区别？
活动3
（4）有什么方法使本题易于解决？
利用图形的变换－－平移
活动4
问题：
通过本课的学习，大家有什么新的收 获和体会？
2 2 x 2
≈29.3 ％
答：每次降价的百分率为29.3%.
1 、党的十六大提出全面建设小康 社会，加快推进社会主义现代化建设， 力争国民生产总值到 2020 年比 2000 年 翻两番，在本世纪的头二十年（ 2001 年至 2020 年），要实现这一目标，以 十年为单位计算，设每个十年的国民 生产总值的平均增长率为 x，那么 x 满 2=4 (1+x) 足的方程为_____________