第八章 第三节 圆的方程

∴[1＋λλ2x－4]2＋[1＋λλ2y＋2]2＝4， 即(x－1＋4 λ)2＋(y＋1＋2 λ)2＝14＋λ2λ2 表示以1＋4 λ，－1＋2 λ为圆心，半径为1＋2λλ的圆．
考点一 考点二
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所以半径最大的圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.
答案：(1)A (2)(x＋1)2＋(y＋2)2＝10 (3)(x－1)2＋y2＝2
1．将本例(1)改为圆心在 y 轴上，且过点(3,1)的圆与 x 轴相切，则该圆的方程是( )
A．x2＋y2＋10y＝0
B．x2＋y2－10y＝0
C．x2＋y2＋10x＝0
答案：C
3．(基础点：求圆的方程)△AOB 中，A(4,0)，B(0,3)，O(0,0)，则△AOB 外接圆的方程 为________．
答案：x2＋y2－4x－3y＝0 4．(易错点：二元二次方程表示圆的条件)若方程 x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0 表示 圆，则 a 的取值范围是________． 答案：(－2，23)
由题意得－ 4＋D29－＋22×D－－3E2E＋－F3＝＝00，， 4＋25－2D－5E＋F＝0，
解得 D＝2，E＝4，F＝－5. 故所求圆的方程为 x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.
Fra Baidu bibliotek
(3)因为直线与圆相切，所以半径等于圆心到直线的距离，r＝|m－01－＋2mm2－1|＝
|m＋1| 1＋m2
＝ 11＋＋mm22＝ 1＋1＋2mm2，因为 1＋m2≥2m，所以1＋2mm2≤1，所以 r≤ 1＋1＝ 2，
A．x2＋(y－2)2＝1
B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝4
(2)圆心在直线 x－2y－3＝0 上，且过点 A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程为________．
(3)在平面直角坐标系 xOy 中，以点 A(1,0)为圆心且与直线 mx－y－2m－1＝0(m∈R)
法二：待定系数法 设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由题意得－2－2a－2a＋2＋－3－－5－b2b＝2r＝2，r2， a－2b－3＝0，
解得 a＝－1，b＝－2，r2＝10， 故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
法三：待定系数法 设圆的一般方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则圆心坐标为－D2 ，－E2 ，
[四基自测]
1．(基础点：圆的一般方程与标准方程的互化)圆 x2＋y2－4x＋6y＝0 的圆心坐标是( )
A．(2,3)
B．(－2,3)
C．(－2，－3)
D．(2，－3)
答案：D
2．(基础点：求圆的方程)过点 A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线 x＋y－2＝0 上的 圆的方程是( ) A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4 C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
系，进而求得圆的基本量(圆心、半径)和方程，常
几何法
用的几何性质如下： (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
题设条件中有明显的 几何特征
(2)圆心在任一弦的中垂线上；
(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线
方法
解读
适合题型
(1)根据条件设出圆的方程，一般地，若题目中有与圆心
和半径有关的信息，选择标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
2．与圆有关的轨迹问题的四种求法
挖掘 1 直接法求与圆有关的轨迹方程/ 自主练透
[例 1] 已知点 M 与两个定点 O(0,0)，A(3,0)的距离的比为12，则点 M 的轨迹方程为 ________． 解析：设点 M(x，y)，由题意得 x－x23＋2y＋2 y2＝12， 整理得 x2＋y2＋2x－3＝0.
所以点 P 的轨迹方程为x－322＋(y－2)2＝54. 答案：(1)A (2)x－322＋(y－2)2＝54
将本例(1)变为 P(4，－2)，A 是 x2＋y2＝4 的动点．M 是线段 PA 上的点满足||MPMA||＝ λ(λ＞0)，则动点 M 的轨迹还是圆吗？
解析：由题意得P→M＝λM→A， 设 M(x，y)，A(x0，y0)， ∴(x－4，y＋2)＝λ(x0－x，y0－y)， 即xy＋－24＝＝λλyx00－－yx，， ∴yx00＝＝11＋＋λλλλyx＋－24.， ∵x20＋y20＝4，
考点一 考点二
考点二 与圆有关的轨迹问题 教材剖析，必修2 P122例5 [剖析] 1.AB 的中点因端点 A 在圆上运动而形成轨迹，故其轨迹受 A 点的轨迹影响．采 用相关点法：寻找 A 点与 M 点之间的坐标关系而求其轨迹．
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考点分类·深度剖析
1 半径：r＝ 2
D2＋E2－4F
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考点一 考点二
2.点与圆的位置关系 点 M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2 的位置关系： (1)点 M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2. (2)点 M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2. (3)点 M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.
第八章 平面解析几何
第三节 圆的方程
考点一 考点二
[基础梳理]
1．圆的定义、方程 定义 平面内到 定点的距离等于 定长的点的轨迹叫做圆
标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
圆心：(a，b) 半径：r
条件： D2＋E2－4F >0
一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
圆心： －D2 ，－E2
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1．方程 Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆的充要条件：A＝C≠0，B＝0，且 D2 ＋E2－4F＞0. 2．以 A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
答案：x2＋y2＋2x－3＝0
将本题改为“M 与 A(3,0)，O(0,0)距离之比为 λ”，则动点 M 的轨迹方程是什么？其轨
迹是什么图形． 解析：由题意得
x－x23＋2y＋2 y2＝1λ，
整理得(1－λ2)x2＋(1－λ2)y2－6x＋9＝0.
当 λ＝1 时，轨迹方程为 x＝32，表示 OA 的垂直平分线． 当 λ≠1 时，方程为(x－1－3 λ2)2＋y2＝1－9λλ222，
表示为以(1－3 λ2，0)为圆心，半径为|1－3λλ2|的圆．
挖掘 2 相关点(代入法)求轨迹方程/ 自主练透
[例 2] (1)点 P(4，－2)与圆 x2＋y2＝4 上任意一点连线的中点的轨迹方程是( ) A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4 C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 (2)已知圆 C：(x－1)2＋(y－1)2＝9，过点 A(2,3)作圆 C 的任意弦，则这些弦的中点 P 的 轨迹方程为________．
考点一 考点二
考点一 求圆的方程 教材剖析，必修2 P120例3 [剖析] 1.求圆的方程主要有直接法和待定系数法．本例就利用了直接法，直接求圆 心．(两直线交点)同时求出半径．
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2．求圆的方程的方法
方法
解读
适合题型
通过研究圆的性质、直线和圆、圆和圆的位置关
解析：(1)设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为(x，y)，则xy＝＝yx11－＋ 22 24，，
即xy11＝＝22yx＋－24，，
代入 x2＋y2＝4，得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1. (2)设 P(x，y)，圆心 C(1,1)．
因为 P 点是过点 A 的弦的中点，所以P→A⊥P→C. 又因为P→A＝(2－x,3－y)，P→C＝(1－x,1－y)． 所以(2－x)·(1－x)＋(3－y)·(1－y)＝0.
相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．
解析：(1)根据题意可设圆的方程为 x2＋(y－b)2＝1，因为圆过点 A(1,2)，所以 12＋(2－ b)2＝1，解得 b＝2，所以所求圆的方程为 x2＋(y－2)2＝1. (2)法一：几何法 设点 C 为圆心，因为点 C 在直线 x－2y－3＝0 上，所以可设点 C 的坐标为(2a＋3，a)． 又该圆经过 A，B 两点，所以|CA|＝|CB|， 即 2a＋3－22＋a＋32 ＝ 2a＋3＋22＋a＋52，解得 a＝－2， 所以圆心 C 的坐标为(－1，－2)，半径 r＝ 10， 故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
题设条件中有
若已知圆上三点坐标(或三点坐标易求)，选择一般方程
待定系数法
明显的代数特
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0；(2)由题目给出的条件，列出关
征
于 a，b，r 或 D，E，F 的方程组；(3)解出 a，b，r 或 D，
E，F，代入标准方程或一般方程
挖掘 求圆的方程/ 自主练透
[例] (1)圆心在 y 轴上，半径长为 1，且过点 A(1,2)的圆的方程是( )
D．x2＋y2－10x＝0
解析：根据题意，设圆心坐标为(0，r)，半径为 r，则 32＋(r－1)2＝r2，解得 r＝5，可 得圆的方程为 x2＋y2－10y＝0，故选 B.
答案：B
2．本小题(3)改为：在平面直角坐标系 xOy 中，过点 A(1,0)作直线 mx－y－2m－1＝0(m ∈R)的垂线，垂足为 B，以 A，B 的连线段为直径的所有圆中，半径最大的圆的一般 方程为________． 解析：因为直线 mx－y－2m－1＝0(m∈R)过定点 C(2，－1)，所以直径 AB 的最大值为|AC|＝ 2， 所以所求半径最大的圆的标准方程为 x－322＋y＋122＝12， 化为一般方程为 x2＋y2－3x＋y＋2＝0. 答案：x2＋y2－3x＋y＋2＝0