11 数列的基本运算与性质

11 数列的基本运算与性质

1.数列{a n }满足：a n ＋1＝λa n －1(n ∈N *，λ∈R 且λ≠0)，若数列{a n －1}是等比数列，则λ的值等于( )

A ．1

B ．－1

C .12

D ．2

D [由a n ＋1＝λa n －1，得a n ＋1－1＝λa n －2＝λ⎝ ⎛⎭

⎪⎫a n －2λ.由于数列{a n －1}是等比数列，所以2λ＝1，得λ＝2.]

2．公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8＝16，则S 10等于( )

A ．18

B ．24

C ．30

D ．60

C [设等差数列{a n }的公差为d ≠0.由题意，得(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋6d )，即2a 1＋3d ＝0.①

∵S 8＝16，

∴8a 1＋8×72

×d ＝16，② 联立①②解得a 1＝－32

，d ＝1. 则S 10＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋10×92

×1＝30.] 3．(2019·太原模拟)已知公比q ≠1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 3＝3a 3，则S 5＝( )

A ．1

B ．5

C .3148

D .1116

D [由题意得a 1(1－q 3)1－q

＝3a 1q 2，解得q ＝－12，q ＝1(舍)，

所以S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－125

1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1116，故选D .] 4．今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月(按30天计)共织390尺布，则每天比前一天多织的布的尺数为(不作近似计算)( )

A .12

B .815

C .1629

D .

1631 C [由题意可知，该女每天的织布量成等差数列，首项是5，公差为d ，前30项和为390.根据等差数列前n 项和公式，有390＝30×5＋30×292d ，解得d ＝1629

.] 5．(2019·皖南八校联考)设{a n }是等差数列，a 2＝5，a 8＝11，且a n ＝b n ＋1－b n ，b 1＝1，则b 11＝( )

A ．59

B ．64

C ．78

D ．86

D [设{a n }的公差为d ，则a 1＋d ＝5，a 1＋7d ＝11，

∴a 1＝4，d ＝1，

∴a n ＝n ＋3.

又a n ＝b n ＋1－b n ，b 1＝1，

∴n ＞1时，b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝1＋a 1＋a 2＋…＋a n －1

＝1＋(n －1)(n ＋6)2

， ∴b 11＝86，故选D .]

6．已知等比数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，若a 2＝2，S 6－S 4＝6a 4，则a 5＝( )

A ．4

B ．10

C ．16

D ．32

C [由S 6－S 4＝a 6＋a 5＝6a 4得，

(q 2＋q －6)a 4＝0，q 2＋q －6＝0，解得q ＝2(负值已舍去)，从而a 5＝a 2·23＝2×8＝16，故选C .]

7．(2019· 湖南十校联考)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n ＋1＝S n ＋a n ＋3，a 4＋a 5＝23，则S 8＝( )

A ．72

B ．88

C ．92

D ．98

C [由S n ＋1＝S n ＋a n ＋3，得a n ＋1－a n ＝3，所以数列{a n }是公差为3的等差数列，

S 8＝8(a 1＋a 8)2＝8(a 4＋a 5)2

＝92.] 8．(2018·河南一模)在等差数列{a n }中，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使S n 达到最大值的n 是( )

A ．21

B ．20

C ．19

D ．18

B [因为a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，所以a 3＝35，a 4＝33，

从而d ＝－2，a 1＝39，S n ＝39n ＋n (n －1)2

×(－2)＝－n 2＋40n ， 所以当n ＝20时，S n 取最大值，故选B .]

9．已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12＝( )

A ．40

B ．60

C ．32

D ．50

B [由等比数列的性质可知，数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，即数列4,8，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，因此S 12＝4＋8＋16＋32＝60，选

B .]

10．设等差数列{a n }满足a 2＝7，a 4＝3，S n 是数列{a n }的前n 项和，则使得S n >0的最大的自然数n 是( )

A ．7

B ．8

C ．9

D ．10 C [⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝a 1＋d ＝7，a 4＝a 1＋3d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧

a 1＝9，

d ＝－2，

所以S n ＝9n ＋n (n －1)2

×(－2)＝－n 2＋10n ， 所以－n 2＋10n >0，所以0

11．已知函数y ＝log a (x －1)＋3(a >0，a ≠1)的图象所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{a n }的第二项与第三项，若b n ＝

1a n a n ＋1

，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 10＝( )

A .911

B .1011

C ．1

D .1211 B [对数函数y ＝log a x 的图象过定点(1,0)，

∴函数y ＝log a (x －1)＋3的图象过定点(2,3)，则a 2＝2，a 3＝3，故a n ＝n ， ∴b n ＝1a n a n ＋1＝1n －1n ＋1

， ∴T 10＝1－12＋12－13＋…＋110－111＝1－111＝1011

，故选B .] 12．等比数列{a n }的前n 项和S n ＝12

·3n ＋1＋c (c 为常数)，若λa n ≤3＋S 2n 恒成立，则实数λ的最大值是( )

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

C [a n ＝S n －S n －1＝3n ，n ≥2，q ＝3，

a 1＝92＋c ，a 2＝9，所以c ＝－32，得a n ＝3n ，S n ＝12·3n ＋1－32，所以λ·3n ≤3＋12·32n ＋1－32，得λ≤32⎝ ⎛⎭

⎪⎫3n ＋13n ，所以n ＝1时，λ≤5.故选C .] 13．设{a n }是公差为2的等差数列，b n ＝a 2n ，若{b n }为等比数列，则b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5＝________.

124 [∵{a n }是公差为2的等差数列，

∴a n ＝a 1＋2(n －1)＝a 1＋2n －2，

∵{b n }为等比数列，b n ＝a 2n ，∴b 22＝b 1b 3，

∴a 24＝a 2·a 8.