三角函数的诱导公式(二)

§1.3三角函数的诱导公式(二)

学习目标

1.掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题.

2.对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力．

知识点一 诱导公式五 诱导公式五

知识点二 诱导公式六 诱导公式六

知识点三 诱导公式的推广与规律

1．sin ⎝⎛⎭⎫32π－α＝－cos α，cos ⎝⎛⎭⎫3

2π－α＝－sin α， sin ⎝⎛⎭⎫32π＋α＝－cos α，cos ⎝⎛⎭⎫3

2π＋α＝sin α. 2．诱导公式记忆规律：

公式一～四归纳：α＋2k π(k ∈Z )，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”． 公式五～六归纳：π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个

把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”．

六组诱导公式可以统一概括为“k ·π

2

±α(k ∈Z )”的诱导公式．

记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中“奇、偶”是指k ·π

2±α(k ∈Z )中k 的奇偶性，当k

为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变．“符号”看的应该是诱导公式中，把α看成锐角时原函数值的符号，而不是α函数值的符号．

1．诱导公式五、六中的角α只能是锐角．( × ) 提示 诱导公式五、六中的角α是任意角．

2．诱导公式五、六与诱导公式一～四的主要区别在于函数名称要改变．( √ ) 提示 由诱导公式一～六可知其正确． 3．sin ⎝⎛⎭⎫k π2－α＝±

cos α.( × ) 提示 当k ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫k π2－α＝sin(π－α)＝sin α.

4．口诀“符号看象限”指的是把角α看成锐角时变换后的三角函数值的符号．( × ) 提示 应看原三角函数值的符号.

题型一 利用诱导公式求值

例1 已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋2π

3的值． 考点 异名诱导公式 题点 诱导公式六 解 ∵α＋2π

3＝⎝

⎛⎭⎫α＋π6＋π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋2π3＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝

⎛⎭⎫α＋π6＋π2＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝3

5. 反思感悟 对于这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系：如π3－α与π6＋α，π3＋α

与π6－α，π4－α与π4＋α等互余，π3＋θ与2π3－θ，π4＋θ与3π

4－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题．

跟踪训练1 已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝23，则sin ⎝⎛⎭⎫π

4－α的值等于( ) A.23 B ．－23 C.53 D ．±5

3 考点 异名诱导公式 题点 诱导公式五 答案 A

解析 因为⎝⎛⎭⎫α＋π4＋⎝⎛⎭⎫π4－α＝π

2， 所以sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎣⎡⎦

⎤π

2－⎝

⎛⎭⎫α＋π4

＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝23

. 题型二 利用诱导公式证明三角恒等式

例2 求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝－tan α.

考点 综合运用诱导公式化简与求值 题点 综合运用诱导公式证明

证明 ∵左边＝tan (－α)·sin (－α)·cos (－α)

sin ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α

＝

(－tan α)·(－sin α)·cos α

sin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎣⎡⎦

⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α

＝sin 2α

－sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin 2α

－cos αsin α

＝－sin α

cos α＝－tan α＝右边．

∴原等式成立．

反思感悟 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法： (1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简． (2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子．

(3)整合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同．

跟踪训练2 证明：sin (2π－α)cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2αcos (π－α)

tan (α－3π)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin ⎝⎛⎭⎫7π6－2α＝－cos α. 考点 综合运用诱导公式化简与求值 题点 综合运用诱导公式证明

证明 因为左边＝sin (－α)cos ⎝⎛⎭

⎫π

3＋2α(－cos α)tan αcos αsin ⎣⎡⎦

⎤3π2－⎝⎛⎭

⎫π3＋2α

＝

sin αcos αcos ⎝⎛⎭

⎫π

3＋2αsin αcos α

cos α⎣⎡⎦⎤－cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α

＝－cos α＝右边，所以等式成立．

诱导公式的综合应用

典例 已知f (α)＝sin (π－α)cos (－α)sin ⎝⎛⎭

⎫π

2＋αcos (π＋α)sin (－α).

(1)化简f (α)；

(2)若角A 是△ABC 的内角，且f (A )＝3

5，求tan A －sin A 的值．

考点 综合运用诱导公式化简与求值 题点 综合运用诱导公式化简与求值 解 (1)f (α)＝sin αcos αcos α

－cos α(－sin α)＝cos α.

(2)因为f (A )＝cos A ＝3

5

，

又A 为△ABC 的内角，所以sin A ＝1－cos 2A ＝4

5

，

所以tan A ＝sin A cos A ＝4

3，

所以tan A －sin A ＝43－45＝8

15

.

[素养评析] (1)解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱．