空间向量的线面关系

m 与 n 不共线 又 m, n, g 共面 g xm yn 存在有序实数组 x, y 使得，
相交


例3、如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中，
ACB 90, BAC 30, BC 1, A1 A 6, M 是棱 CC1 的中点，
m n B, l m, l n
B

求证：
l
m
l
分析：要证明直线与 B 平面垂直，只要证明 l m g g 该直线垂直于平面内 m 任意一条直线。 l m, l n l m 0, l m 0
n
n
m与n
l g l xm yn xl m yl m o
所以：A B AM 1 即， A 1 B AM
6
M
B
1
90
30
A
C
思考：还有其它的证明方法吗？
B1 C1
A1
利用相似形与线面垂直
6
AM 于点 O 分析：连结 AC 1 交
所以，要证 A 1B AM 0
就是证
M
B
1
90
O
30
求证：截面A1 EC⊥侧面AC1 。
A
C
B E
A1 B1
C1
三种方法的比较：
证法一是几何向量法，要熟练掌握向量的加 减运算及所满足的运算律。 证法二是向量的坐标运算法，关键是要恰当 地建立空间直角坐标系，探求出各点的坐标。 证法三是几何向量法和立体几何法的综合运 用。
最终都是应用向量的数量积为0来 证明线线垂直。
1、a b 的充要条件是 a b 0 a b cos 2、设向量 a, b 的夹角为 ，则 a b
复习回顾：
3、共面向量定理 如果两个向量 a, b不共线，那么 向量 p 与向量 a, b 共面的充要条件是 存在有序实数组 x, y ，使得： p xa yb
思考：已知直线上一点和直线的方向向量，直 线可以唯一确定，已知平面内一点和平面的法 向量，这个平面是否唯一确定？
5、 已知点A（a,0,0）B（0,b,0）,C（0,0,c）,求平面
ABC的一个法向量。 6、在空间直角坐标系内，设平面 平面 的法向量为e=(A,B,C),
经过点P（x0,y0,z0
求证：A1B AM
B1 C1 A1
6
M
B
1
90
30
A
C
B1 C1
A1 证明：在直三棱柱 ABC - A1B1C1中， 因为 A1 A AC ，所以 A 1 A AC 0
6 因为 CM
M
B
1
30
平面ABC ，而 AB 平面ABC 所以 CM AB ，所以 CM AB 0
4、直线
l 的方向向量是 平面的法向量 n 与 的位置关系是 n
e
l
3.2.1直线的方向向量与平面的法向量
例1、已知直线L1的方向向量为a=(2,4,x) ，直线L2的方向向 量为b=(2,y,4)，若L1//L2则x+y= ,若L1 L2 则x-y =
.
例2、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，
所以： A1 B AM A1 A AB AC CM
A1 A AC A1 A CM AB CM 0

B1 C1 A1
从而 AC 1 AM 0 2、利用CB 平面A1 ACC1 知道 CB AM ，即 CB AM 0
你能试着建立适当的空间直角 坐标系，用坐标表示向量，再证明 它们互相垂直吗？
B1 C1
A1
C1
z
A1
6
B1
6
M
M
B
1
30
课堂小结： 本节课主要研究了用向量的方法 判定空间线线、线面垂直关系。 如果要判定两条直线 a、 b 垂直 ， 可以通过证明它们的方向向量 a b ， 的数量积为0实现
同步练习：（两平面垂直的性质定理）
已知：平面
平面
， l
直线
m
，且
ml
求证： m

g
求证：DB1是平面ACD1的法向量。
思考：如何求一个面的法向量？ 已知点A（a,0,0）B（0,b,0）,C（0,0,c）,求平面
ABC的一个法向量。
例3、在空间直角坐标系内，设平面 经过点P （x0,y0,z0）平面的法向量为e=(A,B,C), M是平面
内任意一点，求X,Y,Z满足的关系。
D
M B N F E P
C
A
3. 如图 : 已知 正方体 ABCD A1 B1C1 D1
求证:
平面B1 AD1 // 平面BC1 D
D1 C1
A1
B1
D
C
A
B
6 2 ,M 3, 0, 0 0, 0, 2 所以： A1 B 3, 0, 6 , AM 3, 0, 6 2
B 0,1,0 y
A1
A
3,1, 6
, B 0,1, 0



所以： AB AM 0
B
D O

C A
OB 是平面 已知：如图， 的 一条斜线，O 为斜 足， AB ， A 为垂足， CD ，且 CD OB 求证：CD OA

例2、证明：如果一条直线和平面内的两条相交直线垂 直，那么这条直线垂直于这个平面。（直线与平面垂 直的判定定理）
l
已知：如图，m
n
,n
M是平面 内任意一点，求X,Y,Z满足的关系。
思考：已知直线上一点和直线的方向向量，直 线可以唯一确定，已知平面内一点和平面的法 向量，这个平面是否唯一确定？
思考： 我们能不能用直线的方向 向量和平面法向量来刻画空间线 面位置关系？
设空间两条直线 l1 , l2 的方向向量为 e1 , e2 两个平面 1 , 2 的法向量分别为 n1 , n2
m
A
l

n
同步练习： 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，CD1和DC1 相交于点 O ，求证：AO A1B
A1
B1 C1
D1
O
A B
C
D
1. 已知 E、F 分别是空间四边形四条边 AB、AD的中点， 求证： EF // 平面BCD.
2. 如图，ABCD与ABEF是两个全等正方形，AM=NF， 求证：MN // 平面BCE
A
C
90
1
30
B
y
90
C
A
x
z
C1
6 0, 0, 2 M
证明：分别以 CA, CB, CC1
B1 A1
所在直线为
x 轴，y
轴， z 轴，建

3,1, 6

立空间直角坐标系 C xyz 图中相应点的坐标为：
6
C
90 3
1
30

3, 0, 0
A

x
因为 A 1B AC 1 CB
A1C CB AM 0
A
C
即证 AC AM CB CM 0 1


1、利用 ACM 和A 相似可以证明 AC AM ， 1 1 AC
即，
A1B AM
例3. 如图 : 已知 正方体 ABCD A1 B1C1 D1 E， F分别为BB1，CD的中点。
求证:
D1F 平面ADE
D1
C1
B1
E
A1
D
F
C
A
B
例4、如图，在正三棱柱ABC-A1 B1C1 中，
（正三棱柱指底面是正三角形，侧棱与底面垂 直的三棱柱），E为B B1 的中点，
A 在 Rt ABC 中，因为 BC 1, BAC 30
90
所以 AC 3, AB 2 3 所以 AB AC AB AC cos30 2 3 3 C 2 因为 CM A ， A1 A 6 ， 1A 6 且 M 是棱 C1C 中点，所以 CM ， 2 所以 A1 A CM A1 A CM cos180 3
B

D O

C A
在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜 线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。（三垂线定 理）
变式练习：
写出三垂线定理的逆定理，并用向量的 方法加以证明。
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这 个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条 斜线垂直。
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直 线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，Байду номын сангаас那么它也和这条斜线的射影垂直。
平行 垂直
l1与l2
l1与1
e1 e2
1与 2
e1 n1 n1 n2 n1 n2
e1 e2 e1 n1
例1、如图， O为 OB 是平面 的一条斜线， 斜足， CD ，且 CD OA A为垂足， AB ，
求证：CD OB