2019届人教B版(文科数学) 坐标系 单元测试

59 坐标系

1．求椭圆x 2

4＋y 2＝1，经过伸缩变换⎩⎨

⎧

x ′＝12x ，y ′＝y

后的曲线方程．

解析：由⎩⎪⎨

⎪⎧

x ′＝12x ，

y ′＝y

得到⎩⎨

⎧

x ＝2x ′，y ＝y ′.

①

将①代入x 24＋y 2

＝1，得4x ′24＋y ′2＝1，即x ′2＋y ′2＝1.

因此椭圆x 24＋y 2

＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x 2＋y 2＝1. 2．(2018·邯郸调研)在极坐标系中，已知直线l 过点A (1,0)，且其

向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为π

3，求：

(1)直线的极坐标方程； (2)极点到该直线的距离．

解析：(1)如图，由正弦定理得 ρsin 2π3＝1

sin ⎝ ⎛⎭⎪

⎫π3－θ. 即ρsin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π3－θ＝sin 2π3＝32，

∴所求直线的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π3－θ＝32.

(2)作OH ⊥l ，垂足为H ，

在△OHA 中，OA ＝1，∠OHA ＝π3，∠OAH ＝π

3，

则OH ＝OA sin π3＝3

2， 即极点到该直线的距离等于3

2.

3．(2018·沈阳市教 质量检测(一))在直角坐标系xOy 中，直线l ：

y ＝x ，圆C ：⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝－1＋cos φy ＝－2＋sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的

正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求直线l 与圆C 的极坐标方程；

(2)设直线l 与圆C 的交点为M ，N ，求△CMN 的面积．

解析：(1)将C 的参数方程化为普通方程，得(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝1，

∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴直线l 的极坐标方程为θ＝π

4(ρ∈R )， 圆C 的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0.

(2)将θ＝π

4代入ρ2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0，得ρ2＋32ρ＋4＝0，解得ρ1＝－22，ρ2＝－2，|MN |＝|ρ1－ρ2|＝2，

∵圆C 的半径为1，∴△CMN 的面积为12×2×1×sin π4＝1

2. 4．(2018·成都模拟)在直角坐标系xOy 中，半圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求C 的极坐标方程；

(2)直线l 的极坐标方程是ρ(sin θ＋3cos θ)＝53，射线OM ：θ＝π

3与半圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． 解析：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以半圆C 的极坐标方程是ρ

＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡

⎦

⎥⎤0，π2.

(2)设(ρ1，θ1)为点P

的极坐标，则有⎩⎪⎨⎪⎧

ρ1＝2cos θ1，

θ1＝π

3，

解得

⎩⎪⎨⎪⎧

ρ1＝1，

θ1＝π3，

设(ρ2，θ2)为点Q 的极坐标，

则有⎩⎪⎨⎪⎧

ρ2(sin θ2＋3cos θ2)＝53，

θ2＝π

3，

解得⎩⎪⎨⎪⎧

ρ2＝5，θ2＝π

3，

由于θ1＝θ2，所以|PQ |＝|ρ1－ρ2|＝4，所以线段PQ 的长为4.

5．(2018·广州五校联考)在极坐标系中，圆C 是以点C ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫2，－π6为

圆心，2为半径的圆．

(1)求圆C 的极坐标方程；

(2)求圆C 被直线l ：θ＝－5π

12(ρ∈R )所截得的弦长．

解析：法一：(1)设所求圆上任意一点M (ρ，θ)，如图，

在Rt △OAM 中，∠OMA ＝π

2，

∠AOM ＝2π－θ－π

6，|OA |＝4.

因为cos ∠AOM ＝|OM |

|OA |，

所以|OM |＝|OA |·cos ∠AOM ，

即ρ＝4cos ⎝

⎛⎭⎪⎫2π－θ－π6＝4cos ⎝ ⎛

⎭⎪⎫θ＋π6， 验证可知，极点O 与A ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫4，－π6的极坐标也满足方程，

故ρ＝4cos ⎝

⎛⎭⎪⎫θ＋π6为所求． (2)设l ：θ＝－5π

12(ρ∈R )交圆C 于点P ，

在Rt △OAP 中，∠OP A ＝π

2，

易得∠AOP ＝π

4，

所以|OP |＝|OA |cos ∠AOP ＝2 2.

法二：(1)圆C 是将圆ρ＝4cos θ绕极点按顺时针方向旋转π

6而得到的圆，

所以圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫θ＋π6.

(2)将θ＝－5π

12代入圆C 的极坐标方程ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6， 得ρ＝22，

所以圆C 被直线l ：θ＝－5π

12(ρ∈R )所截得的弦长为2 2.

6．(2018·成都市第二次诊断性检测)在直角坐标系xOy 中，曲线

C 的参数方程为⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝2cos α

y ＝2＋2sin α(α为参数)，直线l 的参数方程为

⎩⎨⎧

x ＝3－3

2t

y ＝3＋12t

(t 为参数)．在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴

为极轴的极坐标系中，过极点O 的射线与曲线C 相交于不同于极点

的点A ，且点A 的极坐标为(23，θ)，其中θ∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫

π2，π.

(1)求θ的值；

(2)若射线OA 与直线l 相交于点B ，求|AB |的值．

解析：(1)由题意知，曲线C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4， ∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴曲线C 的极坐标方程为(ρcos θ)2＋(ρsin θ－2)2＝4，即ρ＝4sin θ.

由ρ＝23，得sin θ＝32，

∵θ∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2，π，∴θ＝2π3.

(2)由题，易知直线l 的普通方程为x ＋3y －43＝0，∴直线l 的极坐标方程为ρcos θ＋3ρsin θ－43＝0.