材料力学构件内力分析

中所示以截面形心为简化中心的主矢和主矩。

与几种基本变形对应的是主矢和主矩在确定的坐标方向上的分量。

图中所示的和分别为主矢和主矩在
或称为轴力，它与杆产生的轴向变形（伸长或缩短）相对应。

、称为剪力，二者均与杆件产生的剪切变形相对应。

称为扭矩
、称为弯矩
轴力或————无论作用在哪一侧截面上，使杆件受拉者为正；受压者为负。

剪力或————使杆件截开部分产生顺时针方向转动者为正；逆时针方向转动者为负。

弯矩或————作用在左侧面上使截开部分逆时针方向转动；
扭矩————扭矩矢量方向与截面外法线方向一致者为正；反之为负。

通常将截面上的分布内力用位于该截面形（空间任意力系）、、
和、、来表示，如图
、和间的微分关系，将进一步揭示载荷、剪力图和弯矩图三者间存在的某些规律，在
所示的梁上作用的分布载荷集度是的连续函数。

设分布载荷向上为正，反之为负，并以为原点，取轴向右为正。

用坐标分别为和的两个横截面从梁上截出长为的微段，其受力
(2-1)
略去二阶微量解得 (2-2)
(2-3)
就是荷载集度、剪力和弯矩间的微分关系。

由此可知和分别是剪力图
处为固定端约束，作用有约束力。

由0
截面：
截面：
例2-2 图2-7（a）所示的传动轴的转速=300r/min，主动轮A的功率=400kW，3个从动轮输出功率分
别为=120kW,=120kW,=160kW，试求指定截面的扭矩（N•m）
图2-7
解由,得
=kN•m
=kN•m
kN•m
如图2-7（b）。

由Σ，
解得 kN•m
如图2-7（c）。

由Σ，
解得kN•m
如图2-7（d）。

由Σ，
解得kN•m
由上述扭矩计算过程推得：任一截面上的扭矩值等于对应截面一侧所有外力偶矩的代数和，且外力偶矩应用右手螺旋定则背离该截面时为正，反之为负。

例2-3 试作出例7-2中传动轴的扭矩图。

图2-8
解BC段：kN·m
kN·m
CA段: kN·m
kN·m
AD段: kN·m
kN·m
根据、、、、、的对应值便可作出图 7-17(c)所示的扭矩图。

及分别对应横截面右侧及左侧相邻横截面的扭矩。

由例子可见，轴的不同截面上有不同的扭矩，而对轴进行强度计算时，要以轴内最大的扭矩为计算依据，所以必须知道各个截面上的扭矩，以便确定出最大的扭矩值。

这就需要画扭矩图来解决。

1. 剪力图与弯矩图
根据作用于梁上的已知载荷，应用有关平衡方程求出支座反力，然后将梁分段，并由各段内载荷的情况初步确定剪力图和弯矩图的形状，根据平衡条件，求出控制面上的内力值，便可画出全梁的剪力图和弯矩图。

这种绘图方法称为简捷法。

例2-4 简支梁受力如图2-6a所示。

试画出其剪力图和弯矩图，并确定二者绝对值的最大值和
的值。

解：1.确定支座处的约束力
F Fy=1.11kN(↑) F Ay=0.89kN(↓)
2.建立坐标系
）
）
）
=1.11KN (
=1.65KNm (
所示。

试画出其剪力图与弯矩图，并确定和的值。

解首先，由整体梁的平衡确定支座处约束力,如图所示。

图2-10
1．确定控制面及其上的、M数值
由于AB段上作用有连续分布荷载，故A、B两个截面为控制面，约束力右侧的C截面，以及集中力左侧的D截面，也都是控制面。

应用截面法和平衡方程求得A、B、C、D四个控制面上的、M数值分别为：
A截面：
B截面：
C截面：
D截面：
将其分别标在F Q-x和M-x坐标系中，得到相应的a、b、c、d各点，如图2-9c、d所示。

2．根据平衡微分方程连图线
对于剪力图：在AB段，因有均布荷载作用，剪力图为一斜直线,于是连接a、b两点，即得这一段的剪力图；在CD段，因无分布荷载作用，故剪力图为平行于x轴的直线，由连接c、d二点而得，或者由其中任一点作平行于x轴的直线而得。

对于弯矩图：在AB段，因有均布荷载作用，图形为二次抛物线。

又因为q向下为负，所以有<0，弯矩图为凸向坐标正方向的曲线。

这样：AB段内弯矩图的形状便大致确定。

为了确定曲线的位置，除AB段上两个控制面上弯矩数值外，还需确定在这一段内二次抛物线有无极值点，以及极值点的位置和弯矩值。

从剪力图上可以看出，在e点剪力为零。

根据dM/dz=0，弯矩图在e点有极值点。

利用F Q=0。

这一条件，可以确定极
值点e的位置x E。

为了求x E，由图2-9b所示隔离体的平衡方程，可得
由此解得
将其标在M-x坐标系中，得到e点，根据a、b、c三点，以及图形为凸曲线并在e点取极值，即可画出AB段的弯矩图。

在CD段因无分布载荷作用，故弯矩图为一斜直线，它由c、d两点直接连得。

从图中可以看出：
注意到在右边支座处，由于约束力的作用，该处剪力图有突变(支座两侧截面剪力不等)弯矩图在该处出现折点(曲线段在该处的切线斜率不等于斜直线的斜率)。

由上述内力图可见，集中力作用处的横截面，轴力图及剪力图均发生突变，突变的值等于集中力的数值;集中力偶作用的横截面，剪力图无变化，扭矩图与弯矩图均发生突变，突变的值等于集中力偶的力偶矩数值。

小结
1、弹性杆横截面上的内力分量F N，M x（或T），F Qy，F QZ、M y、M z是横截面上分布内力向其形心简化的结果。

2、指定截面上的内力主要用内截面法导出的截面一侧外力法，如对于梁，
（截面外法线顺时针旋转900时与剪力方向相同为正，反之为负）
（使梁向下凸为正，反之为负）
还有所谓面积法：
式中，A，B为梁内由左到右的两相邻截面。

、分别为A、B两截面间分布载荷与剪力图的面积。

3、力图、扭矩图可用“矢量顺时针转900法”、剪力图可用“矢量法”直接快速画出如例2－1：
，再沿轴线画平行线至。

向右，从突变至。

再沿轴线画平行线至。