求复合函数偏导数的链式法则解

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例4 设u x x y y x y , 则 2u 2u 2u 2 2 0. 2 x x y y
u 证明： x ' y ', x
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§2. 求复合函数偏导数的链式法则
2u ' ' x '' y '' 2 ' x '' y '', 2 x
2u ' x '' ' y '', y x u x ' y ', y 2u x '' ' y '' ' x '' 2 ' y ''. 2 y
则
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§2. 求复合函数偏导数的链式法则
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xy
z xe xy z . y e 2
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§2. 求复合函数偏导数的链式法则
u u 证明： ' ', a ' a ', x t 2u 2u 2 2 '' '', a '' a '', 2 2 x t 所以
2 2u u 2 a . 2 2 t x
u u u ' ' f1 y f 2 x x x 2 u '' '' '' ' f11 2 xf12 yf12 f 2 xy
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§2. 求复合函数偏导数的链式法则
u '' '' '' '' f f y f f y y 11 12 12 22 2 x '' '' '' 2 f11 2 f12 y f 22 y
x
u
y
t
x
u
y
s
§2. 求复合函数偏导数的链式法则 特殊情形
(1) u f ( x , y ), x t , y t , 则有 du u dx u dy dt x dt y dt (2) u f ( x , y , t ), x s , t , y s , t , 则有
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§2. 求复合函数偏导数的链式法则
二、复合函数的全微分
设函数 z f ( u, v ) 具有连续偏导数，则 u，v 不论是 自变量还是中间变量，总有全微分
dz z du z dv 。 u v
事实上，
（1）如果 u，v 是自变量，结论显然。
（2）如果 u，v 是中间变量， u ( x , y ), v ( x , y ). 有全微分：
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§2. 求复合函数偏导数的链式法则
z z dz dx dy x y z u z v dx z u z v dy u y v y u x v x u dx u dy z v dx v dy z v x u x y y
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§2. 求复合函数偏导数的链式法则
z du z dv . u v 全微分形式不变形的实质： 无论 z 是自变量 u，v 的函数或中间变量 u，v 的函数，它的全微分形式是一样的. 注意，在复合函数情形下，du, dv也是u, v的函数，
因而高阶全微分不具有形式不变性。
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§2. 求复合函数偏导数的链式法则
§2. 求复合函数偏导数的链式法则
例2 解：
dz d 2 z 设z f x , y , y x , 求 , 2 . dx dx dz f x f y f x f y ' x
dx x x y x
再求导，得
d 2 z f x f x y f y f y ' x ' x f y ' x 2 dx x y x x y f x 2 2 f xy ' x f y 2 ' x f y '' x .
u u u 2 2 0. 2 x xy y
2 2 2
例6. 设f tx , ty t f x , y , 则有
n
证明： 设f
x , y 的定义域D, 有条件知 x0 , y0 D, 有 f tx0 , ty0 t n f x0 , y0 .
将 x0 , y0 换成D内任一点 x , y , 有 xf yf nf x , y ,
' 1 ' 2
即 f f x y nf . x y
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§2. 求复合函数偏导数的链式法则
对z f x , y
x 2 y 2 , 它满足
z x
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e [ y sin( x y ) cos( x y )]dx
xy
z y
e xy [ x sin( x y ) cos( x y )]dy .
§2. 求复合函数偏导数的链式法则
例 9 已知 e
解
xy
d e
2 z e 0 ，求 z 和 z .
例 8 设 z e u sin v ，而 u xy ， v x y ， 求全微分 dz .
解：
dz z du z dv u v
(e u sin v )d ( xy ) (e u cos v )d ( x y ) (e u sin v ) ydx xdy (e u cos v )dx dy e u ( y sin v cos v )dx e u ( x sin v cos v )dy
f f x y nf . x y
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§2. 求复合函数偏导数的链式法则 等式两边求导，得
x0 f1' y0 f 2' nt n1 f x0 , y0 . x0 f y0 f n f x0 , y0 .
' 1 ' 2
当t 1时，有
u u x u y u t x t y t t
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§2. 求复合函数偏导数的链式法则
u u x u y s x s y s
u u 例1 设u x y , x 2 st , y t s , 求 , . s t
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u u x u y 解： 2 x 2t 1 2 s 4 xt 2 s s x s y s u u x u y 2 x 2 s 1 s 4 xs 1 t x t y t
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z
z
xy
2z e
d (0),
x
y
e
xy
z
d ( xy ) 2dz e dz 0,
xy
z
(e 2)dz e
xy
( xdy ydx ),
xy ye xe dz z dx z dy, ( e 2) ( e 2)
z ye z , x e 2
f tx , ty tf x , y , 即为一次函数，所以 z z x y f x, y x y x y .
2 2
例7. 设u x at x at , 其中 与 是
2 2u u 2 任意的二次可微函数，求证： 2 a . 2 t x
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§2. 求复合函数偏导数的链式法则 该公式称为求复合函数偏导数的链式法则。
链式法则如图示
u u x u y t x t y t
u u x u y s x s y s
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§2. 求复合函数偏导数的链式法则
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§2. 求复合函数偏导数的链式法则
一、链式法则
定理1 设u f
x , y , x x , t , y x , t , 此时，
x y x y 若 , 及 , 在某点 s, t 都存在，而f x , y t t s s 在相应于 s , t 的点 x , y 可微，则成立公式： u u x u y t x t y t 及 u u x u y s x s y s
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§2. 求复合函数偏导数的链式法则
u 2 u 2 u , 2, . 例3 设u f x y , xy , 求 x x xy
解： 把函数看百度文库复合函数：
u f , , x y, xy.
按求导公式，则有