次函数解决实际问题归纳

二次函数解决实际问题归纳及练习

一、应用二次函数解决实际问题的基本思路和步骤：

1、基本思路：理解问题→分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系→用函数关系式表示它们的关系→用数学方法求解→检验结果的合理性；

最大（最小、最省）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；②问的求解依靠配方法或最值公式而不是解方程。

（1）利用二次函数解决利润最大问题

此类问题围绕总利润=单件利润×销售总量，设未知数时，总利润必然是因变量y，而自变量有两种情况：①自变量x是所涨价多少或降价多少；②自变量x是最终销售价格。

例：商场销售M型服装时，标价75元/件，按8折销售仍可获利50%，现搞促销活动，每件在8折的基础上再降价x元，已知每天销售数量y（件）与降价x（元）之间的函数关系式为y=20+4x(x﹥0)

①求M型服装的进价

②求促销期间每天销售M型服装所获得的利润W的最大值。

（2）利用二次函数解决面积最值

例：已知正方形ABCD边长为8，E、F、P分别是AB、CD、AD上的点（不与正方形顶点重合），且PE⊥PF，PE=PF

问当AE为多长时，五边形EBCFP面积最小，最小面积多少？

2、用二次函数解抛物线形问题

常见情形具体方法

抛物线

形建筑

物问题

几种常见的抛物线形建筑物

有拱形桥洞、涵洞、隧道洞口、

拱形门窗等

（1）建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形状

的图形放到坐标系之中；

（2）从已知和图象中获得求二次函数表达式所需

条件；

（3）利用待定系数法求出抛物线的表达式；

（4）运用已求出抛物线的表达式去解决相关问

题。

运动路

线（轨

迹）问题

运动员空中跳跃轨迹、球类飞

行轨迹、喷头喷出水的轨迹等

牢记（1）解决这类问题的关键首先在于建立二次函数模型，将实际问题转化为数学问题，其次是充分运用已知的条件利用待定系数法求出抛物线的表达式；

（2）把哪一点当作原点建立坐标系，将会直接关系到解题的难易程度或是否可

解；

（3）一般把抛物线形的顶点作为坐标系的原点建立坐标系，这样得出的二次函

数的表达式最为简单。

巧记实际问题要解决，正确建模是关键；根据题意的函数，提取配方定顶点；

抛物线有对称轴，增减特性可看图；线轴交点是顶点，顶点纵标最值出。

练习

1：某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，测得水面宽1．6m，涵洞顶点O到水面的距离为2．4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？

2：某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物，大门底部宽AB=4m，顶部C离地面的高度为，现有载满货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面，装货宽度为。这辆汽车能否顺利通过大门?若能，请你通过计算加以说明；若不能，请简要说明理由.

3、某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x 元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．

（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；

（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？

4、某公司试销某种“上海世博会”纪念品,每件按30元销售，可获利50％，设每件纪念品的成本为a 元。（1）试求a 的值；

（2）公司在试销过程中进行了市场调查，发现试销量y（件）与每件售价x（元）满足关系式y=–10x+800.设每天销售利润为W(元)，求每天销售利润W(元) 与每件售价x（元）之间的函数关系式；当每件售价为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？