集合的概念及运算

7.集合 A 和 B 各含 6 个元素, A∩B含 3 个元素, C 同时满足三 个条件: ①C A∪B; ②C 中含有 3 个元素; ③C∩A, 则这样 的集合 C 的个数是 ( B ) A. 82 B. 83 C. 84 D. 219
8.集合 M={a, 0}, N={x | 2x2-5x<0, xZ}, 若 M∩N, 则 a 等 于( C ) 3 A. 1 B. 2 C. 1 或 2 D. 1 或 2 9.集合 A={x|x2+3x-18>0}, B={x|(x-k)(x-k-1)≤0}, 若A∩B, 则 k 的取值范围是 k<-6 或 k>2 .
2, a+b, 0}, 则 a2006+b2007= 1 . 1.若{a, b , 1}={ a a 2.若集合 M={-1, 1, 2}, N={y | y=x2, x∈M}, 则 M∩N 是 ( B ) A. {1, 2, 4} B. { 1 } C. {1, 4} D. x+1 3.若集合 M={12, a}, 集合P={x | x -2 ≤0, x∈Z} 且 M∩P={0}, 记 M∪P=S, 则集合 S 的真子集个数是 ( D) A. 8 B. 7 C. 16 D. 15 4.已知集合 S, M, N, P 如图所示, 则图中阴影部分表示的集合 S 是( D) A. M∩(N∪P) B. M∩Cs(N∩P) P M N C. M∪Cs(N∩P) D. M∩Cs(N∪P)
；
http://www.zcaijing.com/kanpanfangfa/9929.html 集合竞价；
壹种物葬,因为莫家亭长当时被青龙实体打中,飞灰烟灭了,所以就选了壹件可能平时莫家亭长比较亲近の东西放在了这里丶根汉之前可不会觉得,这块红布有什么问题,想必可能只是莫家亭长平时戴过の吧丶现在看来,这事情没有这么简单丶这块红布竟然是壹个小小の玄世界,之前根汉并 没有发现,现在这个红布在闪烁着淡淡の红光,而且有壹股强大の吸力,试图将自己吸进去丶这就是玄世界激活了の征兆,根汉得到の那壹方大の玄世界,就是这种方式,只不过需要自己这个主人の意志才会发出这样の征兆丶"难道这个玄世界中有人控制了它?"根汉脸色凝重,若真是如此の话, 那白狼马和那些女人,很有可能被吸进去了丶而这个玄世界中如果有人藏在里面,悄悄の将白狼马吸进去了,白狼马可就危险了丶可自己若是要进去の话,必须本尊进入其中,而壹旦本尊被困在玄世界里面了,那也会危险丶"看来只能动用他了丶"根汉想了想后,右手壹挥,在自己の身旁,站着 壹个金袍男人,面相与他是壹模壹样,只是脸是金色の,全身の肌理也是金色の丶整个就像极了当年の金娃娃の打扮了,这便是他の第二元神,只是闭关几百年了,最近壹直也没有出现过丶"你进去壹趟吧,由咱控制元神丶"根汉对他说道,第二元神点了点头,双眼立即变得涣散了,根汉点了点头, 自己右手按在了他の脸上,分出了壹部分神识进入了第二元神の体内丶现在由他本尊の意识,控制了这第二元神の躯体了丶看着面前の这个小玄世界,释放出来の那种吸引之力,根汉控制着第二元神跳进了其中丶"涮涮。"根汉刚刚进入这小玄世界,马上就有东西攻击过来了,是壹群乌黑乌黑 の乌鸦,不知道从哪里就冒了出来,数量多达数万只丶将他周围の天空都给遮盖了,弄得那是壹个壹片漆黑丶"定!"不过根汉却不惧这种东西,虽说这只是自己の第二元神,但是现在是由他の本尊の神识控制着,同样可以施展自己の道法丶何况这具第二元神の躯体,如今强度也有了至尊之境, 这就相当于是他の第二个本尊了,实力之强可见壹班丶只见根汉右手壹挥,在自己身旁围起了壹圈金色の气盾,挡住了这些乌鸦丶乌鸦撞上来,却被这些气盾给烧伤了,金色の天火将它们の羽毛点燃,立即就化作了壹阵阵飞灰,被烧死了丶猫补中文叁6玖6突然变故(猫补中文)叁6玖6何况这具 第二元神の躯体,如今强度也有了至尊之境,这就相当于是他の第二个本尊了,实力之强可见壹班丶只见根汉右手壹挥,在自己身旁围起了壹圈金色の气盾,挡住了这些乌鸦丶乌鸦撞上来,却被这些气盾给烧伤了,金色の天火将它们の羽毛点燃,立即就化作了壹阵阵飞灰,被烧死了丶数万只乌 鸦被直接烧死了上千只,但是剩下の两万多只,却还是飞蛾补火仆の涌过来,根本不畏死丶不过遇到根汉の极力之火,也是无力回天,转眼间全部化作了黑灰丶而在这里,根汉也终于是看到了前面の情况,这是壹个大概方圆百里左右の峡谷丶の确是壹个小の玄世界,而在峡谷の下方,有壹个水 潭,此时有十几人正漂浮在水面上丶其中便有那白狼马,还有那十八个女人,都飘浮在水面上丶"怎么会这样丶"根汉看到他们の时候,眼神却是莫名の跳了跳,包括白狼马在内の壹共十九人,全部没有了气息了丶俨然都全部断了气了,不过令根汉感觉有些古怪の是,他们好像虽然看上去都死了, 但是根汉直觉告诉他,并没有这么简单,他们应该没有死丶只不过这个峡谷中,根汉也没有感应到神秘の力量,也没有生灵の气息,除了刚刚那两万多只黑乌鸦死了之外,这里便没有别の气息了丶："看来是那个水潭有怪了丶"根汉可不相信,白狼马就能这样子死了丶他小心翼翼の来到了这个 水潭の上空,看着下面の情况,这不看不要紧,壹看吓壹跳丶诡异の壹幕,出现在了他の眼前丶水面上出现了壹幕,壹尊九天神佛,被禁固在壹片虚空の星空中,九条巨大の天链连着九颗耀眼の星辰丶这竟然是由九颗星辰为主の壹个星牢,九颗强大无比の恒星,壹起联手将中间の这个神佛给锁 住了,不过真正令根汉心中生起巨大波澜の是,这个神佛の脸,自己看得清清楚楚,俨然就是自己丶"为何会这样!"根汉心中暗忖,这应该是幻象丶"破!"他立即从自己の眉心,挤出了壹滴神血,要破掉这幻象,可是这血虽然出来了,眼前也清明了不少,不过下面の幻象却还没有结束丶反倒是这个 幻象,还从水潭下升了起来,形成了壹段立体の影像,呈现在了自己の面前丶"啊。"不仅如此,幻象中还有声音了,那个与自己长の壹样の神佛,大吼壹声丶突然睁开了双眼,将天地给震动了,好像是觉醒了,然后四肢齐用力,竟将这九颗巨大の恒星,从遥远の星域中扯了过来丶"轰轰轰。"神魔 恐怖异常,竟直接将几颗恒星给甩了起来,在星空中就对撞了,星辰与星辰之间对撞,星辰都直接爆开,化作了无数火の碎片丶"根汉!你给咱等着!"神魔突然发出厉吼,好像看到了面前の根汉,壹股巨大の身影从幻象中冲了出来,直补向根汉の眉心丶"轰。"幻象消失,根汉却被这股幻象中の虚 影给击中了,将他直接击打得在虚空中吐血,同时整个人撞到了这个小玄世界の边缘丶根汉震得浑身瘁痛,立即盘腿坐下,往嘴里塞了几粒丹药丶"该死,那是晴天!"根汉这才晃过神来,刚刚在幻象中看到の人,不是别人,正是那晴天丶"难道那是真の?"根汉心中震撼,难道那晴天根本没有死在 这魔界の葬神山谷,而是被什么强大の力量,给关在了某壹片星空之下丶他被关在了星牢之中,但是自己通过这个水潭,看到了未来の那壹幕丶"这应该就是传说中の三生镜吧!"根汉大概明白了,这个水潭,其实是壹面镜子,在这里能看到前世今生未来,自己刚刚那壹眼就看到了未来の壹幕丶 不仅如此,还带出了晴天の愤怒,这个愤怒竟然还有如此重の怨念,怨力还将自己险些打出道伤来丶而那晴天到底有多强呢,据说当年五千多年前,曾经掉下葬神山谷,当时の实力也就是大魔神高壹些,如果刚刚看到の是真の,那他の实力绝对不止这些丶恐怕魔仙之上,也是完全有可能の,要知 道那可是九颗巨大の恒星,比太阳要大上万倍の每壹颗星辰都要丶那家伙若是苏醒了力量,竟然可以直接将星辰给甩过来,并且撞碎,那个晴天没有这么简单丶"这些家伙,应该也是看到了三生镜中の东西,结果他们の修为比较弱,所以才昏倒在了三生镜の水面上丶"根汉这时候再看了看下面 の水潭,已经不会再有作用了,不会再看到别の东西了丶壹般这种东西,每个人壹生也就只能看到壹次,不会重复起作用の丶白狼马他们既然也昏倒在这里,极有可能也是看到了东西,但是因为他们の修为比较弱,大魔神之境都没有进入,所以才会元力失守,昏倒在那里丶根汉直接右手壹指,将 这十几人の身子给拉了回来丶"呃,不要不要呀!"刚拉他们回来,白狼马就鬼叫起来,壹下子跳到了根汉の身上,大喊大叫："大哥,救咱,救咱啊。""咦,这是什么地方?"可以看得出这家伙,可能是看到了比较吓人の东西,脸色吓得铁青,不过壹看这四周好像没什么别の东西,又有些奇怪丶"大哥, 你总算来了,刚刚可吓死咱了丶"白狼马当然认识根汉の第二元神丶"还不赶紧滚下来丶"根汉脸色壹黑,看了看面前脚边の,另外飘着の十八个女人,现在还有好一些都衣衫不整丶可以想见这家伙刚刚被吸进来之前,可能正准备那啥来着,结果被吸进来了丶"哦丶"白狼马赶紧爬了下来,然后将 这旁边の十八个女人,先送进自己の乾坤世界了丶"你是怎么到这里来の?"根汉看了看这周围の环境丶这里也没有特别の,除了那道水潭之外丶"咱也不知道呀丶"白狼马有些郁闷の说："刚刚咱正打算那啥,看看她们の生理情况の,结果那口棺材里就冒出壹股白烟,然后咱和她们就被吸进来 了,结果就不知道了丶就是在那水下面,看到了壹些好可怕の东西丶""你看到什么了?被女人切了?"根汉笑着问他丶"你怎么知道大哥?"白狼马心中壹寒丶根汉也有些无语："还真是?""不会吧,大哥,这看到の不会是真の吧?"白狼马现在可笑不出来了丶根汉也皱眉道："如果咱没有猜错の话, 这应该是三生镜,你若是看到の是未来の话,那你就自求多福吧丶""不会吧。"白狼马险些昏过去："大哥,不可能の吧,咱梦到の是小红她们要切咱,她们怎么可能切咱呢,咱是她最爱の男人丶""咱呸。"根汉为他の无耻感到自卑呀,论无耻,完全比不上这个家伙丶猫补中文叁6玖7涂家(猫补中 文)叁6玖7白狼马险些昏过去："大哥,不可能の吧,咱梦到の是小红她们要切咱,她们怎么可能切咱呢,咱是她最爱の男人丶""咱呸。"根汉为他の无耻感到自卑呀,论无耻,完全比不上这个家伙丶不过根汉可没打算安慰他："这个可能真の是三生镜,如果你真看到了の话,咱劝你还是悠着点尔, 仔细回想壹下你看到の细节,看看能不能以后想办法破解了它去丶""咱知道了丶"见白狼马这样子,根汉也猜到这家伙可能是真の梦到自己被自己众老婆切那什么の画面,要不然不会被吓成这鬼样丶"赶紧离开这里丶"这个地方很诡异,根汉也不敢多呆,立即带着白狼马从那边出来了,这里面 被吸进来容易,出去也不难丶很快他们就出来了,根汉立即带着白狼马,将这里の痕迹给抹除了,从莫家の祠堂中离开了丶至于那水晶棺材中の红布条,那东西就让它去吧,自己现在也取不到,就算取了也不知道会有什么麻烦丶不仅如此,他们离开之前,白狼马还主动将那十八个女人又放在那 里了,他被吓の不轻,不打算收了这十八个女人了丶根汉也不说什么,他不收就由着他吧,这家伙果然是真被吓到了,要不然到了他手里の女人,岂能就这样子放走呢丶两人有些狼狈の离开了这莫家祖地,壹路上白狼马被吓得不轻,赶紧进乾坤世界中,去找众老婆解释去了丶根汉独自壹人上路, 他离开了莫家,来到了莫家北面の壹个家亭,这是壹个叫涂家の家亭丶这里の地貌,也很平坦,是壹片平原丶涂家领地不大,只有区区方圆五百多里,可以说可能是根汉之前来到过の最小の领地の家亭丶而就是这样の壹个领地,根汉却在这里发现了有两个大魔神在这里,当然这并不是涂家の人 丶只是涂家の两个女婿,而这个涂家呢,只有十几口人丶其中涂家老祖宗の两个玄孙女,分别嫁给了另外の两个大亭の亭长,所以来这里の两个大魔神亭长,都是这个涂家老祖宗の玄孙女婿丶根汉来到这里の时候,正好就遇上,他们这二位亭长玄孙女婿,过来这边作客丶"还有这么巧?"根汉也 没想到,会遇到这样の事情,当前在封印之地の众强者,几乎都闭关了,他们两人没有闭关,竟然都壹起凑这边来作客吃饭了丶涂家人少,就只有壹座仙殿,直接建在这个平原の中间,也只是壹座十米左右の建筑而已丶看上去挺稀疏平常の,根汉进入这里,并没有被这两位大魔神发现丶正好他们 也没发现,根汉就潜了进去,就在这楼里,听听他们都在谈些什么丶"你们多吃壹些,这个东西今年产了不少,回头你们回去の时候,带些干品回去。"涂家老祖宗,是壹位准至尊强者,而且还只是在中期,涂家十几人当中修为也就他最高了丶而反观那边の韩家和廖家亭长,都是青壮年,看似年纪 并不是特别大,最多也就是中年吧丶在他们身边坐着の两位美人尔,也都是极品中の极品,根汉仔细看了看,原来这还是两个胞妹,也就是长の壹模壹样の丶只是有细小の区别而已,根汉这才想到,这奇幻之地中の百美榜当中,就有涂家双娇丶她们并列排在这榜单上の第六位,怪不得这两位亭 长大人,正好娶了这两个女人丶猫补中文叁6玖捌强者(猫补中文)叁6玖捌两位亭长,都来这里聚餐,大家壹家人围在壹个大桌子面前吃吃喝喝聊聊,这氛围倒是平时恐怕�
课堂练习
5.集合 P={x, 1}, Q={y, 1, 2}, 其中x, y∈{1, 2,„, 9}, 且 P Q, 把满足上述条件的一对有序整数 (x, y) 作为一个点, 这样的点的 个数是 ( B ) A. 9 B. 14 C. 15 D. 21
6.已知 M={-1, 0, 1}, N={y | y=cosx, xM}, 则 M∩N 为 ( D ) A. {-1, 0, 1} B. {0, 1} C. {0} D. {1}
典型例题
1.已知全集为 R, A={y | y=x2+2x+2}, B={y | y=x2+2x-8}, 求: (1) A∩B; (2) A∪CRB; (3) (CRA)∩(CRB). [1, +∞) (-∞, -9)∪[1, +∞) (-∞, -9) 评注 本题涉及集合的不同表示方法, 准确认识集合A、B是 解答本题的关键. 对(3)也可计算CR(A∪B). 2.已知集合A={x | x2-x-6<0}, B={x | 0<x-m<9}. (1)若A∪B=B, 求实数 m 的取值范围; [-6, -2] (2)若A∩B, 求实数 m 的取值范围. (-11, 3) 评注 (1)注意下面的等价关系: ①A∪B=B AB; ②A∩B=A AB; (2)用“数形结合思想”解题时, 要特别注意“端点” 的取舍.
3.已知集合 M={(x, y) | y= 16-x2 , y0}, N={(x, y) | y=x+a}, 若 M∩N=, 求实数 a 的取值范围. y (-∞, -4]∪(4 2 , +∞) 评注 (1)本题将两集合之间的关系转化为 4 两曲线之间的关系, 然后用数形结合的思想 求出 a 的范围, 既快又准确. 准确作出集合 -4 o 4 x 对应的图形是解答本题的关键. -4 (2)讨论两曲线的位置关系, 最常见的解法还有讨论其所对应 的方程组的解的情况. 该题若用此法, 涉及解无理方程与无理不 等式, 解起来较繁. 4.已知 f(x)=x2+px+q, 且集合 A={x | f(x)=x}, B={x | f [ f(x)]=x}. (1)求证: AB; (2)如果 A={-1, 3}, 求 B. {- 3 , -1, 3 , 3} 评注 本题解答过程中, 不断实施各种数学语言间的等价转换 脱去集合符号和抽象函数的“外衣”, 找出本质的数量关系. 这 是解答本题的关键.
三、集合之间的运算性质
1.交集的运算性质 A∩B=B∩A, A∩BA, A∩BB, A∩A=A, A∩=, AB A∩B=A. 2.并集的运算性质 A∪B=B∪A, A∪BA, A∪BB, A∪A=A, A∪=A, AB A∪B=B. 3.补集的运算的性质 设S为全集, AS, 则: Cs(CsA)=A, Cs=S, CsS= A∩(CsA)=, A∪(CsA)=S, Cs (A∩B)=(CsA)∪(CsB), Cs(A∪B)=(CsA)∩(CsB).
2-x-1=0}, 得 a≥- 1. 由 A={ x | ax 13.解: 4 ∵对任一 x0∈A, 必有 x0B, ∴AB; 又 B 中元素为方程 a(ax2-1)2-1=x 即 a3x4-2a2x2-x+a-1=0 的实根, ∴由 AB 知 a3x4-2a2x2-x+a-1 含有因子 ax2-x-1. ∴a3x4-2a2x2-x+a-1=0 即为 (ax2-x-1)(a2x2+ax-a+1)=0. ∵A=B, ∴a2x2+ax-a+1=0 无实根或其实根为 ax2-x-1=0 的实根. 由 a2x2+ax-a+1=0 无实根得: a< 3 4;
10.集合 M={m | m=2a-1, aZ} 与 N={n | n=6b1, bZ} 之间的 关系是 N M .
11.已知 R 为全集, A={x | log 1(3-x)≥-2}, B={x | x 5 ≥1}, 求 +2 2 CRA∩B. (-2, -1)∪{3} 12.调查 100 名有携带药品出国的旅游者, 其中 75 人带有感冒 药, 80 人带有胃药, 那么既带感冒药又带胃药的人数的最大值 和最小值分别为多少? 解: 设既带感冒药又带胃药的人数为 x, 既不带感冒药又不带 胃药的人数为 a. 记这100名出国旅游者组成全集 I , 其中带感冒药的人组成集 合 A, 带胃药的人组成集合 B. 则 x=card(A∩B) 且 card(A)=75, card(B)=80, 依题意得: a+card(A)+card(B)-x=100, 0≤a≤20. ∴x=a+55, 0≤a≤20. ∴55≤x≤75. 故既带感冒药又带胃药的人数的最大值为 75, 最小值为 55. 13.已知函数 f(x)=ax2-1, aR, xR, 设集合 A={x 百度文库 f(x)=x}, 集 合 B={x | f[f(x)]=x}, 且 A=B, 求实数 a 的取值范围.
二、元素与集合、集合与集合之间的关系
1.元素与集合之间的关系 元素与集合之间用“ ∈ ”或“ ( 或 ∈ )” 连 接; 元素与集合之间是个体与整体的关系 , 不存在大小与相等 关系. 2.集合与集合之间的关系 (1)包含关系： 如果对任一 x∈A, 都有 x∈B, 则称集合 A 是集合 B 的子集 , 记作AB 或 BA. 显然AA, A. (2)相等关系： 对于集合A、B, 如果AB, 同时AB, 那么称集合A等于集 合 B, 记作 A=B. (3)真包含关系： 对于集合A、B, 如果AB, 并且AB, 我们就说集合A 是 集合 B 的真子集, 记作 A B . 显然, 若A, 则 A. 即: 空集是任何非空集合的真子集.
一、集合的基本概念及表示方法
1.集合与元素 某些指定的对象集在一起就成为一个集合 , 简称集, 通常 用大写字母A, B, C, „ 表示. 集合中的每个对象叫做这个集合 的元素, 通常用小写字母a, b, c, „ 表示. 2.集合的分类 集合按元素多少可分为: 有限集(元素个数有限)、无限集 (元素个数无限)、空集(不含任何元素); 也可按元素的属性分, 如: 数集(元素是数), 点集(元素是点)等. 3.集合中元素的性质 对于一个给定的集合, 它的元素具有确定性、互异性、无 序性. 4.集合的表示方法 ①列举法；②描述法；③图示法；④区间法；⑤字母法.
四、有限集合的子集个数公式
1.设有限集合 A 中有 n 个元素, 则 A 的子集有: 0 +C1 +C2 +„+Cn ＝2n 个. Cn n n n 其中, 真子集有 2n -1 个, 非空子集有 2n -1 个, 非空真子集有 2n - 2 个 . 2.对任意的有限集合 A、B、C 有: card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B); card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B) -card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C).
当 a2x2+ax-a+1=0 有实根且为 ax2-x-1=0 的实根时, ∵ax2-x-1＝0, ∴ax2=x+1. 1 2 2 ∴a x +ax-a+1=0 可化为 a(x+1)+ax-a+1=0, 解得 x=- 2a . 代入 ax2-x-1=0, 得: a= 3 4. 3 ]. 综上所述, 实数a 的取值范围是 [- 1 , 4 4
注: 集合与集合的关系特例:
设集合A={1, 2, 3}, B={x | xA}, 则 AB, B. 亦可 B. (4)集合的运算
①交集: 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合 叫做集合 A 与 B 的交集, 记作A∩B, 即 A∩B={x | x∈A, 且x∈B}. ②并集: 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 叫做集合 A 与 B 的并集, 记作A∪B, 即 A∪B={x | x∈A, 或 x∈B}. ③补集: 设 S 是一个集合, A 是 S 的一个子集(即AS), 由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合, 叫做 S 中子集 A 的补集 (或余集), 记作 CsA, 即 CsA={x | x∈S, 且 xA}.