直角坐标系中的探索规律题

12.（2011江苏常州、镇江2分）在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点

分别为A 、B 、C 、D ，轴上有一点P 。作点P 关于点A 的对称点，作关于点B 的对称点，作点关于点C 的对称

点，作关于点D 的对称点，作点关于点A 的对称点，作关

于点B 的对称点┅，按如此操作下去，则点的坐标为

A ．

B ．

C ．

D ． 【答案】D 。

【考点】分类归纳，点对称。

【分析】找出规律，P1（2，0），P2（0，－2），P3（－2，0），P4（0，2}，……，P4n （0，2}，P4n+1（2，0），P4n+2（0，－2），P4n+3（－2，0）。而2011除以4余3，所以点P2011的坐标与P3坐标相同，为（－2，0）。故选D 。

23.（2011湖北潜江仙桃天门江汉油田3分）如图，已知直线l ：y=x ，过点 A （0，1）作y 轴的垂线交直线l 于点B ，过点B 作直线l 的垂线交y 轴于点

A1；过点A1作y 轴的垂线交直线l 于点B1，过点B1作直线l 的垂线交y 轴

于点A2；…；按此作法继续下去，则点A4的坐标为

A ．（0，64）

B ．（0，128）

C ．（0，256）

D ．（0，512）

【答案】C 。

【考点】分类归纳，一次函数的图象和k 值的意义，三角函数定义，特殊角的三角函数值，含30度角的直角三角形的性质。

【分析】∵直线l ：y=x ，A1B⊥l ，A2B1⊥l ，...，∴可求出∠BOX=∠ABO=∠A1B1O=∠A2B2O= (300)

∴∠OA1B=∠O A2B1=∠O A3B2= (300)

∵点A 的坐标是（1，0），∴OA=1。

∵点B 在直线y= x 上，∴OB=2。∴OA1=2 OB =4。

∴OB1=2OA1=8，OA2=2 OB1=16。

∴OB2=2OA2=32，OA3=2 OB2=64。

∴OB3=2OA3=128，OA4=2 OB3=256。

∴A4的坐标是（0，256）。故选C 。

29.（2011辽宁锦州3分）如图，在平面直角坐标系上有点A(1，

0)，点A 第一次跳动至点A1(－1,1)，第四次向右跳动5个单位

至点A4(3，2)，…，依此规律跳动下去，点A 第100次跳动至

点A100的坐标是 ▲ ．

()1,1(

)1,1-()1,1--()1,1-y ()2,01P 1P 2P 2P 3P 3P 4P 4P 5P 5P 6P 2011P ()2,0()0,2(

)2,0-()0,2-3

3333

3

【答案】（51，50）。

【考点】分类归纳（图形的变化类），点的坐标。

【分析】分析规律，从图形知，奇数次跳动时，它的纵坐标是前一次的纵坐标加1，横坐标

是前一次的横坐标的相反数，第次跳动至点A 的坐标为：奇数次跳动时，

它的纵坐标与前一次的纵坐标相同，横坐标是前一次的横坐标的相反数加1，第次跳动至

点A 的坐标为

。因此点A 第100次跳动至点A100的坐标是（51，50）。 32.（2011贵州安顺3分）一只跳蚤在第一象限及x 轴、y 轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向跳动，且每秒跳动一个单位，那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是

A 、（4，O ）

B 、（5，0）

C 、（0，5）

D 、（5，5）

【答案】B 。

【考点】分类归纳，点的坐标。

【分析】由题目中所给的质点运动的特点找出规律：质点运动的速度是每秒运动一个单位长度，（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）用的秒数分别是1秒，2秒，3秒，到（2，0）用4秒，到（2，2）用6秒，到（0，2）用8秒，到（0，3）用9秒，到（3，3）用12秒，到（4，0）用16秒，依次类推，到（5，0）用35秒。故第35秒时质点所在位置的坐标是（5，0）。故选B 。

56.（2011四川内江6分）在直角坐标系中，正方形、

、…、按如图所示的方式放置，其中点

…、均在一次函数的图象上，点

…、均在x 轴上．若点的坐标为（1，1），点的坐标为（3，2），则点的坐标为 ▲

【答案】（2n －1－1，2n －1）。

【考点】分类归纳，一次函数综合题，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，正方形的性质。

【分析】首先求得直线的解析式，分别求得A1，A2，A3…的坐标，可以得到一定的规律，据此即可：

∵的坐标为（1，1），点的坐标为（3，2），、是正方形， ∴A1的坐标是（0，1），A2的坐标是：（1，2）。

∵A1、A2在上，

∴，解得。∴线的解析式是。

n n 11, 22n n ++⎛⎫- ⎪⎝⎭n n 1, 22n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭1111A B C O 2221A B C C n n n n-1A B C C 123A A A 、、、n A y kx b =+123C 、C 、C 、n C 1B 2

B n A 1B 2B 1111A B

C O 2221A B C C y kx b =+12b k b =⎧⎨+=⎩11k b =⎧⎨=⎩1y x =+

∵点B2的坐标为（3，2），

∴在直线中，令=3，则A3纵坐标是：3+1=4=22；

则A4的横坐标是：1+2+4=7，则A4的纵坐标是：7+1=8=23；

据此可以得到An 的纵坐标是：2n －1，横坐标是：2n －1－1。

故点An 的坐标为 （2n －1－1，2n －1）。

12.（2011安徽省8分）在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O 出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如下图所示．

(1)填写下列各点的坐标：A4( ， )、A8( ， )、A12( ， )；

(2)写出点A4n 的坐标(n 是正整数)；

(3)指出蚂蚁从点A100到点A101的移动方向．

【答案】解：⑴ 0，1；1，0；6，0。

⑵A4n(2n,0)。

⑶向上。

【考点】分类归纳。

【分析】⑴根据已知直接写出答案。

⑵观察规律，点A4、A8、A12、…A4n 都在X 轴上，它们的横坐标是它们的下标除以2：2、4、6、…2n，故点A4n 的坐标为(2n,0)。

(3)由⑵可知，蚂蚁移动的规律是4n 一个周期，因此蚂蚁从点A100到点A101的移动方向是向上。

16．(2012山东德州中考,16,4,)如图，在一单位为1的方格

纸上，△，△，△，……，都是斜边在x 轴上、斜边长分别为2，4，6，……的等腰直角三角形．若△的顶点坐标分别为 (2，0)， (1，-1)，

(0，0)，则依图中所示规律，的坐标为 ． 16．【解析】画出图像可找到规律，下标为4n(n 为非负整数)的A 点横坐标为2，纵坐标为2n,则的坐标为（2，1006）．

【答案】（2，1006）

【点评】这类问题要善于总结，正确分析出题中所隐含的规律．

1y x =+x 123A A A 345A A A 567A A A 123A A A 1A 2A 3A 2012A 2012A A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 O x y

1 A 8

A 7A 6A 4A 2

A 1A 5A 3

y

O