初中解方程全解知识点

知识点一、解一元一次方程的一般步骤
变形名称 具体做法
注意事项
去分母
在方程两边都乘以各分母的最小公倍数
(1)不要漏乘不含分母的项 (2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号
去括号
先去小括号，再去中括号，最后去大括号
(1)不要漏乘括号里的项 (2)不要弄错符号
移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，
其他项都移到方程的另一边(记住移项
要变号)
(1)移项要变号
(2)不要丢项
合并同类项 把方程化成ax ＝b (a ≠0)的形式 字母及其指数不变
系数化成
1
在方程两边都除以未知数的系数a ，得到方程的解b x a
=
． 不要把分子、分母写颠倒
要点诠释：
（1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化．
(2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行. （3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆． 要点二、二元一次方程组的解法 1.解二元一次方程组的思想
2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法、加减消元法和图像法 （1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：
①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x （或y ）的代数式表示y （或x ）
，即变成b ax y +=（或b ay x +=）的形式； ②将b ax y +=（或b ay x +=）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去y （或x ），得到一个关于x （或y ）的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出x （或y ）的值；
④把x （或y ）的值代入b ax y +=（或b ay x +=）中，求y （或x ）的值； ⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解.
（2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：
①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
转化
消元一元一次方程
二元一次方程组
③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；
⑤将两个未知数的值用“ ”联立在一起即可.
一．概念
1．一元二次方程的概念：只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(2次)的整式方程，叫做一元二次方程．
2．一元二次方程的一般形式：
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
3．直接开方法解一元二次方程：
(1)算理：平方根的意义；即时，
若，则；表示为，，有两个不等实数根．
若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根．
若，则方程无实数根．
(2)注意：一般先把系数化为1再开方；要正确写出根的形式．
4．(1)用配方法解二次项系数是1的方程：通过配方，把方程的一边化为一个完全平方式，另一边是一个非负实数，即的形式，然后用直接开方法求根．
(2)用配方法解二次项系数不是1的方程：先将二次项系数化为1，再用配方法求根．
5．一元二次方程求根公式：对于一元二次方程，
当时，，这个式子叫做一元二次方程的求根公式．
注意：△≥0是公式使用的前提条件，是公式的重要组成部分．
公式法是解一元二次方程的一般方法；由公式法可知，一元二次方程最多有两个实数根．
6．归纳一元二次方程根的情况：对于一元二次方程，其中，△=称为一元二次方程根的判别式．
(1)当△=时，原方程有两个不等的实数根，；
(2)当△=时，原方程有两个相等的实数根；
(3)当△=时，原方程没有实数根。

7．因式分解法算理：或(A 、B 至少一个为0)
先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使两个一次式分别等于0,从而实现降次；这种解法叫做因式分解.所有学过的因式分解方法:提公因式法、公式法、十字相乘法.注意:
(不确定A 、B 的值)。

8．一元二次方程有多种解法，要根据形式择优选择解法。

但所有解法都是通过“降次”实现求根的：开方降次和分解降次。

1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：
a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质：上加下减。

3. ()2
y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2
y a x h k =-+的性质：
二次函数2y ax bx c =++图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们
选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，
关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，
，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.
1. 二次项系数a
二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．
⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大． 总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．
2. 一次项系数b
在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，
当0b >时，02b
a
-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02b
a
-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b
a
-
>，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即
当0b >时，02b
a
->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02b
a
-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b
a
-
<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．
ab 的符号的判定：对称轴a
b
x 2-
=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：
3. 常数项c
⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．
二次函数图像参考：
y=-2x 2
2-3
2
y=-2x 2
y=3(x+4)2
2
y=3x
2
y=-2(x-3)。