高等代数第七章线性变换
《高等代数》第七章 线性变换
线性变换的多项式有以下性质：
1) f (A ) 是一线性变换.
2) 如果在 P[ x ] 中，有 h(x) = f (x) + g(x) , p(x) = f (x) g(x) ,
那么
h(A ) = f (A ) + g(A ) , p(A ) = f (A ) g(A ) .
特别地，
f (A ) g(A ) = g(A ) f (A ) .
定义为 数乘k变A 换= ,K可A用, K 表示. 显然，当 k = 1 时
即
们(k便A得)恒(等) =变K换(，A当(k) =) =0 K时A，便(得) .零变换.
显然，k A 还是线性变换. 2. 运算规律 1) ( kl ) A = k ( l A ) , 2) ( k + l ) A = k A + l A , 3) k (A + B ) = k A + k B , 4) 1 A = A .
证毕
五、线性变换的多项式
下面引进线性变换的多项式的概念.
1. 线性变换的幂
既然线性变换的乘法满足结合律，当若干个线
性变换 A 重复相乘时，其最终结果是完全确定的,
与乘积的结合方式无关. 因此当 n 个( n 是正整数)
线性变换 A 相乘时，我们就可以用 A A ... A
n个
来表示，称为 A 的 n 次幂，简单地记作 A n. 即
对于线性变换，我们已经定义了乘法、加法与 数量乘法三种运算. 由加法与数量乘法的性质可知, 线性空间 V 中全体线性变换，对于如上定义的加法 与数量乘法，也构成数域 P 上一个线性空间.
对于线性变换，我们也可定义逆变换.
四、线性变换的逆变换
1. 定义 定义5 线性空间 V 的线性变换 A 称为可逆的 如果有 V 的变换 B 存在，使
高等代数课件
(r ) a1r1 a2r2 arrr (r1) a1,r11 ar,r1r ar1,r1r1 an,r1n
(n ) a1n1 arnr ar1,nr1 annn
这表明关于这个基的矩阵是
A1 O
A3 A2
|W关于W的基1, 2, …, r 的矩阵
定理7.3.3 设V是数域F上的一个n维向量空间, {1, 2, …, n} 是V的一个基, 对于V的每个线性变换, 让它对应于它关于基{1, 2, …, n}的矩阵A. 如此建立的对应关系是L(V)到Mn(F)的一个同构 (保持加法和纯量乘法的双射). 而且如果变换,分别对应于矩阵A,B, 则变换,的乘积对应于矩阵A,B的乘积AB. (保持乘法)
例 6 接例4. V3是L与H的直和. 取L上的一个非零向量1作为它
的基, 取H上的两个正交单位向量2, 3作为它的基, 那么1, 2, 3组
V3的一个基. 关于这个基的矩阵是
1 0
0
0 cos sin
0 sin cos
应该地, 如果V是它的子空间W1, W2, … , Ws的直和, 且每一个都 是的不变子空间. 用这些子空间的基组V的一个基. 则关于这个基
定理7.1.2 设是向量空间V到W的一个线性映射. 则有 (i) 是单射Im()=W. (i) 是满射Ker()={0}.
两个线性映射的合成映射是线性映射. 设U, V, W是数域F上的向量空间, : UV, :VW是线性映射. 则合成映射:VW是U到W线性映射.
如果线性映射:VW有逆映射 1, 则 1是从W到V的线性映 射.
(n ) a1n1 a2n2 annn
其中, (a1j, a2j,…, anj, )是(j )关于基1, 2, …, n的坐标 j=1,2, …,n,. 它们是唯一确定的. 以它为第j列, 做成一个矩阵:
高等代数课件(北大版)第七章-线性变换§7.3
1,2, ,n A B
∴ + 在基 1, 2 , , n下的矩阵为A＋B.
§7.3 线性变换的矩阵
② 1,2, ,n 1,2, ,n 1,2, ,n B 1, 2, , n B
1,2, ,n AB
∴ 在基 1, 2 , , n下的矩阵为AB.
③ k 1,2, ,n k 1 , ,k n k 1 , ,k n k 1 , , n
k 1, 2, , n k 1,2, , n A 1,2, ,n kA
∴ k 在基 1, 2 , , n下的矩阵为 kA.
§7.3 线性变换的矩阵
④ 由于单位变换(恒等变换) E对应于单位矩阵E.
所以， E
与 AB＝BA＝E 相对应.
因此，可逆线性变换 与可逆矩阵A对应，且 逆变换 - 1 对应于逆矩阵 A- 1.
x1
,
n
A
x2
xn
1, 2 ,
y1
,n
y2
1, 2 ,
yn
x1
,
n
A
x2
xn
由于 1, 2 ,
, n线性无关，所以
y1 x1
y2
＝A
x2
.
yn xn
§7.3 线性变换的矩阵
4．同一线性变换在不同基下矩阵之间的关系
定理4 设线性空间V的线性变换 在两组基
显然，1,2 , ,n 也是一组基，且 在这组基下的
矩阵就是B.
§7.3 线性变换的矩阵
（3）相似矩阵的运算性质 ① 若 B1 X 1A1X , B2 X 1A2 X , 则 B1 B2 X 1( A1 A2 )X , B1B2 X 1( A1A2 )X . 即， A1 A2 B1 B2 , A1 A2 B1B2 .
第七章线性变换
第七章线性变换一．综述在高中数学和数学分析课中曾学习过函数的概念,那是把函数的定义域定义在某数集（特别是实数域）上.我们同样可以将函数定义在向量空间上来研究.在第五章矩阵代数,第六章向量空间以及第一章映射的基础上,进一步讨论向量空间上的一些特殊的简单的函数——数量函数和向量函数,它们都是线性代数的主要研究对象,并是其他科学中常用的函数.本章只研究一种简单的向量函数——线性变换.教材内容大致可分为四部分：第一部分主要讨论向量空间的线性变换的概念、性质,以及一个变换是否为线性变换的判别；第二部分主要讨论线性变换的运算和运算法则；第三部分主要讨论n维向量空间的线性变换的确定、在某基下的矩阵,由此建立线性变换集合与数域F上所有n阶方阵集合的一一对应且为同构对应；向量与像的坐标变换公式,线性变换在不同基下的矩阵的相似关系；第四部分主要讨论线性变换的本征值、本征向量的概念与求法,进一步推导得出矩阵相似对角形的条件.这四部分是紧密联系的,前部分内容都为后部分内容的理论基础,而后部分内容又是前部分内容的巩固与发展,由此逐部分的发展和推广得到完整的线性变换概念、性质和有关计算技能,为下面讨论（若当型）欧氏空间奠定了基础.二．教材重点线性变换的定义、性质,线性变换的运算和算律,n维向量空间的线性变换在某基下的矩阵,两者之间的内在联系,矩阵相似对角形的判定及有关对象的求法,向量空间分解为线形变换的根子空间直和的定理的证明.其中线性变换的运算,它和矩阵之间的联系,矩阵的特征根与特征向量的求法,是学好本章的基础. 三．难点抽象的线性变换的概念、加法、乘法的定义,线性变换集合与矩阵集合之间的对应关系使得抽象的线性变换的讨论具体为矩阵的讨论,因而在教学中要从熟知的解析几何实例引入,运用具体模型进行分析,由已知引到未知,指导学生正确地抽象出线性变换概念；在讲特征根、特征向量时,要注意演示具体例子,清晰地培养学生认知、计算能力,逐步建立正确概念.四．教学目的和要求分解到各节,但整体上要注意通过实例抽象出概念,进行逻辑推理、判断得出定理,再由抽象的概念、定理去解决有关的实际问题的教学思想,使学生认识到线性变换来源于实践,又从线性变换与矩阵的内在联系逐步培养学生的辨证唯物主义观点.7.1 线性映射一．教学思考1.本章仅讨论向量空间中一种简单的向量函数——线性变换.但映射与变换的关系前知,所以介绍线性变换先介绍更一般的概念——线性映射.2.线性映射是本节的基本概念,它有丰富的内容,首先它是向量空间到向量空间的一个映射,其次它保持向量空间的两种运算,它对研究线性代数非常有用.明显它是向量空间的一个同态映射.要注意此概念学生理解是一个难点,应强调指出不要只注意到映射的关系法则,不涉及向量的运算.3.讲此概念时,引例从已知的几何知识、数学分析知识等阐明线性映射的实质,然后引入定义使学生反复认识.4.内容中线性映射的判定是定义条件的综合,有些性质课本中没有介绍,如保持相关,但要对照与同构映射的差异（如不保无关）.5.本节方法：1）验线性映射；2）线性映射的像与核的求法.二．教学内容、要求内容：线性映射的定义、性质,线性映射的像与核.要求：理解掌握线性映射的定义、性质,像与核的求法.三．教学过程1.线性映射的定义及例子定义1 设V 和W 是数域F 上两个向量空间,σ是V 到W 的一个映射；若对,,V a F ξη∀∈∀∈都有：1）()()()σξησξση+=+,2）()()a a σξσξ=；则称σ是V 到W 的一个线性映射.例子（零映射、单位映射、位似变换等等,略）2.线性映射的判定设σ是V 到W 的一个映射,则σ是V 到W 的一个线性映射⇔对,,,V a b F ξη∀∈∀∈都有()()()a b a b σξησξση+=+.3.线性映射的性质设σ是V 到W 的一个线性映射,则1）(),()()o o σσασα=-=-.2）对11,,,,,n n a a F V ξξ∀∈∀∈ 有1111()()()n n n n a a a a σξξσξσξ++=++ .3）线性映射把线性相关组变为线性相关组.4.线性映射的其它性质定义2设σ是V 到W 的一个线性映射,1V V ⊆,则{}1()|V σξξ∈（即1V 中所有元素在σ下的像的集合）是W 的一个子集,叫做1V 在σ下的像,记作1()V σ；另一方面,设1W W ⊆,则{}1|,()V W ξξσξ∈∈（即1W 中所有元素在σ下的原像的集合）是V 的一个子集,叫1W 做在σ下的原像.定理7.1.1设σ是V 到W 的一个线性映射,则1）V 的任一子空间在σ下的像是W 的一个子空间；2）W 的任一子空间在σ下的原像是V 的一个子空间.定义：向量空间V 在σ下的像叫做σ的像,记作Im()σ（即Im()σ=()V σ={}()|V σξξ∈；W 的零子空间{}o 在σ下的原像叫做σ的核,记作()Ker σ（即()Ker σ={}|,()V o ξξσξ∈=）.定理7.1.2设σ是V 到W 的一个线性映射,则1）σ是满射⇔Im()σ=V ；2）σ是单射⇔()Ker σ{}o =.7.2 线性变换的运算一．教学思考1．一个向量空间V 到自身上的线性映射,叫做V 的线性变换,因而上节关于线性映射的性质本节仍然成立.不同的是V 的向量在线性变换下的象仍是V 中的向量,那么注意有关性质中出现运算及特殊向量（如零向量）都是V 中的.2．本章只将线性变换作为新的代数对象进行研究,首要的是有关运算,所以本节有关线性变换运算的定义（三种运算：加法、数乘、乘法）及满足的算律.有关运算的定义是根本.其中实质在于掌握映射确定的方法,即每个元素（向量）象的确定.3．重点线性变换的各种运算的定义,难点是各种运算所满足的算律,特别是乘法对加法的分配律.但它们的思想实质引导学生把握一点,在于证明映射（变换）的相等（即任一元素的象相同）.还有可逆线性变换的逆变换也是线性变换.（上节关于可逆线性映射的逆映射也是线性映射已解决）.4．注意线性变换的有些运算的实质并不新鲜,如乘法事实为合成.同时讲完本节内容可以总结到()L V 对加法、数乘与乘法作成的代数结构.二．教学内容、要求1．内容：线性变换的运算定义、性质.2.要求：1）理解掌握线性变换的三种运算定义,并能推证它们仍是线性变换.熟练地掌握运算所满足的算律.了解()L V 有关运算作成的代数系结构,特别是()L V 关于加法、数乘构成数域F 上的向量空间,（()L V 关于加法、乘法构成一个环）,从而掌握向量空间、环的运算在()L V 内都可施行. 2）理解逆变换的概念及逆变换仍为线性变换,以及线性变换的多项式. 3）运用有关运算的定义推证其结果仍为线性变换,证明有关运算适合的一些算律,培养严密的逻辑思维能力、论证能力.（这是极为重要的基本的知识及技能,注意有和平常的运算相似地方,但必然不同,必须本着线性变换的有关定义进行,以免有误）.三. 教学过程：1. 线性变换的定义定义1令V 是数域F 上一个向量空间,V 到自身上的一个线性映射叫做V 的一个线性变换.注：可见线性变换是特殊的线性映射,因而具有线性映射的性质.2. 线性变换的运算用()L V 表示向量空间V 上的所线性变换的集合.（1） 加法１） 定义2设σ、()L V τ∈,定义它们的和τσ+为：τσ+：ξ ()()σξτξ+. ２） 性质：a ．设σ、()L V τ∈,则σ+()L V τ∈.即线性变换的和也是一个线性变换.（验证由线性变换的定义或充要条件及和的定义易得,注意其中每一步的根据）.b.加法满足如下算律：对)(,,V L ∈∀ρτσ（1）σττσ+=+（交换律） （2）)()(ρτσρτσ++=++（3）零变换)(V L ∈θ,有对σθσσθσ=+=+∈∀),(V L（4）)(V L ∈∀σ,定义)(:ξσξσ-- ,称σ-为σ的负变换；可验证σ-)(V L ∈且：τρσρτστστσθσσ-=⇒=+-+=-=-+),(,)(（２）数乘１）定义３设)(,V L F k ∈∈σ,定义数乘变换σk 为：)(:ξσξσk k .２）性质：A ．σk )(V L ∈；B ．数乘满足如下算律：)(,,,V L F l k ∈∈τσσσστστσl k l k k k k +=++=+)(;)(；σσσσ==1);()(l k kl .TH7.2.1:)(V L 对上述定义的加法和数乘作成数域F 上一个向量空间.（３）乘法1）定义：设σ、()L V τ∈,我们把合成映射τσ 叫做σ与τ的积,记作στ.即))((:ξτσξτσστ =.2）性质：A ．στ)(V L ∈；B ．满足算律：)(,,V L ∈∀ρτστρσρρτσρτρστσρ+=++=+)(;)(；)()(στρτρσ=.（４）线性变换的幂及线性变换的多项式 1）)(V L ∈σ定义σ的n 次幂为N n n n ∈=, σσσ；规定l =0σ.2）设)(],[)(10V L x F x a x a a x f n n ∈∈+++=σ ,定义n n a a l a f σσσ+++= 10)( )(*称之为当σ=x 时)(x f 的值,或称为σ的多项式.注意：)(*式中的有关运算是线性变换的幂、数乘、加法,易得)()(V L f ∈σ.（５）可逆变换设)(V L ∈σ,若存在)(V L ∈τ使得l ==τσστ,则称σ是可逆变换,且称τ为σ的逆变换,记为1-σ.7.3 线性变换的矩阵一．教学思考1.本节主题是：在数域F 上n 维向量空间V 中可以用V 的基给出V 的线性变换σ的矩阵表示A ,从而把讨论线性变换的问题转化为用矩阵来处理,讨论起来即具体又简单,并且提供了丰富的内容,同时使我们看到矩阵工具的使用.要逐步体会用矩阵解决问题的方法及熟练掌握V 的线性变换σ与F 上n 阶矩阵A 的对应关系.2.本节从内容上讲先定义数域F 上n 维向量V 上线性变换σ关于V 的基的矩阵的概念,定理7.3.1讨论了向量ξ与其象)(ξσ关于同一个基的坐标之间的关系.引理7.3.2是线性变换与n 阶矩阵（环）之间建立一一对应的理论基础,是一难点、重点（下面给出较详尽的分析说明）.而从内容上讲解决给定)(F M A n ∈,存线性变换σ,使A 为σ的矩阵的问题.定理7.3.3建立了()n V L 与()F M n 的一一对应,是线性变换,并用具体n 阶矩阵表示的基础.（定理7.3.4）最后的一个结论：“讨论了一个线性变换σ在不同基底下的矩阵之间的关系——相似”,为矩阵按相似的关系分类提供了依据,为以后研究相似矩阵的不变量（特征根）奠定了基础,此亦可作一个定理.3.本节概念及上述主要定理是重点、难点,在讲述过程中特别是引理7.3.2须作重点详尽的分析,定理7.3.3证明形式上很清楚,不能使学生仅停留在符号上,应掌握证明的实质,要逐步分析使学生理解.4.本节重要的体现出从抽象的线性变换概念及运算进行推理、判断得出线性变换可由n 阶矩阵表示,使问题具体化,由具体矩阵解决实际问题；从线性变换与矩阵的内在联系体会辩证唯物主义观点.二．教学内容、要求（一） 内容：线性变换的矩阵,()n V L 与()F M n 的一一对应,线性变换关于不同基的矩阵的相似.（二） 重点、难点：线性变换的矩阵,()n V L 与()F M n 的同构.（三） 要求：1．n 维向量空间取定一组基n ααα,,,21 后,使学掌握V 上所有线性变换集合()V L 与数域F 上所有n 阶矩阵集合()F M n 之间建立一一对应.2.掌握在某基n ααα,,,21 下,线性变换σ的矩阵A 的概念,并熟练地掌握给定线性变换σ会求在该基下的矩阵；反之给定矩阵A 后,会确定线性变换σ；从而()n V L 与()F M n 为同构的代数系.3．掌握若已知()V L ∈σ在基下n ααα,,,21 矩阵为A,且向量11,()n ni i i i i i x y αασαα====∑∑的坐标公式：11n n y x A y x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.4．掌握若两基满足T n n ),,(),,(11ααββ =且()V L ∈σ在基n ααα,,,21 与基n βββ,,,21 下的矩阵分别为B A ,,则AT T B 1-=.且熟习各计算公式及技能,弄清线性变换的矩阵是随基底的改变而改变的.5．通过学习,从抽象的线性变换概念及运算进行推理、判断得出线性变换可由n 阶矩阵表示,使问题具体化,由具体矩阵解决实际问题；从线性变换与矩阵的内在联系逐步培学生的辩证唯物主义观点.三．教学过程1．线性变换的矩阵,向量的象的坐标公式（1）问题 设)(,dim V L n V ∈=σ,取定V 的一个基{}n αα,1 对V ∈∀ξ,有ξ关于基{}n αα,1 的坐标),,(1n x x ；同样)(ξσ关于基{}n αα,1 的也有坐标),,(1n y y ；问ξ与)(ξσ关于基{}n αα,1 的坐标有和关系？而研究向量的某种性质时,往往从分析基向量的性质入手,为此引入：（2）线性变换的矩阵定义１ 设)(,dim V L n V ∈=σ,{}n αα,1 为V 的一个基,令：n n a a ααασ11111)(++=n n a a ααασ21122)(++=……n nn n n a a ααασ++= 11)(作矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n a a a a A 1111,称之为线性变换σ关于基{}n αα,1 的矩阵. 例1．2V 中取从原点出发的彼此正交的向量21,εε作为2V 的一个基,令σ是将2V 的每一向量旋转角θ的一个旋转,求σ关于{21,εε}的矩阵.例2．求n 维向量空间的位似变换关于任一基的矩阵,由此的单位变换、零变换关于任一基的矩阵.（1、2解略）（3）向量的象的坐标公式定理7.3.1设)(,dim V L n V ∈=σ,σ关于基{}n αα,1 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n a a a a A 1111,若ξ关于基{}n αα,1 的坐标为),,(1n x x ,而)(ξσ关于基{}n αα,1 的坐标为),,(1n y y ;则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n x x A y y 11.2．))(dim (n V V L =与)(F M n 的同构对应设,dim n V =取定V 的一个基{}n αα,1 后,可知对()V L ∈∀σ都有唯一n 阶矩阵)(F M A n ∈与之对应；问题是上述结论的反面是否成立？即对∀)(F M A n ∈,是否恰有一个()V L ∈σ使得σ关于取定的基{}n αα,1 的矩阵为A ？这个问题成立的意义在于： 对n 维空间V ,可建立))(dim (n V V L =与)(F M n 的1—1对应；进一步的是()V L ,)(F M n 各自有相应的加法、数乘运算,这种对应与运算又有什么联系？引理7.3.2设,dim n V ={}n αα,1 为V 的一个基,则对V 中任意n 个向量n ββ,,1 ,恰有一个()V L ∈σ使得),,2,1(,)(n i i i ==βασ.注：（1）引理含义为：存在唯一一个线性变换把给定的基向量变为任意指定的n 个向量.（2）该引理是建立()V L 与)(F M n 同构对应的基础.推论7.3.4设,dim n V ={}n αα,1 为V 的一个基,()V L ∈σ,σ关于基{}n αα,1 的矩阵为A ；则σ可逆的充要条件为A 可逆,且1-σ关于这个基的矩阵为1-A .3．线性变换在不同基下矩阵间关系引言：一般地线性变换关于基的矩阵与基的选择有关,同一线性变换σ在V 的两个不同基下的矩阵是不同的（如作业）,为了利用矩阵研究线性变换,显然需要讨论线性变换在不同基下的矩阵间的关系.引例 设()2F L ∈σ,且σ关于基{1ε,2ε}的矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4231A ,求关于基()(){}012111==αα、的矩阵.分析：本题不能直接用定义做,因σ的对应关系不清楚,由定义是求B 使()()()2121)(ααασασ，，=B,由由题知A ),())(),((2121εεεσεσ=,而{}21,εε与{}21,αα间的关系易得,因而可通过上述已知转化一下.解：设()()()2121)(ααασασ，，=B,因22211,εαεεα=+=,所以T ),(1101),(),(212121εεεεαα=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=,其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1101T .于是 T))(),(())(),()(())(),(())(),((2122122121εσεσεσεσεσεσεεσασασ=+=+=AT T AT 12121),(),(-==ααεε,所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-12341AT T B . 由引例有结论：同一线性变换σ在V 的两个不同基下的矩阵B A ,是不同的,有关系AT T B 1-=（T 为过渡矩阵）.一般地：定理7.3.5设,dim n V ={}n αα,1 ,{}n ββ,,1 为V 的两个基, ()V L ∈σ,σ关于这两个基的矩阵分别为A 和B,且T n n ),,(),,(11ααββ =；则AT T B 1-=. 反过来,设)(,F M B A n ∈,且存在可逆矩阵T 使得AT T B 1-=,则A 和B 是V 的同一线性变换在不同基下的矩阵.定义２ 设)(,F M B A n ∈,若存在可逆矩阵T 使得AT T B 1-=,则称矩阵B 与A 相似,记作A B . 性质：“相似”是方阵之间的一个“等价关系”：（1）自反性：)(F M A n ∈∀,有A 与A 相似；（2）对称性：若B 与A 相似,则A 与B 相似；（3）传递性：若B 与A 相似,C 与B 相似,则C 与A 相似.（易证,且容易看到所存在的可逆矩阵的关系）另外：由矩阵的运算性质易得：T A T AT T TA T T A T T A A T n n n n 1111111)()(-----=++=++ .7.4 不变子空间一 ．教学思考上节的结论：线性变换关于不同基的矩阵是相似的,矩阵相似是方阵的一个等价关系,所以方阵可以按等价分类,彼此相似的矩阵可作为同一线性变换在不同基下的矩阵.自然的问题是：能否适当的选择V 的一个基,使得σ关于这个基的矩阵有较简单的形式？具体地下面将研究：在什么条件下可适当选择V 的一个基,使得σ关于这个基的矩阵为对角阵？用矩阵的语言即是在什么条件下A 相似与一个对角阵？这个问题的解决同所谓的不变子空间的概念关系密切.作为本节内容较简单,即“不变子空间的定义及性质”,有了这个概念后,引导学生看一看不变子空间在简化线性变换的矩阵中的作用.二 ．内容及要求内容：不变子空间的定义、性质.要求：掌握不变子空间的定义、性质,了解不变子空间在简化线性变换的矩阵中的作用.三 ．教学过程1．概念及性质令V 是数域F 上的一个向量空间,()V L ∈σ.定义1 W 是V 的一个子空间,若()W W ⊆σ（即∀ξW ∈,σ（ξ）W ∈）,则称W 在线性变换σ下不变（或稳定）,此时W 称为σ的一个不变子空间（或σ一子空间）.例 平凡子空间、)Im(),(σσKer 、位似变换下的子空间等（略）.定义2 设W 是线性变换σ的一个不变子空间,只考虑σ在W 上的作用,就得到子空间W 本身的一个线性变换,称为σ在W 上的限制,记为W |σ.性质 （不变子空间的）1）σ的有限（无限）个不变子空间的交仍是σ的不变子空间.2）σ的有限个不变子空间的和仍是σ的一个不变子空间.3）设W 是V 的一个子空间,),,(1n L W αα =,()V L ∈σ；则W 是σ的一个不变子空间W n ∈⇔)(,),(1ασασ .2．不变子空间与简化线性变换的矩阵的关系设,dim n V =()V L ∈σ,W 是σ的一个)0(n r r <<维不变子空间,可令},,{1r αα 为W 的一个基,于是),,(1r L W αα =；将},,{1r αα 扩充为V 的一个基},,,,,{11n r r αααα +,则可设：nnn r rn n n nnr r rr r r r rr r r rr a a a a a a a a a a αααασαααασααασααασ++++=++++=++=++=++++111111*********)()()()( 于是σ关于基},,,,,{11n r r αααα +的矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,21A O A A r r n ,即当σ有一个非平凡子空间时,可适当选择V 的一个基使得σ关于这个基的矩阵具有较多个0元素.特别地：当2121,(,W W W W V ⊕=在σ之下不变）时,那么选取1W 的一个基和2W 的一个基凑成V 的一个基使得σ关于这个基的矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21A O O A ,更进一步,若V 可以分解为σ的s 个不变子空间的直和时,可适当选择V 的一个基使得σ关于这个基的矩阵为准对角形.结论：给了n 维向量V 的一个线性变换,只要能将V 分解成一些在σ之下不变的子空间直和,那么就可以适当的选取V 的基,使得σ关于这个基的矩阵具有比较简单的形状.显然,这些不变子空间的维数越小,相应的矩阵的形状就越简单.特别当V 能分解为n 个σ之下不变的一维子空间的直和,那么与σ相应的矩阵就有对角形式.下两节将讨论这个问题.7.5 本征值和本征向量一．教学思考：1．本征值和本征向量的概念是解决线性变换及矩阵可对角化的重要概念,是下节问题及结论的基础. 2．线性变换的本征值与本征向量是用一个条件等式联系着的两个概念,注意它们的依存关系.在分析σ的本征值、本征向量的求法中引入了矩阵的特征根特征向量的概念,注意它们的关系和区别.3．相似矩阵的特征多项式相同,从而特征根同（反之不然）,进而下述具体求σ的本征值、本征向量时转化为σ关于某个基的矩阵的有关问题,而与基的选择无关.4．本节求线性变换与矩阵的特征根、特征向量的方法具体,技能要熟练准确.注意利用数域F 上的多项式求根及n 个方程、n 个未知数的齐次线性方程组求非零解的知识.二 ．内容及要求：1．内容：特征根和特征向量的概念、性质、求法、特征多项式.2．要求：①掌握线性变换的本征值、本征向量、特征多项式的概念性质.②掌握特征根、特征向量的求法.三． 教学分析、建议、及过程：（一）线性变换的本征值、本征向量的概念重要及关系紧密,分析清其性质及实质含义进而分清其与矩阵的特征根与特征向量的关系,以及由相似阵的特征多项式、特征根相同知σ的本征值的求法时,转化为矩阵的有关问题而与基的选择无关.特别是最终得到特征根、特征向量的求法,真正分析清楚,弄懂弄会.（二）过程：引言：设)(,dim V L n V ∈=σ,在什么条件下可找到V 的一个基{}n αα,,1 ,使得σ关于这个基的矩阵为对角形⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n λλ0000001 ,即：n n n αλασαλασ==)()(111 （*）要做到这一点,从上节最后的分析结果知在于V 能否分解为σ的一维不变子空间的直和.我们将看到这不是总能办到的,只从另外的方面讨论.现在从解决的问题所满足的式子（*）给予我们一个重要启示,即研究线性变换σ,很重要的是去寻找满足条件λαασ=)(的数λ和非零向量α,这就是下面要介绍的线性变换σ本征值和本征向量问题.1．特征根、特征向量：（本征值、本征向量）（１）概念定义１设V 是数域F 上的一向量空间,)(V L ∈σ,如果对F 中的一个数λ,存在中F 非零向量ξ,使得λξξσ=)(.则称λ为线性变换σ的一个本征值,而λ叫做σ的属于本征值λ的一个本征向量. 例1．设σ是3V 中关于某平面H 的正射影,可知0、1都是σ的本征值（考虑相应的本征向量是什么）. 例2．对)()(:],[x xf x f x F V σ=,可知)(V L ∈σ；对,F ∈∀λ因o x f ≠∀)(,都有)()())((x f x xf x f λσ≠=,因此σ没有本征值.（２） 本征向量的性质１） 同一本征向量不能属于不同的本征值.（证略）２） 令{}λξξσξλ=∈=)(|V V ,则λV 是V 的一个子空间,称为σ的一个本征子空间.（易证）（3）σ的一维不变子空间与σ的本征值和本征向量间的联系一方面：若ξ是σ的一个属于本征值λ的本征向量,则{}F a a L ∈=|)(ξξ是σ的一维不变子空间.另一方面：若U 是σ的一维不变子空间,则U 中每个非零向量都是σ的属于同一本征值的本征向量.（事实上容易验证,注意多方解释）（4） 本征值、本征向量的求法设)(,dim V L n V ∈=σ,取定V 的一个基{}n αα,,1 ,令σ关于这个基的矩阵为()n ij a A =,若n n x x ααξ++= 11是σ的一个属于本征值λ的本征向量,有n n x x αλαλλξξσ++== 11)(；由定理7.3.1有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n x x A x x 11λ,即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00)(1 n x x A I λ （1）.即ξ关于基{}n αα,,1 的坐标是上述（1）以A I -λ为系数矩阵的齐次线性方程组的非零解；而（1）有非零解⇔系数行列式0=-A I λ （2）即F ∈λ是σ的一个本征值时其须满足（2）；反之若F∈λ满足（2）时,则（1）有非零解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x 1,从而n n x x ααξ++= 11满足λξξσ=)(,即λ为线性变换σ的一个本征值.上述讨论了σ的本征值与本征向量满足的条件,其中在本征值中,行列式A I -λ很重要,为讨论方便引入：定义2 设())(F M a A n ij ∈=,行列式 nnn n n n A a x a a a a x a a a a x A xI x f ---------=-=212222111211)( 叫做矩阵A 的特征多项式（显然n x f x F x f A =∂∈))((],[)(0）.把)(x f A 在复数域C 内的根（即0)(=x f A 在复数域C 内的解）叫做矩阵A 的特征根.若λ为A 的一个特征根,那么相应的齐次线性方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00)(1 n x x A I λ的一个非零解叫做矩阵A 的属于特征根λ的一个特征向量.由此的：求线性变换σ的本征值与相应的本征向量的方法步骤：1） 取定V 的一个基{}n αα,,1 ,求σ关于这个基的矩阵为A .2） 求出A 的特征多项式A xI x f A -=)(在数域F 内的全部根s λλ,,1 ,即是σ的全部本征值.3） 对每个i λ,求出相应的齐次线性方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00)(1 n i x x A I λ的一个基础解系r i ηη,,1 ,于是 σ的属于本征值i λ的全部本征向量在给定的基下的坐标形式为j j i i k F k k k rr ,,11∈++=ηηξ 不全为0.例3．求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=320230005A 的特征根和相应的特征向量. 例4．设R 上三维向量空间的线性变换σ关于基{}321,,ααα的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=013211233A ,求σ的本征值和相应的本征向量.2．矩阵的特征多项式的进一步讨论（1）相似矩阵的特征多项式问题：上述讨论知,设V 是数域F 上的一向量空间, )(,dim V L n V ∈=σ,求σ的本征值即求σ关于V 的某基的矩阵A 的在F 内的特征根,由σ关于V 的不同基的矩阵不同（相似）,是否由于基的不同而使得矩阵不同,从而使得特征根不同呢？为此：设A F M B A n ),(,∈与B 相似,即存在可逆矩阵T 使得AT T B 1-=,因I IT T =-1,所以T A xI T AT T IT xT B xI )(111-=-=----,从而《高等代数》电子教案)()()(111x f A xI T T T A xI T T A xI T B xI x f A B =-=-=-=-=---.即相似矩阵有相同的特征多项式,从而有相同的特征根.定义3 设)(,dim V L n V ∈=σ,σ关于V 的某基的矩阵A 的特征多项式称为σ的本征多项式,记为)(x f σ；即)(x f σ=)(x f A .定理7.5.1设)(,dim V L n V ∈=σ,F ∈λ是σ的本征值的充要条件是,λ是)(x f σ的一个根.（2）矩阵())(F M a A n ij ∈=的特征多项式的展开 nnn n n n A a x a a a a x a a a a x A xI x f ---------=-=212222111211)(将其展开是][x F 中一多项式. 1) 由行列式定义易知)(x f A 的降幂形式的前两项为：++++-=-12211)()(n nn n A x a a a x x f2) 由多项式的性质知)(x f A 的常数项为)0(A f ,而)0(A f =A n )1(-.定义4 矩阵A 的对角线上元素的和成为矩阵A 的迹,记为；即)(A Tr nn a a a +++= 2211. 综上：A x A Tr x x f n n n A )1()()(1-++-=- )1(另外讨论：A 的特征根与)(x f A 的展开式中的系数的关系.设n λλ,,1 是A 的全部特征根,则由根与一次因式的关系有：n n n n n n A x x x x x f λλλλλλ 1111)1()()()()(-++++-=--=- （2）比较（1）（2）得：)(A Tr =n λλ++ 1； =A n λλ 1.（3）*特征多项式的一个重要性质哈密尔顿——凯莱（Hamiltom-Caylay ）定理：设())(F M a A n ij ∈=,A xI x f A -=)(是A 的特征多项式；则 =-=A AI A f A )(O I A A a a a A n n nn n =-++++--)1()(12211 .（θσσ=)(f ）7.6 可以对角化的矩阵一． 教学思考：1、本节是在第四节、第五节的基础上,完全解决第三节引出的问题：在什么条件下存在V 的一个基,使得线性变换σ关于这个基的矩阵为对角阵？平行地,何时方阵A 相似与一个对角形矩阵？2、本节最终结果方法、步骤很具体,注意归纳.3、其中一种思想：线性变换与方阵的相应结论与转化,以及以其中一方面处理另一方面问题的思考与方法须注意.二 ．内容及要求：内容：线性变换和矩阵可以对角化的概念及判定（充分条件及充要条件）.要求：理解掌握线性变换可以对角化的概念,掌握可以对角化的判定、方法步骤（重点）四川民族学院数学系三 ．教学过程：引言：形式最简单的矩阵是对角形矩阵,本节在前述基础上讨论.问题：设dim ,()V n L V σ=∈,在何条件下存在V 的一个基{}1,,n αα 使得σ关于这个基的矩阵为对角形.（平行地：设()n A M F ∈）,在何条件下存在一个可逆矩阵T 使得1T AT -为对角形）.这个问题即是所谓的：1．线性变换、矩阵可对角化的定义定义１设dim ,()V n L V σ=∈,若存在V 的一个基,使得σ关于这个基的矩阵为对角阵,则称σ可对角化.类似地：设()n A M F ∈如果存在可逆矩阵T 使得1T AT -为对角形,则称A 称可对角化.2．线性变换、矩阵可对角化的条件（１）一个充分条件：引理（Th7.6.1）——属于不同特征根的特征向量的性质——线性无关令()L V σ∈,若1,,s ξξ 分别是σ的属于互不相同的特征根1,,s λλ 的特征向量,则1,,s ξξ 线性无关.推论7.6.3设()n A M F ∈,若()A f x 在F 内有n 个单根,则A 可对角化.（２）一个充要条件特征子空间设()L V σ∈,λ是σ的一个特征根,令{}|()V V λξσξλξ=∈=,称之为σ的属于特征根λ的特征子空间,且是σ的一个不变子空间.定理7.6.5设V 是数域F 上n 维向量空间,()n L V σ∈,则σ可对角化的充要条件为：1）σ的特征多项式()f x σ的根1,,t λλ 全在F 内；2）对每个特征根i λ有dim i i V λλ=的重数.（证略）平行地：推论7.6.6设()n A M F ∈,则A 可以对角化的充要条件为：1）A 的特征根都在F 内；2）对A 的每个特征根λ都有秩()I A n s λ-=-.（其中s 为λ的重数）总结：判断σ可对角化的方法步骤：1） 取V 的一个基,求σ关于这个基的矩阵A ；2） 求()f x σ=()A f x 的全部根i λ；（判断i λ是否都在F 内）3） 若每个i λ都在F 内,求1()i n x I A x λο⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭的基础解系1,,s i i ξξ ,若基础解系所含向量的个数等于i λ的重数,则σ可对角化；4） 取3）中每个基础解系为坐标的向量构成V 的基,σ关于V 的这个基的矩阵为对角形. 平行地：()n A M F ∈,判断A 可以对角化的方法步骤：1） 求()A f x 的全部根i λ（判断i λ是否都在F 内）；2） 若每个i λ都在F 内,求秩()i I A λ-；若每个i λ,秩()i I A λ-=i n λ-的重数,则A 可以对角化.。
《高等代数》线性变换PPT课件
x 1
A
x2
.
x n
综合上面所述, 我们得到坐标变换公式：
定理7.3.1 令V是数域F上一个n 维向量空间，σ是 V的一个线性变换，而σ关于V的一个基
{1,2, ,的n 矩}阵是
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
an1 an2 ann
如果V中向量ξ关于这个基的坐标是 (x1,x2, ,xn，) 而σ(ξ)的坐标是 (y1,y2, ,yn)，
例1 对于 R 2 的每一向量x1,x2定义
x 1 ,x 1 x 2 ,x 1 x 2 R 3
σ是 R 2到 R 3的一个映射，我们证明，σ是一个线
性映射.
例2 令H是V 3 中经过原点的一个平面.对于 V 3 的每一
向量ξ，令 表示 向量ξ在平面H上的正射影.根据射 影的性质， : 是到V 3 的V一3 个线性映射.
x1
( 1,
2
,
,
n
)
x2
.
xn
因为σ是线性变换，所以
() x1(1)x2(2)xn(n)
（2）
x1
((1),(2),,(n))
x2
.
xn
将（1）代入（2）得
x1
(
)
(1,2
,,
n
)
A
x2
.
xn
最后，等式表明，( )关 ( 1 , 于 2 , n )的坐标所组成
定理7.1.2 设V和W是数域F向量空间，而是一个线性
射，那么
:VW
(i) σ是满射 Im)(W
(ii) σ是单射 K(e )r{0}
(完整word版)第七章线性变换总结篇(高等代数).docx
第 7 章线性变换7.1 知识点归纳与要点解析一．线性变换的概念与判别1. 线性变换的定义数域P 上的线性空间 V 的一个变换称为线性变换， 如果对 V中任意的元素,和数域 P 中的任意数k ，都有：，kk。
注： V 的线性变换就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。
2. 线性变换的判别设为数域 P 上线性空间 V 的一个变换，那么：为 V 的线性变换k l k l , , V , k,l P3. 线性变换的性质设 V 是数域 P 上的线性空间，为 V 的线性变换，1 ,2 ,, s ,V 。
性质 1.0 0,;性质 2. 若 1 , 2 , , s 线性相关，那么1,2 ,,s也线性相关。
性质 3. 设线性变换为单射，如果 1 , 2 ,, s 线性无关， 那么1 ,2,,s也线性无关。
注： 设 V 是数域 P 上的线性空间，1,2 ,, m，1,2,, s 是 V 中的两个向量组，如果：1 c111c122 c1ss2c211c222c2ssmcm1 1cm22cms s记：c11c21cm11, 2 ,, m1, 2 ,c12c22 cm2, sc1sc2scms于是，若 dim Vn ， 1, 2 , ,n 是 V 的一组基， 是 V 的线性变换， 1 , 2 , , m 是V 中任意一组向量，如果：1 b111b12 2b1n n2b 21 1 b 22 2 b 2 n nmbm11bm22bmnn记：1 ,2 ,, m1 ,2 m那么：b11b21cm11, 2 ,, m1, 2 ,b12 b22 cm2, nb1nb2ncmnb11b21cm1设 Bb 12b 22c m2， 1 ,2 ,,m 是矩阵B 的列向量组，如果i , i ,, i 是12rb1n b2n cmn1 , 2,, m 的 一 个 极 大 线 性 无 关 组 ， 那 么i 1 ,i 2 i r就 是1,2m 的一个极大线性无关组，因此向量组1,2m的秩等于秩B 。
高等代数考研复习[线性变换]描述
![高等代数考研复习[线性变换]描述](https://img.taocdn.com/s3/m/7bea248a4693daef5ef73dbf.png)
A 1(1,2, ,n )= (1,2, ,n ) A1.
(ⅴ)同一线性变换在不同基下矩阵之间的关系： 设1,2, ,n 与 1, 2, , n 是线性空间V的两
组基，且 (1, 2, , n ) (1,2, ,n ) X . 如果 A (1,2, ,n ) (1,2, ,n ) A,
则称 A B 是V的线性变换，并称它为 A 与 B
的乘积. 说明：变换乘积满足结合律，乘法对加法的分 配率，数乘结合律.但是不满足交换律.
线性变换的方幂与多项式变换：
n个线性变换 A 的乘积称为 A 的n次幂，记为 A n即 A n =AA A. 规定：A 0 =E.当A 可逆时，规定
(A 1)n =A n . 一般地，A B B A , 但是
那么 A 就是V上满足条件的线性变换.
(ⅲ) 线性变换的矩阵
A 设1,2, ,n 是n维空间V的一组基， 是V
的线性变换，如果基的像可以被基线性表出，
即 A (1) a111 + a212
A
(2 ) a121 + a222
A (n ) a1n1 + a2n2
（2）如果对任意的α ∈V，A(α)=α，则称A为V的 恒等变换（也叫单位变换）. （3）A是V的线性变换的充分必要条件是：
A (k l ) kA () lA ( ),, ,V ,k,l P.
1.2 线性变换性质： 设V是数域P上的线性空间，A是V的线性变
换，则有 (1) A (0) 0, A () A ();
变换. 说明：线性空间V上的所有线性变换对于线性
变换的加法与数乘变换构成P上的线性空间,记 为L(V).即对 A ,B L(V ) A +B L(V ), kA L(V ).
高等代数--第七章 线性变换_OK
45
线性变换的乘法
首先，线性空间的线性变换作为映射的特殊 情形当然可以定义乘法。设A，B 是线性空间V 的两个线性变换，定义它们的乘积AB为
(A B )() A (B ()) ( V ).
容易证明，线性变换的乘积也是线性变换。事 实上，
(A B )( ) A (B ( )) A (B () B ())
A ( ) k1A (1) k2A (2) krA (r ),
14
又如果1 , 2 ,, r之间有一线性关系式 k11 k22 krr 0,
那么它们的象之间也有同样的关系
A ( ) k1A (1) k2A (2) krA (r ),
15
3. 线性变换把线性相关的向量组变成线性 相关的向量组.
A x1A 1 x2A 2 xnA n x1B 1 x2B 2 xnB n B .
20
结论1的意义就是，一个线性变换完全被它 在一组基上的作用所决定。
2.设 1,2,,n是线性空间V的一组基。对于
任意一组向量 1,2,,n一定有一个线性变换A
使
A i i ,i 1, 2, , n.
46
A (B ()) A (B ( )) (A B )( ) (A B )( ),
(A B )(k) A (B (k)) A (kB ())
kA (B ()) k(A B )().
这说明AB是线性的。
既然一般映射的乘法适合结合律，线性变换
的乘法当然也适合结合律，即
(A B )C A (B C ).
29
例3 在 F 22 中定义线性变换 A
X
a c
b
d
X
（完整版）高等代数（北大版）第7章习题参考答案
第七章 线性变换1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量；是一固定的向量； 2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；是一固定的向量；3） 在P 3中，A),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=； 5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ；6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数；是一固定的数；7） 把复数域上看作复数域上的线性空间，把复数域上看作复数域上的线性空间，A ξξ=。
8） 在P nn ⨯中，A X=BXC 其中B,C∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
不是。
2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
不是。
3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk ,A ≠)(αkk A()α。
4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-==k A )(α， 故A 是P 3上的线性变换。
上的线性变换。
5) 是因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令并令 )()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。
高等代数7线性变换
⾼等代数7线性变换⾼等代数7 线性变换⽬录线性变换的定义线性空间V到⾃⾝的映射通常称为V的⼀个变换。
定义线性空间V的⼀个变换A称为线性变换，如果对于V中任意的元素α,β和数域P中的任意数k都有A(α+β)=A(α)+A(β)A(kα)+k A(α)线性变换A保持向量的加法和数量乘法。
恒等变换、单位变换 E(α)=α (α∈V)零变换0 0(α)=0 (α∈V)数乘变换设V是数域P上的线性空间，k是数域P上的某个数，定义V的变换：α→kα,α∈V这是⼀个线性变换，称为由数k决定的数乘变换。
简单性质1. 线性空间V的⼀个线性变换A，则A(0)=0,A(−a)=−A(a)2. 线性变换保持线性组合不变β=k1α1+k2α2+⋯+k rαr A(β)=k1A(α1)+k2A(α2)+⋯+k r A(αr)3. 线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组。
线性变换的运算线性变换作为映射的特殊情形可以定义乘法运算乘法设A,B是线性空间V上的两个线性变换，它们的乘积AB为(AB)(α)=A(B(α)) (α∈V)线性变换的乘积也是线性变换。
适合结合律 (AB)C=A(BC)⼀般是不可交换的单位变换E EA=AE=A加法设A,B是线性空间V上的两个线性变换，它们的和A+B为(A+B)(α)=A(α)+B(α) (α∈V)线性变换的和还是线性变换交换律 A+B=B+A结合律 (A+B)+C=A+(B+C)零变换0 A+0=A负变换 A+(−A)=0 .负变换也是线性的。
线性变换乘法对加法具有左右分配律A(B+C)=AB+AC(B+C)A=BA+CA数量乘法数域P中的数与线性变换的数量乘法为k A=KA(kl)A=k(l A)(k+l)A=k A+l Ak(A+B)=k A+k B1A=A线性空间V上全体线性变换，对于如上定义的加法与数量乘法，也构成数域P上的⼀个线性空间逆变换V上的变换A称为可逆的，如果有V的变换B存在，使 AB=BA=E这时，变换A称为A的逆变换，称为A−1如果线性变换A是可逆的，那么它的逆变换A−1也是线性变换。
高等代数和解析几何第七章(1~3习题集)线性变换和相似矩阵答案解析
第七章线性变换与相似矩阵习题7.1习题7.1.1判别下列变换是否线性变换？（1）设是线性空间中的一个固定向量，（Ⅰ），，解：当时，显然是的线性变换；当时，有，，则，即此时不是的线性变换。
（Ⅱ），；解：当时，显然是的线性变换；当时，有，，则，即此时不是的线性变换。
（2）在中，（Ⅰ），解：不是的线性变换。
因对于，有，，所以。
（Ⅱ）；解：是的线性变换。
设，其中，，则有，。
（3）在中，（Ⅰ），解：是的线性变换：设，则，，。
（Ⅱ），其中是中的固定数；解：是的线性变换：设，则，，。
（4）把复数域看作复数域上的线性空间，，其中是的共轭复数；解：不是线性变换。
因为取，时，有，，即。
（5）在中，设与是其中的两个固定的矩阵，，。
解：是的线性变换。
对，，有，。
习题7.1.2在中，取直角坐标系，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换。
证明（表示恒等变换），，；并说明是否成立。
证明：在中任取一个向量，则根据，及的定义可知：，，；，，；，，，即，故。
因为，，所以。
因为，，所以。
因为，，所以。
习题7.1.3在中，，，证明。
证明：在中任取一多项式，有。
所以。
习题7.1.4设，是上的线性变换。
若，证明。
证明：用数学归纳法证明。
当时，有命题成立。
假设等式对成立，即。
下面证明等式对也成立。
因有，即等式对也成立，从而对任意自然数都成立。
习题7.1.5证明（1）若是上的可逆线性变换，则的逆变换唯一；（2）若，是上的可逆线性变换，则也是可逆线性变换，且。
证明：（1）设都是的逆变换，则有，。
进而。
即的逆变换唯一。
（2）因，都是上的可逆线性变换，则有，同理有由定义知是可逆线性变换，为逆变换，有唯一性得。
习题7.1.6设是上的线性变换，向量，且，，，都不是零向量，但。
证明，，，线性无关。
证明：设，依次用可得，得，而，故；同理有：，得，即得；依次类推可得，即得，进而得。
高等代数(北大版)第7章习题参考答案
第七章线性变换1．判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1）在线性空间V中，A,其中V是一固定的向量；2）在线性空间V中，A其中V是一固定的向量；3）在P 322 中，A(,,)(,,)x1xxxxxx；2312334）在P 3中，A(,,)(2,,)x1xxxxxxx2312231；5）在P[x]中，A f(x)f(x1)；6）在P[x]中，A()(),fxfx其中0 x P是一固定的数；07）把复数域上看作复数域上的线性空间，A。
nn中，A X=BXC其中B,CP 8）在P解1)当0时,是;当0时,不是。
nn是两个固定的矩阵.2)当0时,是;当0时,不是。
3)不是.例如当(1,0,0),k2时,k A()(2,0,0),A(k)(4,0,0), A(k)k A()。
4)是.因取(x1,x2,x3),(y1,y2,y3),有A()=A(x1y1,x2y2,x3y3)=(2x12y1x2y2,x2y2x3y3,x1y1)=(2x1x2,x2x3,x1)(2y1y2,y2y3,y1)=A+A，A(k)A(kx1,kx2,kx3)(2kx1 k x2,k x2k x,3k x)1(2kx1 k x2,k x2k x,3k x)1=k A()，3故A是P上的线性变换。
5)是.因任取f(x)P[x],g(x)P[x],并令u(x)f(x)g(x)则A(f(x)g(x))=A u(x)=u(x1)=f(x1)g(x1)=A f(x)+A(g(x))，再令v(x)kf(x)则A(kf(x))A(v(x))v(x1)kf(x1)k A(f(x))，故A为P[x]上的线性变换。
6)是.因任取f(x)P[x],g(x)P[x]则.A(f(x)g(x))=f(x0)g(x0)A(f(x))A(g(x))，A(kf(x))kf(x0)k A(f(x))。
7)不是，例如取a=1,k=I，则A(ka)=-i,k(A a)=i,A(ka)k A(a)。
高等代数第七章线性变换
高等代数第七章线性变换一、定义：变换：线性空间V到自身的映射通常称为V的一个变换线性变换=线性映射+变换更准确地说线性变换的特点就是满足线性性以及定义域和陪域都是同一个线性空间*这里说的陪域是丘维生的高等代数里提出的一个概念，与值域的每一个自变量都有因变量相对应不同的是陪域包含自变量没有因变量相对应的情况这样解释是为了类比：同构映射=线性映射+双射也就是说同构映射的特点是满足线性性以及每一个自变量都有一个因变量相对应下面引出线性变换的准确定义线性变换：如果对于V中任意的元素 \alpha,\beta和数域P 中任意数k，都有\sigma(\alpha+\beta )=\sigma(\alpha)+\sigma(\beta) ，\sigma(k\alpha)=k\sigma(\alpha) 则称线性空间V的一个变换 \sigma 称为线性变换。
二、线性变换的矩阵所有线性变换的全体可以通过选取V的一组基与所有矩阵的全体建立一一对应的关系，将几何对象和代数对象建立转化。
只要取一组足够好的基，就可以得到足够好的矩阵。
某些特殊情况下，矩阵可以取成对角阵，就称线性变换可以对角化，不可对角的矩阵可以写成若尔当块的形式，则选取的基就为循环基，当做不到选取循环基时就只能上三角化或者下三角化。
三、矩阵的相似1.定义Ⅰ.①相似的定义： A,B\in P^{n\times n} ，若存在可逆矩阵 P ，使得 P^{-1}AP=B ,则称A与B是相似的②相似的标准型：若尔当标准型Ⅱ.类比合同（相抵）：本质是初等变换①合同的定义： A,B\in P^{n\times n} 若存在可逆矩阵P ，使得 PAQ=B ,则称A与B是合同的②合同的标准型：PAQ=\left( \begin{array}{cc} E_{r}&0\\ 0&0 \end{array} \right),r=r(A),E(r)=\left( \begin{array}{cc} 1&&\\ &1 &\\ &...\\ &&1 \end{array} \right)_{r\times r}③性质：若 A\sim B ，则 \left| A \right|=\left| B \right| ,r(A)=r(B)若A\sim B ，则 A,B 的特征多项式相同，极小多项式相同若 A\sim B ，则 A'\sim B'*根据定义有 P^{-1}AP=B ，两边同时转置： P'A'(P')^{-1}=B' ,则 A'\sim B'若 A\sim B ，A可逆，则 A^{-1}\sim B^{-1}若 A\sim B ，则 A^{k}\sim B^{k}若 A\sim B ， f(x)\in k[x] （f(x)是数域K上的多项式）则 f(A)\sim f(B) (A与B的多项式相似）*多项式的形式是 f(x)=x^{k}+x^{k-1}+...+x+m ,由A^{k}\sim B^{k} ，则 f(A)\sim f(B)若 A\sim B，则 A^{*}\sim B^{*} (A的伴随矩阵相似于B的伴随矩阵）四、矩阵的特征值和特征向量1.定义：对于矩阵A，若存在 x\ne0 (非零向量）， x\inK^{n} ,s,t, Ax=\lambda x ，则称 \lambda 是 A 的一个特征值， x 是 \lambda 对应的特征向量2.求特征值、特征向量①求解特征多项式f(\lambda)=\left| \lambda E_{n} -A\right|=0\Rightarrow\lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{n} 为特征值②求 (\lambda_{i} E_{n} -A)x=0\Rightarrowx_{1},x_{2},...,x_{n} 为特征向量3.性质：若矩阵A的特征值为 \lambda_{1},...,\lambda_{n}① tr(A)=\lambda_{1}+...+\lambda_{n} （ tr(A) 为矩阵的迹：对角线元素之和为矩阵特征值之和）② \left| A\right|=\lambda_{1}\lambda_{2}...\lambda_{n}③哈密顿-凯莱定理：特征多项式一定是零化多项式f(\lambda)=\left| \lambda E_{n}-A \right|,f(A)=0*零化多项式： f(x)\in k[x] （ f(x) 是数域K上的多项式）,若 f(A)=0 则称 f(x) 是 A 的零化多项式eg. f(x)=x^2-3x+1 则有 A^2-3A+E_{n}=0④若 f(A)=0\Rightarrow f(\lambda)=0eg. A^2-3A+E_{n}=0\Rightarrow\lambda^2-3\lambda+1=0则根据④若矩阵A的特征值为\lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{n}\Rightarrow A^{-1} 的特征值为\frac{1}{\lambda_{1}},\frac{1}{\lambda_{2}},...,\frac{ 1}{\lambda_{n}}\Rightarrow aA 的特征值为a\lambda_{1},a\lambda_{2},...,a\lambda_{n}\Rightarrow A^{k} 的特征值为\lambda_{1}^k,\lambda_{2}^k,...,\lambda_{n}^k五、矩阵A可对角化的判别办法① A_{n\times n} 可对角化 \Leftrightarrow n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量设 \lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{s} 是两两不同的特征值②A可对角化 \LeftrightarrowdimV_{\lambda_{1}}+dimV_{\lambda_{2}}+...+dimV_{\lambd a_{s}}=n③（充分但不必要条件）A的特征多项式无重根 \Rightarrow A可对角化六、不变子空间定义：W是线性空间V的子空间，线性变换 \sigma：V\rightarrow V ，若 \sigma(W)\subseteq W ，则称W是\sigma 的不变子空间利用定义求不变子空间。
高等代数.第七章.线性变换.课堂笔记
第七章 线性变换§7.1 线性变换的定义与判别一、线性变换的定义：定义1 设V 为数域P 上线性空间，A 为V 的一个变换(即V ⟶V 的映射)，若A 保持加法和数乘运算，即A (α+β)=A (α)+ A (β),∀α,β∈V ，A (kα)=k A (α),∀k ∈P ，则称A 为V 的一个线性变换.注记： 以后我们用花体拉丁字母A,B,C,...表示V 的线性变换，除了特别说明外，本章节中V 均指数域P 上有限维线性空间.例1.说明下列变换均为线性变换： (1)把V 中任一向量都映射为0（称为零变换，记作0）； (2)把V 中任一向量α映射为本身（恒等变换，记作E ）； (3)取定k ∈P ，把V 中的每一个向量α映射为kα（数乘变换，记作k ）.例2.判定下列规则σ是否为指定线性空间的线性变换： (1)ℝ,x -:σ(f (x ))=f′(x );(2)C ,a,b -: σ(f (x ))=∫f (t )dt x0;(3)P n×n : σ(A )=A +A ′,σ2(A )=SAT ，S,T 为固定二个n ×n 矩阵. (4)ℝ,x -n : σ1(f (x ))=xf (x ),σ2(f (x ))=f (x )+1. 解：可验证(1)-(3)均为线性变换，下面证明(1)： ∀ f (x )∈ℝ,x -，其导函数唯一确定，且f (x )∈ℝ,x -，因而σ为V ⟶V 的变换，即V 的一个变换，σ(f (x )+g (x ))=(f (x )+g (x ))′=f ′(x )+g ′(x )= σ(f (x ))+ σ(g (x )), ∀k ∈ℝ,σ(kf (x ))=(kf (x ))′=kf ′(x )=kσ(f (x )).(4): σ1与σ2均不是线性变换，取f (x )=x n−1+1=ℝ,x -n ，但σ1(f (x ))=xf (x )=x n +x ∉ℝ,x -n ， 因而σ1不是ℝ,x -n 的一个变换， σ2是ℝ,x -n 的一个变换，但运算不保持，因而不是线性变换.习题：P320、1例3.设α为通常几何空间ℝ3中固定的向量，把空间中每个向量η映射为η在α上的内映射（正投影），即Πα: η⟶(α∙η)(α∙α)α是ℝ3的线性变换，这里(α∙η),(α∙α)表示通常向量的内积.证：如图，Πα(η)=OD ⃗⃗⃗⃗⃗ =ηcos (η∙α)α|α|=(α∙η)(α∙α)α，唯一确定， 从而Πα为ℝ3的一个变换，如图，AC ⊥W(垂足为C)，OCD LA Wα1α2η因此L 与W 为ℝ3的子空间且ℝ3=W ⊕L ，令 η=α1+α2,α1=OD⃗⃗⃗⃗⃗ =Πα(η),α2∈W , δ=β1+β2,β1=Πα(δ)∈L,β2∈W ，则η+δ=(α1+β1)+(α2+β2),α1+β1∈L,α2+β2∈W ， 从而Πα(η+δ)=α1+β1=Πα(η)+Πα(δ)， 同理，Πα(kη)=kΠα(η).二、线性变换的性质： 设A 为V 的线性变换，则： (1) A (0)=0, A (−α)=−A (α),∀α∈V ; (2) A (k 1α1+k 2α2+⋯+k t αt )=k 1A (α1)+k 2A (α2)+⋯+k t A (αt ); (3) A 把线性相关的向量组映射为线性相关的向量组（反之不真）.2011-04-02A : V ⟶V 线性变换性质： (3) A 为V 中线性相关的向量组，映为V 中线性相关的向量组，即α1,α2,…,αs 相关⟹A (α1), A (α2),…, A (αs )相关;但A (α1), A (α2),…, A (αs )线性相关⇒α1,α2,…,αs 相关. 如A =0,∀ α∈V,α≠0, A (α)=0.(4)设α1,α2,…,αn 为V 的一个基，∀ α∈V,α=x 1α1+x 2α2+⋯+x n αn ⟹A (α)=A (x 1α1+x 2α2+⋯+x n αn ) 线性变换A 由V 中一个基中的像唯一确定;(5)设α1,α2,…,αn 为V 的一个基，则对V 中任一向量组β1,β2,…,βn 必存在一个线性变换 A : V ⟶V ，使得：A (αi )=βi ,1≤i ≤n ;证：作V ⟶V 映射：A (α)= x 1β1+x 2β2+⋯+x n βn ，其中：α=x 1β1+x 2β2+⋯+x n βn ,则A (αi )=βi ,1≤i ≤n ; 下证：A 为V 的线性变换：∀ α=x 1α1+x 2α2+⋯+x n αn ∈V,β=y 1α1+y 2α2+⋯+y n αn ∈V,A (α+β)= A .(x 1+y 1)α1+(x 2+y 2)α2+⋯+(x n +y n )αn /=(x 1+y 1)β1+(x 2+y 2)β2+⋯+(x n +y n )βn=(x 1β1+x 2β2+⋯+x n βn )+(y 1β1+y 2β2+⋯+y n βn ) = A (x 1α1+x 2α2+⋯+x n αn )+ A (y 1α1+y 2α2+⋯+y n αn )= A (α)+A (β)同理，∀k ∈P ，A (kα)=k A (α).§7.2 线性变换的运算为方便，引入记号：Hom (V,V )，它表示数域P 上线性空间V 的所有线性变换的集合。
电子教案-第7章-线性变换
第七章
线性变换
第七章
线性变换
§1 线性变换的定义 1. 定义: 取线性空间 V ,从 V 到自身的变换 σ : V → V 若满足对任意 α , β ∈ V 及任意 k ∈ F ,都有
σ (α + β ) = σ (α ) + σ ( β ) , σ (kα ) = kσ (α ) .则称 σ 是 V 的一个线性变换.
2
看 ε 1 = (1,0), ε 2 = (0,1) 旋转 θ 角度后变成什么. σ (ε 1 ) = (cos θ , sin θ ) , σ (ε 2 ) = (− sin θ , cos θ ) , 取 α = ( a , b ) = a ε 1 + bε 2 ,
σ (α ) = aσ (ε 1 ) + bσ (ε 2 ) = a (cos θ , sin θ ) + b(− sin θ , cos θ ) = (a cos θ − b sin θ , a sin θ + b cos θ ) .
σ n , σ n −1 ,", σ , id 的一个线性组合.
性质: 若 f ( x) g ( x) = h( x) ,则 f (σ ) g (σ ) = h(σ ) ,且 f (σ ) g (σ ) = g (σ ) f (σ ) . 若 f ( x) + g ( x) = h( x) ,则 f (σ ) + g (σ ) = h(σ ) . 同一个线性变换的多项式的乘法可交换. 2 线性组合的例子: 例 1: α
(σ + τ )(α + β ) = σ (α + β ) + τ (α + β ) = σ (α ) + σ ( β ) + τ (α ) + τ ( β ) = σ (α ) + τ (α ) + σ ( β ) + τ ( β ) = (σ + τ )(α ) + (σ + τ )( β ) (σ + τ )(kα ) = σ (kα ) + τ ( kα ) = kσ (α ) + kτ (α ) = k (σ (α ) + τ (α )) = k (σ + τ )(α ) .
高等代数第七章线性变换复习讲义
⾼等代数第七章线性变换复习讲义第七章线性变换⼀.线性变换的定义和运算1.线性变换的定义（1）定义：设V是数域p上的线性空间，A是V上的⼀个变换，如果对任意α，β∈V和k∈P都有A（α＋β）=A（α）+A（β），A（kα）=kA（α）则称A为V的⼀个线性变换。
（2）恒等变换（单位变换）和零变换的定义：ε（α）=α，ο（α）=0，任意α∈V.它们都是V的线性变换。
（3）A是线性变换的充要条件：A（kα+lβ）=kA(α)+lA(β),任意α，β∈V，k，l∈P.2.线性变换的性质设V是数域P上的线性空间，A是V的线性变换，则有（1）A（0）=0；（2）A（-α）=-A（α），任意α∈V；（3）A（∑kiαi）=ΣkiA（α），α∈V，ki∈P，i=1,…,s;（4）若α1，α2，…,αs∈V,且线性相关，则A（α1），A （α2），…,A(αs)也线性相关，但当α1，α2，…,αs线性⽆关时，不能推出A（α1），A（α2），…,A(αs)线性⽆关。
3.线性变换的运算4.线性变换与基的关系（1）设ε1，ε2，…,εn是线性空间v的⼀组基，如果线性变换A和B在这组基上的作⽤相同，即Aεi=Bεi，i=1,2，…,n,则有A=B.（2）设ε1，ε2，…,εn是线性空间v的⼀组基，对于V 中任意⼀组向量α1，α2，…,αn,存在唯⼀⼀个线性变换A 使Aεi=αi,i=1,2，…,n.⼆．线性变换的矩阵1.定义：设ε1，ε2，…,εn是数域P上n维线性空间v的⼀组基，A是V中的⼀个线性变换，基向量的像可以被基线性表出Aε1=a11ε1+a21ε2+…an1εnAε2=a12ε1+a22ε2+…an2εn……Aεn= a1nε1+a2nε2+…annεn⽤矩阵表⽰就是A（ε1，ε2，…,εn）=（ε1，ε2，…,εn）A,其中a 11 a 12 …… a 1na 21 a 22 …… a 2nA= ……a n1 a n2 …… a nn称为A在基ε1，ε2，…,εn下的矩阵。
高等代数第7章线性变换PPT课件
特征向量定义
对应于特征值m的非零向量x称为A的对应于特征值 m的特征向量。
设A是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向 量x，使得Ax=mx成立，则称m是A的一个特 征值。
求解方法
通过求解特征多项式f(λ)=|A-λE|的根得到特 征值，再代入原方程求解对应的特征向量。
特征多项式及其性质分析
特征多项式定义
量子力学
在量子力学中，特征值和特征向量用 于描述微观粒子的状态和能量级别。
图像处理
在图像处理中，特征值和特征向量可 以用于图像压缩和图像识别等任务。
经济学
在经济学中，特征值和特征向量可以 用于分析和预测经济系统的稳定性和 发展趋势。
04
线性变换对角化条
件及步骤
可对角化条件判断方法
判断矩阵是否可对角化
线性变换的性质与 矩阵性质对应
线性变换的性质如保持加法、 数乘等运算可以通过其对应的 矩阵性质来体现。例如，两个 线性变换的和对应两个矩阵的 和；线性变换的复合对应两个 矩阵的乘积等。
02
线性变换矩阵表示
法
标准基下矩阵表示法
定义
设V是n维线性空间，e1,e2,...,en 是V的一个基，T是V上的一个线 性变换，则T在基e1,e2,...,en下的 矩阵A称为T在基e1,e2,...,en下的 标准矩阵表示。
计算矩阵的高次幂
对于可对角化的矩阵A，可以利用对角化公式A=PDP^(-1)将A的高次幂转化为对角矩阵D的高次幂， 从而简化计算过程。
求解线性方程组
对于系数矩阵为可对角化矩阵的线性方程组，可以通过对角化将系数矩阵转化为对角矩阵，进而 简化方程组的求解过程。
计算行列式和逆矩阵
对于可对角化的矩阵A，其行列式值等于对角矩阵D的行列式值，逆矩阵可以通过对角化公式求得， 从而简化相关计算。
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√ 3．在线性空间V中， , V 非零固定. √ 4．在 P nn中， X A X ,A P n n 固定.
5．复数域C看成是自身上的线性空间，(x) x .
√ 6．C看成是实数域R上的线性空间，(x) x .
事实上， , V , m P ,
K k ( ) k k K K ,
K m k m m k m K .
例1. V R2(实数域上二维向量空间)，把V中每 一向量绕坐标原点旋转 角，就是一个线性变换，
用T 表示，即
T :R 2 R 2,
则 ( ) k 1 ( 1 ) k 2 ( 2 ) k r ( r ) .
3．线性变换把线性相关的向量组的变成线性相关
的向量组. 即
若 1,2, ,r线性相关，则 1 ,2 , ,r
也线性相关. 事实上，若有不全为零的数 k1,k2, ,kr使
k 1 1 k 2 2 k rr 0
则由2即有，k 1 1 k 2 2 k r r 0 .
注意：3的逆不成立，即 1 , 2 , , r
线性相关，1,2, ,r未必线性相关.
事实上，线性变换可能把线性无关的向量组变成
线性相关的向量组. 如零变换.
练习：下列变换中，哪些是线性变换？
√ 1．在 R 3中， x 1 ,x 2 ,x 3 ( 2 x 1 ,x 2 ,x 2 x 3 ) .
这里 (,),(,)表示内积.
易验证： , R 3, k R
k k
( )
例3．V P [x ]或 P [x ]n 上的求微商是一个 线性变换， 用D表示，即
D : V V ,D ( f ( x ) ) f ( x ) , f ( x ) V
例4. 闭区间 [ a , b ]上的全体连续函数构成的线性空y c sio n s cs o is n
x y
易验证： , R 2, k R
T T T
T k k T
例2． VR3, V为一固定非零向量，把V中每
一个向量 变成它在 上的内射影是V上的一个线
性变换. 用 表示，即
:R 3 R 3 , ( ( ,, ) ), R 3
第七章 线性变换
§1 线性变换的定义 §6线性变换的值域与核
§2 线性变换的运算 §7不变子空间
§3 线性变换的矩阵 §8 若当标准形简介
§4 特征值与特征向量 §9 最小多项式
§5 对角矩阵
小结与习题
§7.1 线性变换的定义
一、线性变换的定义 二、线性变换的简单性质
引入
在讨论线性空间的同构时，我们考虑的是一种 保持向量的加法和数量乘法的一一对应. 我们常称 两线性空间之间保持加法和数量乘法的映射为线性 映射. 本节要讨论的是在线性空间V上的线性映射
线性变换.
一、 线性变换的定义
设V为数域P上的线性空间，若变换 :V V 满足： , V , k P
kk
则称 为线性空间V上的线性变换.
注：几个特殊线性变换
单位变换(恒等变换)：E : V V , , V
零变换： 0 : V V , 0 , V
由数k决定的数乘变换：K : V V , k , V
Ca,b 上的变换
J : C a ,b C a ,b ,J f x a x f t d t
是一个线性变换.
二、 线性变换的简单性质
1． 为V的线性变换，则
( 0 ) 0 , ( ) ( ) .
2．线性变换保持线性组合及关系式不变，即
若 k 1 1 k 2 2 k rr ,