积分中值(函数平均值)

函数 f (x)在区间[a,b]上的平均值近似为
y0y1y2 yn1; n
（3）取极限： 每个小区间的长度趋于零.
精品课件
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
函数 f (x)在区间[a,b]上的平均值为
yliy m 0y1y2 yn 1,
n
n
yliy m 0y 1y2 yn 1b a
WH
H R
GrM2 mdrGMmR1
1 H
使飞船脱离地球引力场，即相当于
把飞船发射到无穷远处，所需作功
WlimGMm 11 GMm
H
R H精品课件 R
r
mH R
Mo
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
在地球表面地球对物体的引力就是重力
即
mg
GMm R2 ,
则有 mgR GMm,
这里 是水的密度．若有一面积为 A 的平面薄板水平
地放置在水深为 h 处，则该薄板一侧所受的水压力为 F p A．
如果平板垂直放置在水中，由于水深不同的点
处压强 p 不相等，那么平板一侧所受的水压力就不
能直接使用此公式，而采用“微元法”思想．
精品课件
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
精品课件
o
x
xdx
x
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
一端侧面的压力元素为
dF2x R2x2dx
一端侧面上所受的压力
F R2x R2x2dx 0 RR 2 x 2 d (R 2 x 2 ) 0
32
R2x2 30R
2
3
R3.
精品课件
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
解 建立坐标系如图，
取x为积分变量， x[0,5]
点击图片任意处播放\暂停
o
x xdx
取 任 一 小 区 间 [x,xd],x
5
x
精品课件
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
这一薄层水的质量为 32dx
功元素为 dw gx32d,x
d w 9.8x130 3 2dx
即 dw8.82104xdx
(UmImR)
结论：纯电阻电路中正弦交流电的平均功率等
于电流、电压的峰值的乘积的二分之一．
精品课件
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
小结
利用“微元法”思想求变力作功、水压力 和连续函数平均值等物理问题．
（注意熟悉相关的物理知识）
精品课件
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
平均功率
p 1
2
2
0
Im 2Rsi
n2t
dt
精品课件
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
p 1 2
2
0
Im 2Rsi
n2td t I2 m2R02si2n td(t)
I4 m 2R0 2 (1co 2st)d(t)
I4m2Rtsi2n2t02
Im2 R
4
2
Im2R 2
ImUm . 2
[例 5] 将直角边各为a及2a的直角三角形薄板垂直
地浸入水中，斜边朝下，直角边的边长与水面平行，且
该边到水面的距离恰好等于该边的边长，求薄板一侧所
受的压力．
解 建立坐标系如图所示，
o
y
直线AB的方程
2a
y0 x3a , 2a0 2a3a
即
y6a2x
2a B(2a,2a)
a
A(3a,0)
以x为积分变量 ，积分区间[是 2a,3a]. x
R
因而 WmgR.
发射宇宙飞船所作的功等于飞船飞行时的动能，有
mgR 1 mv2 2
r
mH
v 2gR 29.863 7113 0
R
1.12(km /s)
这就是第二宇宙速度． 精品课件
Mo
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
二、液体的压力
由物理学知道，在水深为 h 处的压强为 p h ，
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
用元素法求一个量的一般步骤：
1）选取一个积分变量，确定积分区间；
2）在积分区间上任取一小区间，以直代曲， 得所求量的微分元素（简称微元）；
3）在积分区间上对微元求定积分，得所求量.
这种方法通常叫做元素法（或微元法）．
精品课件
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
练习题
1．若一物体按规律 x c t 3作直线运动，媒
质的阻力与速度的平方成正比，则物体由 x 0
移至 xa 时，克服媒质阻力所作的功
是
27
kc
27
3 a（3 其中 k
为比例常数）
.
7
2．有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长
10 米和 6 米，高为20米，较长的底边与水面相
齐.闸门的一侧所受的水压力是 1.4371307(N) .
[例 4] 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，设
桶的底半径为 R，水的密度为 ，计算桶的一端侧面上所受
的压力．
解 在一端侧面建立坐标系如图，
取x为积分变量，积分区间是 [0, R],
在积分区间上任取小区间[ x, x dx]，
小矩形片上各处的压强近似相等
px
小 矩 形 片 的 面 积 为 2 R2x2d.x
讨论方法：分割、求和、取极限.
精品课件
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
（1）分割：把 区 间 [ a ,b ] 分 成 n 等 分
a x 0 x 1 x 2 x n 1 x n b , 每个小区间的长度 x ba;
n
（2）求和： 设各分点处的函数值为y0,y1,y2, ,yn
[a, b]上至少存在一个点 ，使得
积分中值公式
b
a
f
(
x)dx
f ( )(b a).
(a
b)
几何解释：
y
y f(x)
在 区 间 [a,b]上 至 少 存 在 一
个 点 ， 使 得 以 区 间 [ a ,b ] 为
f ()
底 边 ， 以 曲 线 yf(x )
为 曲 边 的 曲 边 梯 形 的 面 积
n
b a
nx
1
n
lim
bax0i1
yi1xb 1a lxi m 0i n1
f(xi1)x,
yb1aabf(x)dx 连续函数的平均值公式
区间长度
(ba)y(ba)f()
精品课件
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
性质7（定积分中值定理）
若函数 f ( x)在闭区间[a,b]上连续，则在积分区间
一元函数积分学
一、变力沿直线所作的功
由物理学知道，如果物体在作直线运动的过程中
有一个不变的力F 作用在这物体上，且这力的方向与
物体的运动方向一致，那么，在物体移动了距离 s
时，力F 对物体所作的功为W F s.
如果物体在运动的过程中所受的力是变化的，那 么就不能直接使用此公式，而采用“微元法”思想.
abkr2qdr
kq
1 r
b a
kq
1 a
1b.
若要考虑将单位电荷移到无穷远处，则所须功为
w
akr2qdr
kq
1 r
精品课件
a
kq a
.
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
[例 2] 一圆柱形
蓄水池高为 5 米，底半
径为 3 米，池内盛满了
水.问要把池内的水全
部吸出，需作多少功？
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
【授课时数】
总时数：2 学时。
【学习目标】
1、会求变力沿直线所作的功、液体静压力； 2、会用定积分求连续函数的平均值。
【重、难点】
重点：用元素法求变力沿直线所作的功和液体的
静压力，由定积分的元素法引出。
难点：正确使用定积分的元素法求变力沿直线所
作的功和液体的静压力，由实例讲解方法。 精品课件
r a 处沿 r 轴移动到 r b 处时，计算电场力 F 对
它所作的功．
精品课件
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
解 取r为积分变量， q
积分区间是 [a,b],
• o
a• r1 r dr b r
在[a,b]上任取小区间[r, r dr], 得功元素 dw kr2qdr,
所求功为 w
3．函数 y 2x ex 在 0 , 2 上的平均值
是 13e2 .
精品课件
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
【授课小结】
通过本课题学习，学生应该达到： 1．会求变力所作的功和液体的静压力； 2．会求函数的平均值．
【课后练习】
P067习题3.8 .
精品课件
精品课件
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
[例 1] 把一个带 q 电量的点电荷放在 r 轴上坐
标原点处，它产生一个电场．这个电场对周围的电荷有作
用力．由物理学知道，如果一个单位正电荷放在这个电场
中距离原点为 r 的地方，那么电场对它的作用力的大小
为
F
k
q r2
（k
是常数），当这个单位正电荷在电场中从
o
x xdx
5
x
w 58.82104xdx
0
8.82104
x2 2
5
0
3.462106 (J)．
精品课件
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
[例3] 使宇宙飞船脱离地球引力的速度叫第二宇宙 速度，计算第二宇宙速度.
解 与例1类似，克服地球引力把飞船从地面R处发
发射到距地心H处需作的功
o a
等 于 同 一 底 边 而 高 为 f()
b x精品课的 件 一 个 矩 形 的 面 积 。
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
[例 6] 求函数 f (x) 2x2 3x 3 在区间［1,4］
上的平均值.
解 y 1 4(2x23x3)dx 411
13[23x323x23x]14
精品课件
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
在[2a,3a]上任取小 [x,x区 d间 x],
面积元素 dA (6a2x)d,x
o
y
压力元素
2a
dF x(6a2x)dx
2a B(2a,2a)
a
薄板一侧所受的压力
A(3a,0)
F 3ax(6a2x)dx 2a
x
7[3aa 3x.223x3]32aa
19 . 2
精品课件
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
[例 7] 求纯电阻电路中正弦交流电i Im sint
在一个周期上功率的平均值（简称平均功率）.
解 设电阻为 R， 则电路中的电压为
uiRIm R sin t,
功率 puiIm 2Rsin2t,
一个周期区间 [0, 2 ],
3
精品课件
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
wenku.baidu.com
三、函数的平均值
实例：用某班所有学生身高的算术平均值来描
述这个班学生身高的概貌.
yy1y2yn n
算术平均值公式 只适用于有限个数值
问题：求气温在一昼夜间的平均温度（气温
的变化是连续的）.
入手点：连续函数 f (x)在区间[a,b]上的平均值.