公开课3.3.2简单的线性规划问题(1)解析

点 P(x, y) 在 ABC 内部及边界运动，请你探究并讨论
以下问题：
①z x y 在 _点__A___处有最大值__6___，
在_边__界__B_C处有最小值___1__ __；
②z x y 在_点__C__处有最大值_____1____，
在_____点__B_处有最小值____-_3___；
在线性约束下求线性目标函数 的最值问题,统称为线性规划,
二、基本概念
一组关于变量x、y的一次不等式，称为线性约束条件。
把求最大值或求最小值的函数称为目标函数，因为它是 关于变量x、y的一次解析式，又称线性目标函数。
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问
题，统称为线性规划问题。
y
满足线性约可束行的域解 4 3
y x+y=1
x-y=0
（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域1；
（2）移：在线性目标函数所表 示的一组平行线中，利用平移的
0 1
x
(2,-1)
方法找出与可行域有公共点且纵 (-1,-1)
截距最大或最小的直线；
2x+y=0
（3）求：通过解方程组求出最优解；
（4）答：作出答案。 11
课堂练习2： 设z=2x-y，式中变量x，y满足下列条件
x 4 y 3
3x 5y 25 x 1
y x 1 C
求z的最大值和最小值.
x 4y 3 0
z表示直线y 2x z在y轴上
•B
•A
3x 5y 25 0
的截距
O
x
A(5,2) C(1, 22)
5
zmin
21
22 5
12 5
zmax 25 2 12
小结
图解法求解线性规划应用问题的基本步骤：
设工厂获得的利润为z，则z＝2x＋3y
把z＝2x＋3y变形为
y 2 x z 33
它表示斜率为 轴上的截距为
z
2
3的在直y
线。
3
y
当z变化时，可以得
4
到一族互相平行的
直线。
3
M
令z=0,作直线2x+3y=0
o
4
2x+3y=0
8x
由上图可以看出，当经过直线x=4与直线x+2y-8=0的
交点M（4，2）时，截距 z 的值最大，最大值为 14 ，
y
A (2 , 4)
③ 你能y 否设A 计一个目标函数y，x yA 3
使得其取最优(2,4) 解的情况有无穷多个(2？,4) (1 , 2)
④ (请1, 2B)你分别x y设 6 计目标函数(1，, 2B) 使得
B
x y 1
最值点分别在A处、B处、C处取得？
0C
(1, 0)
x
x y 1
（ 图2 ）
最优解
（x，y）叫做可行解。
由所有可可行行解解组成
的集合叫做可行域。
o
4
8x
使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫
做这个问题的最优解。
例题
1.求z=2x+y的最大值和最小值,使 x, y 满足线性约束条件
x y 0
目标函数所表 示的几何意义 ——在y轴上
x
y
1
0
y 1
的截距.
解线性规划问题的步骤：
x 2y 8
y
xy
4 3
x+2y=8 4
3
x=4 y=3
x 0
y 0
o
4
8x
提出新问题： 若生产一件甲产品获利2万元，生产 一件乙产品获利3万元，采用那种生产安排利润最大？
A配件 （个）
甲产品 4 乙产品
限 制 16
B配件 （个）
4 12
耗时（h) 利润（万元）
1
2万元
2
3万元
8
设工厂获得的利润为z，则z＝2x＋3y
A配件 （个）
甲产品 4 乙产品
限 制 16
B配件 （个）
4 12
耗时（h)
1 2 8
设甲、乙两种产品分别生产x、y件，由已知条件可 得二元一次不等式组
x＋2y 8
44xy
16 12
x 0
y 0
x 2y 8
x y
4 3
x
0
y 0
将不等式组表示成平面上的区域,区域内所有坐标 为整数的点P(x,y),安排生产任务x,y都是有意义的.
你知道其几何意义吗？
你能否借助其几何意义求得zmin和zmax？
如果是z y 1或z 2 y 3呢？
x
x 1
练习3.若可行域是有(1,1)(5,2)(2,5)三点围成 的封闭的三角形。目标函数z=ax+y(a>0) 取得最大值的最优解有无数个，则a=______
如图1所示，已知 ABC中的三顶点 A(2 , 4), B(1,2),C(1,0) ，
(1)建立数学模型（设变量，建立线性约束条件及线性 目标函数） (2)图形工具（作出可行域及作目标函数过原点的直线 l0 )
(3)平移求解（确定 的平移方向，依据可行域找出取得 最优解的点）
(4)确定最值（解相关方程组，求出最优解，代入目标函 数求最值）
思考：学案P53
（思考题）若目标函数是z x2 y2，
y
o
x
知识回顾： 1.二元一次不等式表示的区域及判定方法：
二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角
坐标系中表示 __直__线__A_x_+B__y+_C_=_0_某__一_侧__所___ 有__点__组_成__的_平__面__区_域__。____
确定区域步骤： __直__线_定__界___;__特_殊__点_定__域__ 若C≠0，则 __直__线_定__界__、__原_点__定__域__.
3
3
( Zmax=2x+3y=2×4+3×2=14 )
这时2x+3y=14.所以，每天生产甲产品4件，乙产品2 件时，工厂可获得最大利润14万元。
y
4 3
M（4, 2）
o
4
8x
x2y 8
44
x y
16 12
象这样关于x,y一次不等 式组的约束条件称为 线性约束条件
Hale Waihona Puke Baidu
x
0
y 0
Z=2x+3y称为目标函数,(因这里 目标函数为关于x,y的一次式,又 称为线性目标函数
2.二元一次不等式组表示平面区域：
各个不等式所表示平面区域的公共部分。
一、实际问题
某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每 生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙 产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂 获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该 厂所有可能的日生产安排是什么？
0C
(1 , 0)
x
0
C(1 , 0)
（图1）
⑤ （思考题）若目标函数是z x2 y2，
你知道其几何意义吗？
你能否借助其几何意义求得zmin和zmax？
如果是z y 1 或z 2 y 3呢？
x
x 1
练习3.若可行域是有(1,1)(5,2)(2,5)三点围成 的封闭的三角形。目标函数z=ax+y(a>0) 取得最大值的最优解有无数个，则a=______