数字积分插补原理

1
010 001
无溢出 1 000 ∆X∆Y同时溢出
,Y到终点停止迭代
∆X溢出修正Xi
插补计算过程如下：
累加 次数 (∆t） Y终 X积分器 X终 Y积分器 JVx JRy 溢出 点计 Jvy JRx 溢出 点计 数器 （Yi) ∆X 数器 (Xi) ∆Y
备注
∆X溢出修正Xi
12 101 001 1 001 010 001 13 101 110 001 001 14 101 011 1 0001 2 3 4 5
000 000 000 000 000 000 001 001 001 001 010 010 010 100 011
101 101 000 101 101 101 101 101 010 101 101 111 101 101 100 101 101 001
1
101 101 100
∆X,∆Y同时溢出 JE=0，插补结束
101 000 1
011 000
加工轨迹如下： Y 3 2 1 O 1 2 3 4 5 X A( 5 , 3 )
作业： 插补第一象限直线OA，起点为O( 0 , 0 ) ，终点为 A ( 2 , 6 )。取被积函数寄存器分别为JVx， JVy，余数寄存 器分别为JRx 、JRy ，终点计数器为 JE，且都是三位 二进制寄存器。试写出插补计算过程并绘制轨迹。 Y A( 2 , 6 ) 6 5 4 3 2 1 O 1 2 X
Pi(Xi,Yi) A(Xo,Yo)
Y = 1/2 ∑Xi
i=1
n m
O
X
由 X = 1/2 n ∑Yi
i=1
m
Y = 1/2 ∑Xi
i=1
n m
可看出，用DDA法进行圆弧插补时，是对加工 动点的坐 标Xi和Yi的值分别进行累加，若积分累加器有溢出， 则相应坐标轴进给一步，则圆弧积分插补器如图所示：
例：插补第一象限直线OA，起点为O( 0 , 0 ) ，终点为 A ( 5 , 3 )。取被积函数寄存器分别为JVx， JVy，余数寄存 器分别为JRx 、JRy ，终点计数器为 JE，且都是三位 二进制寄存器。试写出插补计算过程并绘制轨迹。 Y 3 2 1 O 1 2 3 4 5 X A( 5 , 3 )
如图所示，可以得到： V Vx Vy = = =K R Yi Xi 即Vx=K Yi，Vy=K Xi 因而可以得到坐标微小位移增量为： ∆X=Vx∆t=KYi∆t V Vy ∆Y=Vy∆t =KXi∆t 设∆t=1，K=1/2 n 则有：Y B(Xe,Ye) X = 1/2 ∑Yi
i=1
n
m
Vx R
（一）数字积分的基本原理 如图：从时刻t=0到t，函数Y=f(t)曲线所包围的面积可表 示为：S=∫ 0 f(t)dt Y t 若将0～t的时间划分成时间 Y=f(t) 间隔为∆t的有限区间，当∆t 足够小时，可得公式： Yo n-1 0 S=∫ tf(t)dt = ∑ Yi ∆t
i=0
即积分运算可用一系列微小 矩形面积累加求和来近似。
圆弧积分插补器： J Vx(Y)(被积函数寄存器) + ∆t J Ry(累加器) J Rx(累加器) + J Vy(X)(被积函数寄存器)
x、y坐标函数寄存器初 始时置入圆弧起点坐 X0 ,Y0
X轴溢出脉冲 ∆X ∆Y Y轴溢出脉冲
终点判别条件：
N= xe-x0 + ye-y0 且当 x= xe-x0 或 y = ye-y0 时
因而可以得到坐标微小位移增量为： ∆X=Vx∆t=KXe∆t ∆Y=Vy∆t =KYe∆t 所以，可以把动点从原点 走向终点的过程看作X、Y Y 坐标每经过一个单位时间 间隔以K Xe、 K Ye进行累加 的过程，则可得直线积分插补 V 近似表达式为： m X= ∑ (K Xe)∆t
i=1 m
A(Xe,Ye)
无溢出
∆X溢出修正Xi X到达终点。结 束插补。
插补计算过程如下：
累加 次数 (∆t） X积分器 Y积分器 终点 JVx JRx 溢出 JVy JRy 溢出 计数器 JE ∆X ∆Y
备注
0 1 2 3 4 5 6 7 8
010 000 010 010 010 100 010 110 010 000 1 010 010 010 100 010 110 010 000 1
110 110 110 110 110 110 110 110
000 110 100 1 010 1 000 1 110 100 1 010 1 1
000 初始状态 111 第一次累加 110 JRy有进位， ∆Y溢出 101 JRy有进位， ∆Y溢出 100 ∆X,∆Y同时溢出 011 ∆X,∆Y同时无溢出 ∆Y溢出 010 ∆Y溢出 001 000
+ ∆Y
累加器（余数寄存器）
被积函数寄存器与累加器相加的计算方法： 例：被积函数寄存器与累加器均为3位寄存器，被积函数 为5，求累加过程。 101 101 101 101 +）000 +）101 +）010 +）111 101 111 ① 010 ① 100 101 +） 100 ① 001
3
101 +）001 110
第一次累加
∆Y ∆Y溢出,修正Yi , Yi
1 1
100 ∆X,∆Y无溢出 011 ∆Y溢出修正Yi 010
∆Y溢出修正Yi
插补计算过程如下：
累加 次数 (∆t） Y终 X积分器 X终 Y积分器 JVx JRy 溢出 点计 Jvy JRx 溢出 点计 数器 （Yi) ∆X 数器 (Xi) ∆Y
备注
O ∆t
t T
若∆t取最小基本单位“1”，则上式可简化为： n-1 S=∑ Yi
i=0
(累加求和公式或矩形公式）
这种累加求和运算，即积分运算可用数字积分器来实现， 被积函数寄存器 ∆t 存放Y值
+ ∆Y
累加器（余数寄存器）
若求曲线与坐标轴所包围的面积，求解过程如下： 被积函数寄存器用以存放Y值，每当∆t 出现一次，被积函 数寄存器中的Y值就与累加器中的数值相加一次，并将 累加结果存于累加器中，如果累加器的容量为一个单 位面积，则在累加过程中，每超过一个单位面积，累 加器就有溢出。当累加次数达到累加器的容量时，所 产生的溢出总数就是要求的总面积，即积分值。 被积函数寄存器 ∆t 存放Y值
Vy X
Y= ∑ (K Ye)∆t
i=1
O
Vx
由此可以得到直线插补的数字积分插补器： J Vx(K Xe)(被积函数寄存器) + ∆t J Rx(累加器) J Ry(累加器) + J Vy(K Ye)(被积函数寄存器) ∆Y Y轴溢出脉冲 X轴溢出脉冲 ∆X
设经过m次累加，X、Y坐标分别达到终点，则有： m X= i=1 (K Xe)∆t =KmXe =Xe ∑ Y= ∑ (K Ye)∆t = KmYe = Ye i=1 Y 由该式可知：mK = 1,即 m= 1/K 这样，经过m次累加后，X、 Y坐标分别到达终点，而溢出 脉冲总数即为： X=Xe Y=Ye O A(Xe,Ye) V Vy Vx X
∆X,∆Y同时溢出 JE=0，插补结束
110 000
加工轨迹如下：
Y 6 5 4 3 2 1 O 1 2
A( 2 , 6 )
X
(三)数字积分圆弧插补 如图所示，设加工半径为R的第一象限逆时针圆弧AB， 坐标原点定在圆心上，A(Xo,Yo)为圆弧起点，B(Xe,Ye) 为圆弧终点，Pi(Xi,Yi)为加工动点。 Y B(Xe,Ye) Pi(Xi,Yi) A(Xo,Yo) O X
无溢出
∆X∆Y同时溢出 ,修正Xi,Yi
101 101 110 011 111 011 010 1 100 101 011 100 100 8 100 110 100 100 111 9 100 010 1 011 100 011 101 011 10 101 111 011 011 11 101 100 1 010 011 6 7 010
101 +）110 ① 011
101 +） 011 ① 000
经过2 = 8次累加完成积分运算，因为有5次溢出，所以 积分值等于5。
(二)数字积分直线插补 如图:直线段OA，起点位于原点，终点为A(Xe,Ye)，刀具 沿X、Y坐标移动的速度为Vx、Vy，则动点沿X、Y坐 标移动的微小增量为： ∆X=Vx∆t Y ∆Y=Vy∆t A(Xe,Ye) 若动点沿OA匀速移动， V、 Vx、Vy均为常数，则有： V V = Vx Vy = =K Vy OA Xe Ye 成立。 O Vx X
二、数字积分法插补
数字积分法又称数字微分分析器（Digital Differential Analyzer,简称DDA)。采用该方法进行插补，具有运算 速度快，逻辑功能强，脉冲分配均匀等特点，且只输 入很少的数据，就能加工出直线、圆弧等较复杂的曲 线轨迹，精度也能满足要求。因此，该方法在数控系 统中得到广泛的应用。
011 011 011 011 011 011 011 011
000 011 110 001 1 100 111 010 1 101 1
000 初始状态 111 第一次累加 110 JRx有进位， ∆X溢出 101 JRy有进位， ∆Y溢出 ∆X溢出 100 011 ∆X溢出 ∆Y溢出 010 ∆X溢出 001 000
m
确定K的取值： 根据每次增量∆X、∆Y不大于1，以保证每次分配的进给 脉冲不超过1，即需满足： ∆X=K Xe≤1 ∆Y=K Ye≤1 其中Xe、Ye的最大允许值受被积函数寄存器容量的限制。 n 假定寄存器有n位，则Xe、Ye的最大允许值为2 – 1。 n 若取K=1/2 、则必定满足： n n K Xe = 2 – 1 / 2 <1 n n K Ye = 2 – 1 / 2 <1 由此可定，动点从原点到达终点的累加次数为： n m=1/K=2