截面法求内力

F
y
0:
FBy 40kN()
（2）计算点C左截面的内力
L FNC 60kN
L FQC 40kN
L M C 80kN m
C CR F QC
40kN B40kN
40kN
（3）计算点C右截面的内力
R FNC 0
C
R FQC 40kN
R M C 80kN m
内力图：表示结构上各截面的内力随横截面位置变化规律的图形。
受弯构件
M
梁：以弯曲变形为主的构件 M
纯弯曲
P/2 P/2
P
剪切和弯曲
静定梁的基本形式
(a)
(b)
(c)
简支梁
伸臂梁
悬臂梁
计算杆件内力的基本方法：截面法
m
切: 假想沿指定横截面将杆切开
A l
m
B
留: 留下左半段或右半段，标注荷载和反力
代: 将抛掉部分对留下部分的作用用内力代替
M FN
平: 对留下部分写平衡方程求出内力的值
FP 3 5F FAy P 3
FAx
FAy
E
a
a
a
FBy
M A 0 2FPa FPa FBy 3a 0 FBy
2. 用截面法研究内力 2FP FQE C A E ME 5 FP 3 5F 2 FP FQE P 0 Fy 0 3
FQE F P 3
10kN D 2m E
1m 1m F
2m
11.25kN
11.25
FQ 图（kN） （+）
3.75kN
10kN
5 （+）
5
5kN
（-） 8.75
（-） 5
10
M图（kN.m） 10 5 5
[例4]试作图示多跨静定梁的内力图。
10kN/m 60kN· m 1 2 3 4
10kN 5
6
40kN
10kN
5 2m 10m
M C 120kN m
[例2]: 试绘制图示梁的内力图。
8kN· m 2kN/m
3m
3m
2m
4kN· m 2kN· m
4kN· m
+
4kN· m 6kN· m
1kN· m
4kN· m 1kN· m
=
2kN· m
[例3] 试画出该多跨梁的内力图。 5kN / m A 4m B C 1m
先附属，后基本
(0 x a ) (0 x a )
M
FQ图
M 0b l M 0a l
M
FQ
FQ
M
M图
B M0 l
M0 l
(a x l ) (a x l )
M
M0 (l x) l
x A
q
B
l
M
A
0
FBy
FAy
ql 2
FBy
F
q
A ql 2
y
0
ql 2 ql FAy 2
B
a
a
a
FP a
A C D B
a
a
a
用分段叠加法绘弯矩图
FP A J q l JK
截面法
对于直杆区段，用截面法求出该段两 端的截面弯矩后，将两个竖标的顶点以虚 M 线相连，并以此为基线，再将该段作为简 B 支梁，作出简支梁在外荷载作用下的弯矩 K 图，叠加到基线上（弯矩竖标叠加），最 后所得图线就是实际的弯矩图。
M
50
M 400 50 x
(6 x 8)
M 图（单位kN.m）
2FP
叠加法
FP a
D B
A
C
a
条件：结构线弹性、小变形
a
a
2FP
A 荷载叠加法： 当结构上同时作用有许多荷载 时，先分别作出各荷载单独作用 下的内力图，再将各个内力图的 竖标相叠加（代数和），便得到 各荷载共同作用下的内力图。 C D
20kN
40kN
FQ图
10kN
10kN
60kN· m 5kN· m M图 20kN· m
5kN· m
20kN· m
J
M JK F Jy
J M JK
ql2 l JK 8
+
ql2 8
=
ql 8
2
K
绘制内力图的步骤
(1)根据平衡方程求支座反力和中间连接力。
(2)采用截面法求控制截面的内力值。 控制截面：支承点、集中力/力偶作用点左右截面、分布荷载的起点及终点
(3)叠加法绘制弯矩图。 a.用截面法求两杆端弯矩，竖标顶点之间连一虚线 b.以该虚线为基线，叠加上简支梁在跨间荷载作用下的弯矩图
FBy 50kN()
(0 x 4)
M
FQ
M 70 x 10 x 2
(0 x 4)
40
B
FQ 10
(4 x 6)
M
A F E C D B
50
M 160 10 x
(4 x 6)
FQ
100 122.5 120 100
B
FQ 50
(6 x 8)
+
FQ图
ql 2
Biblioteka Baidu
FQ
FQ
ql qx 2
(0 x l )
M
M
ql q x x2 2 2
(0 x l )
ql 2 8
M图
FP
M0 ql
q
FP FQ图 FP(l-a) M图
+
+
1 2 ql 2 1 2 ql 8
M0
FP
FP b l
内力图形状特征
M0
M0 l ql 2
q
+
FQ图 FP a l
FQ FN(+) FN(+) FQ(+) FQ(+) M(+) M(+)
（1）平衡方程的正负和内力的正负是完全不同性质的两套符号系统。 （2）取简单部分作为隔离体，列平衡方程时，尽量使一个方程含有一个未知量
例1
求E截面内力
解： 1. 确定支座反力 B
2FP
A C
1.5 a
FP a
D
F
x
0
FAx 0
A 4m
FAx 0
FAy 70kN()
（2）作剪力图
FBy 50kN()
B 50
FQA 70kN
FQC 10kN
FQD 10kN
L
FQD 50kN
R
FQB 50kN
（3）作弯矩图
A
F
E C
D
B
MA MB 0
100 120 100 122.5 M 图（单位kN.m）
ME
3FP a 2
例2 图示为在截面C处承受一斜向集中力的简支梁。试求截面 C处左、 右两截面的内力。
（1）计算梁的支座反力
(a) (a)
(a)
F P=100kN F P=100kN 4 F Ax A 43 F Ax A 3C F P=100kN C 4 F Ax A 2m 3 2m F Ay 2m C 2m F
0 x l
0 x l
M图
x A
FP
C
B
b l
FAy
a
MA 0
FBy
FBy
F
FQ
A FP b l
y
0
FP a l Fb FAy P l
FP b l FP b x l (0 x a ) (0 x a )
+
FP a l
FP b l
FQ M
列方程作内力图
FP A l FP
截面法
剪力方程 弯矩方程
FQ FQ x
M M x
x
a B
C
FQ
M
B
FQ＝0
M＝0
0 x a
0 x a
+
FQ FP M C B
FQ图 FP(l-a)
FQ＝FP
a x l
a x l
M＝ FP ( x a)
(4)分段画剪力图和轴力图。在两杆端剪力/轴力之间连直线 (5)校核内力图
分段－定点－连线－校核
[例1]: 试绘制图示简支梁的内力图。
（1）计算梁的支座反力
q=20kN/m F Ax F Ay
70 + A EC D 10 10 50 F Q图（单位kN）
F P=40kN C D 2m 2m B F By
Ay
B B
B
F
x
0:
B
FAx 60kN()
M
0 : FAy 40kN()
F By F By
(b) (b)
(b)
(c) (c)
(c)
A 40kN A 40kN 60kN AR FC 40kN F R C
R RM C R FCM C
R MC
F Ay 60kN 60kN
2m
L M C2m L MC L F F NC By L F NC C L C C L M F QC L LF F QC NC C R F QC RL B F QC F QC B
FQ图
M
FQ
FP ab l
FQ
M图
M
B FP a M FP a (l x) l l
FP a l
(a x l ) (a x l )
x
M0
C
B
b l
M0 l
A
MA 0
FBy
FAy
a
FBy
F
y
0
M0 l M FAy 0 l
+
FQ
A
M0 l
FQ
M0 l M0 x l
FP ab M图 l
-
+
+
M 0b l M 0a l
ql 2 8
ql 2
-
x
q=20kN/m F Ax F Ay
70 + A EC D 10 10 50 F Q图（单位kN） B 50
F P=40kN C D 2m 2m B F By
A 4m
FAx 0
q
A
70
FAy 70kN()
FQ
FQ 70 20 x
q
M JK J F QJK l JK K M KJ 受力等效 F QKJ
M JK J F Jy
M JK
q M KJ K l JK
q
F Ky M KJ M KJ KK
F Ky M KJ
荷载叠加
M JK J F Jy1 l JK K F Ky1 F Jy2 M KJ J M JK K M KJ
J
J l JK K F Ky2
M图
M0 A
l C
x a B FQ
B
FQ＝0
M＝0
0 x a
0 x a
M
FQ图 FQ M0 M M0 C B
FQ＝0
M＝M 0
a x l
a x l
M图
q
x B
A l
ql
+
FQ图
1 2 ql 2 1 2 ql 8
FQ M
q B
FQ＝qx
1 M＝ qx 2 2
F
y
0
FAy FBy 2FP 0
FQE FP a
D
ME
E
F
y
0
FQE FBy 0
FP 3
FP 3a 0 3 2
B FP 3
FQE
M
E
0
a 5 F 3a M E 2 FP 0 2 3 2
3F a ME P 2
ME 0
M E FP a