常微分方程实验报告_闵安游_U201310085
常微分方程 课程实习报告
福建农林大学计算机与信息学院（数学类课程）课程实习报告课程名称：常微分方程课程实习实习题目：常微分方程数值求解问题的实习姓名：上官火玉系：信息与计算科学专业：信息与计算科学年级：2008学号：081152048指导教师：陈永雪职称：讲师2010 年12 月 1 日福建农林大学计算机与信息学院数学类课程实习报告结果评定目录1. 实习的目的和任务 (1)2. 实习要求 (1)3. 实习地点 (1)4. 主要仪器设备 (1)5. 实习内容 (1)5.1 用不同格式对同一个初值问题的数值求解及其分析 (1)5.1.1求精确解 (1)5.1.2用欧拉法求解 (3)5.1.3用改进欧拉法求解 (5)5.1.4用4级4阶龙格—库塔法求解 (7)5.1.5 问题讨论与分析 (10)5.2 一个算法不同不长求解同一个初值问题及其分析 (12)6. 结束语 (13)参考文献 (13)常微分方程课程实习1.实习的目的和任务目的：通过课程实习能够应用MATLAB软来计算微分方程（组）的数值解；了解常微分方程数值解。
任务：通过具体的问题，利用MATLAB软件来计算问题的结果，分析问题的结论。
2.实习要求能够从案例的自然语言描述中，抽象出其中的数学模型；能够熟练应用所学的数值解计算方法；能够熟练使用MATLAB软件；对常微分方程数值解有所认识，包括对不同算法有所认识和对步长有所认识。
3.实习地点数学实验室4.主要仪器设备计算机、Microsoft Windows XPMatlab 6.55.实习内容5.1 用欧拉方法，改进欧拉方法，4阶龙格—库塔方法分别求下面微分方程的初值dy/dx=y+x+1 y(0)=1 x∈[0，2]5.1.1求精确解首先可以求得其精确解为：y=3*exp(x)-x-25.1.1 程序代码：>> x=0:0.1:2;>> y=3*exp(x)-x-2>> plot(x,y,'b*-');>> Data=[x',y']y =Columns 1 through 91.0000 1.2155 1.4642 1.74962.0755 2.44622.86643.3413 3.8766Columns 10 through 184.47885.1548 5.91256.76047.70798.76569.9451 11.2591 12.7218Columns 19 through 2114.3489 16.1577 18.1672Data =0 1.00000.1000 1.21550.2000 1.46420.3000 1.74960.4000 2.07550.5000 2.44620.6000 2.86640.7000 3.34130.8000 3.87660.9000 4.47881.0000 5.15481.1000 5.91251.2000 6.76041.3000 7.70791.4000 8.76561.5000 9.94511.6000 11.25911.7000 12.72181.8000 14.34891.9000 16.15772.0000 18.1672>>00.20.40.60.81 1.2 1.4 1.6 1.825.1.2 用欧拉法求解程序如下：建立函数文件cwfa1.mfunction [x,y]=cwfa1(fun,x_span,y0,h)x=x_span(1):h:x_span(2);y(1)=y0;for n=1:length(x)-1y(n+1)=y(n)+h*feval(fun,x(n),y(n)); endx=x';y=y';在MATLAB输入以下程序：>> clear all>> fun=inline(' y+x+1');>> [x,y]=cwfa1(fun,[0,2],1,0.1);>> [x,y]>> plot(x,y,'r*-')结果及其图象：ans =0 1.00000.1000 1.20000.2000 1.43000.3000 1.69300.4000 1.99230.5000 2.33150.6000 2.71470.7000 3.14620.8000 3.63080.9000 4.17381.0000 4.78121.1000 5.45941.2000 6.21531.3000 7.05681.4000 7.99251.5000 9.03171.6000 10.18491.7000 11.46341.8000 12.87981.9000 14.44772.0000 16.182500.20.40.60.81 1.2 1.4 1.6 1.825.1.3用改进欧拉法求解：程序如下：建立函数文件cwfa2.mfunction [x,y]=cwfa2(fun,x_span,y0,h)x=x_span(1):h:x_span(2);y(1)=y0;for n=1:length(x)-1k1=feval(fun,x(n),y(n));y(n+1)=y(n)+h*k1;k2=feval(fun,x(n+1),y(n+1));y(n+1)=y(n)+h*(k1+k2)/2;endx=x';y=y';在MATLAB输入以下程序：>> clear all>> fun=inline(' y+x+1');>> [x,y]=cwfa2(fun,[0,2],1,0.1); >> [x,y]>> plot(x,y,'r+-')结果及其图象：ans =0 1.00000.1000 1.21500.2000 1.46310.3000 1.74770.4000 2.07270.5000 2.44230.6000 2.86130.7000 3.33470.8000 3.86840.9000 4.46851.0000 5.14221.1000 5.89721.2000 6.74191.3000 7.68581.4000 8.73931.5000 9.91391.6000 11.22241.7000 12.67871.8000 14.29851.9000 16.09882.0000 18.0987>>00.20.40.60.81 1.2 1.4 1.6 1.825.1.4 用4阶龙格—库塔求解程序如下：建立函数文件cwfa3.mfunction [x,y]=cwfa3(fun,x_span,y0,h)x=x_span(1):h:x_span(2);y(1)=y0;for n=1:length(x)-1k1=feval(fun,x(n),y(n));k2=feval(fun,x(n)+h/2,y(n)+h/2*k1);k3=feval(fun,x(n)+h/2,y(n)+h/2*k2);k4=feval(fun,x(n+1),y(n)+h*k3);y(n+1)=y(n)+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;endx=x';y=y';在MATLAB输入以下程序：>> clear all;>> fun=inline(' y+x+1');>> [x,y]=cwfa3(fun,[0,2],1,0.1); >> [x,y]>> plot(x,y, 'b+-')结果及其图象：ans =0 1.00000.1000 1.21550.2000 1.46420.3000 1.74960.4000 2.07550.5000 2.44620.6000 2.86640.7000 3.34130.8000 3.87660.9000 4.47881.0000 5.15481.1000 5.91251.2000 6.76031.3000 7.70791.4000 8.76561.5000 9.94511.6000 11.25911.7000 12.72181.8000 14.34891.9000 16.15772.0000 18.1671>>00.20.40.60.81 1.2 1.4 1.6 1.825.1.5 问题讨论与分析由以上数值分析结果绘制表格：x=0:0.1:2;y1 = [1.0000 1.2155 1.4642 1.7496 2.0755 2.4462 2.8664 3.3413 3.8766 4.4788 5.1548 5.9125 6.7604 7.7079 8.7656 9.9451 11.2591 12.7218 14.3489 16.1577 18.1672];>> y1=[1.0000 1.2155 1.4642 1.7496 2.0755 2.4462 2.8664 3.3413 3.8766 4.4788 5.1548 5.9125 6.7604 7.7079 8.7656 9.9451 11.2591 12.7218 14.3489 16.1577 18.1672];>> y2=[1.0000 1.2000 1.4300 1.6930 1.9923 2.3315 2.7147 3.1462 3.6308 4.1738 4.7812 5.4594 6.2153 7.0568 7.9925 9.0317 10.1849 11.4634 12.8798 14.4477 16.1825];>> y3=[1.0000 1.2150 1.2192 1.4631 1.7477 2.0727 2.4423 2.8613 3.8684 4.4685 5.1422 5.8972 6.7419 7.6858 8.7393 9.9139 11.2224 12.6787 14.2985 16.0988 18.0987];>> y4=[1.0000 1.2155 1.4642 1.7496 2.0755 2.4462 2.8664 3.3413 3.8766 4.4788 5.1548 5.9125 6.7603 7.7079 8.7656 9.9451 11.2591 12.7218 14.3489 16.1577 18.1671 ];>> plot(x,y1,'r+-')>> hold on,plot(x,y2,'b-')>> plot(x,y1,'r+-')>> hold on,plot(x,y3,'b-')>> plot(x,y1,'r+-')>> hold on,plot(x,y4,'b-')00.20.40.60.81 1.2 1.4 1.6 1.8200.20.40.60.81 1.2 1.4 1.6 1.8200.20.40.60.81 1.2 1.4 1.6 1.82由上表和图可以看出欧拉法误差最大，而改进欧拉和龙格—库塔方法误差相对较小，并且龙格—库塔方法误差最小且大部分值都跟精确值相同。
实验报告——常微分方程的数值解法
实验报告实验项目名称常微分方程的数值解法实验室数学实验室所属课程名称微分方程数值解实验类型上机实验实验日期2013年3月11日班级10信息与计算科学学号2010119421姓名叶达伟成绩实验概述：【实验目的及要求】运用不同的数值解法来求解具体问题，并通过具体实例来分析比较各种常微分方程的数值解法的精度，为以后求解一般的常微分方程起到借鉴意义。
【实验原理】各种常微分方程的数值解法的原理，包括Euler法，改进Euler法，梯形法，Runge-Kutta方法，线性多步方法等。
【实验环境】（使用的软硬件）Matlab软件实验内容：【实验方案设计】我们分别运用Euler法，改进Euler法，RK方法和Adams隐式方法对同一问题进行求解，将数值解和解析解画在同一图像中，比较数值解的精度大小，得出结论。
【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析）我们首先来回顾一下原题：对于给定初值问题：1. 求出其解析解并用Matlab画出其图形；2. 采用Euler法取步长为0.5和0.25数值求解（2.16）,并将结果画在同一幅图中，比较两者精度;3. 采用改进Euler法求解（2.16），步长取为0.5；4. 采用四级Runge-Kutta法求解（2.16），步长取为0.5；5. 采用Adams四阶隐格式计算（2.16），初值可由四级Runge-Kutta格式确定。
下面，我们分五个步骤来完成这个问题：步骤一，求出（2.16）式的解析解并用Matlab 画出其图形； ，用Matlab 做出函数在上的图像，见下图：00.51 1.52 2.53 3.54 4.550.511.522.533.5x 1015y=exp(1/3 t 3-1.2t)exact solution图一 初值问题的解析解的图像步骤二，采用Euler 法取步长为0.5和0.25数值求解(2.16),并将结果画在同一幅图中，比较两者精度;我们采用Euler 法取步长为0.5和0.25数值求解，并且将数值解与解析解在一个图中呈现，见下图：00.51 1.52 2.53 3.54 4.550.511.522.533.5x 1015Numerical solution of Euler and exact solutionexact solution h=0.5h=0.25图二 Euler 方法的计算结果与解析解的比较从图像中不难看出，采用Euler 法取步长为0.5和0.25数值求解的误差不尽相同，也就是两种方法的计算精度不同，不妨将两者的绝对误差作图，可以使两种方法的精度更加直观化，见下图：00.51 1.52 2.53 3.54 4.550.511.522.533.5x 1015Absolute error of numerical solution and exact solutionh=0.5h=0.25图三 不同步长的Euler 法的计算结果与解析解的绝对误差的比较 从图像中我们不难看出，步长为0.25的Euler 法比步长为0.5的Euler 法的精度更高。
常微分方程实验报告
常微分方程实验报告一、实验目的常微分方程是数学分析和实际应用中非常重要的一部分，本次实验的主要目的是通过实际操作和计算，深入理解常微分方程的概念、性质和求解方法，并能够将其应用到实际问题中，提高我们解决数学问题和实际应用问题的能力。
二、实验原理常微分方程是指含有一个自变量和一个未知函数及其导数的等式。
求解常微分方程的方法有很多，常见的有变量分离法、一阶线性方程的求解方法（如常数变易法）、恰当方程的求解方法（通过积分因子）等。
对于一阶常微分方程，形如＼（y' ＋ p(x)y ＝ q(x)＼）的方程，可以使用积分因子＼（e^｛＼int p(x)dx}＼）来求解。
对于可分离变量的方程，形如＼（g(y)dy ＝ f(x)dx\），可以通过分别积分求解。
三、实验内容（一）一阶常微分方程的求解1、求解方程＼（y' ＋ 2xy ＝ 2x\）首先，计算积分因子＼（e^｛＼int 2xdx} ＝ e^｛x^2}＼），然后将方程两边乘以积分因子得到：＼（（ye^｛x^2}）＇＝ 2xe^｛x^2}＼）两边积分可得＼（ye^｛x^2} ＝ e^｛x^2} ＋ C\），解得＼（y ＝1 ＋ Ce^｛x^2}＼）2、求解方程＼（xy' y ＝ x^2\）将方程化为＼（y' ＼frac{y}｛x} ＝ x\），这里＼（p(x) ＝＼frac{1}｛x}＼），积分因子为＼（e^｛＼int ＼frac{1}｛x}dx} ＝＼frac{1}｛x}＼）。
方程两边乘以积分因子得到＼（（＼frac{y}｛x}）＇＝ 1\），积分可得＼（＼frac{y}｛x} ＝ x ＋ C\），即＼（y ＝ x^2 ＋ Cx\）（二）二阶常微分方程的求解1、求解方程＼（y'＇ 2y' ＋ y ＝ 0\）特征方程为＼（r^2 2r ＋ 1 ＝ 0\），解得＼（r ＝ 1\）（二重根），所以通解为＼（y ＝（C_1 ＋ C_2x)e^x\）2、求解方程＼（y'＇＋ 4y ＝ 0\）特征方程为＼（r^2 ＋ 4 ＝ 0\），解得＼（r ＝＼pm 2i\），所以通解为＼（y ＝ C_1\cos(2x) ＋ C_2\sin(2x)＼）（三）应用常微分方程解决实际问题1、考虑一个物体在受到与速度成正比的阻力作用下的运动，其运动方程为＼（m\frac{dv}｛dt} ＝ kv\）（其中＼（m\）为物体质量，＼（k\）为阻力系数），求解速度＼（v\）随时间＼（t\）的变化。
常微分方程初值问题
实验报告专用纸实验项目名称常微分方程初值问题的数值解课程名称计算机数值方法教师评语及成绩：实验成绩：教师签字：（请按照实验报告的有关要求书写，一般必须包括：1、实验目的；2、实验内容；3、实验步骤与方法；4、实验数据与程序清单；5、出现的问题及解决方法；6、实验结果、结果分析与体会等内容。
）1、实验目的（1）在计算机上实现Euler法及Runge-Kutta法求解一阶常微分方程初值问题；（2）通过求常微分方程初值问题的数值解，加深对其数值方法及有关基础理论知识的理解。
2、实验内容（1）用Euler法求解常微分方程初值问题；（2）用四阶Runge-Kutta求解常微分方程初值问题。
3、实验原理（1）Euler法：（2）改进的Euler法：（3）Runge-Kutta法：4、实验步骤（1）复习相关知识，为编写程序做准备；（2）编写调式程序（3）用调式好的程序解决实际问题（4）记录相关数据（5）进行结果分析（6）根据要求撰写论文5、实验程序%Ordinary_differential.mformat long;%步长h=1/20;%右边界xf=2;%设置步长x=0:h:xf;%已知函数Func=@(x,y)(y-((2*x)/y));%Euler%初始化y数组y_E=zeros(1,length(x));y_E(1)=1;%复现公式&迭代计算for i=1:(length(x)-1)y_E(i+1)=y_E(i)+Func(x(i),y_E(i))*h; end%Improve Euler%初始化y数组y_IE=zeros(1,length(x));y_IE(1)=1;%复现公式&迭代计算for i=1:(length(x)-1)p=y_IE(i)+h*Func(x(i),y_IE(i));c=y_IE(i)+h*Func(x(i+1),p);y_IE(i+1)=(1/2)*(p+c);end%Rung Kutta%初始化y数组y_RK=zeros(1,length(x));y_RK(1)=1;%复现公式&迭代计算for i=1:(length(x)-1)k1=Func(x(i),y_RK(i));k2=Func(x(i)+0.5*h,y_RK(i)+0.5*h*k1);k3=Func((x(i)+0.5*h),(y_RK(i)+0.5*h*k2));k4=Func((x(i)+h),(y_RK(i)+k3*h));y_RK(i+1)=y_RK(i)+(1/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4) *h;end%Exact%使用ode45计算精确函数x0=0;y0=1;yspan=[x0xf];[x_ode45,y_ode45]=ode45(Func,yspan,y0);%绘图subplot(221)plot(x_ode45,y_ode45,'-');xlabel('x');ylabel('y');legend('Exact');subplot(222)plot(x,y_E,'-');xlabel('x');ylabel('y');legend('Euler');subplot(223)plot(x,y_IE,'-');xlabel('x');ylabel('y');legend('Improve Euler');subplot(224)plot(x,y_RK,'-');xlabel('x');ylabel('y');legend('Rung Kutta');%tableres=[round(transpose(x),8),round(transpose(y_E),8), round(transpose(y_IE),8),round(transpose(y_RK),8),round(y_ode45,8)];table=array2table(res,'VariableNames',{'x','Euler','Improve Euler','Rung Kutta','Exact'});table;6、实验结果及分析（1）实验结果table=41×5tablex Euler Improve Euler Rung Kutta Exact_______________________________________________ 011110.05 1.05 1.04886905 1.04880886 1.048810180.1 1.0977381 1.09556112 1.09544514 1.095445380.15 1.14351536 1.14034459 1.14017546 1.140174580.2 1.18757368 1.18343698 1.183216 1.183216060.25 1.23011131 1.22501749 1.22474493 1.22474526 0.3 1.27129351 1.26523585 1.26491113 1.26491111 0.35 1.31126017 1.30421877 1.30384056 1.30384029 0.4 1.3501313 1.34207454 1.34164088 1.34164095 0.45 1.38801111 1.3788967 1.37840498 1.37840509 0.5 1.42499118 1.41476663 1.41421368 1.41421362 0.55 1.4611528 1.44975574 1.44913781 1.44913769 0.6 1.49656893 1.48392711 1.48323985 1.48323991 0.65 1.53130567 1.51733679 1.51657526 1.51657529 0.7 1.56542352 1.55003492 1.54919353 1.54919345 0.75 1.59897836 1.58206653 1.58113904 1.58113897 0.8 1.63202233 1.61347233 1.61245178 1.61245182 0.85 1.66460451 1.64428925 1.64316793 1.64316793 0.9 1.69677156 1.67455096 1.67332034 1.673320260.95 1.72856823 1.7042883 1.70293895 1.702938891 1.76003786 1.73352962 1.73205115 1.73205117 1.05 1.79122279 1.76230109 1.76068206 1.76068204 1.1 1.82216476 1.79062697 1.78885479 1.78885471 1.15 1.85290524 1.81852981 1.81659066 1.8165906 1.2 1.8834858 1.84603071 1.84390938 1.84390939 1.25 1.91394844 1.87314942 1.87082923 1.87082919 1.3 1.94433584 1.89990456 1.89736719 1.89736709 1.35 1.97469176 1.92631373 1.92353905 1.92353898 1.4 2.00506125 1.95239363 1.94935958 1.94935956 1.45 2.03549101 1.9781602 1.97484254 1.97484247 1.5 2.06602967 2.0036287 2.00000085 2.00000073 1.55 2.09672813 2.0288138 2.0248466 2.0248465 1.6 2.12763984 2.05372973 2.04939117 2.04939111 1.65 2.15882113 2.07839027 2.07364525 2.073645151.72.19033159 2.10280892 2.09761891 2.097618771.752.22223435 2.12699893 2.12132168 2.121321541.82.2545965 2.15097339 2.14476252 2.144762411.852.28748942 2.17474529 2.16794994 2.167949781.92.3209892 2.19832764 2.19089198 2.190891781.952.35517701 2.22173348 2.21359628 2.213596082 2.39013954 2.24497601 2.23607008 2.2360699（2）结果分析根据数据及图像可以看出。
常微分方程实验报告
常微分方程实验报告《常微分方程》综合性实验实验报告实验班级05应数（3）学生姓名江晓荣学生学号200530770314指导老师方平华南农业大学理学院应用数学系实验微分方程在数学建模中的应用及数值解的求法一、实验目的1．了解常微分方程的基本概念。
2．常微分方程的解了解析解和数值解。
3．学习、掌握MA TLAB 软件有关求解常微分方程的解析解和数值解的有关命令。
4. 掌握微分方程在数学建模中的应用。
二、实验内容1．用MA TLAB 函数dsolve 符号求解常微分方程的通解和特解。
2．用MA TLAB 软件数值求解常微分方程。
三、实验准备1．用MA TLAB 求常微分方程的解析解的命令用MA TLAB 函数dsolve 求常微分方程()(,,,,,,)0n F x y y y y y ''''''= （7.1）的通解的主要调用格式如下：S=dsolve('eqn', 'var')其中输入的量eqn 是改用符号方程表示的常微分方程(,,,2,)0F x y Dy D y Dny = ，导数用D 表示，2阶导数用D2表示，以此类推。
var 表示自变量，默认的自变量为t 。
输出量S 是常微分方程的解析通解。
如果给定常微分方程（7.1）的初始条件()00010(),(),,()n n y x a y x a y x a '=== ，则求方程（7.1）的特解的主要调用格式如下：S=dsolve('eqn', 'condition1 ',…'conditonn ','var')其中输入量eqn ，var 的含义如上，condition1,…conditonn 是初始条件。
输出量S 是常微分方程的特解。
2．常微分方程的数值解法除常系数线性微分方程可用特征根法求解、少数特殊方程可用初等积分法求解外，大部分微分方程无解析解，应用中主要依靠数值解法。
数学实验基础 实验报告(1)常微分方程
实验一 常微分方程1. 分别用Euler 法和ode45解下列常微分方程并与解析解比较： (1) ,(0)1,13y x y y x '=+=<<Euler 法：function [t,y]=euler(Fun,tspan,y0,h) t=tspan(1):h:tspan(2); y(1)=y0;for i=1:length(t)-1y(i+1)=y(i)+h.*feval(Fun,t(i),y(i)); end t=t'; y=y';function f=Fun(x,y) % 常微分方程的右端函数 f=x+y;>> [x,y]=euler('Fun',[0,3],1,0.1)>> [x,y] ans =0 1.0000 0.1000 1.1000 0.2000 1.2200 0.3000 1.3620 0.4000 1.5282 0.5000 1.7210 0.6000 1.9431 0.7000 2.1974 0.8000 2.4872 0.9000 2.8159 1.0000 3.1875 1.1000 3.6062 1.2000 4.0769 1.3000 4.6045 1.4000 5.1950 1.5000 5.8545 1.6000 6.5899 1.7000 7.4089 1.8000 8.3198 1.9000 9.3318 2.0000 10.4550 2.1000 11.7005 2.2000 13.0805 2.3000 14.6086 2.4000 16.2995 2.5000 18.1694 2.6000 20.2364 2.7000 22.5200 2.8000 25.0420 2.9000 27.8262 3.0000 30.8988ode45：>> [x,y]=ode45('Fun',[0,3],1) ans =0 1.0000 0.0502 1.0528 0.1005 1.1109 0.1507 1.17460.2010 1.2442 0.2760 1.3596 0.3510 1.4899 0.4260 1.63610.5010 1.7996 0.5760 1.9817 0.6510 2.1838 0.7260 2.4074实验一 常微分方程0.8010 2.6544 0.8760 2.9264 0.9510 3.2254 1.0260 3.55351.1010 3.9131 1.1760 4.3065 1.2510 4.7364 1.3260 5.20561.4010 5.7172 1.4760 6.2744 1.5510 6.8810 1.6260 7.54061.7010 8.2574 1.7760 9.0359 1.8510 9.8808 1.9260 10.79742.0010 11.7912 2.0760 12.8683 2.1510 14.0351 2.2260 15.29862.3010 16.6664 2.3760 18.1466 2.4510 19.7478 2.5260 21.47962.6010 23.3522 2.6760 25.3764 2.7510 27.5641 2.8260 29.92812.9010 32.4820 2.9257 33.3694 2.9505 34.2796 2.9752 35.21343.0000 36.1711解析解：>> y=dsolve('Dy=x+y','y(0)=1','x') y =2*exp(x) - x - 1(2) 20.01()2sin(),(0)0,(0)1,05y y y t y y t ''''-+===<< Euler 法：实验一常微分方程function f=Fun(t,y)% 常微分方程的右端函数f=[y(2);0.01*y(2)^2-2*y(1)+sin(t)];>> [t,y]=euler('Fun',[0,5],[0,1],0.2)ode45：>> [t,y]=ode45('Fun',[0,5],[0,1])t =0 0.0001 0.0001 0.0002 0.0002 0.0005 0.0007 0.0010 0.0012 0.00250.0037 0.0050 0.0062 0.0125 0.0188 0.0251 0.0313 0.0627 0.0941 0.12550.1569 0.2819 0.4069 0.5319 0.6569 0.7819 0.9069 1.0319 1.1569 1.28191.4069 1.5319 1.6569 1.7819 1.90692.0319 2.1569 2.2819 2.4069 2.53192.6569 2.7819 2.90693.0319 3.1569 3.2819 3.4069 3.5319 3.6569 3.78193.90694.0319 4.1569 4.2819 4.4069 4.5319 4.6569 4.7427 4.8285 4.91425.0000y =0 1.0000 0.0001 1.0000 0.0001 1.0000 0.0002 1.0000 0.0002 1.00000.0005 1.0000 0.0007 1.0000 0.0010 1.0000 0.0012 1.0000 0.0025 1.00000.0037 1.0000 0.0050 1.0000 0.0062 1.0000 0.0125 1.0000 0.0188 1.00000.0251 0.9999 0.0313 0.9998 0.0627 0.9987 0.0941 0.9965 0.1253 0.99340.1564 0.9893 0.2786 0.9632 0.3966 0.9220 0.5085 0.8662 0.6126 0.79670.7072 0.7146 0.7908 0.6210 0.8620 0.5176 0.9198 0.4058 0.9632 0.28760.9915 0.1647 1.0043 0.0392 1.0013 -0.0869 0.9826 -0.2117 0.9485 -0.33310.8996 -0.4490 0.8365 -0.5578 0.7605 -0.6577 0.6725 -0.7471 0.5742 -0.8246实验一 常微分方程0.4669 -0.8889 0.3525 -0.9393 0.2327 -0.9748 0.1095 -0.9950 -0.0154 -0.9996-0.1398 -0.9887 -0.2619 -0.9624 -0.3798 -0.9212 -0.4916 -0.8657 -0.5957 -0.7970-0.6904 -0.7161 -0.7742 -0.6242 -0.8460 -0.5228 -0.9046 -0.4134 -0.9491 -0.2978-0.9789 -0.1777 -0.9934 -0.0549 -0.9945 0.0300 -0.9883 0.1146 -0.9748 0.1985-0.9543 0.28092. 求一通过原点的曲线，它在(,)x y 处的切线斜率等于22,0 1.57.x y x +<<若x 上限增为1.58，1.60会发生什么？function f=Fun(x,y) % 常微分方程的右端函数 f=2*x+y.^2;>> [x,y]=ode45('Fun',[0,1.57],0) x =0 0.0393 0.0785 0.1178 0.1570 0.1963 0.2355 0.2748 0.3140 0.3533 0.3925 0.4318 0.4710 0.5103 0.5495 0.5888 0.6280 0.6673 0.7065 0.7458 0.7850 0.8243 0.8635 0.9028 0.9420 0.9813 1.0205 1.0598 1.0990 1.1383 1.1775 1.2168 1.2560 1.2953 1.3345 1.3738 1.4130 1.4248 1.4367 1.4485 1.4604 1.4722 1.4840 1.4959 1.5077 1.5140 1.5203 1.5265 1.5328 1.5376 1.5424 1.5472 1.5519 1.5543 1.5567 1.5591 1.5614 1.5631 1.5647 1.5664 1.5681 1.5685 1.5690 1.5695 1.5700 y =实验一 常微分方程0 0.0015 0.0062 0.0139 0.0247 0.0386 0.0556 0.0758 0.09920.1259 0.1559 0.1895 0.2266 0.2675 0.3124 0.3615 0.4152 0.4738 0.5378 0.6076 0.6841 0.7679 0.8601 0.9620 1.0751 1.2014 1.3434 1.5045 1.6892 1.9037 2.1557 2.4577 2.8282 3.3003 3.9056 4.7317 5.9549 6.4431 7.0116 7.6832 8.4902 9.4821 10.7170 12.3090 14.4551 15.9220 17.7080 19.9390 22.8164 25.6450 29.2282 33.9673 40.5910 44.9434 50.3088 57.1229 66.1087 74.3108 84.7123 98.4901 117.7875 124.9206 132.9699 142.1268 152.641500.20.40.60.81 1.2 1.4 1.6若x 上限增为1.58，1.60,则超出运算的范围，发生溢出。
常微分方程实验
常微分方程实验
1.1 实验目的
理解常微分方程及常微分方程组的概念，掌握 MATLAB 命 令求一阶、二阶常微分方程及常微分方程组的通解与满足一定初 始或边界条件的特解。
1.2 常微分方程和常微分方程组的求解
MATLAB 中，若 y 是因变量，用“Dny”表示 y 的 n 阶导， 如 Dy 表示 y′ ，D2y表示 y″ ，Dy (0) = 1表示 y′ (0) = 1。常微分方 程的求解可以调用 dsolve 函数来实现，其一般格式为
dsolve ( ′ eq ′ , ′ c ′ , ′ x ′ )：求微分方程 eq 在初始条件 c 下的 特解，参数 x 为微分方程中的自变量，省略参数 c 时，则求方程 的通解。
dsolve ( ′ eq1 ′ , ′ eq2 ′ , … ,′ eqn ′ ,′ c1 ′ , ′ c2 ′ , … , ′ cn ′ , ′ x ′ )： 求微分方程组 eq1，eq2，…，eqn 在初始条件c1，c2，…，cn下 的特解，参数 x 为微分方程组中的自变量，省略初始条件，则求 方程组的通解。
%求(2)式常微分方程的特解
输出：ans = 2 / ( exp ( -x ) -2 * exp ( x ))
dsolve ( ′ D2y -6 * Dy + 13 * y = 0 ′ , ′ x ′ )
%求(3)式二
阶常微分方程的通解
输出：ans = C1 * exp ( 3 * x ) * sin ( 2 * x ) + C2 * exp ( 3 * x )
高等数学
解 在 MATLAB 指令窗口输入命令如下：
syms x y t；
dsolve ( ′ Dy + y / x = sin ( x ) / x ′ , ′ x ′ )
新版常微分方程的求解与定性分析实验报告-新版.pdf
function
Y=fun3(a0,a1,n,tol)
a(1)=a0;
a(2)=a1;
b=1;
i=2;
while (abs(b)>eps*a(i))
a(i+1)=a(i)-fun2(a(i))*(a(i)-a(i-1))/(fun2(a(i))-fun2(a(i-1)));
[t,x]=ode45(
'rossler'
,t0,[0,0,0]);
subplot(1,2,1);
plot(t,x(:,1),
'r' ,t,x(:,2),
'g' ,t,x(:,3),
'b' );
title( 'x( 红色 ),y( 绿色 ),z( 蓝色 ) 随 t 的变化情况 ' );xlabel(
m=dsolve( 'Dy=y+2*x' , 'y(0)=1' , 'x' ) ezplot(m,[0 1])
m=
3*exp(x) - 2*x –2
3 exp(x) - 2 x - 2
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
0.8 0.9
1
x
1．求微分方程
常微分方程的求解与定性分析实验报告
一、实验综述
1、实验目的及要求 归纳和学习求解常微分方程 (组)的基本原理和方法； 掌握解析、数值解法，并学会用图形观察解的形态和进行解的定性分析； 熟悉 MATLAB 软件关于微分方程求解的各种命令； 通过范例学习建立微分方程方面的数学模型以及求解全过程； 通过该实验的学习，使学生掌握微分方程 (组)求解方法（解析法、欧拉法、 梯度法、改进欧拉法等），对常微分方程的数值解法有一个初步了解，同时 学会使用 MATLAB 软件求解微分方程的基本命令，学会建立微分方程方面 的数学模型。这对于学生深入理解微分、积分的数学概念，掌握数学的分析 思维方法，熟悉处理大量的工程计算问题的方法是十分必要的。
数值分析实验报告之常微分方程数值解
数学与计算科学学院实验报告
实验项目名称常微分方程数值解
所属课程名称数值方法B
实验类型验证
实验日期2013.11.11
班级
学号
姓名
成绩
图1 h=0.1时三个方法走势图
图2 h=0.05时三个方法走势图
图4 h=0.05时三个方法走势图
附录1：源程序
附录2：实验报告填写说明
1．实验项目名称：要求与实验教学大纲一致。
2．实验目的：目的要明确，要抓住重点，符合实验教学大纲要求。
3．实验原理：简要说明本实验项目所涉及的理论知识。
4．实验环境：实验用的软、硬件环境。
5．实验方案（思路、步骤和方法等）：这是实验报告极其重要的内容。
概括整个实验过程。
对于验证性实验，要写明依据何种原理、操作方法进行实验，要写明需要经过哪几个步骤来实现其操作。
对于设计性和综合性实验，在上述内容基础上还应该画出流程图、设
计思路和设计方法，再配以相应的文字说明。
对于创新性实验，还应注明其创新点、特色。
6．实验过程（实验中涉及的记录、数据、分析）：写明具体实验方案的具体实施步骤，包括实验过程中的记录、数据和相应的分析。
7．实验结论（结果）：根据实验过程中得到的结果，做出结论。
8．实验小结：本次实验心得体会、思考和建议。
9．指导教师评语及成绩：指导教师依据学生的实际报告内容，给出本次实验报告的评价。
2013春数学实验基础 实验报告(1)常微分方程
实验一 常微分方程1. 分别用Euler 法和ode45解下列常微分方程并与解析解比较： (1)30,1)0(,<<=+='x y y x y编写Euler 法的matlab 函数，命名为euler.mfunction [t,y]=euler(odefun,tspan,y0,h) t=tspan(1):h:tspan(2); y(1)=y0;for i=1:length(t)-1y(i+1)=y(i)+h*feval(odefun,t(i),y(i)); end t=t'; y=y';下面比较三者的差别： % ode45odefun=inline('x+y','x','y'); [x1,y1]=ode45(odefun,[0,3],1); plot(x1,y1,'ko');pause hold on ; % Euler·¨[x2,y2]=euler(odefun,[0,3],1,0.05); plot(x2,y2,'r+');pause hold on ;% 解析解y0=dsolve('Dy=t+y','y(0)=1'); ezplot(y0,[0,3]);pause hold off ;legend('ode45','euler 法','解析解');实验一 常微分方程Euler 法只有一阶精度，所以实际应用效率比较差，而ode45的效果比较好，很接近真实值。
(2) 20.01()2sin(),(0)0,(0)1,05y y y t y y t ''''-+===<<先写M 文件ex1_2fun.mfunction f=ex1_2fun(t,y) f(1)=y(2);f(2)=0.01*y(2).^2-2*y(1)+sin(t); f=f(:); % ode45[t1,y1]=ode45(@ex1_2fun,[0,5],[0;1]); plot(t1,y1(:,1),'ko');% 解析解s=dsolve('D2y-0.01*(Dy)^2+2*y=sin(t)','y(0)=0','Dy(0)=1','t')s =[ empty sym ]%由此可知该微分方程无解析解2. 求一通过原点的曲线，它在(,)x y 处的切线斜率等于22,0 1.57.x y x +<<若x 上限增为1.58，1.60会发生什么？odefun=inline('2*x+y^2','x','y'); subplot(1,4,1);[x1,y1]=ode45(odefun,[0,1.57],0); plot(x1,y1,'r*'); title('上限1.57'); subplot(1,4,2);[x2,y2]=ode45(odefun,[0,1.58],0); plot(x2,y2,'bo'); title('上限1.58');实验一 常微分方程subplot(1,4,3);[x3,y3]=ode45(odefun,[0,1.6],0); plot(x3,y3,'k'); title('上限1.60'); subplot(1,4,4);plot(x1,y1,'r*');hold on ; plot(x2,y2,'bo');hold on ; plot(x3,y3,'k');hold off ;legend('上限1.57','上限1.58','上限1.60');上限1.5713上限1.5814上限1.6014结论：随着x 上界的增加，解趋于无穷大。
常微分方程实验报告.
常微分方程课程实验报告实验名称 Matlab在常微分方程中的应用z =C2*exp(-2*t)+C3*exp(2*t)【3．1】作图(先做出x关于t，y关于t,z关于t的函数图像)：hold on;for c1=0:0.1:1%C1、C2和C3都大于0for c2=0:0.1:1for c3=0:0.1:1t=0:0.1:1;x=c1.*exp(2.*t)+c3.*exp(-t);y=c1.*exp(2.*t)+c2.*exp(-t)+exp(-2.*t)*c3;z=c2.*exp(2.*t)+exp(-2.*t)*c3;subplot(1,3,1),plot(t,x),legend('t~x') %x关于t的函数图像 subplot(1,3,2),plot(t,y),legend('t~y') % y关于t的函数图像 subplot(1,3,3),plot(t,z),legend('t~z') % z关于t的函数图像endendend【3.2】作图（再做出x、y、z的三维图像）：hold on;X=[];Y=[];Z=[];for c1=0:0.2:1%C1、C2和C3都大于0for c2=0:0.2:1for c3=0:0.2:1t=0:0.1:1;x=c1.*exp(2.*t)+c3.*exp(-t);y=c1.*exp(2.*t)+c2.*exp(-t)+exp(-2.*t)*c3;z=c2.*exp(2.*t)+exp(-2.*t)*c3;X=[X,x];Y=[Y,y];Z=[Z,z];endColumns 37 through 410.9753 1.0129 1.0521 1.0929 1.1353第4题：【1】编写函数M文件——cwf1.m(用于求近似解)function dy=cwf1(x,y)dy=(cos(x)-2*x*y)/(x^2-1)【2】编写脚本M文件——chang8.m[X,Y]=ode45('cwf1',[0,1],1)y1=Y’ %转置【3】则求出的近似解为（x取值为0~1）：>>y1=Columns 1 through 101.0000 0.9756 0.9524 0.9303 0.9093 0.8892 0.8701 0.8520 0.8347 0.8183Columns 11 through 200.8028 0.7880 0.7742 0.7611 0.7488 0.7374 0.7269 0.7172 0.7085 0.7008Columns 21 through 300.6941 0.6886 0.6843 0.6815 0.6802 0.6809 0.6837 0.6890 0.6976 0.7102Columns 31 through 400.7277 0.7519 0.7851 0.8319 0.8964 0.9910 1.1404 NaN NaN NaNColumn 41-Inf【4】在command窗口运行以下语句，用于求精确解：>> y=dsolve('(x^2-1)*Dy+2*x*y-cos(x)=0','y(0)=1','x') %精确解。
微分方程实验报告
微分方程实验报告实验名称：不同数值方法解常微分方程的数值精度实验目的：比较同一数值方法不同刨分数解常微分方程的数值精度,比较不同数值方法在相同刨分数下解常微分方程的数值精度,并将他们与理论数值精度相比；求出截断误差。
实验要求：1.编写程序求解微分方程000(,)()du f x u x x b dx u x u ⎧=⎪<≤⎨⎪=⎩其中f 是x 和u 的已知函数，0u 是给定初值。
2.至少用下列方法实验步骤：一. 初值问题：(),5.11,11,222≤<⎪⎩⎪⎨⎧=-='x u u xx u u 解析解：()3122334⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x u .二. 解：对该问题，10=u ，00=x ，mh x m =。
0125.0=h1. Euler 公式：1(,),0,1,m m m m u u hf x u m +=+=2. 梯形法公式：111[(,)(,)]/2,0,1,m m m m m m u u h f x u f x u m +++=++=3. 三阶Heun 公式：21131132(3)/4(,),(/3,/3),(2/3,2/3),0,1,m m m m m m m m u u hf k k k f x u k f x h u hk k f x h u hk m +=++==++=++=4. 四阶Runge-Kutta 公式：211234113243(22)/6(,),(/2,/2),(/2,/2),(,),0,1,m m m m m m m m m u u hf k k k k k f x u k f x h u hk k f x h u hk k f x h u hk m +=++++==++=++=++=5. 四阶Adams 外插公式：（显式）),(,4,3,24/)9375955/(3211m m m m m m m m m u x f f m f f f f h u u ==-+-+=---+6. 四阶Gear 公式：11231(4836163)/2512/25,3,4,m m m m m m u u u u u hf m +---+=-+-+=理论数值精度p=4；其中，m u 作为()m u x 的近似值（m=1,2,…）三．计算方法的数值精度 首先取步长h 进行计算，得到()u x 在b 点的近似值()h u b ，根据误差估计，得()()ph h e u b u b M h =-≈，其中p 是方法的阶。
常微分方程数值解---实验报告
琼州学院实验报告课程名称：__________ ___开课学期：____ ______院（部）:__理工学院_________开课实验室：________ __学生姓名:__梁小叶_______ __专业班级:________ __学号:__________常微分方程数值解---实验报告一 实验目的： 1．掌握用MATLAB 求微分方程初值问题数值解的方法；2．通过实例学习微分方程模型解决简化的实际问题；3．了解欧拉方法和龙格库塔方法的基本思想。
二 实验内容:用欧拉方法和龙格库塔方法求下列微分方程初值问题的数值解，画出解的图形，对结果进行分析比较22'2,(1)(01),322;(0)1',(2)(010).(0)0(0)1x y y x x y e x y y x y x y y =+⎧≤≤=--⎨=⎩⎧=-≤≤⎨==⎩精确解或三 问题分析：怎样设计程序？流程图？变量说明？能否将某算法设计成具有形式参数的函数形式？【程序如下】:function f=f(x,y)f=y+2*x;clc;clear;a=0;b=1; %求解区间[x1,y_r]=ode45('f',[a b],1); %调用龙格库塔求解函数求解数值解；%% 以下利用Euler 方法求解y(1)=1;N=100;h=(b-a)/N;x=a:h:b;for i=1:Ny(i+1)=y(i)+h*f(x(i),y(i));endfigure(1)plot(x1,y_r,'r*',x,y,'b+',x,3*exp(x)-2*x-2,'k-');%数值解与真解图title('数值解与真解图');legend('RK4','Euler','真解');xlabel('x');ylabel('y');figure(2)plot(x1,abs(y_r-(3*exp(x1)-2*x1-2)),'k-');%龙格库塔方法的误差title('龙格库塔方法的误差')xlabel('x');ylabel('Error');figure(3)plot(x,abs(y-(3*exp(x)-2*x-2)),'r-')%Euler 方法的误差title('Euler 方法的误差')xlabel('x');ylabel('Error');【运行结果如下】：5总结体会：自己写了哦。
2013春数学实验基础 实验报告(1)常微分方程
实验一 常微分方程1. 分别用Euler 法和ode45解下列常微分方程并与解析解比较：(1) ,(0)1,13y x y y x '=+=<<先编写Euler 法的M 文件function [x,y] = euler(odefun,tspan,y0,h)x = tspan(1):h:tspan(2);y(1) = y0;for i = 1:length(x)-1y(i+1) = y(i)+h*feval(odefun,x(i),y(i));endx = x';y = y';1、ode45解>> fun = inline('x+y','x','y');>> ode45(fun,[0,3],1)2、Euler 法:>> [t,y]=euler(fun,[0,3],1,0.01);>> plot(t,y,'r')3、解析解：>> s=dsolve('Dy=y+x','y(0)=1','x')s =2*exp(x) - x - 1>> x=0:0.05:3;>> s=2*exp(x) - x - 1;>> plot(x,s,':')可以看到三者几乎重合。
（2）20.01()2sin(),(0)0,(0)1,05y y y t y y t ''''-+===<<现将其改成方程组形式：y=y(1);y ’=y(2); 则有 1)0(0)0()sin(201.02122221==+⋅-⋅==y y t y y dt dy y dtdy1、ode45解>> fun=inline('[y(2);0.01*y(2)^2-2*y(1)+sin(t)]','t','y');>> ode45(fun,[0,5],[0,1])结果如图二实验一 常微分方程2、解析解：>> s=dsolve('D2y-0.01*Dy^2+2*y-sin(t)','y(0)=0','Dy(0)=1','t')Warning: Explicit solution could not be found.> In dsolve at 101s =[ empty sym ]解析解在无法解出2. 求一通过原点的曲线，它在(,)x y 处的切线斜率等于22,0 1.57.x y x +<<若x 上限增为1.58，1.60会发生什么？解：相当于用解微分方程 ='y 22,0 1.57.x y x +<<0)0(=y输入如下指令：>> fun=inline('2*x+y^2','x','y');>> ode45(fun,[0,1.57],0)>> ode45(fun,[0,1.58],0)>> ode45(fun,[0,1.60],0)比较三个图像x 上限为1.57时y 的上限160左右当x 上限为1.58时y 的上限达到18乘以10的13次方数量级当x 上限为1.60时y 的上限还是18乘以10的13次方数量级说明1.57到1.58附近函数开始上升得特别快再增加,解会"爆炸"3. 求解刚性方程组： 11212121100.25999.750.5,(0)1,050.999.751000.250.5,(0)1,y y y y x y y y y '=-++=⎧<<⎨'=-+=-⎩解：ode45法：实验一常微分方程>> fun=inline('[-1000.25*y(1)+999.75*y(2)+0.5;999.75*y(1)-1000.25*y(2)+0.5]','x','y');>> tic;>> [x,y]=ode45(fun,[0,50],[1,-1]);>> toc;Elapsed time is 162.804781 seconds.解析解：>> S=dsolve('Df=-1000.25*f+999.75*g+0.5','Dg=999.75*f-1000.25*g+0.5','f(0)=1','g(0)=-1');>> S.f,S.gans =1/exp(2000*t) - 1/exp(t/2) + 1ans =1 - 1/exp(2000*t) - 1/exp(t/2)4.(温度过程)夏天把开有空调的室内一支读数为20℃的温度计放到户外，10分钟后读25.2℃,再过10分钟后读数28.32℃。
实验报告6-常微分方程
实验报告6 常微分方程
系部班级姓名学号成绩
一、实验内容
程悉Matlab软件中关于求解常微分方程和常微分方程组的各种命令，掌握利用Matlab软件进行常微分方程和常微分方程组的求解。
二、预期目标
1.学习使用函数dsolve(f)
2.熟悉Matlab软件在解常微分方程中的应用．
三、常用命令
1．求解微分方程的命令格式：
2.求解微分方程的初始条件的的特解命令格式
四、练习内容
1、求微分方程
1x e
y y
x x
'+=的通解
命令：结果：
2、求常微分方程的初值问题
38
dy
y
dx
+=
，0
2
x
y
=
=
的解
命令：
结果：
3. 利用MA TLAB 求常微分方程组的特解。
命令：
结果：
五、思考与提高
1. Matlab 解微分方程默认变量是什么?
003
24,230,0
t t t dx dy x y e x dt dt dx
x y y dt ==⎧++-==⎪⎪⎨⎪++==⎪⎩。
常微分方程的解线性方程组的迭代法
实验五 解线性方程组的迭代法【实验内容】对1、设线性方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------------------------2119381346323125136824381004120291372642212341791110161035243120536217758683233761624491131512013012312240010563568000012132410987654321x x x x x x x x x x()Tx 2,1,1,3,0,2,1,0,1,1*--=2、设对称正定系数阵线性方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------------------45152292320601924336002141103520411144334310422181233416120653811414023121220024042487654321x x x x x x x x ()Tx 2,0,1,1,2,0,1,1*--=3、三对角形线性方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------------------5541412621357410000000014100000000141000000001410000000014100000000141000000001410000000014100000000141000000001410987654321x x x x x x x x x x ()Tx 1,1,0,3,2,1,0,3,1,2*---=试分别选用Jacobi 迭代法，Gauss-Seidol 迭代法和SOR 方法计算其解。
常微分实习报告-常微分方程数值求解问题
（数学类课程）课程实习报告课程名称：常微分方程课程实习实习题目：常微分方程数值求解问题的实习姓名：系：专业：年级：学号：指导教师：职称：年月日课程实习报告结果评定目录1. 实习的目的和任务 (1)2. 实习要求 (1)3. 实习地点 (1)4. 主要仪器设备 (1)5. 实习内容 (1)5.1 用不同格式对同一个初值问题的数值求解及其分析 (1)5.1.1求精确解 (1)5.1.2用欧拉法求解 (6)5.1.3用改进欧拉法求解 (9)5.1.4用4级4阶龙格—库塔法求解 (12)5.1.5 问题讨论与分析 (15)5.2 一个算法不同不长求解同一个初值问题及其分析 (18)6. 结束语 (29)参考文献 (29)常微分方程课程实习1. 实习的目的和任务目的：通过课程实习能够应用MATLAB 软来计算微分方程（组）的数值解；了解常微分方程数值解。
任务：通过具体的问题，利用MATLAB 软件来计算问题的结果，分析问题的结论。
2. 实习要求能够从案例的自然语言描述中，抽象出其中的数学模型；能够熟练应用所学的数值解计算方法；能够熟练使用MATLAB 软件；对常微分方程数值解有所认识，包括对不同算法有所认识和对步长有所认识。
3. 实习地点数学实验室、学生宿舍 4. 主要仪器设备计算机、Microsoft Windows 7 Matlab 7.0 5. 实习内容5.1 用欧拉方法，改进欧拉方法，4阶龙格—库塔方法分别求下面微分方程的初值dy/dx=y*cos(x+2) y(-2)=1 x ∈[-2，0] 5.1.1求精确解 ①变量分离方程情形:形如()*()dyf xg y dx=的方程,这里(),()f x g y 分别是,x y 的连续函数.如果()0g y ≠,我们可将方程改写成()()dyf x dxg y =,这样,变量就”分离”开来了,两边同时积分即可:(),()dyf x dx c cg y =+⎰⎰为任意常数. ②常数变易法:一阶线性微分方程()*()dyf x yg x dx =+,其中(),()f x g x 在考虑区 间上是的连续函数.可先解出方程()*dyf x y dx=的解,这是属于变量分离方程情形,可解得:*exp(())y c f x dx =⎰,这里c 是任意常数.然后将变c易为x 的待定函数()c x ,令()*exp(())y c x f x dx =⎰,将其代入原方程可得:()*exp(())()*()*exp(())()*()*exp(())()dy dc x f x dx c x f x f x dx f x c x f x dx g x dx dx=+=+⎰⎰⎰所以可解得()()*exp(())*1c x f x f x dx dx c =-⎰⎰,这里1c 是任意常数.将()()*exp(())1c x f x f x dx dx c =-+⎰⎰代入()*exp(())y c x f x dx =⎰可得原方程的通解:(()*exp(())1)*exp(()),1y f x f x dx dx c f x dx c =-+⎰⎰⎰为任意常数.③恰当微分方程情形:形如(,)(,)0m x y dx n x y dy +=的一阶微分方程,这里 假设(,),(,)m x y n x y 在某矩形域内是的连续函数,且具有连续的一阶偏导数. 若m ny x∂∂=∂∂,则为恰当微分方程.判断为恰当微分方程后,则可用如下解法： 设(,)u x y c =是原方程的解，则um x∂=∂，所以设(,)()u m x y dx v y =+⎰， 则((,)())((,))()m x y dx v y m x y dx udv y n y y y dy ∂+∂∂==+∂∂∂⎰⎰＝，所以((,))()m x y dx dv y n ydy ∂-=∂⎰，由此()[(,)]v y n m x y dx dy y∂=-∂⎰⎰,由此可解得(,)[(,)]u m x y dx n m x y dx dy y ∂=+-∂⎰⎰⎰，所以原方程的通解为(,)[(,)],m x y dx n m x y dx dy c c y∂+-=∂⎰⎰⎰为任意常数。
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⑵、3 步 4 阶 Adams 方法： ①、画图程序：
w = exp(i*linspace(0,2*pi)); z = 24*(w.^3 - w.^2)./(1 - 5*w + 19*w.^2 + 9*w.^3); plot(z)
②、绝对稳定性判断程序：
9 3 19 2 5 h (1 h ) (1 h) h 0 此时的特征方程是： 24 24 24 24
fprintf('误差为: %10.10f\n',m)
测试程序：
f = @(t,y)-2*y + 2*t + 1; F = @(t)exp(-2*t) + t; Threesteps_Adams1(0,2,f,F,0.1)
第 2 题： ⑴、2 步 3 阶 Adams 方法： ①、画图程序：
w = exp(i*linspace(0,2*pi)); z = 12*w.*(w - 1)./(5*w.*w + 8*w -1); plot(z)
t = a + i*h; y2 = y1 + h/2*(3*f1 - f0); plot(t,y2,'.'); f2 = f(t,y2); y1 = y2; f0 = f1; f1 = f2; end y = linspace(a,b); plot(y,F(y),'r'); hold off m = abs(y1-F(b)); fprintf('数值解: %10.10f\n',y1) fprintf('误差为:%10.10f\n',m)
' u2 24u1 51u2 9 cos t 1/ 3sin t
u1 (0) 4 / 3, u2 2 / 3
列出当步长 h 0.2, 0.1, 0.05 时计算到终点 t 2 的数值解及其误差，其 中初始值直接采用准确值，该问题的真解是
u1 (t ) 2e 3t e 39t 1/ 3cos t u2 (t ) e 3t 2e 39t 1/ 3cos t
测试程序：
f = @(t,y)-2*y + 2*t + 1; F = @(t)exp(-2*t) + t; Twosteps_Adams1(0,2,f,F,0.2)
⑵、3 步 3 阶显式 Adams 方法： ①、初值由真解给定： 主程序：
function Threesteps_Adams(a,b,f,F,h) %初值由真解给出 N = (b - a)/h; y0 = F(a); y1 = F(a + h); y2 = F(a + 2*h); plot(a,y0,'.') hold on
要求对所获得结果进行分析，并附两个算法的 MATLAB 程序。 4、应用显示中点方法和 4 级 4 阶 Gill 方法求解初值问题
y ' y t , t [0,1], y (0) 3
列出当步长 h 0.2 和 0.1 时计算到终点 t 1 的数值解及其误差，并附
t 算法的 MATLAB 程序。 （问题的真解为 y (t ) 2e t 1 ）
第 3 题： ⑴、2 步 3 阶隐式 Adams 方法： ①、主程序：
function x = TwoStep3jie(h) %定义给定具体的 h 的函数 a = 0;b = 2; n = (b - a)/h; I = eye(2); A = [9 24;-24 -51];% 关于向量 u 的向量矩阵 B = [5 -1/3;-9 1/3];% 关于时间 t 的向量矩阵 u0 = F2(0); u1 = F2(a + h); subplot(1,2,1) plot(a,u0(1,1),'.') hold on plot(a + h,u1(1,1),'.') hold on subplot(1,2,2) plot(a,u0(2,1),'.') hold on
测试程序：
f = @(t,y)-2*y + 2*t + 1; F = @(t)exp(-2*t) + t; Threesteps_Adam程序：
function Threesteps_Adams1(a,b,f,F,h) %初值由显示欧拉给出 N = (b - a)/h; y0 = F(a); f0 = f(a,y0); y1 = y0 + h*f0; f1 = f(a + h,y1); y2 = y1 + h*f1; f2 = f(a + 2*h,y2); plot(a,y0,'.') hold on plot(a+h,y1,'.') hold on plot(a + 2*h,y2,'.') hold on for i = 3:N t = a + i*h; y3 = y2 + h/12*(23*f2 - 16*f1 + 5*f0); plot(t,y3,'.') f3=f(t,y3); y2=y3; f0=f1; f1=f2; f2=f3; end y = linspace(a,b); plot(y,F(y),'r'); hold off m = abs(y2-F(b)); fprintf('数值解: %10.10f\n',y2)
所以程序为：
function test34(h) p = [1-9/24*h 1+19/24*h h*5/24 -h/24]; m = roots(p); fprintf('多项式根为: %5.5f\n',m(1,1)) fprintf(' fprintf(' %5.5f\n',m(2,1)) %5.5f\n',m(3,1))
测试程序：
f = @(t,y)-2*y + 2*t + 1; F = @(t)exp(-2*t) + t; Twosteps_Adams(0,2,f,F,0.2)
②、初值由显示欧拉给定： 主程序：
function Twosteps_Adams1(a,b,f,F,h) N = (b - a)/h; y0 = F(a); f0 = f(a,y0); y1 = y0 + h*f0; f1 = f(a + h,y1); plot(a,y0,'.') hold on plot(a+h,y1,'.') hold on for i = 2 :N
②、绝对稳定性判断程序：
5 2 h 此时的特征方程是： (1 h) 2 (1 h) 0 12 3 12
所以程序为：
function test23(h) p = [1-5/12*h 1+2/3*h h/12]; m = roots(p); fprintf('多项式根为: %5.5f\n',m(1,1)) fprintf(' %5.5f\n',m(2,1))
plot(a+h,y1,'.') hold on plot(a + 2*h,y2,'.') hold on f0 = f(a,y0); f1 = f(a + h,y1); f2 = f(a + 2*h,y2); for i = 3:N t = a + i*h; y3 = y2 + h/12*(23*f2 - 16*f1 + 5*f0); plot(t,y3,'.') f3=f(t,y3); y2=y3; f0=f1; f1=f2; f2=f3; end y = linspace(a,b); plot(y,F(y),'r'); hold off m = abs(y2-F(b)); fprintf('数值解: %10.10f\n',y2) fprintf('误差为: %10.10f\n',m)
2. 实验题目
1、分别应用 2 步 2 阶与 3 步 3 阶显式 Adams 方法求解初值问题
y ' 2 y 2t 1, t [0, 2], y (0) 1
列出当步长 h 0.2 和 0.1 时计算到终点 t 2 的数值解及其误差，其中 的初值考虑两种方案，一种是使用显式 Euler 方法，另一种是直接 采用准确值(其真解为 y e
华中科技大学
本科实验报告
课程名称：常微分方程数值解 姓 学 名：闵安游 号：U201310085
专业班级: 信计 1301 班 指导老师：黄乘明 实验题目：常微分方程数值解上机 日 期：2015.12.25 实验成绩：
1. 实验目的
通过上机实验，理解利用计算机迭代求解线性方程组的整个过 程，加深对所学计算方法的理论及算法特点的理解。
5、应用 3 级 3 阶 Heun 方法求解初值问题
y ' 2 y 2t 1, t [0, 2], y (0) 1
列出当步长 h 0.2 和 0.1 时计算到终点 t 2 的数值解及其误差，并附 算法的 MATLAB 程序.(该问题的真解为 y e 2t t ，其中方法所需要 的初值直接使用准确值)
plot(a + h,u1(2,1),'.') hold on for i = 0:n - 2; t = a + i*h; u2 = (I-(5*h/12)*A)^(-1)*(u1 + (5*h/12)*F3(t+2*h) + (h/12)*(8*F1(u1,t+h) -F1(u0,t)));% 迭代项 subplot(1,2,1) plot(t + 2*h,u2(1,1),'.') hold on subplot(1,2,2) plot(t + 2*h,u2(2,1),'.') u0 = u1; u1 = u2; end u2; y1=abs(F2(2) - u2); fprintf('u1 数值解: %10.10f\n',u2(1,1)) fprintf('u2 数值解: %10.10f\n',u2(2,1)) fprintf('u1 误差为:%10.10f\n',y1(1,1)) fprintf('u2 误差为:%10.10f\n',y1(2,1)) y = linspace(a,b); subplot(1,2,1) plot(y,2*exp(-3*y)-exp(-39*y)+1/3*cos(y),'r')% u1 准确值的图像 （红色的线表示） hold on subplot(1,2,2) plot(y,-exp(-3*y)+2*exp(-39*y)-1/3*cos(y),'r')% u2 准确值的图像 （红色的线表示）