概率论在实际中的应用

由标准正态分布有
（1）
由（1）
（2）
由（2）可计算被积函数为 的积分 。
例题 1求 .
解：
（二）概率论知识在初等代数中的应用
不等式的证明一直都是初等代数中的一个难点，而有些证明不等式的问题如果应用概率论知识来解决，就会给人以耳目一新的感觉,并且问题也简化易行了。
例题1( 平均数不等式)设 为 个正数，
（一）进货问题
例如，某商场每星期四进货，以备星期五、六、日三天销售，根据多周统计，这三天的销售数量彼此独立且分布已知。则三天销售总量这个随机变量可以取的那些值可利用概率论知识来解决。同样可解决如果进货 件，不够卖的概率及进货 件够卖的概率。
（二）销售问题
例如，某公司生产某种新产品，作为一名业务员，他准备在 个地点销售公司的产品，据估计大概有 个地点销售不出公司的产品，假设在可以销售出产品的地点，业务员手中的产品能一次性销售完。但不知道具体哪个地点可以销售出产品。问这个业务员要销售完他的产品大概需要多长时间？
解：记零件每更换一次为一个周期，用 表示，则
故周期的平均长度为：
一个周期内的损失记忆为：
故一个周期内的平均损失为：
单位时间内的平均损失为：
令 得：
解得：
3
例题人群中有病人和健康者（易感染者)，任何两人之间的接触都是随机的，当易感染者与病人接触时是否被感染也是随机的，试分析每天平均被感染人数及其方差。
（四）资产组合问题
在金融市场上规避风险是任何投资者首要考虑的目标，而多样化投资是降低风险的一种途径，这也是资产组合理论的核心内容。我们举一个太阳镜和雨衣的例子来分析资产组合在降低风险方面的作用，所用到的概率论知识也是很简单的期望收益。这也是笔者在日常教学中一个深刻的体验，现代经济学虽然所用到的数学知识越来越深奥，但是一些简单的数学概念却能够揭露经济学深刻的内涵。假设在当前的市场上，一副太阳镜与一件雨衣的价格都 元，如果未来的夏季是雨季，雨衣的价格会涨到 元，太阳镜的价格会跌到 元。但是，如果未来的天气是炎炎夏日，则太阳镜的价格会涨到 元，而雨衣的价格会降到 元。如果天气是雨季还是酷暑的概率各位 ，你要投资 元。如果你把 元全投资于雨衣(买下 件雨衣，因为现价是 元一件)，那么你有 的概率获得 元，有 的概率获得 元。如果你把 元投资于太阳镜，结果也是一样的。最后，你的期望收入是 元。
但是若你在太阳镜和雨衣上各投资于一半，那么当是雨季时，你会从雨衣上获得 元，在太阳镜上获得 元；当是酷暑时，你会在太阳镜上获得 元，在雨衣上只获得 元。但不管怎么样，你一定可以得到 元。
多元化投资和单一投资的差别在于：在后面的多元化投资中， 元是一个确定的收入，而在前面的单一投资中， 只是个期望收入。对于风险厌恶者而言，多元化的投资可以降低风险，提高确定性，从而提高效用。这也是在金融市场上资产组合理论的核心内容。
证明：设随机变量 服从 分布，即
.
已知 , 符合中心极限定理的条件，则由题“ 分布收敛于标准正态分布”可知：
.
即
.
可见，对于数列极限有关的证明用概率论的知识去解决确实简便易行。
2
级数求和是数学分析中的又一难点，如果用概率Leabharlann Baidu的知识去解决,可使问题迎刃而解。
例题 1求级数 .
解：考虑随机试验：一个袋中装有 个红球，1个白球，每
Keywords:mathematics, business, engeering, biological genetics
关键词:数学学科，商业企业，建筑工程，生物遗传学
一、引言
随着科学技术的飞速发展，经济全球化的进程日益推进，我们的生活变得五彩斑斓，多姿多彩。在每天的新闻播出中，各类社会热点问题频频出现在眼前，给生活带来了诸多精彩，也带来了许多困惑，这些问题完全可以用概率论知识来解读。概率论作为数学的一个重要分支，正在金融、保险、经济与企业管理、工农业生产、军事、医学、地质学、空间技术、气象与自然灾害预报等领域越来越发挥出其广泛而深远的作用。正如英国逻辑学家和经济学家杰文斯所说，概率论是“生活真正的领路人，如果没有对概率的某种估计，我们就寸步难行，无所作为”本文简单的阐述了概率论在以下四个方面的简单应用。
关键词:数学学科，商业企业，建筑工程，生物遗传学
The application of probability theory in practice
Abstract:Probability theory is an important branch of mathematics,is a science of studying the statistical regularity of random phenomena,with the continuous development of society, the knowledge of probability theory is more and more important,also more and more extensive application.It has its own unique method of proof and other disciplines,it is a useful tool life, the lack of the knowledge of probability theory will "confused, difficult". The thought and method of probability theory (such as a small probability event, two binomial distribution, Poisson distribution etc.) discusses the application in other fields of mathematics, business, engineering and biological genetics and so on, can be seen from the probability theory to practical issues in high efficiency, simple and practical in the solution, allowing readers to understand the rich background knowledge is closely associated with the human practice of probability theory, to enlarge the readers to the application of probability theory to understand, so as to increase the probability of learning interest, cultivating ability and analysis its logical reasoning and problem solving ability.
解：
（1）、模型假设
①人群分为两类： 类（易感染者）与 类(病人)，人数分别为 与 ，总人数为 ；
②人群中任两人的接触是相互独立的,且有相同的概率,每人每天平均与 人接触;
③当 类人与 类人接触时，被感染的概率为 。
（2）、模型求解
①设假设②中的概率为 ，任一 类人每天接触的人数服从二项分布
。
由 知
二、
（一）概率论知识在数学分析中的应用
1
数学分析中的数列极限问题的证明和计算有的比较烦琐,若用概率论的知识去解决,可达事半功倍的效果。
例题1求 .
解：设服从 的 分布，即
,
则
,
所以
.
由级数收敛的必要性可知： .
实际上，形如 的极限求值均可构造 的 分布来求值，再用级数收敛的必要性去判断即可。
例题2求证 。
则有
。
证明：设随机变量 的概率分布为
由
得
即
令 ，其中 为 上的凸函数，又由詹森不等式的结论，得 （1）
推得 ,
即 .
在式（1）中若令随机变量 的概率分布为
,
则有 ,即
因此：
（三）
1
例题1有 个人去验血，试比较下面两种化验方法的优劣：
(1) 个人分别化验；
(2)把每个人的血样分成两部分，先把 个人的血混在一起进行化验，如呈阳性再对这 个人的血逐一化验。
（五）利润问题
例如，某商业企业经销某一种商品，每周进货量 与顾客对该商品的需求量 是两个相互独立的随机变量，且都服从区间 上的均匀分布。商店每售出一单位商品可得利润 元；若需求量超过进货量，该商业企业可从其他商业企业调货供应，这时每单位商品获利 元，则计算此商品经销商经销该种商品每周所获得的平均利润，就需要通过计算连续型二元随机变量的数学期望来解决。
解：设每个人化验呈阳性的概率为 ，呈阴性的概率为 ，
设第二种方法每个人所需的化验次数为 ，
则 ，
故
因此，第二种方法所需化验总次数的期望为：
当 时，第二种方法更优。
例如，当 时，可取 ，
此时 ，第二种方法比第一种方法可减少 的工作量。
2
例题设某零件的寿命 的概率分布密度为 ，零件发生故障后更换带来的损失为 ，未发生故障而采取预防性更换的费用为 。所谓预防性更换是指确定一个时间 ，当零件寿命 时进行预防性更换，当 时进行预防性更换。求 为多少时单位时间内的平均损失最小。
摘 要
概率论是数学的一个重要分支，是研究随机现象统计规律性的一门学科，随着社会的不断发展，概率论的知识越来越重要,应用也越来越广泛了。它有自己独特的证明方法并且与其它学科互相渗透，它是一个有用的生活工具，缺乏概率论的知识将“一头雾水，举步维艰”。本文就概率论的思想与方法（如小概率事件、二项分布、泊松分布等）在其他数学学科、商业企业、建筑工程及生物遗传学等领域上的应用展开讨论，从中可以看出概率方法的思想在解决实际问题中的高效性、简捷性和实用性，让读者了解概率论知识与人类实践紧密联系的丰富底蕴，以扩大读者对概率论应用的了解，从而增加其学习概率论的兴趣，培养其逻辑推理的能力及分析问题和解决问题的能力。
②设任一 类人被某一指定的 类人感染的概率为 ，则
③记任一 类人被感染的概率为 ，则 ，故
④ 类人被感染的人数服从二项分布 ，其
均值：
方差：
（3）、近似计算
设 ，则
故 ， 。
（4）、模型解释
从求解结果可以看出 与 、 成正比，当 很小或很大时 都很小，当 时 最大，这些都与直观相符。
由此可见，生活中的一些复杂的问题通过概率论的知识构造出简单易行、清晰明了的数学模型，使问题变得更形象更具体。
取一个，若取到红球，则停止取球,若取到白球，将该球放入，再放入一个白球，直到取到红球为止。
设 表示取球次数，则 分布列为
；
… .
设 = {取球次数不超过 }，
…
+…+ … …+ … ,
=｛取球次数超过 ｝={前 次取白球}，
… .
由
,
即
,
从而
.
即
.
例题2求 .
解:设随机变量 服从 的几何分布.
即
,
则
三 概率论分析方法在商业企业中的应用
在市场经济条件下，商业企业的经营和销售情况一般不是由经营者主观愿望所决定，完全是个随机过程。它包括很多不可控的具体问题：如在某单位时间(如天)内有多少位顾客光顾该商场；在已经进入该商场的顾客中又有多少人真正实施购物行为；每位顾客在这次购物活动中总共购买多少货币的商品等问题，需要用概率论分析方法来解决。因此，概率论在商业企业中有广泛的应用。这里重点选择商业企业面临的几类典型的问题来说明其应用。
.
而另一方面
,
因此
.
对于形如 的级数都可用概率论中的几何分布求得，而且相当省事。同时还有一些其他类型的级数求和也可以应用概率论中的一些概率模型（如泊松分布、二项分布、超几何分布等）进行计算，不但加快了计算速度，而且计算过程简单易理解。
3
广义积分因原函数不能用初等函数表示,因而不能直接进行积分运算,显得困难,而应用概率论中的标准正态分布的有关理论,则显得简洁明快,独具匠心.
分析：
我们假设该业务员到 个销售不出产品的地点所用的时间分别为： ；设该业务员到 个可以销售出产品的地点所用的时间分别为： ；
利用公式概率模型可以很简便地求出业务员要销售完他的产品的大概时间。
（三）资源配置问题
例如，某商场一个柜台有四名售货员，每名售货员平均一小时内只用秤 分钟，则该店配置几台称较为合理，可以利用随机变量服从二项分布、事件的独立性及小概率原理来解决资源配置问题。