整数规划的特点及作用

• 整数规划的例子
– 例1：求下述整数规划问题的最优解： Maxz 3x1 2x2
2x1 3x2 14 s.t.x1 0.5x2 4.5
x1, x2 0且均取整数值
• 整数规划的例子
– 例2：某服务部门各时段（每2小时为一时段） 需要的服务员人数见下表。按规定服务员连续 工作8小时为一班。现要求安排服务员的工作 时间，使服务部门服务员总数最少。
第四章 整数规划与分配问题
•§1.整数规划的的特点及作用 •§2.分配问题与匈牙利法 •§3.分枝定界法
§1.整数规划的特点及作用
•来自百度文库整数规划数学模型的一般形式
一部分或全部决策变量取整数值的规划问题 ——整数规划
整数规划中不考虑整数条件是对应的规划问题 ——该整数规划的松弛问题
松弛问题为线性规划的整数规划问题 ——整数线性规划
1
0
约束右端项为bi 否则
则上述条件可以表示成
n
r
aij x j bi yi
j1
i 1

y1

y2

...
yr

1
3、 两组条件中满足其中的一组 若 x1 4, 则 x2 1，若 x1 4, 则 x2 3
定义 1
yi

0
第i组条件不起作用 i=1,2 第i组条件起作用
j1
定义
1 第i个约束不起作用 yi 0 否则
则上述条件可以表示成
n
aij x j bi Myi j1

y1

y2

...
ym

m

k
2、 约束条件的右端可能是r个值中的某一个
n
aij x j b1 or b2 ... or br
j1
定义
yi
max z x1 4x2
s.t

2 x1 x1
2
3x2 x2 8
3
x1, x2 0且取整数
从图上分析：
整数规划
A1 P A2
A*
A3
A4
最优解
B
C
012345678
逻辑变量在整数规划建模中的作用
1、m个约束条件中只有k个起作用。
n
aij x j bi (i 1, 2, ..., m)
则问题可以表示为 x1 4 y1M

x2 x1

1 4
y1 M y2 M

x2

3
y2 M
y1 y2 1
4 用以表示含固定费用的函数
总费用
C
j
(
x
j
)

K 0
j

c
j
x
j
目标函数是总费用最小min
(x (xj z
j 0)
0)
时段 1 2 3 4 5 6 7 8
服务员 10 8 9 11 13 8 5 3
最少人数
解：设在第j时段开始上班的人数为x j，则
min z x1 x2 x3 x4 x5

x1 10

x1 x2 8


x1 x2
x1 x2 x3
x2 x3 x4
n
Cj(
x
j
)
定义
yj

1, 0,
xj 0 xj 0
j1
则目标函数可以表示成
n
min z (c j x j K j y j )
j 1

x
j

My j
s.t. x j 0

yj

0,1
2. 整数规划问题的特征与性质
特征—变量整数性要求 来源
问题本身的要求 引入的逻辑变量的需要 性质—可行域是离散集合
• 整数线性规划一般形式：
n
max(min) z c j x j j 1
(a)


n
aij x j (, )bi
(b)
j 1 xj 0
(c)

x1
,
x2
,,
xn 中部分或全部取整数 ( d
)

整数线性规划的几种类型
• 纯整数线性规划 • 混合整数线性规划 • 0-1型整数线性规划 例如选择投资项目问题（0-1规划问题）
x3 x4 x5
9 11 13

x3 x4 x5 8

x4 x5 5

x5 3
x1, x2 , x3 , x4 , x5 0, 且为整数
• 解的特点
整数线性规划及其松弛问题比较，前者 的最优解的目标函数值不会优于后者的。
例：考虑下面的整数规划问题