排列组合初步

学科培优 数学

“排列组合初步”

学生姓名 授课日期 教师姓名

授课时长

知识定位

理解加乘原理的根本，分辨何时使用加法原理、何时使用乘法原理

知识梳理

一、乘法原理：

我们在完成一件事时往往要分为多个步骤，每个步骤又有多种方法，当计算一共有多少种完成方法时就要用到乘法原理.

乘法原理：一般地，如果完成一件事需要n 个步骤，其中，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法 ，…，做第n 步有m n 种不同的方法，则完成这件事一共有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法．

乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响．．．．的独立步骤．．．．

来完成，这学习奥数的优点

1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。

2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。要使经过奥数训练的学生，思维更敏捷，考虑问题比别人更深层次。

3、锻炼学生优良的意志品质。可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心， 以及战胜难题的勇气。可以养成坚韧不拔的毅力

4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最大空间。

几步是完成这件任务缺一不可的

．．．．．，这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步，步步相关”.

二、加法原理：

无论自然界还是学习生活中，事物的组成往往是分门别类的，例如解决一件问题的往往不只一类途径，每一类途径往往又包含多种方法，如果要想知道一共有多少种解决方法，就需要用到加法原理.

加法原理：一般地，如果完成一件事有k类方法，第一类方法中有m

1

种不同

做法，第二类方法中有m

2种不同做法，…，第k类方法中有m

k

种不同的做法，

则完成这件事共有N= m

1 + m

2

+…+m

k

种不同的方法.

加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”.

加乘原理的区别：

加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一

种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”.

乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成，这几步是完成这件任务缺一不可的，这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步，步步相关。”

例题精讲

【试题来源】

【题目】用2、4、5、7这4个不同数字可以组成24个互不相同的四位数，将它们从小到大排列，那么7254是第多少个数？

【答案】7254

【解析】由已知得每个数字开头的各有24÷4=6个，从小到大排列7开头的从第6×3＋

1=19个开始，易知第19个是7245，第20个7254。

【知识点】排列组合初步

【适用场合】当堂例题

【难度系数】1

【试题来源】

【题目】用0、1、2、3、4这5个数字，组成各位数字互不相同的四位数，例如1023、2341等，求全体这样的四位数之和。

【答案】259980

【解析】这样的四位数共有A14×A34=96个

1、2、3、4在首位各有96÷4=24次，和为（1＋2＋3＋4）×1000×24=240000；

1、2、3、4在百位各有24÷4×3=18次，和为（1＋2＋3＋4）×100×18=18000；

1、2、3、4在十位各有24÷4×3=18次，和为（1＋2＋3＋4）×10×18=1800；

1、2、3、4在个位各有24÷4×3=18次，和为（1＋2＋3＋4）×1×18=180；

总和为240000＋18000＋1800＋180=259980

【知识点】排列组合初步

【适用场合】当堂例题

【难度系数】1

【试题来源】

【题目】如果从3本不同的语文书、4本不同的数学书、5本不同的外语书中选取2本不同学科的书阅读，那么共有多少种不同的选择？

【答案】47

【解析】因为强调2本书来自不同的学科，所以共有三种情况：来自语文、数学：3×

4=12；来自语文、外语：3×5=15；来自数学、外语：4×5=20；所以共有12＋15＋20=47

【知识点】排列组合初步

【适用场合】当堂例题

【难度系数】1

【试题来源】

【题目】有5个标签分别对应着5个药瓶，恰好贴错3个标签的可能情况共有多少种？【答案】20

【解析】第一步考虑从5个元素中取3个来进行错贴，共有C35=10，第二步对这3个瓶子进行错贴，共有2种错贴方法，所以可能情况共有10×2=20种。

【知识点】排列组合初步

【适用场合】当堂例题

【难度系数】1

【试题来源】

【题目】一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目。问：⑴如果4个舞蹈节目要排在一起，有多少种不同的安排顺序？⑵如果要求每两个舞蹈节目之间至少安排一个演唱节目，一共有多少种不同的安排顺序？

【答案】604800

【解析】⑴4个舞蹈节目要排在一起，好比把4个舞蹈?在一起看成一个节目，这样和6个演唱共有7个节目，全排列7！，加上4个舞蹈本身也有全排4！，所以共有7！×4！

=120960种。

⑵4个舞蹈必须放在6个演唱之间，6个演唱包括头尾共有7个空档，7个空档取出4个放舞蹈共有A47，加上6个演唱的全排6！，共有A47×6！=604800种。

【知识点】排列组合初步

【适用场合】当堂例题

【难度系数】1

【试题来源】

【题目】某件工作需要钳工2人和电工2人共同完成。现有钳工3人、电工3人，另有1人钳工、电工都会。从7人中挑选4人完成这项工作，共有多少种方法？

【答案】27

【解析】分两类情况讨论：

1.都会的这1人被挑选中，则有：

（1）如果这人做钳工的话，则再按乘法原理，先选一名钳工有 3种方法，再选2名电工也有3种方法；所以有3×3=9（种）。

（2）同样，这人做电工，也有9种方法。2都会的这一人没有被挑选，则也有3×3种方法。所以一共有9+9+9=27(种)方法。

【知识点】排列组合初步

【适用场合】当堂例题

【难度系数】1