复合函数求偏导

, z
.
x y
三、设z arctan(xy),而y e x ,求dz . dx
四、设 z f ( x 2 y 2 , e xy ),(其中f具 有一阶连续偏导
数),求z , z . x y
五、设u f ( x xy xyz) ,(其中f具 有一阶连续偏导 数),求u , u , u . x y z
第四节 多元复合函数的求导法则
------链式法则
情形一:中间变量为一元函数
定理 1 如果函数u (t)及v (t)都在点t 可
导，函数z f (u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导
数，则复合函数z f [(t), (t)]在对应点t 可导，
且其导数可用下列公式计算：
dz z du z dv ． dt u dt v dt
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y2)
(4x
2y
)
3x
2y 2
y2 ]
情形三:中间变量既有一元函数,又有多元函数
z=f(u,v), u=φ(x,y) ,v=ψ(y) ,则 z z u x u x z f u f dv y u y v dy
可见：在树形图中，函数有几个自变量，
就有几个导数公式，有几个中间变量， 就有几项之和，每项的构成都是函数对 中间变量的导数再乘以中间变量对自变 量的导数。
z y
f2
u y
xu
ln x
xy
ln x
例5：z f (x x2y2 )，且f (u)可微，求 z , z
x y
解：z f ' (1 2xy2 ), z f ' 2x2y
x
y
例6：z f (x y,xy)，求z的偏导数。
解：z x
f1'
f
' 2
y
, z y
f1'
(1)
f
' 2
x
z z u z v ， x u x v x
z y
z u
u y
z v
v y
.
链式法则如图示
u
x
z
v
y
z z u z v , x u x v x z z u z v . y u y v y
类似地再推广，设u ( x, y) 、v ( x, y) 、
w w( x, y)都在点( x, y) 具有对x 和y 的偏导数，复合
函数z f [ ( x, y), ( x, y), w( x, y)]在对应点( x, y)
两个偏导数存在，且可用下列公式计算
z
z
u
z
v
z
w
,
x u x v x w x
z
z
u
z
v
z
w
.
z
y u y v y w y
u v w
x
y
例2：z
u2 ln v, u
y ,v
x2
y2 ,求 z
z ,
x
x y
六、设z f ( x, x ),(其中f具 有二阶连续偏导数),求 y
2z 2z 2z x 2 , xy , y 2 .
七、设z
y , 其中为可导函数,
f (x2 y2)
验证: 1 z 1 z z . x x y y y 2
八、设z [ x ( x y), y],其中 , 具有二阶导数,求
解：(1)法一：z z u z v x u x v x
2u
ln
v
(
y x2
)
u2 v
(2x)
2y2 x3
ln(x2
y2)
2y 2 x(x2 y 2 )
z z u z v y u y v y
2u ln v 1 u2 (2y) xv
2y x2
ln(x
2
y2)
2y 3 x2(x2
y2)
可看到 : z , z 仍为u, v的函数
x y
法二：z
y2 x2
ln(x2
y2 ),
z x
2y2 x3
ln(x2
y2)
y2 x2
2x x2 y2
z y
2y x2
ln(x2
y2
)
y2 x2
2y x2 y2
例3：z (3x2 y2 )4x2 y ,求 z , z
x y
解法1:令u 3x2 y2 ,v 4x 2 y
y 2 y 3
f 2
x2 y4
f 22 .
八、 2 z x 2
11 (1 )2
1 ,
2z y 2
11 ( )2
12
1
21
22 .
关键:在于函数的复合结构，主要搞清楚
“谁对谁”求导，哪些是中间变量，哪 些 是自变量，明确每次求导是对哪一层次 的变量求导，为直观显示，可结合“树 形图”，另应注意何时为全导数，何时
特别地 (1) 若u u(x), v v(x),则 z f (u, v) f (u(x), v(x))
dz dx
幂指函数求导
z uv
解法2：z e(4 x2 y)ln( 3 x2 y2 )
z x
e(4x2y )ln( 3x2 y2 )[(4x
2y) ln( 3x2
y 2 )]x'
e(4x2y)ln( 3x2y2 )[4 ln( 3x2 y 2 ) (4x 2y) 6x ] 3x2 y2
z y
e(4x2y)ln( 3x2 y2 )[2 ln( 3x2
定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
如 dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
u
z
v
t
w
以上公式中的导数
dz dt
称为全导数.
例1：z uvw, u x2 ,v sin x, w cos x,求 dz
解：法一 z x2 sin xcos x x2 sin 2x
f1u( x)
f 2v( x)
(2)若z f (u), u u(x, y), 则z f (u(x, y))
z f ' (u) u ,
x
x
z f ' (u) u
y
y
例4：z xxy 求 z , z x y
解：u xy ,z xu f (x,u)
z x
f1
f2
u x
uxu1
xu
ln x y xy1
z ________________. y
2、设z
x2
ln(3 x y2
2 y) ,则z x
_______________；
z ________________. y
3、设z esint2t3 ,则dz ________________. dt
二、设z
v
ue u ,而u
x2
y2,v
xy ，求z
dx
2
z' xsin 2x x2 cos2x
法二 dz z u'(x) z v'(x) z w'(x)
dx u
v
w
vw 2x uw cosx uv (sin x) 2xsin xcos x x2 cos2 x x2 sin2 x xsin 2x x2 cos2x
情形二: 中间变量为多元函数
2x2
；
y3
(3x 2 y)y2
3、 3(1 4t 2 ) . 1 (3t 4t 3 )2
二、 z x
[2x
y
2x2 y
xy
]e x2 y2
(x2 y2)y2
,
z y
[2 y
x
2y2 (x2
x y2
xy
]e ( x2 y2 ) . )
三、 dz e x (1 x) . dx 1 x 2e 2x
2z 2z x 2 , y 2 .
练习题答案
一、1、cos y(cos x x sin x) , x cos x( y sin y cos y) ；
y cos2 x
y 2 cos2 x
2、2 x ln(3 x 2 y) 3 x 2 ,
y2
(3x 2 y)y2
2x2 ln(3x 2 y)
四、 z x
2 xf1
ye xy
f
2
,
z y
2 yf1
xe xy
f 2.
五、u f (1 y yz), u f ( x xz), u xyf .
x
y
z
六、 2 z x 2
f11
2 y
f 12
1 y2
f 22 ,
2z
xy
x y2
(
f 12
1 y
f 22 )
1 y2
f 2,
2z 2x
例7 z f ( x, x ),求 z , z y x y
二.一阶全微分形式不变性
u, v为自变量时，z f (u, v),dz f1'(u, v)du f2' (u, v)dv
u, v为中间变量时，dz
f1' (u, v)du
f
' 2
(u,
v)dv
练习题
一、填空题:
1、设z x cos y ,则z ________________； y cos x x
z f [(x, y), (x, y)]
如果u ( x, y)及v ( x, y)都在点( x, y)
具有对x 和 y 的偏导数，且函数z f (u,v)在对应
点(u, v )具有连续偏导数，则复合函数
z f [ ( x, y), ( x, y)]在对应点( x, y) 的两个偏
导数存在，且可用下列公式计算