公开课3.3.2简单的线性规划问题(1)解析
3.3.2简单的线性规划问题
x 1
2
y
2
x 1 y
2 2
2
y
x 2y +7 0
A （9, 8）
B
P
(-1，0)
.o
4x-3 y-12 0
C x
x 2y-3=0
19
迁移变式
已知变量 x，y 满足约束条件 y 6 ，则 的最大值是 ________ ，最小值是 x
12
练习3： 求z=3x+5y的最大值和最小值,使x、y满足约束条件
3 z z x 2 y y - x+ 5 5
y 5
5 x 3 y 15, y x 1, x 5 y 3.
y x 1
B (1.5,2.5) 1 o C 3 x
x 5y 3
15
x－ 2y＋7≥0， 已知 x、y 满足约束条件4x－3y－12≤0， x＋ 2y－3≥0
求：
(1)
t＝x2＋y2 的最值；
(2) (3)
y＋3 z＝ 的最值． x＋3 z＝x ＋y ＋2x＋1 的最值
2 2
[分析] 把所求问题赋给相关的几何意义， 即转化为几何问题解决：距离（平方）与斜率． 16
3.3.2 简单的线性规划问题
1
一.情境引入
1.在同一坐标系内作出下列直线，你能得到什么结论？ 2x+y=0;2x+y=1;2x+y=-3;2x+y=4;2x+y=7 Y
结论 : 形如2 x y t (t 0) 的直线与2 x y 0平行.
o
问题：你知道2x+y=t中t的几何意义吗？ 2x-y=t中t的几何意义呢？
人教版高中数学必修5第三章不等式《3.3.2 简单的线性规划问题》教学PPT
思考5：作可行域，使目标函数取最小
值的最优解是什么？目标函数的最小值
为多少？ 28x＋21y=0
7x＋14y＝6
y
A最最优小解值1(671.,
4 7
)，
7x 7 x
7y 5 14 y 6
14x 7 y 6
x 0, y 0
x＝4
思考3：图中阴影区域内任意一点的坐
标都代表一种生产安排吗？
y
x 2y 8
0 x 4 0 y 3 x N , y N O
y＝3 x
x＋2y＝8 x＝4
阴影区域内的整点（坐标为整数的点） 代表所有可能的日生产安排.
思考4：若生产一件甲产品获利2万元， 生产一件乙产品获利3万元，设生产甲、 乙两种产品的总利润为z元，那么z与x、 y的关系是什么？
3.3.2 简单的线性规划问题
第一课时
问题提出
1.“直线定界，特殊点定域”是画二元 一次不等式表示的平面区域的操作要点， 怎样画二元一次不等式组表示的平面区 域？
2.在现实生产、生活中，经常会遇到资 源利用、人力调配、生产安排等问题， 如何利用数学知识、方法解决这些问题， 是我们需要研究的课题.
探究（一）：线性规划的实例分析 t
5730
【背景材料】某工厂用A、B两种配件 生产甲、乙两种产品，每生产一件甲 产品使用4个A配件耗时1h；每生产一 件乙产品使用4个B配件耗时2h.该厂每 天最多可从配件厂获得16个A配件和12 个B配件，每天工作时间按8h计算.
思考1：设每天分别生产甲、乙两种产 品x、y件，则该厂所有可能的日生产 安排应满足的基本条件是什么？
2x y 15
3.3.2简单的线性规划问题ppt
作出约束条件所表示的平面区域，如图所示
2
4
6
8
将上述不等式组表示成平面上的区域，图中的阴影部 分中的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日 生产安排，即当点P（x,y)在上述平面区域中时，所 安排的生产任务x,y才有意义。
4
【进一步】： 若生产一件甲产 品获利2万元，生 产一件乙产品获 利3万元，采用哪 种生产安排获得 利润最大？
经过可行域内的整点B(3,9)和C(4,8)时，t=x+y=12是最优解.答:(略)
例7、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车 皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t；生产 1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐 15t。现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产 这两种混合肥料。若生产1车皮甲种肥料利润为10000 元；生产1车皮乙种肥料利润为5000元。分别生产甲、 乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？ 解：设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合 肥料的车皮数，于是满足以下条件： y
三、例题 例5、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提 供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg 的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg 蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1千克食物B含有 0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪， 花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求， 同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少 kg？
工厂的厂长，你将会面对 1 4 0 生产安排、资源利用、人 力调配的问题 …… 4 2 0
x, y 0
作出约束条件所表示的平面区域，如图所示
设甲、乙两种产品的日生产分别为 x , y 件，
3.3.2 简单的线性规划问题 课件
简单的线性规划问题
线性规划问题的有关概念： 1．线性约束条件：不等式组是一组对变量x、y的约束条件， 这组约束条件都是关于x、y的 一次不等式 ．
2．目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解
析式，
线性目标函数是x、y的
一次
解析式．
条 件
3．线性规划问题：求线性目标函数在
线性约束
由约束条件画出可行域(如图6所示 )，为矩形 ABCD(包
括边界)．点C的坐标为(3,1)，z最大时，即平移y＝－ax时使直线在
y轴上的截距最大， ∴－a<kCD，即－a<－1，∴a>1.
[答案]
a>1
[评析 ]
这是一道线性规划的逆向思维问题．解答此类问题
必须要明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得， 运用数形结合的思想方法求解．
[解] 设隔出大房间 x 间，小房间 y 间，获得收 益为 z 元，则
18x＋15y≤180， 1000x＋600y≤8000， x≥0，y≥0，且x，y∈N， 6x＋5y≤60，① 即5x＋3y≤40，② x≥0，y≥0，且x，y∈N.
目标函数为 z＝200x＋150y， 画出可行域如右图 8 所示．
解析：如图3所示．
作出可行域，作直
线 l0： x＋ y＝ 0，平移 l0， 当 l0 过点 A(2,0) 时， z 有最 小值2，无最大值． 答案：B
x－y＋5≥0， [例 2] 设 x，y 满足条件x＋y≥0， x≤3.
(1)求 u＝x2＋y2 的最大值与最小值； y (2)求 v＝ 的最大值与最小值． x－5
(1)求目标函数 z＝2x＋3y 的最小值与最大值； (2)求目标函数 z＝3x－y 的最小值与最大值；
《3.3.2简单的线性规划问题》教案
课题名称：简单的线性规划问题(教案)
高一数学备课组（潘洪存）
三维教学目标
知识与技能：①了解线性规划的意义以及约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等相关的基本概念；
②在巩固二元一次不等式（组）所表示的平面区域的基础上，能从实际优化问题中抽象出约束条件和目标函数，并依据目标函数的几何含义直观地运用图解法求出最优解；③掌握对一些实际优化问题建立线性规划数学模型并运用图解法进行求解的基本方法和步骤。
过程与方法：①培养学生的形象思维能力、绘图能力和探究能力；②强化数形结合的数学思想方法；
③提高学生构建（不等关系）数学模型、解决简单实际优化问题的能力。
情感、态度与价值观：①在感受现实生产、生活中的各种优化、决策问题中体验应用数学的快乐；②在运用求解线性规划问题的图解方法中，感受动态几何的魅力；③在探究性练习中，感受多角度思考、探究问题并收获探究成果的乐趣。
教学重点及应对策略
1、教学重点：根据实际优化问题准确建立目标函数，并依据目标函数的几何含义直观地运用图解法求出最优解；
教学难点：①借助线性目标函数的几何含义准确理解线性目标函数在y轴上的截距与z最值之间的关系；②用数学语言表述运用图解法求解线性规划问题的过程。
教学过程设计。
高中数学课件归纳必修5第三章不等式3.3.2简单线性规划(第1课时)课件
（1课时）
y
o
x
一、问题引入
问题1:
某工厂用A,B两种配件生产甲,乙两种产品,每生产 一件甲种产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙种产 品使用4个B配件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得 16个A配件和12个B配件,按每天工作8小时计算,该厂所 有可能的日生产安排是什么?
3.线性规划
在线性约束下求线性目标函数的最值问题, 统称为线性规划.
4.可行解 5.可行域 6.最优解
满足线性约束的解(x,y)叫做可行解. 所有可行解组成的集合叫做可行域.
使目标函数取得最值的可行解叫做这个问 题的最优解.
变式：若生产一件甲产品获利1万元，生产一件乙 产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？
B组 3
把z=2x+3y变形为y=-
2 3
x+
z 3
,这是斜率为-
2 3
,
在y轴上的截距为
z 3
的直线,
当点P在可允 许的取值范 围内
求
z 的最值 3
求
z的最值.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 问题：求利润z=2x+3y的最大值.
y
x 2 y 8，
4
44
x y
16， 12，
3
x
0，
0
y 0.
Zmax 4 2 2 3 14.
（2）移：在线性目标函数所表示的一组平行线 中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵 截距最大或最小的直线；
（3）求：通过解方程组求出最优解；
（4）答：作出答案。
体 验:
一、先定可行域和平移方向，再找最优解. 二、最优解一般在可行域的顶点处取得.
3.3.2简单的线性规划问题1
线性约束条件.
线性规划问题
x 2 y 8 4 x 16 4 y 12 x0 y0
y
x =4
y=3
可行 域
x+2y-8=0
x
O
可行解 如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数
的点）就代表所有可能的日生产安排。
（4）尝试解答：
（1车皮甲种肥料产生利润1万元，乙种肥料产生利润0.5万元）
【例3】一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1 车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t；生 产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐 15t。现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产 这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式， 并画出相应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料 各多少车皮，能够产生最大的利润？ 解：设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合 肥料的车皮数，于是满足以下条件： y
4 x＋y 10 18x 15y 66 ＋ x 0 y 0
x
o
解：设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮，能够产 生利润Z万元。目标函数为Z＝x＋0.5y，可行域如图： 把Z＝x＋0.5y变形为y＝－2x＋2z，它表示斜率为 －2，在y轴上的截距为2z的一组直线系。
五.课堂练习
1.解下列线性规划问题： （ ）求z 2 x y的最大值，使 、y 1 x y x, 满足约束条件 x y 1, y 1. （2）求z 3 x 5 y的最大值和最小值， 5 x 3 y 15, 使x、y满足约束条件 y x 1, x 5 y 1.
（2）画出不等式组所表示的平面区域：
x 2 y 8 4 x 16 4 y 12 x0 =0
高二数学人教A必修5课件：3.3.2 简单的线性规划问题 (一)
的可行解 条件下求线性目标函
数的最大值或最小值问题
2.目标函数的最值 线性目标函数z＝ax＋by (b≠0)对应的斜截式直线方程是y ＝ ，在y轴上的截距是 ，当z变化时，方程表示一 的直线.
a z － x＋ 组 b b
最
当b互相平行 >0，截距最大时，z取得最
z b
值，截距最小时，z取得 值，截距最小时，z取得
答 如图，由于这些直线的斜率是确定 的，因此只要给定一个点，就能确定一 条直线，因而确定出唯一截距 ，
z 3
z 与不等式组(1)表示的区域的交点 x ＋ 3 3 坐标满足不等式组(1)，而且当截距最大时 z，z取得最大值. 3 z 因此，在区域内找一个点 P，使直线经过点 P 时截距3最大.
2 z 由图可以看出，当直线 y＝－3x＋3经过直线 x＝4 与直线 x z 14 ＋2y－8＝0 的交点 M(4,2)时， 截距 的值最大， 最大值为 ， 3 3 这时 2x＋3y＝14.所以，每天生产甲产品 4 件，乙产品 2 件 时，工厂可获得最大利润 14 万元.
探究点一
线性规划中的基本概念
问题 某工厂用A、B两种配件生产甲，乙两种产品，每生
产一件甲种产品使用4个A配件耗时1 h，每生产一件乙种产
品使用4个B配件耗时2 h，该厂每天最多可从配件厂获得16 个A配件和12个B配件，按每天工作8小时计算，该厂所有 可能的日生产安排是什么？若生产1件甲种产品获利2万元 ，生产1件乙种产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最 大？
任务x，y都是有意义的，就代表所有可能的日生产安排.
思考3
采用哪种生产安排利润最大问题应当转化成怎样的
问题来解答？
答 设生产甲产品 x件，乙产品y件时，工厂获得的利润为 z
3.3.2简单的线性规划问题(1).ppt1
y
o
x
1.课题导入
在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、 生产安排等问题。 1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题：
某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每 生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙 产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂 获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该 厂所有可能的日生产安排是什么？ 按甲、乙两种产品分别生产x、y件，由 已知条件可得二元一次不等式组
5 x＋3 y 1 5 1 y x＋ x－5 y 3
1.解：作出平面区域
y
A
o x C
y x x＋y 1 y － 1
z＝2x＋y
B
作出直线y=－2x＋z的 图像，可知z要求最大值， 即直线经过C点时。 求得C点坐标为（2，－1）， 则Zmax=2x＋y＝3
把z＝2x＋3y变形为
由上图可以看出，当实现直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M z 14 （4，2）时，截距的值最大 ，最大值为 ， 3 3
这时 2x+3y=14. 所以，每天生产甲产品 4 件，乙产品 2 件时， 工厂可获得最大利润14万元。
二、基本概念
Hale Waihona Puke 一组关于变量x、y的一次不等式，称为线性约束 条件。 把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数，因 为它是关于变量x、y的一次解析式，又称线性目标函数。 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值 y 问题，统称为线性规划问题。 4 可行域 最优解 满足线性约束的解
3
（x，y）叫做可行解。 由所有可行解组成 可行解 的集合叫做可行域。
学案4：3.3.2 简单的线性规划问题
3.3.2 简单的线性规划问题学习目标：1．了解线性规划的意义．2．了解线性规划问题中一些术语的含义．3．会解决一些简单的线性规划问题．学习重难点：1．求目标函数的最值．(重点、难点)2．目标函数的最值与其对应直线截距的关系(易错点).学习过程：自学导引1．解决线性规划问题的一般方法解决线性规划问题的一般方法是图解法，其步骤如下：(1)确定线性约束条件，注意把题中的条件准确翻译为不等式组；(2)确定线性目标函数；(3)画出可行域，注意作图准确；(4)利用线性目标函数(直线)求出最优解；(5)实际问题需要整数解时，应调整检验确定的最优解(调整时，注意抓住“整数解”这一关键点)．说明：求线性目标函数在约束条件下的最值问题的求解步骤是：①作图——画出约束条件(不等式组)所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l.②平移——将直线l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置．③求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．2．线性规划的应用线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何利用它们完成更多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务，常见的问题有：(1)物资调运问题：(2)产品安排问题；(3)下料问题．例题探究：题型一 求线性目标函数的最值例1：已知关于x ，y 的二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ≤4，x －y≤1，x ＋2≥0.(1)求函数u ＝3x －y 的最大值和最小值；(2)求函数z ＝x ＋2y 的最大值和最小值．规律方法：图解法是解决线性规划问题的有效方法．其关键在于平移目标函数对应的直线ax ＋by ＝0，看它经过哪个点(或哪些点)时最先接触可行域和最后离开可行域，则这样的点即为最优解，再注意到它的几何意义，从而确定是取得最大值还是最小值．变式1：已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 5x ＋3y ≤15，y ≤x ＋1，x －5y ≤3.求z ＝3x ＋5y 的最大值和最小值．题型二 非线性目标函数的最值问题例2：已知⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，求：(1)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值；(2)z ＝2y ＋1x ＋1的取值范围．规律方法：非线性目标函数的最值问题，要充分理解非线性目标函数的几何意义，诸如两点间的距离(或平方)．点到直线的距离，过已知两点的直线斜率等．常见代数式的几何意义主要有：(1) (x －a )2＋(y －b )2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离；x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)的距离．(2)y －b x －a表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率；y x 表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率．这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键．变式2：如果点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，2y －1≥0上，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，求|PQ |的最小值．题型三 线性规划的实际应用例3：某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C .另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C .如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？题后反思：用图解法解线性规划应用题的具体步骤为：(1)设元，并列出相应的约束条件和目标函数；(2)作图：准确作图，平移找点；(3)求解：代入求解，准确计算；(4)检验：根据结果，检验反馈．变式3：某公司计划2012年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大．最大收益是多少万元？方法技巧：数形结合思想在线性规划中的应用数形结合的主要解题策略是：数形问题的解决；或：形数问题的解决．数与形结合的基本思路是：根据数的结构特征构造出与之相适应的几何图形，并利用直观特征去解决数的问题；或者将要解决的形的问题转化为数量关系去解决．课堂检测：1.已知－1≤x＋y≤4且2≤x－y≤3，且z＝2x－3y的取值范围是________(答案用区间表示)．2.目标函数z=3x-y,将其看成直线方程时,z的意义是()A．该直线的截距B．该直线纵截距C．该直线的纵截距的相反数D．该直线横截距3.若点(x,y)在曲线y=-|x|与y=-2所围成的封闭区域内(包括边界),则2x-y的最大值为() A．-6B．4C．6D．8参考答案例题探究：例1：解： (1)作出二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ≤4，x －y≤1，x ＋2≥0.表示的平面区域，如图所示．由u ＝3x －y ，得y ＝3x －u ，得到斜率为3，在y 轴上的截距为－u ，随u 变化的一组平行线， 由图可知，当直线经过可行域上的C 点时，截距－u 最大，即u 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝4，x ＋2＝0，得C (－2,3)， ∴u min ＝3×(－2)－3＝－9. 当直线经过可行域上的B 点时，截距－u 最小，即u 最大，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝4，x －y ＝1，得B (2,1)， ∴u max ＝3×2－1＝5.∴u ＝3x －y 的最大值是5，最小值是－9.(2)作出二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ≤4，x －y≤1，x ＋2≥0.表示的平面区域，如图所示．由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋12z ，得到斜率为－12，在y 轴上的截距为12z ，随z 变化的一组平行线．由上图可知，当直线经过可行域上的A 点时，截距12z 最小，即z 最小， 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，x ＋2＝0，得A (－2，－3)， ∴z min ＝－2＋2×(－3)＝－8.当直线与直线x ＋2y ＝4重合时，截距12z 最大，即z 最大， ∴z max ＝x ＋2y ＝4，∴z ＝x ＋2y 的最大值是4，最小值是－8.变式1：解： 由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 5x ＋3y ≤15，y ≤x ＋1，x －5y ≤3.作出可行域，如图所示．∵目标函数为z ＝3x ＋5y ，∴作直线l ：3x ＋5y ＝t (t ∈R )．平移直线l ，在可行域内以经过点A ⎝⎛⎭⎫32，52的直线l 1所对应的t 最大．类似地，在可行域内，以经过点B (－2，－1)的直线l 2所对应的t 最小．∴z max ＝3×32＋5×52＝17，z min ＝3×(－2)＋5×(－1)＝－11. 例2：解：(1)作出可行域如图所示，A (1,3)，B (3,1)，C (7,9)．z ＝x 2＋(y －5)2表示可行域内任一点(x ，y )到点M (0,5)的距离的平方，过M 作AC 的垂线，易知垂足在AC 上，故MN ＝|0－5＋2|1＋(－1)2＝32＝322. ∴MN 2＝⎝⎛⎭⎫3222＝92， ∴z 的最小值为92. (2)z ＝2·y －⎝⎛⎭⎫－12x －(－1)表示可行域内点(x ，y )与定点Q ⎝⎛⎭⎫－1，－12连线斜率的2倍，∵k QA ＝74，k QB ＝38， ∴z 的取值范围是⎣⎡⎦⎤34，72.变式2：解：画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，2y －1≥0所表示的平面区域，x 2＋(y ＋2)2＝1所表示的曲线为以(0，－2)为圆心，1为半径的一个圆．如图所示，只有当点P 在点A ⎝⎛⎭⎫0，12，点Q 在点B (0，－1)时，|PQ |取最小值32.例3：解：设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费用为z 元，则依题意得：z ＝2.5x ＋4y ，且x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54.即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.让目标函数表示的直线2.5x ＋4y ＝z 在可行域上平移．由此可知z ＝2.5x ＋4y 在B (4,3)处取得最小值．因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．变式3：解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤300，500x ＋200y ≤90 000，x ≥0，y ≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤300，5x ＋2y ≤900，x ≥0，y ≥0. 目标函数为z ＝3 000x ＋2 000y .作出可行域如图所示：作直线l ：3 000x ＋2 000y ＝0，即3x ＋2y ＝0.平移直线l ，由图可知当l 过点M 时，目标函数z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝300，5x ＋2y ＝900.得M (100,200)． ∴z max ＝3 000×100＋2 000×200＝700 000(元)．答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．课堂检测：1.【解析】作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋y ≤42≤x －y ≤3表示的可行域，如图中阴影部分所示．在可行域内平移直线2x －3y ＝0，当直线经过x －y ＝2与x ＋y ＝4的交点A (3,1)时，目标函数有最小值，z min ＝2×3－3×1＝3；当直线经过x＋y＝－1与x－y＝3的交点B(1，－2)时，目标函数有最大值，z max＝2×1＋3×2＝8.所以z∈[3,8]．【答案】[3,8]2.【解析】由z=3x-y得y=3x-z,在该方程中-z表示直线的纵截距,因此z表示该直线的纵截距的相反数.故选C.【答案】C3.【解析】如图点(x,y)在阴影部分区域内,设2x-y=z,则y=2x-z.当直线y=2x-z过点A(2,-2)时-z最小,此时z最大.z最大=2×2-(-2)=6.故选C.【答案】C。
教学设计3：3.3.2 简单的线性规划问题（一）
3.3.2 简单的线性规划问题(一)教学目标1.了解线性规划的意义.2.理解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.3.掌握线性规划问题的图解法.4.会画常见非线性约束条件的可行域及解释其目标函数的几何意义．教学引导知识点一线性约束条件及目标函数1．在上述问题中，不等式组①是一组对变量x，y的约束条件，这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，故又称线性约束条件．2．在上述问题中，②是要研究的目标，称为目标函数．因为它是关于变量x，y的一次解析式，这样的目标函数称为线性目标函数．知识点二可行解、可行域和最优解满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做线性规划问题的最优解．在上述问题的图中，阴影部分叫可行域，阴影区域中的每一个点对应的坐标都是一个可行解，其中能使②式取最大值的可行解称为最优解．知识点三线性规划问题与图解法一般地，在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题．在确定了线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤概括为“画、移、求”．(1)画：在直角坐标平面上画出可行域和直线ax＋by＝0(目标函数为z＝ax＋by)；(2)移：平行移动直线ax＋by＝0，确定使z＝ax＋by取得最大值或最小值的点；(3)求：求出取得最大值或最小值时的点的坐标(解方程组)及最大值或最小值．教学检测1．可行解是可行域的一个元素．(√)2．最优解一定是可行解．(√)3．目标函数z＝ax＋by中，z为在y轴上的截距．(×)4．当直线z＝ax＋by在y轴上的截距最大时，z也最大．(×)教学案例题型一 求线性目标函数的最值例1 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，4x ≤16，4y ≤12，x ≥0，y ≥0，该不等式组所表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，求2x ＋3y 的最大值．解 设区域内任一点P (x ，y )，z ＝2x ＋3y ，则y ＝－23x ＋z3，这是斜率为－23，在y 轴上的截距为z3的直线，如图．由图可以看出，当直线y ＝－23x ＋z3经过直线x ＝4与直线x ＋2y －8＝0的交点M (4,2)时，截距z3的值最大，此时2x ＋3y ＝14. 反思感悟 (1)由于求最优解是通过图形来观察的，故画图要准确，否则观察的结果可能有误．(2)作可行域时要注意特殊点与边界．(3)在可行域内求最优解时，通常转化为直线在y 轴上的截距的最值问题来研究，故一定要注意直线在y 轴上的截距的正负，否则求出的结果恰好相反． 跟踪训练1 若x ，y 满足x ＋1≤y ≤2x ，则2y －x 的最小值是________． 【答案】3【解析】由条件得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≤y ，y ≤2x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，2x －y ≥0，作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示．设z ＝2y －x ，即y ＝12x ＋12z ，作直线l 0：y ＝12x 并向上平移，显然当l 0过点A (1,2)时，z 取得最小值，z min ＝2×2－1＝3.题型二 已知线性目标函数的最值求参数例2 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤4，－2≤x －y ≤2，若目标函数z ＝ax ＋y (a >0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为________． 【答案】(1，＋∞)【解析】作出不等式组表示的平面区域，即可行域(如图阴影部分含边界所示)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝2，x ＋y ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，即C (3,1)，目标函数为z ＝ax ＋y (a >0)，由题意可知，当直线y ＝－ax ＋z 经过点C 时，z 取得最大值， ∴－a <k CD ，即－a <－1，则a 的取值范围为(1，＋∞)．反思感悟 (1)线性目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)对应的斜截式直线方程是y ＝－a b x ＋zb ，在y 轴上的截距是zb，当z 变化时，方程表示一组互相平行的直线．(2)若b >0，则当截距最大时，z 取得最大值，当截距最小时，z 取得最小值；若b <0，则当截距最大时，z 取得最小值，当截距最小时，z 取得最大值．跟踪训练2 在本例条件下，若使目标函数z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的点有无数个，则a 的值为________． 【答案】1【解析】如上例中图形，若使z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的点有无数个，则必有直线z ＝ax＋y 与直线x ＋y ＝4重合，所以－a ＝k CD ，即－a ＝－1，此时a ＝1. 题型三 求非线性目标函数的最值例3 已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0.则z ＝y ＋1x ＋1的最大值为________，最小值为________． 【答案】3 12【解析】作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示，由于z ＝y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)，故z 的几何意义是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率， 因此y ＋1x ＋1的最值是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率的最值，由图可知，直线MB 的斜率最大，直线MC 的斜率最小， 又∵B (0,2)，C (1,0)，∴z max ＝k MB ＝3，z min ＝k MC ＝12.∴z 的最大值为3，最小值为12.反思感悟 对于形如cx ＋dy ＋fax ＋b 的目标函数，可变形为定点到可行域上的动点连线斜率问题．跟踪训练3 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥0，x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，则y ＋2x ＋2的最大值为( ) A ．1 B ．45 C ．12 D ．23【答案】B【解析】画出可行域如图(阴影部分含边界)所示：联立⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x ＋y －2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝43，y ＝23，则B ⎝⎛⎭⎫43，23.y ＋2x ＋2表示可行域内的点(x ，y )与C (－2，－2)连线的斜率，从图象可以看出，经过点B ⎝⎛⎭⎫43，23时，y ＋2x ＋2有最大值45.类比：思想方法的迁移方式之一典例 若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≤0，x －y ＋1≥0，y ≥－1，则z ＝2|x |＋y 的取值范围是( )A ．[－1,3]B ．[1,11]C ．[1,3]D ．[－1,11] 【答案】D【解析】作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，当x ≥0时，z ＝2x ＋y ，即y ＝－2x ＋z ，由图象可知其经过A (0，－1)时，z min ＝－1，经过B (6，－1)时，z max ＝11；当x ≤0时，y ＝2x ＋z ，由图象可知其经过C (－2，－1)时，z max ＝3，经过A (0，－1)时，z min ＝－1，综上所述，－1≤z ≤11.[素养评析] 逻辑推理主要有两类：演绎是从一般到特殊，归纳与类比是从特殊到一般．其中类比是从此类到彼类，找到两类之间的关联．本例中的目标函数乍看新颖，但只要去掉绝对值，就变成常规的截距型，我们只要把解截距型问题的思想方法迁移过来即可.当堂检测1．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则x ＋2y 的最大值是( )A ．－52B ．0C ．53D ．52【答案】C【解析】画出可行域如图阴影部分(含边界)所示．设z ＝x ＋2y ，即y ＝－12x ＋12z ，平行移动直线y ＝－12x ＋12z ，当直线y ＝－12x ＋z2过点B ⎝⎛⎭⎫13，23时，z 取最大值53，所以(x ＋2y )max ＝53.2．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为( )A ．6B ．7C ．8D ．23 【答案】B【解析】作出可行域如图阴影部分(含边界)所示．由图可知，z ＝2x ＋3y 经过点A (2,1)时，z 有最小值，z 的最小值为7. 3．已知a ，b 是正数，且满足2<a ＋2b <4，那么b ＋1a ＋1的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫15，3B.⎝⎛⎭⎫13，2C.⎝⎛⎭⎫15，2D.⎝⎛⎭⎫13，3 【答案】A【解析】画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2<a ＋2b <4，a >0，b >0表示的平面区域，如图阴影部分所示(不含边界).b ＋1a ＋1的几何意义是可行域内的点M (a ，b )与点P (－1，－1)连线的斜率，由图得，当点M 与点B (0,2)重合时，b ＋1a ＋1最大；当点M 与点A (4,0)重合时，b ＋1a ＋1最小．由图知k PB ＝2＋10＋1＝3，k P A ＝0＋14＋1＝15，因为a ，b 是正数，且点A ，B 不在可行域内，所以15<b ＋1a ＋1<3，故选A.4．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－32，6 B.⎣⎡⎦⎤－32，－1 C ．[－1,6] D.⎣⎡⎦⎤－6，32 【答案】A【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示，由z ＝3x －y ，可得y ＝3x －z ，则－z 为直线y ＝3x －z 在y 轴上的截距，截距越大，z 越小，结合图形可知，当直线y ＝3x －z 平移到B 时，z 最小，平移到C 时，z 最大，可得B ⎝⎛⎭⎫12，3，z min ＝－32，C (2,0)，z max ＝6，∴－32≤z ≤6.5．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，x ≤4，y ≤4，则z ＝y －1x －1的最大值是________．【答案】3【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包括边界)．z ＝y －1x －1可看作可行域上的点(x ，y )与定点B (1,1)连线的斜率．由图可知z ＝y －1x －1的最大值为k AB ＝3. 课堂小结1．用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤 (1)寻找线性约束条件，线性目标函数；(2)作图——画出约束条件(不等式组)所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l ；(3)平移——将直线l 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置；(4)求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值． 2．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解．3．对于非线性约束条件，仍然用“方程定界，特殊点定域”.。
3.3.2-简单的线性规划问题-课件
[例4] 某人有楼房一幢，室内面积共180 m2，拟分隔成两类 房间作为旅游客房．大房间每间面积为18 m2，可住游客5名，每 名游客每天住宿费为40元；小房间每间15 m2，可住游客3名，每 名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需1000元，装修小房 间每间需600元．如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满 客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，才能获得最大收益？
x≥0
迁移变式 3 已知点 P(x，y)满足条件y≤x
(k
2x＋y＋k≤0
为常数)，若 x＋3y 的最大值为 8，则 k＝________.
解：作出可行域如图 7 所示， 作直线 l0：x＋3y＝0， 平移 l0 知当 l0 过点 A 时，x＋3y 最大， 由于 A 点坐标为(－3k，－3k)． ∴－3k－k＝8，从而 k＝－6.
[例3] 已知变量x，y满足约束条件1≤x＋y≤4，－2≤x－y≤2.若 目标函数z＝ax＋y(其中a>0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取值 范围为________．
[分析] 由题目可获取以下主要信息： ①可行域已知； ②目标函数在(3,1)处取得最大值． 解答本题可利用逆向思维，数形结合求解．
解方程组－4x＋4x＋3y＝3y＝361. 2， 得 D 点坐标为(3,8) ∴zmax＝2x＋3y＝30 当直线经过可行域上的点 B 时，截距3z最小，即 z 最 小．由已知得 B(－3，－4) ∴zmin＝2x＋3y＝2×(－3)＋3×(－4)＝－18. (2)同理可求 zmax＝40，zmin＝－9.
3.3.2 简单的线性规划问题
线性规划问题的有关概念：
1．线性约束条件：不等式组是一组对变量x、y的约束条件， 这组约束条件都是关于x、y的 一次不等式 ．
课件2：3.3.2 简单的线性规划问题
变式训练2
某公司计划2010年在甲、乙两个电视台做总时间不超 过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视 台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定 甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司 带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配 甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最 大．最大收益是多少万元？
2．解答线性规划的实际应用问题时应注意 (1)在线性规划问题的应用中，常常是题中的条件 较多，因此认真审题非常重要； (2)线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断；
(3)结合实际问题，未知数x、y等是否有限制 ，如 x、y为正整数、非负数等； (4)图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基 本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确， 图上操作尽可能规范．
3.3.2 简单的线性规划问题
学习目标
1.了解线性规划的意义． 2.准确利用线性规划知识求解目标函数的最值． 3.掌握线性规划在解决实际问题中的两种类型．
课前预习
1．二元一次不等式Ax＋By＋C＞0(或＜0或≥0或≤0) 所表示的平面区域为直线Ax＋By＋C＝0的一侧． 2．确定二元一次不等式(组)所表示的平面区域的基 本方法是“直线定界，点定域”．
类型二：已知目标函数的最值求参数
解答此类问题必须明确线性目标函数的最值一般 在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思 想方法求解．同时，要注意边界直线斜率与目标 函数斜率的关系．
例2 已知变量x，y满足约束条件1≤x＋y≤4， －2≤x－y≤2.若目标函数z＝ax＋y(其中a＞0)仅在 点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为 ________．
解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间 分别为 x 分钟和 y 分钟，总收益为 z 元，由题意 得
课件9：3.3.2 简单的线性规划问题
x＋y－2≥0， 4．若实数 x，y 满足x≤4，
y≤5，
则 S＝x＋y 的最大值为________．
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【解析】画出可行域，如图阴影部分所示，平移直线 x＋y＝0，当过 点 C(4,5)时，S 有最大值，其最大值为 S＝4＋5＝9.
【答案】9
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探究一 求线性目标函数的最值
名称
意义
可行域
所有 可行解 组成的集合
最优解
使目标函数取得 最大值 的可行解
或 最小值
在线性约束条件下，求线性目标函数的 最大值或 线性规划问题
_最__小__值__问题
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[双基自测]
1．已知变量 x、y 满足条件xy≥ ≤12， ，
则 x＋y 的最小值是( )
x－y≤0，
A．4 C．2
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探究四 简单的线性规划问题的实际应用 [典例 4] 某公司仓库 A 存有货物 12 吨，仓库 B 存有货物 8 吨，现按 7 吨、8 吨和 5 吨把货物分别调运给甲、乙、丙三个商店．从仓库 A 运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为 8 元、6 元、9 元； 从仓库 B 运货到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为 3 元、4 元、 5 元．问应如何安排调运方案，才能使得从两个仓库运货物到三个商 店的总运费最少？
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探究二 求非线性目标函数的最值
[典例 2] 设 x，y 满足条件xx－＋yy＋≥50≥，0， x≤3.
(1)求 u＝x2＋y2 的最大值与最小值； (2)求 v＝x－y 5的最大值与最小值．
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[解] 画出满足条件的可行域如图所示，
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设工厂获得的利润为z，则z＝2x＋3y
把z＝2x＋3y变形为
y 2 x z 33
它表示斜率为 轴上的截距为
z
2
3的在直y
线。
3
y
当z变化时，可以得
4
到一族互相平行的
直线。
3
M
令z=0,作直线2x+3y=0
o
4
2x+3y=0
8x
由上图可以看出，当经过直线x=4与直线x+2y-8=0的
交点M（4，2）时，截距 z 的值最大，最大值为 14 ，
在线性约束下求线性目标函数 的最值问题,统称为线性规划,
二、基本概念
一组关于变量x、y的一次不等式，称为线性约束条件。
把求最大值或求最小值的函数称为目标函数，因为它是 关于变量x、y的一次解析式，又称线性目标函数。
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问
题，统称为线性规划问题。
y
满足线性约可束行的域解 4 3
y x+y=1
x-y=0
（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域1；
（2）移：在线性目标函数所表 示的一组平行线中，利用平移的
0 1
x
(2,-1)
方法找出与可行域有公共点且纵 (-1,-1)
截距最大或最小的直线；
2x+y=0
（3）求：通过解方程组求出最优解；
（4）答：作出答案。 11
课堂练习2： 设z=2x-y，式中变量x，y满足下列条件
(1)建立数学模型（设变量，建立线性约束条件及线性 目标函数） (2)图形工具（作出可行域及作目标函数过原点的直线 l0 )
(3)平移求解（确定 的平移方向，依据可行域找出取得 最优解的点）
(4)确定最值（解相关方程组，求出最优解，代入目标函 数求最值）
思考：学案P53
（思考题）若目标函数是z x2 y2，
点 P(x, y) 在 ABC 内部及边界运动，请你探究并讨论
以下问题：
①z x y 在 _点__A___处有最大值__6___，
在_边__界__B_C处有最小值___1__ __；
②z x y 在_点__C__处有最大值_____1____，
在_____点__B_处有最小值____-_3___；
y
A (2 , 4)
③ 你能y 否设A 计一个目标函数y，x yA 3
使得其取最优(2,4) 解的情况有无穷多个(2？,4) (1 , 2)
④ (请1, 2B)你分别x y设 6 计目标函数(1，, 2B) 使得
B
x y 1
最值点分别在A处、B处、C处取得？
0C
(1, 0)
x
x y 1
（ 图2 ）
A配件 （个）
甲产品 4 乙产品
限 制 16
B配件 （个）
4 12
耗时（h)
1 2 8
设甲、乙两种产品分别生产x、y件，由已知条件可 得二元一次不等式组
x＋2y 8
44xy
16 12
x 0
y 0
x 2y 8
x y
4 3
x
0
y 0
将不等式组表示成平面上的区域,区域内所有坐标 为整数的点P(x,y),安排生产任务x,y都是有意义的.
2.二元一次不等式组表示平面区域：
各个不等式所表示平面区域的公共部分。
一、实际问题
某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每 生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙 产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂 获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该 厂所有可能的日生产安排是什么？
0C
(1 , 0)
x
0
C(1 , 0)
（图1）
⑤ （思考题）若目标函数是z x2 y2，
你知道其几何意义吗？
你能否借助其几何意义求得zmin和zmax？
如果是z y 1 或z 2 y 3呢？
x
x 1
练习3.若可行域是有(1,1)(5,2)(2,5)三点围成 的封闭的三角形。目标函数z=ax+y(a>0) 取得最大值的最优解有无数个，则a=______
x 2y 8
y
xy
4 3
x+2y=8 43源自x=4 y=3x 0
y 0
o
4
8x
提出新问题： 若生产一件甲产品获利2万元，生产 一件乙产品获利3万元，采用那种生产安排利润最大？
A配件 （个）
甲产品 4 乙产品
限 制 16
B配件 （个）
4 12
耗时（h) 利润（万元）
1
2万元
2
3万元
8
设工厂获得的利润为z，则z＝2x＋3y
3
3
( Zmax=2x+3y=2×4+3×2=14 )
这时2x+3y=14.所以，每天生产甲产品4件，乙产品2 件时，工厂可获得最大利润14万元。
y
4 3
M（4, 2）
o
4
8x
x2y 8
44
x y
16 12
象这样关于x,y一次不等 式组的约束条件称为 线性约束条件
x
0
y 0
Z=2x+3y称为目标函数,(因这里 目标函数为关于x,y的一次式,又 称为线性目标函数
最优解
（x，y）叫做可行解。
由所有可可行行解解组成
的集合叫做可行域。
o
4
8x
使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫
做这个问题的最优解。
例题
1.求z=2x+y的最大值和最小值,使 x, y 满足线性约束条件
x y 0
目标函数所表 示的几何意义 ——在y轴上
x
y
1
0
y 1
的截距.
解线性规划问题的步骤：
x 4 y 3
3x 5y 25 x 1
y x 1 C
求z的最大值和最小值.
x 4y 3 0
z表示直线y 2x z在y轴上
•B
•A
3x 5y 25 0
的截距
O
x
A(5,2) C(1, 22)
5
zmin
21
22 5
12 5
zmax 25 2 12
小结
图解法求解线性规划应用问题的基本步骤：
y
o
x
知识回顾： 1.二元一次不等式表示的区域及判定方法：
二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角
坐标系中表示 __直__线__A_x_+B__y+_C_=_0_某__一_侧__所___ 有__点__组_成__的_平__面__区_域__。____
确定区域步骤： __直__线_定__界___;__特_殊__点_定__域__ 若C≠0，则 __直__线_定__界__、__原_点__定__域__.
你知道其几何意义吗？
你能否借助其几何意义求得zmin和zmax？
如果是z y 1或z 2 y 3呢？
x
x 1
练习3.若可行域是有(1,1)(5,2)(2,5)三点围成 的封闭的三角形。目标函数z=ax+y(a>0) 取得最大值的最优解有无数个，则a=______
如图1所示，已知 ABC中的三顶点 A(2 , 4), B(1,2),C(1,0) ，