两独立样本t检验与两配对样本t检验的异同

{| t | 2.1604}
现由样本求得x 19.925, y 20.143, sw2 0.2425, sw ， 0.则4924
t， 由0.8554
| t | 2.160于4 ，故在 0水.05平上，不能拒绝原假设，因而认为两
台机床加工的轴的平均直径一致。
二、两配对样本t检验
1、什么是两配对样本t检验？ ——根据样本数据对样本来自两配对总体的均值 是否有显著性差异进行判断。具体分为两种：
两独立样本t检验与 两配对样本t检验的异同
一、两独立样本t检验
1.什么是两独立样本t检验？ ——根据样本数据对两个样本来自的两个独 立总体的均值是否有显著差异进行判断。
2.前提： ①两样本应该是相互独立的； ②样本来自的两个总体应该服从正态分布。
3.基本实现思路
设总体 X服1 从正态分布 N 1,，12 总体 服X2从正态 分布 N2，, 2分2 别从这两个总体中抽取样本
——两者的主要区别在于数据的来源和要分析的问题。
首先测得其参数值，然后通过增加的工序加工后再次测
定其参数值，结果如下表。试问在 0.05水平上能否认
为该道工序对提高参数值有用？
序号 1
2
3
4
5
6
7
加工前 25.6 20.8 19.4 26.2 24.7 18.1 22.9
加工后 28.7 30.6 25.5 24.8 19.5 25.9 27.8
这是单个正态总体均值是否为0的检验问题。
由于 未知，因此对此问题用t检验，检验统计连变成 ，t d
sd / n
其中， d, sd分别为 d1, d2,样, dn本均值与样本标准差。在
水平上0.0拒5 绝域为
{| t | t1 2 (n 1)}
例：某企业员工在开展质量管理活动中，为提高产品的
一个关键参数，有人提出需要增加一道工序。为验证这 道工序是否有用，从所生产的产品中随机抽取7件产品，
y ~ N 2，，m且22 两者独立，从而
，m2故2 在
时1 2
x y
2 1
2 2
~ N (0,1)
nm
当
2 1
与
2分别用其无偏估计
2
s
2 X
,代sY2 替后，记
取
l
(
s
2 X
n
sY2 )2 m
/(
n2
s
4 X
(n
1)
m2
sY4 (m
1)
)
t x y
s
2 X
sY2
nm
若 l非整数时取最接近的整数，则 t*近似服从自由度是 的t
和 x11, x12,x1n1 x21, x22 ,，x2且n2 两样本相互独立。要
求检验 和1 是否2 有显著差异。
建立假设：H 0
:
2 1
，2
2
H1
:
2 1
2 2
两个正态方差
2 1
和
2常2 用各自的样本无偏方差
和sx2 去
s
2 y
估计：
s
2 x
1 n 1
n i 1
xi
x
2
,
s
不能认为该道工序对提高参数值有用
三、两种t检验的对比
独立样本的t检验过程用于检验两个独立样本是否来自 具有相同均值的总体，相当于两个正态分布总体的均 值是否相等，即检验假设 H0 : 1 是2 否成立，此检验 以t分布为理论基础。
配对样本检验用于检验两个相关的样本是否来自具有 相同均值的正态总体。即检验假设 H0 : d 0，实质就 是检验差值的均值和零均值之间的显著性。
①用于同一研究对象分别给予两种不同处理结果； ②对同一研究对象处理结果前后进行比较。 2、前提： ①两个样本应是配对的； ②样本来自的两个总体应服从正态分布。
3.基本实现思路
设两总体 X ,分Y 别服从正态分布，为实现我们的目的，最 好的方法是去考察成对数据的差 di xi yi ,i 1,。2,由,于n 两测量值之差可认为服从正态分布，故 di ~ N，(检,验2) 两样本差异转化为检验如下假设： H0 : 0, H1 : 0
分布，即 t* ~ tl
拒绝域为：
W
t
*
t1 2
l
例：甲、乙两台机床分别加工某种轴承，轴的直径分别服
从正态分布N1, 2 与 N2,，2 为检验两台机床加工的轴的平均
直径是否一致（取 ）0.0，5 从各自加工的轴中分别抽取若 干根轴测直径，结果如下：
总体 X（甲） Y（乙）
样本容量 8 7
1)}
a.
2 1
2 2
但未知时的t检验
当两个正态方差相等时，可把两个样本方
差
s
2 x
与
sY2 合并起来估计同一方差
sw2
n
1s
2 x
m
1sY2
nm2
采用如下统计量
t x y
sw
1 1 nm
拒绝与形式为
W1
t
t 1
2
n
m
2
b. 1 与 2 未知的一般场合
n与m不太大
这是 xy
x
~
~NN11，n12，2，n12
解：数据之差为：-3.1 -9.8 -6.1 1.4 5.2 -7.8 -4.9
均值与标准差分别为 检验统计量
d 3.586, sd 5.271
t d 3.586 1.80
sd
5.271
n
7
拒绝域为
t t0.9756 2.4469
样本未落入拒绝域中，所以在 0.0水5平上还
2 y
1 m 1
m i 1
2
yi y
由于其差 sx2 s的y2 分布很难获得，而其商 由 分F布提供，即
ห้องสมุดไป่ตู้sx2 / 的sy2 分布可
sx2
s
2 y
/
2 1
/
2 2
~
Fn 1, m 1
即可选用F统计量 拒绝域为W {F F
/
2
F
(n
1,
mssxy22或作1)}为检{验F 统F1计 /2 (量n 。1, m
直径 20.5 19.8 19.7 20.4 20.1 20.0 19.0 19.9 20.7 19.8 19.5 20.8 20.4 19.6 20.2
解： H0 : 1 ，2 H1 : 1 2 由于两总体方差一致但未知，故用统计量
t
sw
x y 1 n
1 m
在n 8, m 7, 0.时05， t0.975(13) ，2.1从604而拒绝域为