2018年一轮复习(理)数学教案：第8章 第7节 双曲线含解析

第七节双曲线

[考纲传真] 1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单的几何性质．3.了解双曲线的简单应用．4.理解数形结合的思想．

1．双曲线的定义

(1)平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线，定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．

(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，

其中a，c为常数且a>0，c>0.

①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；

②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；

③当2a>|F1F2|时，M点不存在．

2．双曲线的标准方程和几何性质

标准方程x2

a2－

y2

b2＝1(a>0，b>0)

y2

a2－

x2

b2＝1(a>0，b>0)

图形

性质

范围x≤－a或x≥a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点

顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线y＝±

b

a x y＝±

a

b x

离心率 e ＝c

a ，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋

b 2

a ，

b ，

c 的关系

c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( )

(2)方程x 2m －y 2

n ＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( )

(3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±

y

n ＝0.( )

(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√

2．(教材改编)已知双曲线x 2a 2－y 2

3＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( ) A ．2 B.6

2 C.52

D ．1

D [依题意，e ＝c

a ＝a 2＋3a ＝2， ∴a 2＋3＝2a ，则a 2＝1，a ＝1.]

3．(2017·福州质检)若双曲线E ：x 29－y 2

16＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )

【导学号：57962406】

A ．11

B ．9

C ．5

D ．3 B [由题意知a ＝3，b ＝4，∴c ＝5.由双曲线的定义||PF 1|－|PF 2||＝|3－|PF 2||＝2a ＝6，∴|PF 2|＝9.]

4．(2016·全国卷Ⅰ)已知方程x 2m 2＋n －y 2

3m 2－n

＝1表示双曲线，且该双曲线两

焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )

A ．(－1,3)

B ．(－1，3)

C ．(0,3)

D ．(0，3)

A [∵原方程表示双曲线，且两焦点间的距离为4. ∴⎩⎨⎧ m 2＋n ＋3m 2－n ＝4，(m 2＋n )(3m 2－n )>0，则⎩⎨⎧

m 2＝1，－m 2

5．(2016·北京高考)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a ＝__________.

2 [双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±

b a x ，易得两条渐近线方程互相垂直，由双曲线的对称性知b

a ＝1.

又正方形OABC 的边长为2，所以c ＝22， 所以a 2＋b 2＝c 2＝8，因此a ＝2.]

双曲线的定义及应用

(2015·全国卷Ⅰ改编)已知F 是双曲线C ：x 2

－y 2

8＝1的右焦点，P 是C

的左支上一点，A (0,66)．则△APF 周长的最小值为__________．

32 [由双曲线方程x 2

－y 2

8＝1可知，a ＝1，c ＝3，

故F (3,0)，F 1(－3,0)，

当点P 在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF |－|PF 1|＝2.所以|PF |＝|PF 1|＋2，

从而△APF 的周长＝|AP |＋|PF |＋|AF |＝|AP |＋|PF 1|＋2＋|AF |.

因为|AF |＝32＋(66)2＝15为定值，

所以当(|AP |＋|PF 1|)最小时，△APF 的周长最小，A ，F 1，P 三点共线． 又因为|AP |＋|PF 1|≥|AF 1|＝|AF |＝15.

所以△APF 周长的最小值为15＋15＋2＝32.] [规律方法] 1.应用双曲线的定义需注意的问题：

在双曲线的定义中，要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点间的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时需注意定义的转化应用．

2．在焦点三角形中，注意定义、余弦定理的活用，常将||PF 1|－|PF 2||＝2a 平方，建立|PF 1|·|PF 2|间的联系．

[变式训练1] 已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1，F 2，点A 在C 上．若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝( )

A.1

4 B ．13 C.24

D ．23

A [由e ＝c

a ＝2得c ＝2a ，如图，由双曲线的定义得|F 1A |－|F 2A |＝2a .

又|F 1A |＝2|F 2A |，故|F 1A |＝4a ， |F 2A |＝2a ，

∴cos ∠AF 2F 1＝(4a )2＋(2a )2－(4a )22×4a ×2a

＝1

4.]

双曲线的标准方程

(1)(2017·广州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝5

4，

且其右

焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( )

【导学号：57962407】

A.x 24－y 2

3＝1

B ．x 29－y 2

16＝1