导数应用的题型与方法(解答)

导数应用的题型与方法

撰写人：谢立荣

一、考试内容

导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；

两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。

二、考试要求

⑴了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念。

⑵熟记基本导数公式（c,x m (m 为有理数)，的导数）。掌握两个函数四则运算的求导法则会求某些简单函数的导数。

⑶了解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数要极值点两侧异号），会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值。

三、双基透视

导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面:

1．导数的常规问题：

（1）刻画函数（比初等方法精确细微）；

（2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）；

（3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于n 次多项式的导数问题属于较难类型。

2．导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一

个方向，应引起注意。

3．曲线的切线

用割线的极限位置来定义了曲线的切线．切线方程由曲线上的切点坐标确定，设00(,)P x y 为曲线上一点，过00(,)P x y 点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-

4．瞬时速度 用物体在一段时间运动的平均速度的极限来定义瞬时速度，0()()lim

t y S t t S t v t t ∆→∆+∆-==∆∆ 5．导数的定义

对导数的定义，我们应注意以下三点：

(1)△x 是自变量x 在 0x 处的增量(或改变量)．

(2)导数定义中还包含了可导的概念，如果△x→0时，x

y ∆∆有极限，那么函数y=f(x)在点0x

处可导，才能得到f(x)在点0x 处的导数．

(3)由导数定义求导数，是求导数的基本方法，必须严格按以下三个步骤进行：

(a)求函数的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；

(b)求平均变化率

x

x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00； (c)取极限，得导数x y x f x ∆∆=→∆00lim )('。 6．导数的几何意义

函数y=f(x)在点0x 处的导数，就是曲线y=(x)在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率．由此，可以利用导数求曲线的切线方程．具体求法分两步：

(1)求出函数y=f(x)在点0x 处的导数，即曲线y=f(x)在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率；

(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为))(('000x x x f y y -=-

特别地，如果曲线y=f(x)在点))(,(00x f x P 处的切线平行于y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为0x x =

7、 导数与函数的单调性的关系

㈠0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系。

0)(>'x f 能推出)(x f 为增函数，但反之不一定。如函数3)(x x f =在),(+∞-∞上单调递增，但0)(≥'x f ，∴0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分不必要条件。

㈡0)(≠'x f 时，0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系。

若将0)(='x f 的根作为分界点，因为规定0)(≠'x f ，即抠去了分界点，此时)(x f 为增函数，就一定有0)(>'x f 。∴当0)(≠'x f 时，0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分必要条件。 ㈢0)(≥'x f 与)(x f 为增函数的关系。

)(x f 为增函数，

一定可以推出0)(≥'x f ，但反之不一定，因为0)(≥'x f ，即为0)(>'x f 或0)(='x f 。当函数在某个区间内恒有0)(='x f ，则)(x f 为常数，函数不具有单调性。∴0)(≥'x f 是)(x f 为增函数的必要不充分条件。

函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。

㈣单调区间的求解过程，已知)(x f y =

（1）分析 )(x f y =的定义域；

（2）求导数 )(x f y '='

（3）解不等式0)(>'x f ，解集在定义域内的部分为增区间

（4）解不等式0)(<'x f ，解集在定义域内的部分为减区间

㈤函数单调区间的合并

函数单调区间的合并主要依据是函数)(x f 在),(b a 单调递增，在),(c b 单调递增，又知函数

在b x f =)(处连续，因此)(x f 在),(c a 单调递增。同理减区间的合并也是如此，即相邻区间的单调性相同，且在公共点处函数连续，则二区间就可以合并为一个区间。

8、已知)(x f y = ],[b a x ∈

（1）若0)(>'x f 恒成立 ∴)(x f y =为),(b a 上↑

∴ 对任意),(b a x ∈ 不等式 )()()(b f x f a f << 恒成立

（2）若0)(<'x f 恒成立 ∴ )(x f y =在),(b a 上↓

∴ 对任意),(b a x ∈不等式)()()(b f x f a f >> 恒成立

四、热点题型分析

题型一：利用导数定义求极限

例1．已知f(x)在x=a 处可导，且f′(a)=b ，求下列极限：

（1）h

h a f h a f h 2)()3(lim 0--+→∆； （2）h a f h a f h )()(lim 20-+→∆ 解：（1）h

h a f a f a f h a f h h a f h a f h h 2)()()()3(lim 2)()3(lim 00--+-+=--+→→ b a f a f h

a f h a f h a f h a f h

h a f a f h a f h a f h h h h 2)('21)('23)()(lim 213)()3(lim 232)()(lim 2)()3(lim

0000=+=---+-+=--+-+=→→→→ （2）⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-+=-+→→h h a f h a f h a f h a f h h 22020)()(lim )()(lim 00)('lim )()(lim 0220=⋅=⋅-+=→→a f h h

a f h a f h h 说明：只有深刻理解概念的本质，才能灵活应用概念解题。解决这类问题的关键是等价变形，使极限式转化为导数定义的结构形式。

题型二：利用导数几何意义求切线方程

例2．．已知曲线21:C y

x =，曲线22:(2)C y x =--，直线l 与12C C 、都有相切，求直线l

的方程。

解：设直线l 与12,C C 的切点分别为1122(,),(,)A x y B x y ，