实用计算方法习题3解答

习题3

已知函数表如表1试用两点和三点公式计算 x i 处的一阶、二阶导数。

解：

一阶导数的等距两点公式：

一阶导数的等距三点公式：

二阶导数的等距三点公式：

[]1012

22(4)1()()2()() ()12h f''x f x f x f x f h ξ=+--

计算结果如下表：

依据的计算结果，利用插值法构造f （x ）的导函数f ′(x)。

构造4次插值多项式作为f ′(x)的近似。

设生产某产品的成本函数c(x)的数据如表2，求边际成本函数143)(2

+-='x x x C ，从节约成本的角度考

虑，选择使平均成本较低的产量x 。

表2

()()

0101101()()()

1()()()

f'x f x f x h f'x f x f x h ≈-≈-001210220121()3()4()() 21()()() 21()()4()3()2f'x f x f x f x h f'x f x f x h f'x f x f x f x h ≈-+-⎡⎤⎣⎦≈-+⎡⎤⎣⎦≈-+⎡⎤⎣⎦

解：提示：构造过点（x i ，c i ）(i=0,1,2,3)的插值多项式p 3(x)作为c(x)的近似；用p 3(x)的导数

近似代替143)(2+-='x x x C 。由于143)(2+-='x x x C < c(x)/x 时，提高产量可降低成本，所以应选使

143)(2

+-='x x x C =c(x)/x 的产量x 。

设某产品的总成本C （万元）与产量q （万件）之间的函数关系式（即总成本函数C=C(q)）数据如表3，求生产水平为q=10（万件）时的平均成本和边际成本，并从降低成本角度看，继续提高产量是否合适

解：提示：构造过点（x i ，c i ）(i=0,1,2,3)的插值多项式p 3(x)作为c(x)的近似；用p 3(x)的导数近似代替)('q c 。

某工厂在时刻t 生产某商品的产量变化率为t x 12100)(+='数据如表4(单位/小时)，求t x 12100

)(+='

。

解:提示：构造过点（t i ，)('i t x ）(i=0,1,2)的插值多项式p 2(x)作为)('t x 的近似。

设生产某产品的边际成本x C 2.0150)(-='的数据如表5，求x C 2

.0150)(-='。

解：提示：构造过点（x i ，)('i x c ）(i=0,1,2)的插值多项式p 2(x)作为)('x c 的近似。

在某地区当消费者个人收入为x 时,消费支出)(x W 的变化率W ’(x)的数据如表6，求W ’(x)。

解：提示：构造过点（x i ，)('i x w ）(i=0,1,2，3)的插值多项式p 3(x)作为)('x w 的近似。

某公司总利润L （万元）与日产量q （吨）之间的关系（即利润函数）数据如表7。试求每天生产150吨，200吨，350吨时的边际利润，并说明经济含义。

解：提示：构造过点（q i ，)(i q L ）(i=0,1,2)的插值多项式p 2(q)作为)(q L 的近似；用p 2(q)的导数作为边际利润。

某公司生产某产品的成本函数C(q)和收入函数R(q)的数据如表8，其中q 为产品的月产量，如每月的产品均能全部销完，求利润最大的月产量应为多少

表8

解：提示：构造过点（q i ，)(i q R ）(i=0,1,2)的插值多项式p 2(q)作为)(q R 的近似；构造过点（q i ，)(i q C ）(i=0,1,2)的插值多项式s 2(q)作为)(q C 的近似；则有利润函数)(q R -)(q C 。