培优班一次函数的综合类问题

一次函数之面积问题

一、知识点睛

1.坐标系中处理面积问题，要寻找并利用横平竖直的线，

通常有以下三种思路：

①公式法（规则图形）；

②割补法（分割求和、补形作差）；

③转化法（例：同底等高）．

2.坐标系中面积问题的处理方法举例

①割补求面积（铅垂法）：

l1

l2

1

2

△APB

S ah

=

1

2

△APB

S ah

=

②转化求面积：

如图，满足S

△ABP

=S

△ABC

的点P都在直线l1，l2上．

二、精讲精练

1.如图，在平面直角坐标系中，已知A(-1，3)，B(3，-2)，则

△AOB的面积为___________

．

2.如图，直线y=-x+4与x轴、y轴分别交于点A，点B，点P的坐标为(-2，

2)，则S△P AB=___________．

3.如图，直线AB：y=x+1与x轴、y轴分别交于点A，点B，直线CD：y=kx-2与x

轴、y轴分别交于点C，点D，直线AB与直线CD交于点P．若S

△APD

=4.5，则k=__________．

4.如图，直线

1

1

2

y x

=+经过点A(1，m)，B(4，n)，点C的坐标为(2，5)，求△ABC

的面积．

5.如图，在平面直角坐标系中，已知A(2，4)，B(6，6)，

C(8，2)，求四边形OABC的面积．

一次函数之存在性问题

一、知识点睛

存在性问题：通常是在变化的过程中，根据已知条件，探索某种状态是否存在的题目，主要考查运动的结果.

一次函数背景下解决存在性问题的思考方向：

1.把函数信息（坐标或表达式）转化为几何信息；

2.分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形；

3.结合图形（基本图形和特殊状态下的图形相结合）的几何特征建立等式来解

决问题．

二、精讲精练

1.

如图，直线y=+x轴、y轴分别交于点A，点B，已知点P是第

一象限内的点，由点P，O，B组成了一个含60°角的直角三角形，则点P的坐标为_____________．

2.如图，直线y=kx-4与x轴、y轴分别交于B，C两点，且

4

3 OC

OB

.

（1）求点B的坐标和k的值．

（2）若点A是第一象限内直线y=kx-4上的一个动点，则当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是6？

（3）在（2）成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

3.如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC，OA分别与x轴、y

轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC

=，点C的坐标为(-9，

0)．

（1）求点B的坐标．

（2）若直线BD交y轴于点D，且OD=3，求直线BD的表达式．

（3）若点P是（2）中直线BD上的一个动点，是否存在点P，使以O，D，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

一次函数与几何综合

一、知识点睛

1. 一次函数表达式：y =kx +b （k ，b 为常数，k ≠0）

①k 是斜率，表示倾斜程度，可以用几何中的坡度（或坡比）来解释．坡面的竖直高度与水平宽度的比叫坡度或坡比，如图所示，AM 即为竖直高度，BM 即为水平宽度，则=

AM

k BM

，②b 是截距，表示直线与y 轴交点纵坐标． 2. 设直线l 1：y 1=k 1x +b 1，直线l 2：y 2=k 2x +b 2，其中k 1

，k 2≠0．

①若k 1=k 2，且b 1≠b 2，则直线l 1∥l 2； ②若k 1·k 2=-1，则直线l 1⊥l 2． 3. 一次函数与几何综合解题思路

从关键点出发，关键点是信息汇聚点，通常是函数图象与几何图形的交点．通过点的坐标和横平竖直的线段长的互相转化将函数特征与几何特征结合起来进行研究，最后利用函数特征或几何特征解决问题．

二、精讲精练

1. 如图，点B ，C 分别在直线y =2x 和y =kx 上，点A ，D 是x 轴上的两点，已

知四边形ABCD 是正方形，则k 的值为______．

2. 如图，已知直线l ：y x =与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，将△AOB 沿直线l 折叠，点O 落在点C 处，则直线CA 的表达式为__________________．

M

A

B

3.如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，E是AB上的一点，且BE:EA=5:3，

EC

=把△BCE沿折痕EC向上翻折，点B恰好落在AD边上的点F处．若

以点A为原点，以直线AD为x轴，以直线BA为y轴建立平面直角坐标系，则直线FC的表达式为__________________．

4.如图，矩形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点与原点O重合，AB=2，AD=1，

过定点Q(0，2)和动点P(a，0)的直线与矩形ABCD的边有公共点．

（1）a的取值范围是________________；

（2）若设直线PQ为y=kx+2（k≠0），则此时k的取值范

围是________________．