第7章多元函数积分学11-16(7.2.3 Green格林公式及其应用)
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L
其中L为三顶点分别为O(0, 0), A(3, 0)和B(3, 2)的三角形正向边界.
例2.求 cos(l , n )ds, 其中l 为任一给定方向, n为闭合
C
曲线C的切向量
(简化曲线积分)
例1 3 利用格林公式计算曲线积分 (2 x y 4)dx (3x 5 y 6)dy
y x 解 令P 2 , Q 2 , 2 2 x y x y Q y2 x 2 P 2 2 2 则当 x y 0 时, 有 . 2 2 x ( x y ) y D , 记 L 所围成的闭区域为
y
y
D
o
L
L
D
x o x
(1) 当(0, 0) D 时,
符合Green公式的条件.
B
Q P ( )dxdy 0 AB BO L AB BO x y L D
L AB BO OB
BA
又 ( x y )dx ( x sin y)dy
2 2 OB
1 ( x 0)dx ( x sin 0) 0 x dx 0 0 3
解 2 引入辅助曲线 L,
L OA AB BO
y
A
D
P 0, Q x
Q P 1 x y
P Q 0, 1 y x
L
B
o
x
应用 Green 公式,
有
由于OA xdy 0,
BO xdy 0,
OA BO
y
A
D
xdy xdy xdy xdy
一般区域
思路:公式两边化为同一定积分. 从简单情形出发.
y
证明(1)
若区域 D 既是 X 型 又是Y 型,即平行于 坐标轴的直线和 L 至 多交于两点.
d x 1 ( y) A c o a
E
y 2 ( x)
D
B
x 2 ( y) Cy 1 ( x ) x b
D {( x , y ) 1 ( x ) y 2 ( x ), a x b} D {( x , y ) 1 ( y ) x 2 ( y ), c y d }
解 : P( x, y) x y, Q( x, y) x sin y
2
2
P Q 1, 1 y x
Q P 0 x y
A O
添加路径AB : x 1, y :1 0; BO : y 0, x :1 0 使L AB BO封闭, 利用格林公式, 有
(2)当边界曲线取反方向时,Green公式中二重积 分符号前添“”号! (3)应用Green公式条件缺一不可.
3、格林公式的简单应用 (1)当L是封闭曲线时，应用格林公式简化曲线积分 注意：还应满足用格林公式的条件
例 例1 3 利用格林公式计算曲线积分 (2 x y 4)dx (3x 5 y 6)dy
y E D B
x 2 ( y)
d
d
x 1 ( y)
A
L Q( x , y )dy
c o
C
x
同理可证
P dxdy L P ( x , y )dx D y
两式相加得
Q P ( )dxdy L Pdx Qdy y D x
3
L D 证明(2) 若区域 D 由按段光 滑的闭曲线围成.如图, D1 将 D 分成三个既是 X 型又是 L Y 型的区域D1 , D2 , D3 .
1 2 2 1 2
又 ( x 2 y )dx ( x sin 2 y )dy
BA
1 cos 2 y (1 sin y )dy 1 dy 0 0 2 3 sin 2 y 1 3 sin 2 |0 2 4 2 4
1 2 1
7 sin 2 AB BO OB BA 6 4 L
AB
例 46.I 例
L
( x 2 y )dx ( x sin 2 y )dy,
L : y 2 x x 2 上由点O(0， 0)到点A(1,1)的一段弧。
5 计算 例3
AB
xdy ,其中曲线 AB 是半径为 r 的圆在第一象限部分.
0 2 0 2
2 解1 代入法, xdy r cos td (r sin t ) r cos tdt r AB 4 2 2
AB L
"格"
o
L
B
x
Q P ( )dxdy x y D
注意：L的方向为顺时 针方向，即L的反向
1 2 dxdy r . 4 D
例 4 例 6.I
L
( x 2 y )dx ( x sin 2 y )dy,
L : y 2 x x 2 上由点O(0， 0)到点A(1,1)的一段弧。
1、区域连通性
设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所 围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区 域, 否则称为复连通区域.
D
D
单连通区域
复连通区域
(不含有“洞”或“点洞”( )含有“洞”或“点洞”)
注：D的边界曲线L的正方向? 负方向
当观察者沿 L 的正向行走时, 区域 D 内离他近处的那 一部分总在他的左边.
Green 公 式 及 其 应 用
小结
曲线积分与路径无关的定义
曲线积分与路径无关的条件
曲线积分与路径无关
应用习例7-9 平面上曲线积分与路径无关的等价条件
应用习例10-12
二元函数的全微分 应用习例13-15
一、格林公式及其应用 格林（Green）公式：平面区域的二重积分与 沿此区域的第二类曲线积分的关系。 意义：微积分基本公式在二重积分情形下的推 广，不仅给计算第二类曲线积分带来新方法，更重 要的是揭示定向曲线积分与积分路径无关的条件， 在积分理论的发展中起了重要的作用。
C C
cos adx cos bdy 0dxdy 0.
C
D
Green 公式
Q P k (或形式较简单) (2)当L不是封闭曲线时， 但 x y
可添加辅助曲线使之封闭，再用Green公式简化计算。
例3 5 计算
xdy ,其中曲线 AB 是半径为 r 的圆在第一象限部分.
xdy ydx xdy ydx l 2 2 2 x y x y2
xdy ydx D 0dxdy l 2 x y2
2 2 2 2 2 xdy ydx r cos r sin l 2 d 2 . 2 0 2 x y r
L
O
A
Q P ( )dxdy 4dxdy 12 x y D D
例2.求 cos(l , n )ds, 其中l 为任一给定方向, n为闭合
C
曲线C的切向量 解： 设l 的方向余弦为 (cos a, cos b)(常数),
n的方向余弦为 (cos , cos ), 则 cos( l , n) (cos a, cos b) (cos , cos ), cos( l , n)ds (cos a cos cos b cos )ds
y
D
o y
2 2 2
L x L
xdy ydx L 2 D 0dxdy 0. 2 x y
(2) 当 ( 0,0 ) D 时,
作位于D 内的足够小圆周 l : x y r ,
记 D1 由 L 和 l 所围成,
在D1上符合Green公式的条件.
D l
r
x
o
原式 L l
L Pdx Qdy L Pdx Qdy L Pdx Qdy
1 2 3
L Pdx Qdy
( L1, L2 , L3对D来说为正方向 )
L3
D3
D2
L2
D1
L1
L
证明(3)
若区域不止由一条闭曲 线所围成.添加直线段 AB,CE. 则 D 的边界曲线由 AB, L2 ,BA, AFC,CE, L3 , EC 及 CGA 构成. D
3
D2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱL2
D
1
L
Q P Q P ( )dxdy ( )dxdy y y D x D1 D2 D3 x
Q P Q P Q P ( )dxdy ( )dxdy ( )dxdy y y y D1 x D2 x D3 x
由(2)知
Q P ( )dxdy y D x
2 3
G
L3
E
L2
B
A
L1
C F
L EC CGA } ( Pdx Qdy ) { AB L BA AFC CE
( L L L )( Pdx Qdy )
2 3 1
L Pdx Qdy
*格林（Green）[英] 1793- 1841 物理学家，数学家,自学成才
英国数学家和物理学家，仅读过两年书，回家帮父亲烤面包卖，一直到 40岁， 父亲去世后才得以到剑桥大学读书。44岁大学毕业，48岁因流行感冒去世。 但依靠自学，做出了巨大的贡献，相关成果至今仍是数学物理中的经典内容。 他的工作培育了数学物理方面的剑桥学派。
d ( y ) Q Q dxdy c dy ( y ) dx x D x
2 1
c Q( 2 ( y ), y )dy c Q( 1 ( y ), y )dy
CBE Q( x , y )dy CAE Q( x , y )dy d
CBE Q( x , y )dy EAC Q( x , y )dy
Q P )dxdy Pdx Qdy 待证表达式 ( 分析： L x y D
等价于证明
Q dxdy Qdy L x D
y型区域
P dxdy Pdx L y D
x型区域
证明依赖于区域的形状
单连通 复连通
既 x 又 y型
格林公式的实质: 积分之间的联系.
( L1, L2 , L3对D来说为正方向 )
沟通了沿闭曲线的积分与二重
L为封闭曲线（取正向） 注意:格林公式的应用条件 Ｐ，Ｑ在L所围的区域Ｄ 内有一阶连续偏导数
注意:
(1)便于记忆形式: Pdx Qdy x L D P
y dxdy Q
D
D
2、Green公式 定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 函数 在 D 上具有连续一阶偏导数, 则有
Q P Pdx Qdy ( x y )dxdy, L D
( Green公式 )
Q P 或 ( P cos Q cos )ds ( )dxdy . y L D x
高等数学A
第7章 多元函数积分学
7.2 曲线曲面积分
7.2.3 Green公式及其应用
中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组
7.2 曲线曲面积分
格林简介
格林(Green)公式
区域的连通性
应用习例1-2
格林(Green)公式
Green公式的应用
应用习例3-4
应用习例5 应用习例6 求平面区域的面积
(3)在D内有使P，Q不连续的点存在，不能直接 用格林公式，采用“挖小洞”的方法，挖去不 连续点，再用格林公式.
xdy ydx 例 5.计算 ,其中 L 为一条无重点,分段光滑 2 2 L x y 且不经过原点的连续闭曲线,L 的方向为逆时针方向.
xdy ydx 例 5.计算 ,其中 L 为一条无重点,分段光滑 L x2 y2 且不经过原点的连续闭曲线,L 的方向为逆时针方向.
L
其中L为三顶点分别为O(0, 0), A(3, 0)和B(3, 2)的三角形正向边界.
解 : P( x, y) 2 x y 4, Q( x, y) 3x 5 y 6
P Q 1, 3 y x
B
利用格林公式, 有
(2 x y 4)dx (3x 5 y 6)dy
其中L为三顶点分别为O(0, 0), A(3, 0)和B(3, 2)的三角形正向边界.
例2.求 cos(l , n )ds, 其中l 为任一给定方向, n为闭合
C
曲线C的切向量
(简化曲线积分)
例1 3 利用格林公式计算曲线积分 (2 x y 4)dx (3x 5 y 6)dy
y x 解 令P 2 , Q 2 , 2 2 x y x y Q y2 x 2 P 2 2 2 则当 x y 0 时, 有 . 2 2 x ( x y ) y D , 记 L 所围成的闭区域为
y
y
D
o
L
L
D
x o x
(1) 当(0, 0) D 时,
符合Green公式的条件.
B
Q P ( )dxdy 0 AB BO L AB BO x y L D
L AB BO OB
BA
又 ( x y )dx ( x sin y)dy
2 2 OB
1 ( x 0)dx ( x sin 0) 0 x dx 0 0 3
解 2 引入辅助曲线 L,
L OA AB BO
y
A
D
P 0, Q x
Q P 1 x y
P Q 0, 1 y x
L
B
o
x
应用 Green 公式,
有
由于OA xdy 0,
BO xdy 0,
OA BO
y
A
D
xdy xdy xdy xdy
一般区域
思路:公式两边化为同一定积分. 从简单情形出发.
y
证明(1)
若区域 D 既是 X 型 又是Y 型,即平行于 坐标轴的直线和 L 至 多交于两点.
d x 1 ( y) A c o a
E
y 2 ( x)
D
B
x 2 ( y) Cy 1 ( x ) x b
D {( x , y ) 1 ( x ) y 2 ( x ), a x b} D {( x , y ) 1 ( y ) x 2 ( y ), c y d }
解 : P( x, y) x y, Q( x, y) x sin y
2
2
P Q 1, 1 y x
Q P 0 x y
A O
添加路径AB : x 1, y :1 0; BO : y 0, x :1 0 使L AB BO封闭, 利用格林公式, 有
(2)当边界曲线取反方向时,Green公式中二重积 分符号前添“”号! (3)应用Green公式条件缺一不可.
3、格林公式的简单应用 (1)当L是封闭曲线时，应用格林公式简化曲线积分 注意：还应满足用格林公式的条件
例 例1 3 利用格林公式计算曲线积分 (2 x y 4)dx (3x 5 y 6)dy
y E D B
x 2 ( y)
d
d
x 1 ( y)
A
L Q( x , y )dy
c o
C
x
同理可证
P dxdy L P ( x , y )dx D y
两式相加得
Q P ( )dxdy L Pdx Qdy y D x
3
L D 证明(2) 若区域 D 由按段光 滑的闭曲线围成.如图, D1 将 D 分成三个既是 X 型又是 L Y 型的区域D1 , D2 , D3 .
1 2 2 1 2
又 ( x 2 y )dx ( x sin 2 y )dy
BA
1 cos 2 y (1 sin y )dy 1 dy 0 0 2 3 sin 2 y 1 3 sin 2 |0 2 4 2 4
1 2 1
7 sin 2 AB BO OB BA 6 4 L
AB
例 46.I 例
L
( x 2 y )dx ( x sin 2 y )dy,
L : y 2 x x 2 上由点O(0， 0)到点A(1,1)的一段弧。
5 计算 例3
AB
xdy ,其中曲线 AB 是半径为 r 的圆在第一象限部分.
0 2 0 2
2 解1 代入法, xdy r cos td (r sin t ) r cos tdt r AB 4 2 2
AB L
"格"
o
L
B
x
Q P ( )dxdy x y D
注意：L的方向为顺时 针方向，即L的反向
1 2 dxdy r . 4 D
例 4 例 6.I
L
( x 2 y )dx ( x sin 2 y )dy,
L : y 2 x x 2 上由点O(0， 0)到点A(1,1)的一段弧。
1、区域连通性
设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所 围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区 域, 否则称为复连通区域.
D
D
单连通区域
复连通区域
(不含有“洞”或“点洞”( )含有“洞”或“点洞”)
注：D的边界曲线L的正方向? 负方向
当观察者沿 L 的正向行走时, 区域 D 内离他近处的那 一部分总在他的左边.
Green 公 式 及 其 应 用
小结
曲线积分与路径无关的定义
曲线积分与路径无关的条件
曲线积分与路径无关
应用习例7-9 平面上曲线积分与路径无关的等价条件
应用习例10-12
二元函数的全微分 应用习例13-15
一、格林公式及其应用 格林（Green）公式：平面区域的二重积分与 沿此区域的第二类曲线积分的关系。 意义：微积分基本公式在二重积分情形下的推 广，不仅给计算第二类曲线积分带来新方法，更重 要的是揭示定向曲线积分与积分路径无关的条件， 在积分理论的发展中起了重要的作用。
C C
cos adx cos bdy 0dxdy 0.
C
D
Green 公式
Q P k (或形式较简单) (2)当L不是封闭曲线时， 但 x y
可添加辅助曲线使之封闭，再用Green公式简化计算。
例3 5 计算
xdy ,其中曲线 AB 是半径为 r 的圆在第一象限部分.
xdy ydx xdy ydx l 2 2 2 x y x y2
xdy ydx D 0dxdy l 2 x y2
2 2 2 2 2 xdy ydx r cos r sin l 2 d 2 . 2 0 2 x y r
L
O
A
Q P ( )dxdy 4dxdy 12 x y D D
例2.求 cos(l , n )ds, 其中l 为任一给定方向, n为闭合
C
曲线C的切向量 解： 设l 的方向余弦为 (cos a, cos b)(常数),
n的方向余弦为 (cos , cos ), 则 cos( l , n) (cos a, cos b) (cos , cos ), cos( l , n)ds (cos a cos cos b cos )ds
y
D
o y
2 2 2
L x L
xdy ydx L 2 D 0dxdy 0. 2 x y
(2) 当 ( 0,0 ) D 时,
作位于D 内的足够小圆周 l : x y r ,
记 D1 由 L 和 l 所围成,
在D1上符合Green公式的条件.
D l
r
x
o
原式 L l
L Pdx Qdy L Pdx Qdy L Pdx Qdy
1 2 3
L Pdx Qdy
( L1, L2 , L3对D来说为正方向 )
L3
D3
D2
L2
D1
L1
L
证明(3)
若区域不止由一条闭曲 线所围成.添加直线段 AB,CE. 则 D 的边界曲线由 AB, L2 ,BA, AFC,CE, L3 , EC 及 CGA 构成. D
3
D2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱL2
D
1
L
Q P Q P ( )dxdy ( )dxdy y y D x D1 D2 D3 x
Q P Q P Q P ( )dxdy ( )dxdy ( )dxdy y y y D1 x D2 x D3 x
由(2)知
Q P ( )dxdy y D x
2 3
G
L3
E
L2
B
A
L1
C F
L EC CGA } ( Pdx Qdy ) { AB L BA AFC CE
( L L L )( Pdx Qdy )
2 3 1
L Pdx Qdy
*格林（Green）[英] 1793- 1841 物理学家，数学家,自学成才
英国数学家和物理学家，仅读过两年书，回家帮父亲烤面包卖，一直到 40岁， 父亲去世后才得以到剑桥大学读书。44岁大学毕业，48岁因流行感冒去世。 但依靠自学，做出了巨大的贡献，相关成果至今仍是数学物理中的经典内容。 他的工作培育了数学物理方面的剑桥学派。
d ( y ) Q Q dxdy c dy ( y ) dx x D x
2 1
c Q( 2 ( y ), y )dy c Q( 1 ( y ), y )dy
CBE Q( x , y )dy CAE Q( x , y )dy d
CBE Q( x , y )dy EAC Q( x , y )dy
Q P )dxdy Pdx Qdy 待证表达式 ( 分析： L x y D
等价于证明
Q dxdy Qdy L x D
y型区域
P dxdy Pdx L y D
x型区域
证明依赖于区域的形状
单连通 复连通
既 x 又 y型
格林公式的实质: 积分之间的联系.
( L1, L2 , L3对D来说为正方向 )
沟通了沿闭曲线的积分与二重
L为封闭曲线（取正向） 注意:格林公式的应用条件 Ｐ，Ｑ在L所围的区域Ｄ 内有一阶连续偏导数
注意:
(1)便于记忆形式: Pdx Qdy x L D P
y dxdy Q
D
D
2、Green公式 定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 函数 在 D 上具有连续一阶偏导数, 则有
Q P Pdx Qdy ( x y )dxdy, L D
( Green公式 )
Q P 或 ( P cos Q cos )ds ( )dxdy . y L D x
高等数学A
第7章 多元函数积分学
7.2 曲线曲面积分
7.2.3 Green公式及其应用
中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组
7.2 曲线曲面积分
格林简介
格林(Green)公式
区域的连通性
应用习例1-2
格林(Green)公式
Green公式的应用
应用习例3-4
应用习例5 应用习例6 求平面区域的面积
(3)在D内有使P，Q不连续的点存在，不能直接 用格林公式，采用“挖小洞”的方法，挖去不 连续点，再用格林公式.
xdy ydx 例 5.计算 ,其中 L 为一条无重点,分段光滑 2 2 L x y 且不经过原点的连续闭曲线,L 的方向为逆时针方向.
xdy ydx 例 5.计算 ,其中 L 为一条无重点,分段光滑 L x2 y2 且不经过原点的连续闭曲线,L 的方向为逆时针方向.
L
其中L为三顶点分别为O(0, 0), A(3, 0)和B(3, 2)的三角形正向边界.
解 : P( x, y) 2 x y 4, Q( x, y) 3x 5 y 6
P Q 1, 3 y x
B
利用格林公式, 有
(2 x y 4)dx (3x 5 y 6)dy