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三角形角的计算专题

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三角形中的角度计算

三角形中的角度计算

三角形中的角度计算三角形是一个由三个线段构成的图形，其中三个线段相交的点称为顶点，而线段则称为边。

三角形中的角是指由两条边所构成的角，三角形共有三个内角。

在三角形中，角度的大小是由其对应的边的长度所决定的。

根据三角形内角和定理，三角形的三个内角之和总是等于180度。

在计算三角形中的角度时，我们可以利用不同的方法，如正弦定理、余弦定理和正弦定理等。

一、正弦定理正弦定理是用来计算任意一个三角形中的一个角度的方法，其基本公式为：\[\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}\]其中，a、b、c是三角形的边长，A、B、C是对应的角度。

例如，已知一个三角形的边长分别为a=6，b=8，c=10，我们可以利用正弦定理来计算三角形中的一个角度：\[\frac{6}{sinA}=\frac{8}{sinB}=\frac{10}{sinC}\]我们可以先计算角度A的大小，通过移项得到：利用反正弦函数我们可以求得角度A的大小。

二、余弦定理余弦定理是用来计算三角形中的一个角度的方法，其基本公式为：\(c^2=a^2+b^2-2ab*cosC\)通过这个定理，我们可以计算出三角形中的一个角度。

例如，已知一个三角形的边长分别为a=6，b=8，c=10，我们可以利用余弦定理来计算三角形中的一个角度：通过移项我们可以得到：利用反余弦函数我们可以求得角度C的大小。

三、正弦定理正弦定理是用来计算三角形中的一个角度的方法，其基本公式为：\(\frac{sinA}{a}=\frac{sinB}{b}=\frac{sinC}{c}\)例如，已知一个三角形的边长分别为a=6，b=8，c=10，我们可以利用正弦定理来计算三角形中的一个角度：\(\frac{sinA}{6}=\frac{sinB}{8}=\frac{sinC}{10}\)我们可以先计算角度A的大小，通过移项得到：利用反正弦函数我们可以求得角度A的大小。

三角形的角度计算掌握三角形的角度计算方法解决三角形问题

三角形的角度计算掌握三角形的角度计算方法解决三角形问题

三角形的角度计算掌握三角形的角度计算方法解决三角形问题三角形的角度计算是解决三角形问题的重要方法。

在几何学中，三角形是最基本的形状之一，其特点是由三条边和三个角构成。

通过准确计算三角形的角度，我们可以推导出其他相关信息，如边长、面积等。

本文将介绍三角形的角度计算方法，并以实例说明如何解决三角形问题。

1. 三角形的内角和定理三角形的内角和定理是基本的角度计算方法之一。

根据该定理，三角形的三个内角之和始终等于180度。

即：角A + 角B + 角C = 180°这个定理可以用于计算已知两个角度的情况下第三个角度的大小。

例如，已知三角形的角A为60°，角B为40°，则角C为180° - 60° - 40° = 80°。

2. 直角三角形的角度计算直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度。

根据三角形的内角和定理，其他两个角度之和为90度。

对于已知两个角度的直角三角形，我们可以通过这个关系计算第三个角度。

3. 利用三角函数计算角度三角函数是计算三角形角度的重要工具。

三角函数包括正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）。

这些函数的计算结果可以用来确定角度大小。

以正弦函数为例，正弦函数可以表示为：sin(角度) = 对边 / 斜边通过已知两个边的长度，我们可以计算出三角形内的角度。

例如，已知三角形的斜边边长为5，对边边长为3，我们可以计算出正弦函数的值为sin(角度) = 3 / 5。

通过查阅正弦函数表或使用计算器，我们可以得知该角度的大小。

4. 利用余弦定理计算角度余弦定理是计算非直角三角形角度的重要定理。

根据余弦定理，三角形的任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边的乘积与对应角的余弦的乘积。

应用余弦定理，我们可以计算已知三边长度的非直角三角形的角度。

例如，已知三角形的边长分别为a、b、c，我们可以利用余弦定理得到cos(A) = (b² + c² - a²) / (2bc)。

专题01 与三角形的角有关的计算(原卷版)-2023-2024学年八年级数学上册同步学与练(人教版)

专题01 与三角形的角有关的计算(原卷版)-2023-2024学年八年级数学上册同步学与练(人教版)

专题第01讲与三角形的角有关的计算1．（2022秋•海珠区校级期末）如图，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠C ＝70°．（1）∠AOB的度数为；（2）若∠ABC＝60°，求∠DAE的度数．2．（2023春•洛宁县期末）如图，AD为△ABC的高，AE，BF为△ABC的角平分线，∠CBF＝30°，∠AFB ＝70°．（1）∠BAD＝°；（2）求∠DAE的度数．3．（2023春•丰城市期末）如图，在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，BP，CP分别是∠EBC，∠FCB的平分线．（1）当∠ABC＝64°，∠ACB＝66°时，∠D＝°，∠P＝°；（2）∠A＝56°，求∠D，∠P的度数；（3）请你猜想，当∠A的大小变化时，∠D+∠P的值是否变化？请说明理由．4．（2023春•乐山期末）（1）如图1，△ABC中，延长AB到M，BP平分∠MBC，延长AC到N，CP平分∠NCB，PB交PC于点P，若∠ABC＝α，∠ACB＝β，∠BPC＝θ，求证：α＝；（2）如图2，△ABC中，E是AB边上一点，F是AC边上一点，延长AB到M，PB平分∠MBC，PF平分∠EFC，BP交PF于点P，若∠AEF＝α，∠ACB＝β，∠BPF＝θ，求证：θ＝；（3）如图3，△ABC中，E是AB边上一点，F是AC边上一点，延长EF到G，PB平分∠ABC，PF平分∠AFG，BP交PF于点P，若∠AEF＝α，∠ACB＝β，∠BPF＝θ，探究并直接写出α，β，θ之间的等量关系．5．（2022秋•黄石期末）如图，直线CD与EF相交于点O，∠COE＝60°，将一直角三角尺AOB（含30°和60°）的直角顶点与O重合，OA平分∠COE．（1）求∠BOD的度数；（2）图中互余的角有对；（3）将三角尺AOB以每秒3°的速度绕点O顺时针旋转，同时直线EF以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为ts（0≤t≤40）．①当t为何值时，直线EF平分∠AOB．②当t＝时，直线EF平分∠BOD．6．（2022秋•淮南期末）（1）如图1，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C．△ABC中，∠A＝30°，则∠ABC+∠ACB＝，∠XBC+∠XCB＝．（2）如图2，△ABC的位置不变，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ 仍然分别经过B、C，那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX+∠ACX的大小．7．（2023春•栾城区校级期末）在△ABC中，点D在线段AC上，DE∥BC交AB于点E，点F在线段AB上（点F不与点A，E，B重合），连接DF，过点F作FG⊥FD交射线CB于点G．（1）如图1，点F在线段BE上．①直接写出∠EDF与∠BGF的数量关系；②求证：∠ABC+∠BFG﹣∠EDF＝90°；（2）当点F在线段AE上时，请在备用图中补全图形，并直接写出∠EDF与∠BGF的数量关系．8．（2023春•邗江区期中）阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角α的度数是另一个内角度数的2倍，那么这样的三角形我们称为“优雅三角形”，其中α称为“优雅角”．例如：一个三角形三个内角的度数分别是、100°、，这个三角形就是“优雅三角形”，其中“优雅角”为100°．反之，若一个三角形是“优雅三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角α的度数是另一个内角度数的2倍．（1）一个“优雅三角形”的一个内角为120°，若“优雅角”为锐角，则这个“优雅角”的度数为．（2）如图1，已知∠MON＝60°，在射线OM上取一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点画射线交线段OB于点C（点C不与点O、点B重合）．若△AOC是“优雅三角形”，求∠ACB的度数．（3）如图2，△ABC中，点D在边BC上，DE平分∠ADB交AB于点E，F为线段AD上一点，且∠AFE+∠ADC＝180°，∠FED＝∠C．若△ADC是“优雅三角形”，求∠C的度数．9．（2023春•邗江区期中）综合与探究：爱思考的小明在学习过程中，发现课本有一道习题，他在思考过程中，对习题做了一定变式，让我们来一起看一下吧．在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如图1，如果∠A＝80°，那么∠BPC＝°（2）如图2，作△ABC的外角∠MBC，∠NCB的平分线交于点Q，试探究∠Q与∠BPC的数量关系．（3）如图3，在（2）的条件下，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，若∠Q＝4∠E，求∠A的度数．10．（2022秋•海丰县期末）综合与探究：【情境引入】（1）如图1，BD，CD分别是△ABC的内角∠ABC，∠ACB的平分线，说明∠D＝90°+∠A的理由．【深入探究】（2）①如图2，BD，CD分别是△ABC的两个外角∠EBC，∠FCB的平分线，∠D与∠A之间的等量关系是；②如图3，BD，CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，BD，CD交于点D，探究∠D与∠A之间的等量关系，并说明理由．11．（2023春•南阳期末）如图，在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，BP，CP分别是∠EBC，∠FCB的平分线．（1）若∠A＝30°，则∠D＝°，∠P＝°，∠D+∠P＝°；（2）当∠A变化时，∠D+∠P的值是否变化？请说明理由．12．（2023春•洪洞县期末）在△ABC中，AD⊥BC于点D．特例研究：（1）如图1，若∠BAC的平分线AE能交BC于点E，∠B＝35°，∠EAD＝5°，求∠C的度数；操作发现：如图2，点M，N分别在线段AB，AC，将△ABC折叠，点B落在点F处，点C落在点G处，折痕分别为DM和DN，点G，F都在射线DA上；（2）若∠B+∠C＝60°，试猜想∠AMF与∠ANG之间的数量关系，并说明理由；（3）将△DFM绕点D逆时针旋转，旋转角记为α（0°＜α＜360°）．记旋转中的△DMF为△DM1F1，在旋转过程中，点M，F的对应点分别为M1，F1，直线M1F1，与直线BC交于点Q，与直线AB交于点P．若∠B＝35°，∠PQB＝90°，请直接写出旋转角α的度数．13．（2023春•东方校级期末）在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如图1，如果∠A＝70°，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BPC的度数；（2）如图1，如果∠A＝α，用含α的代数式表示∠BPC；（3）探索：如图2，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分线交于点Q，试写出∠Q、∠A之间的数量关系；（4）拓展：如图3，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出∠A的度数．14．（2023春•商水县期末）【基本模型】（1）如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACD，试说明∠P＝∠A．【变式应用】（2）如图2，∠MON＝90°，A，B分别是射线ON，OM上的两个动点，∠ABO与∠BAN的平分线的交点为P，则点A，B的运动的过程中，∠P的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由．【拓展应用】（3）如图3，∠MON＝90°，作∠MON的平分线OD，A是射线OD上的一定点，B是直线OM上的任意一点（不与点O重合），连接AB，设∠ABO的平分线与∠BAO的邻补角的平分线的交点为P，请直接写出∠P的度数．15．（2023春•大荔县期末）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，△AOB的内角∠AOB与△COD的内角∠COD为对顶角，则△AOB与△COD为“对顶三角形”，根据三角形三个内角和是180°，“对顶三角形”有如下性质：∠A+∠B＝∠C+∠D．性质理解：（1）如图1，在“对顶三角形”△AOB与△COD中，则∠AOB＝85°，则∠C+∠D＝°．性质应用：（2）如图2，在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC，若∠C＝60°，∠ADE比∠BED大8°，求∠BED的度数．拓展提高：（3）如图3，BE、CD是△ABC的角平分线，且∠BDC和∠BEC的平分线DP和EP相交于点P，设∠A＝α，请尝试求出∠P的度数（用含α的式了表示∠P）．16．（2023春•金华期末）数学兴趣小组围绕“三角形的内角和是180°”，进行了一系列探究，过程如下：【论证】如图1，延长BA至D，过点A作AE∥BC，就可以说明∠BAC+∠B+∠C＝180°成立，即：三角形的内角和为180°，请完成上述说理过程．【应用】如图2，在△ABC中，∠BAC的平分线与∠ACB的角平分线交于点P，过点A作AE∥BC，M 在射线AE上，且∠ACM＝∠AMC，MC的延长线与AP的延长线交于点D．①求∠DCP的度数；②设∠B＝α，请用α的代数式表示∠D．【拓展】如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，过点A作EF∥BC，直线MN与EF相交于A点右侧的点P，∠APN＝75°．△ABC绕点A以每秒12°的速度顺时针方向旋转，同时MN绕点P 以每秒5°的速度顺时针方向旋转，与EF重合时MN再绕着点P以原速度逆时针方向旋转，当△ABC 旋转一周时，运动全部停止，设运动时间为t秒，在旋转过程中，是否某一时刻，使得MN与△ABC的一边平行？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．17．（2023春•云浮期末）如图1，在直角三角形ABC中，∠CAB＝90°，∠C＝30°，现将△ABC绕点A 顺时针旋转α角度得到△ADE．（1）若α＝28°时，则∠DAC＝°；若0°＜α＜90°时，α与∠CAE的关系是；（2）∠DAC与∠BAE有怎样的关系？请说明理由；（3）在旋转过程中，若0°＜α＜180°时，△ADE与△ABC这两个三角形是否存在一组边互相平行？若存在，请求出α的所有可能取值．18．（2023春•荣成市期末）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与平面镜a所夹的锐角∠1＝∠2．（1）如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m平行，且∠1＝50°，则∠2＝，∠3＝；（2）图2中，当被b反射出的光线n与光线m平行时，不论∠1如何变化，∠2与∠1总具有一定的数量关系，请猜想∠2和∠1的数量关系，并说明理由；（3）图2中，请你探究：当任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行，求两平面镜a、b的夹角∠3的度数；（4）如图3，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m垂直，求出此时∠O的度数？（友情提示：三角形内角和等于180°）19．（2023春•定兴县期末）综合与实践课上，同学们以“一个含30°角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，如图，已知两直线a，b且a∥b，三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∠BAC＝30°．操作发现：（1）如图1，若∠1＝42°，求∠2的度数；（2）小聪同学把图1中的直线a向上平移得到如图2，请你探究图2中的∠1与∠2的数量关系，并说明理由．（3）小颖同学将图2中的直线b向上平移得到图3，若∠2＝4∠1，求∠1的度数．20．（2023春•盐都区期中）【教材呈现】苏科版义务教育数学教科书七下第42页第20题，是一道研究双内角平分线的夹角和双外角平分线夹角的数学问题，原题如下．在△ABC中，∠A＝n°．（1）设∠B、∠C的平分线交于点O，求∠BOC的度数；（2）设△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线交于点O′，求∠BO′C的度数；（3）∠BOC与∠BO′C有怎样的数量关系？【问题解决】聪聪对上面的问题进行了研究，得出以下答案：如图1，在△ABC中，∠A＝n°．（1）∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC的度数为；（2）△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线交于点O′，则∠BO′C的度数为；（3）∠BOC与∠BO'C的数量关系是．（4）【问题深入】：如图2，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，将△ABC沿MN折叠使得点A与点O重合，请直接写出∠1+∠2与∠BOC的一个等量关系式；（5）如图3，过△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线的交点O′，作直线PQ交AD于点P，交AE 于点Q．当∠APQ＝∠AQP时，∠CO′Q与∠ABC有怎样的数量关系？请直接写出结果．21．（2023春•郯城县期中）已知AB∥CD，直线MN交AB、CD交于点M、N．（1）如图1所示，点E在线段MN上，设∠MBE＝15°，∠MND＝70°，则∠MEB＝．（2）如图2所示，点E在线段MN上，∠1＝∠2，DF平分∠EDC，交BE的延长线于点F，试找出∠AEN、∠1、∠3之间的数量关系，并证明；（提示：不能使用“三角形内角和是180°”）．（3）如图3所示，点B、C、D在同一条直线上，∠ABC与∠ACD的角平分线交于点P，请直接写出∠A与∠P的数量关系：．22．（2023春•单县期末）如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝38°，∠C＝64°．（1）求∠DAE的度数；（2）如图②，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”，∠B＝α，∠C＝β（α＜β），请用α、β的代数式表示∠DFE．23．（2023春•秀英区校级月考）如图，在△ABC中，∠CBD、∠BCE是△ABC的外角，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，BQ平分∠CBD，CQ平分∠BCE．（1）若∠A＝70°，求∠P＝度；（2）求∠PBQ及∠PCQ的度数；（3）若∠A＝α，求∠P及∠Q的度数．（用含α的代数式表示）24．（2023•东兴区校级二模）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A 的度数．25．（2023春•桂林期末）实验与探究小芳同学在用数学图形软件探究平行线的性质时，进行如下实验与探究：在直线CD上取一定点N，作一任意三角形MNP，过点M作直线AB∥CD，并标记∠BMP为∠1，∠DNP为∠2，请用平行线的相关知识解决下列问题．（1）如图1，小芳发现，当点P落在直线AB与CD之间时，总有∠1+∠2＝∠P的结论，请你帮小芳说明理由；（2）将三角形MNP绕点N旋转，当点P落在直线AB与CD之外时（如图2），小芳发现∠1，∠2，∠P之间依然满足某种数量关系，请你写出这个数量关系，并说明理由；（3）如图3，当点P落在直线AB与CD之间时，小芳用数学软件作出∠AMP与∠CNP的角平分线MQ 和NQ，交点为点Q，发现∠P与∠MQN之间也满足某种数量关系，请你写出这个数量关系，并说明理由．26．（2023春•徐州期末）已知：在△ABC中，∠BAC＝α．过AC边上的点D作DE⊥BC，垂足为点E．BF为△ABC的一条角平分线，DG为∠ADE的平分线．（1）如图1，若α＝90°，点G在边BC上且不与点B重合．①判断∠1与∠2的数量关系，并说明理由；②判断BF与GD的位置关系，并说明理由；（2）如图2，若0°＜α＜90°，点G在边BC上，DG与FB的延长线交于点H，用含α的代数式表示∠H，并说明理由；（3）如图3，若0°＜α＜90°，点G在边AB上，DG与BF交于点M，用含α的代数式表示∠BMD，则∠BMD＝．27．（2023春•江都区期末）如图，在△ABC中，∠B＞∠C，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC．（1）若∠B＝64°，∠C＝42°，则∠DAE＝°；（2）∠B、∠C与∠DAE有何数量关系？证明你的结论；（3）点G是线段CE上任一点（不与C、E重合），作GH⊥CE，交AE的延长线于点H，点F在BA的延长线上．若∠FAC＝α，∠GHE＝β，求∠B、∠C（用含α、β代数式表示）．28．（2023春•增城区期末）如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平分∠AEF交CD于点M，且∠FEM＝∠FME．（1）直线AB与直线CD是否平行，说明你的理由；（2）如图2，点G是射线MD上一动点（不与点M，F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H 作HN⊥EM于点N，设∠EHN＝α，∠EGF＝β．①当点G在点F的右侧时，若β＝60°，求α的度数；②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．29．（2023春•信都区期末）在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是线段AC上的动点（不与点D重合），过点E作EF∥BC交射线BD于点F，∠CEF的平分线所在直线与射线BD交于点G．（1）如图，点E在线段AD上运动．①若∠ABC＝40°，∠C＝60°，则∠A的度数是；∠EFB的度数是，②探究∠BGE与∠A之间的数量关系，并说明理由；（2）若点E在线段DC上运动时，请直接写出∠BGE与∠A之间的数量关系．30．（2023春•曹县期末）如图，∠AOB＝90°，点C、D分别在射线OA、OB上，CE是∠ACD的平分线，CE的反向延长线与∠CDO的平分线交于点F．（1）在图1中，当∠CDO＝50°时，求∠F的度数；（2）如图2，当C、D两点分别在射线OA、OB上移动时（不与点O重合），其他条件不变，∠F的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，试求出∠F的度数．。

三角形的角度计算

三角形的角度计算

三角形的角度计算三角形是几何学中最基本的形状之一，它由三条边和三个内角组成。

在解决与三角形相关的问题时，计算各个角度的大小是十分重要的。

本文将介绍常见的计算三角形角度的方法，包括正弦定理、余弦定理和基本角度关系。

1. 使用正弦定理计算角度正弦定理是指在任意三角形ABC中，边长与角度之间存在关系：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)。

其中，a、b、c分别表示三角形的边长，A、B、C为对应的角度。

根据这一定理，我们可以通过已知两边和一个角度，来求解其他角度。

例如，已知三角形ABC的边长分别为a=3，b=4，c=5，我们需要计算角度A所对应的角度。

根据正弦定理：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)我们可以得到：3/sin(A) = 4/sin(B) = 5/sin(C)将已知数据代入：3/sin(A) = 4/sin(B) = 5/sin(C)通过求解，我们可以得到：sin(A) ≈ 0.6，此时的角度A约等于36.87°2. 使用余弦定理计算角度余弦定理是指在任意三角形ABC中，边长与角度之间存在关系：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(C)。

其中，a、b、c分别表示三角形的边长，C表示对应的角度。

例如，已知三角形ABC的边长分别为a=4，b=5，c=6，我们需要计算角度C所对应的角度。

根据余弦定理：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(C)将已知数据代入：6^2 = 4^2 + 5^2 - 2 * 4 * 5*cos(C)通过求解，我们可以得到：cos(C) ≈ 0.7，此时的角度C约等于45.57°3. 基本角度关系在某些情况下，我们可以通过已知角度关系直接计算三角形的角度。

例如，对于直角三角形，我们知道其中一个角度为90度，而其他两个角度之和为90度；对于等边三角形，每个角度都是60度。

此外，对于一个普通的三角形ABC，根据角度和的关系，我们可以得知：角度A + 角度B + 角度C = 180度。

三角形的角度计算

三角形的角度计算

三角形的角度计算三角形是基础几何学中的一个重要概念，它包含了三条边和三个角。

在解决三角形相关问题时，计算三角形的角度是一个常见的需求。

本文将介绍三角形的角度计算方法，包括直角三角形、一般三角形和特殊三角形。

一、直角三角形的角度计算直角三角形是指其中一个角为直角（90°）的三角形。

对于直角三角形，角度的计算相对简单。

根据直角三角形的性质，一旦我们知道了任意两个角的角度，就可以计算出第三个角。

例1：已知直角三角形的两个角分别为30°和60°，求第三个角的度数。

解：设第三个角的度数为x。

由直角三角形的性质可知，三个角的和等于180°。

因此可列立方程：30° + 60° + x = 180°，解得x = 90°。

所以第三个角的度数为90°。

二、一般三角形的角度计算一般三角形是指没有任何特殊角度关系的三角形。

对于一般三角形，角度的计算相对复杂一些。

我们可以利用三角形内角和等于180°的性质，结合一些基本的三角函数关系，进行角度的计算。

例2：已知三角形的三条边分别为a、b、c，求三个角的度数。

解：根据三角形内角和等于180°的性质，我们可以列出以下三个方程：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cosAb^2 = a^2 + c^2 - 2ac*cosBc^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC其中A、B、C分别表示三个角的度数。

通过解这组方程，我们可以得到三个角的度数。

三、特殊三角形的角度计算特殊三角形是指具有特殊角度关系的三角形，包括等腰三角形和等边三角形。

对于特殊三角形，角度的计算相对简单。

1. 等腰三角形的角度计算等腰三角形是指两条边长度相等的三角形。

对于等腰三角形，两个底角是相等的，顶角与底角的和为180°。

例3：已知等腰三角形的底角度数为x，求其顶角角度。

解：由等腰三角形的性质可知，底角的度数为x，因此顶角的度数为180° - x。

专题10 多个等腰三角形求角度(解析版)

专题10 多个等腰三角形求角度(解析版)

专题10 多个等腰三角形求角度1．如图，在第一个△ABA 1中，∠B ＝20°，AB ＝A 1B ，在A 1B 上取一点C ，延长AA 1到A 2，使得A 1A 2＝A 1C ，得到第二个△A 1A 2C ；在A 2C 上取一点D ，延长A 1A 2到A 3，使得A 2A 3＝A 2D ；…，按此做法进行下去，则第5个三角形中，以点A 4为顶点的等腰三角形的底角的度数为（ ）A ．5°B ．10°C ．175°D ．170°【答案】A【解析】【分析】 根据第一个△ABA 1中，∠B =20°，AB =A 1B ，可得∠BA 1A =80°，依次得∠CA 2A 1=40°…即可得到规律，从而求得以点A 4为顶点的等腰三角形的底角的度数．【详解】解：1ABA △中，20B ∠=︒，1AB A B =，1180802B BA A ︒-∠∴∠==︒， 121A A AC =，1BA A ∠是△12A A C 的外角， 121402BA A CA A ∠∴∠==︒ 同理可得：3220DA A ∠=︒，4310EA A ∠=︒，1802n n A -︒∴∠=， ∴以点4A 为顶点的等腰三角形的底角的度数为：548052A ︒∠==︒． 故选：A ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、规律型：图形的变化类，解决本题的关键是根据等腰三角形的性质求出底角的度数然后发现规律．2．如图，8∠=︒BOC ，点A 在OB 上，且1OA =．按下列要求画图：以A 为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点1A ，得第1条线段1AA ；再以1A 为圆心，1为半径向右画弧交OB 于点2A ，得第2条线段12A A ；再以2A 为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点3A ，得第3条线段23A A ；……这样画下去，直到得第n 条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n 的值是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】C【解析】【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质依次可得∠A 1AA 2的度数，∠A 3A 1A 2的度数，∠A 3A 2A 4的度数，∠A 4A 3C 的度数，…依次得到规律，再根据三角形外角小于90°，即弧线与角的另一边无交点，即可求解.【详解】由题意可知：AO =A 1A ,A 1A =A 2A 1，…则∠AOA 1=∠OA 1A ,∠A 1AA 2=∠A 1A 2A ，…∵∠BOC =8°，∴∠A 1AA 2=16°，∠A 3A 1A 2=24°，∠A 3A 2A 4=32°，∠A 4A 3C =40°，…∴8°n ＜90°，解得n ＜1114， ∵n 为整数，故n =11.故选C.【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是根据题意找到规律进行求解.3．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD ＝DE ，∠BAD ＝19°，∠EDC ＝11°，则∠DAE 的度数为（ ）A ．59°B ．57°C ．61°D ．60° 【答案】C【解析】【分析】设DAE x ∠=，则由等腰三角形的性质可得，180192x C ︒-︒-∠=，AED x ∠=，利用三角形的外角性质可得AED C EDC ∠=∠+∠，由此解方程求出x ，即DAE ∠的度数．【详解】解：设DAE x ∠=，AB AC =，∴1801801922BAC x C ︒-∠︒-︒-∠==， AD DE =，∴AED DAE x ∠=∠=，AED C EDC ∠=∠+∠，∴18019112x x ︒-︒-=+︒， 解得61x =︒，∴61DAE ∠=︒．故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．4．如图，已知∠MON ＝30°，点A 1，A 2，A 3，…在射线ON 上，点B 1，B 2，B 3，…在射线OM 上，△A 1B 1A 2，△A 2B 2A 3，△A 3B 3A 4，…均为等边三角形，若OA 1＝1，则△A 8B 8A 9的边长（ ）A ．16B ．64C ．128D ．256【答案】C【解析】【分析】据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2=2B1A2，得出A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2…进而得出答案．【详解】如图，∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°-120°-30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°-60°-30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1，∴A2B1=1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，∴A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2=16，…∴△AnBnAn+1的边长为2n-1，∴△A8B8A9的边长为28-1=27=128．故选C．【点睛】本题考查的是等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出A 3B 3=4B 1A 2，A 4B 4=8B 1A 2，A 5B 5=16B 1A 2进而发现规律是解题关键．5．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的借助如图①所示的“三等分角仪”能三等分任意一角．如图②，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒OA ，OB 组成，两根棒在O点相连并可绕O 转动，点C 固定，点D ，E 可在槽中滑动，OC CD DE ==．若81BDE ∠=︒，则AOB ∠的度数是（ ）A ．24°B ．27°C ．30°D ．33°【答案】B【解析】【分析】 设∠O =x ，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得∠BDE =∠O +∠OED =3x =81°，再根据三角形内角和定理即可解决问题．【详解】解：设∠O =x ，∵OC =CD ，∴∠O =∠CDO =x ，∴∠DCE =2x ，∵DC =DE ，∴∠DCE =∠DEC =2x ，∴∠BDE =∠O +∠OED =3x =81°，∴x =27°，∴∠AOB =27°．故选：B【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．6．某兴趣小组开展了一次探究活动，过程如下：设()090BAC θθ∠=︒<<︒，现把长度相等．．．．的小棒依次摆放在射线AB 、AC 之间，并使小棒两端分别落在两射线上，从点A 1开始，依次向右摆放，其中A 1A 2为第1根小棒，且A 1A 2=AA 1．若只能摆放5根小棒，则θ的范围是（ ）．A ．15°＜θ＜18°B ．15°＜θ≤18°C ．15°≤θ＜18°D ．15°≤θ≤18°【答案】C【解析】【分析】根据三角形外角的性质以及等腰三角形的性质，用θ表示出其它角度，再题目条件，列出不等式，即可求出最后的范围．【详解】解：∵A 1A 2=AA 1，∴12AA A 为等腰三角形，再根据三角形外交的性质，得212A A C A ∠=∠，又∵小棒长度都相等，∴123A A A △为等腰三角形，∴231212A A A A AC A ∠=∠=∠， ∴232313BA A A A A A A ∠=∠+∠=∠，同理可得到434534A A C A A A A ∠=∠=∠，64546555A A A A A A A θ∠=∠=∠=，654656A A C A A A A θ∠=∠+∠=，又∵只能摆放五根小棒，∴690590θθ≥︒⎧⎨<︒⎩， 解得1518θ︒≤<︒，故选：C ．【点睛】本题只要考察了一元一次不等式，等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是找到等量关系，列出相应的不等式，求出最后答案．7．如图，点B ，C 在射线AN 上，点D ，E 在射线AM 上，且AB BE CE CD AD ====，则A ∠的度数是（ ）A ．28︒B ．30C ．34︒D ．36︒【答案】D【解析】【分析】设A x ∠=，根据等边对等角可得ACD AEB x ∠=∠=，由外角的性质2CBE CDE x ∠=∠=，根据三角形内角和定理5180A BCE CED x ∠+∠+∠==︒即可．【详解】解：设A x ∠=， AB BE CE CD AD ====∴ACD AEB x ∠=∠=，由三角形的外角的性质得；2CBE CDE x ∠=∠=，根据等边对等角得，2BCE CED x ∠=∠=，根据三角形内角和定理，5180A BCE CED x ∴∠+∠+∠==︒，36x ∴=︒，36A ∴∠=︒，故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质、三角形内角和，解题的关键是找到角与角之间的关系，通过三角形内角和定理建立等式求解．8．如图，在第1个1ABA △中，30B ∠=︒，1AB A B =，在1A B 上取一点C ，延长1AA 到2A ，使得121A A AC =；在2A C 上取一点D ，延长12A A 到3A ，使得232A A A D =；…按此作法进行下去，第n 个三角形的以n A 为顶点的内角的度数为（ ）A ．1302n +︒B ．1752nC ．1752n +︒D ．1302n -︒ 【答案】B【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA 1A 的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA 2A 1，∠DA 3A 2及∠EA 4A 3的度数，找出规律即可得出第n 个三角形的以An 为顶点的内角的度数．【详解】解：∵在△ABA 1中，∠B ＝30°，AB ＝A 1B ，∴∠BA 1A ＝180°−∠B 2＝75°，∵A 1A 2＝A 1C ，∠BA 1A 是△A 1A 2C 的外角，∴∠CA 2A 1＝∠BA 1A 2＝75°÷2＝37.5°；同理可得∠DA 3A 2＝18.75°，∠EA 4A 3＝9.375°，∴第n 个三角形的以An 为顶点的内角的度数为1752n ， 故选：B ．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CA 2A 1，∠DA 3A 2及∠EA 4A 3的度数，找出规律是解答此题的关键．9．如图，ABC 中，∠A ＝30°，AB ＝AC ，D 、E 分别是AC 、AB 上两点，且BD ＝BE ＝BC ，连接DE ，则∠BDE ＝_________【答案】67.5°【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠C =∠ABC =75°，再由BD =BC ，得到75BDC C ∠=∠=︒，则45EBD ABC DBC ∠=∠-∠=︒，由BD =BE ，则18067.52EBD BDE BED ︒-∠∠=∠==︒． 【详解】解：∵∠A =30°，AB =AC ， ∴180===752A C ABC ︒-︒∠∠∠， ∵BD =BC ，∴75BDC C ∠=∠=︒，∴18030DBC C BDC ∠=︒-∠-∠=︒，∴45EBD ABC DBC ∠=∠-∠=︒，∵BD =BE ， ∴18067.52EBD BDE BED ︒-∠∠=∠==︒， 故答案为：67.5°．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟知三角形内角和定理和等腰三角形的性质是解题的关键．10．某数学兴趣小组开展了一次数学活动，其过程如下：如图，设∠BAC =α（0°＜α＜90°）．现把小棒依次摆放在两射线AB 、AC 之间，并使小棒两端分别落在两条射线上，从点A 1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A 1A 2为第1根小棒，且A 1A 2=AA 1，若只能摆放5根相同的小棒，则α的取值范围是__________．【答案】15°≤α＜18°【解析】【分析】本题需先根据已知条件，列出不等式，解出α的取值范围，即可得出正确答案．【详解】解：∵A 1A 2=AA 1，∴∠A =∠A 1A 2A =α，∵A 1A 2=A 2A 3，∴∠A 2A 1A 3=∠A 2A 3A 1=2α，∵A 3A 2=A 3A 4，∴∠A 3A 4A 2=∠A 3A 2A 4=α+2α=3α，∵A 4A 3=A 4A 5，∴∠A 4A 3A 5=∠A 4A 5A 3=α+3α=4α，∵根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，∴6α≥90°，5α＜90°，∴15°≤α＜18°．故答案为：15°≤α＜18°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，在解题时要注意根据题意找出规律并与等腰三角形的性质相结合是本题的关键．11．如图，D ，E 为ABC 的边BC 上两点，80AEC ∠=︒，BD AD =，DE AE CE ==，则BAC ∠的度数为______．【答案】110°##110度 【解析】【分析】由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求解∠CAD ＝90°，利用三角形外角的性质及等腰三角形的性质可求解∠BAD 的度数，进而可求解．【详解】解：∵DE ＝AE ＝CE ，∴∠ADE ＝∠DAE ，∠C ＝∠CAE ，∵∠ADE ＋∠DAE ＋∠C ＋∠CAE ＝180°，∴∠DAE ＋∠CAE ＝∠CAD ＝90，∵∠AEC ＝80°，∴∠ADE ＋∠DAE ＝∠AEC ＝80°，∴∠ADE ＝∠EAD ＝40°，∵BD ＝AD ，∴∠B ＝∠BAD ，∵∠ADE ＝∠B ＋∠BAD ＝2∠BAD ，∴∠BAD ＝20°，∴∠BAC ＝∠BAD ＋∠CAD ＝20°＋90°＝110°．故答案为：110°．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，求解∠CAD 的度数是解题的关键．12．如图，在ABC 中，已知AB AC BD ==，215∠=︒，那么1∠的度数为________．【答案】65︒【解析】【分析】根据AB AC BD ==，可得C B ∠=∠,13∠=∠，根据三角形的内角和定理，以及三角形的外角性质列出方程组解方程组即可求解．【详解】解：如图，∵AB AC BD ==∴C B ∠=∠,13∠=∠，23180B C ∠+∠+∠+∠=︒1318022C ∴∠=∠=︒-∠-∠又12C ∠=∠+∠218022C C ∴∠+∠=︒-∠-∠318022C ∴∠=︒-∠18030503C ︒-︒∴∠==︒ 12155065C ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒故答案为：65︒【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及三角形的外角性质，等边对等角求角度，二元一次方程组的应用，掌握以上知识是解题的关键．13．小丽从一张等腰三角形纸片ABC （AB ＝AC ）中恰好剪出五个如图所示的小等腰三角形，其中BC ＝BD ，EC ＝EF ＝FG ＝DG ＝DA ，则∠B ＝_________°．【答案】67.5【解析】【分析】根据等腰三角形的性质等边对等角求解即可．【详解】解：设∠ECF ＝x ，∵EC ＝EF ，∴∠EFC ＝∠ECF ＝x ，∴∠GEF ＝2x ，∵EF ＝GF ，∴∠FGE ＝∠GEF ＝2x ，∴∠DFG ＝∠FGE +∠ECF ＝3x ，∵DG＝GF，∴∠GDF＝∠DFG＝3x，∴∠AGD＝∠GDF+∠ECF＝4x，∵DG＝DA，∴∠A＝4x，∴∠BDC＝∠A+∠ECF＝5x，∵BC＝BD，∴∠BDC＝∠BCD＝5x，∴∠ACB＝∠BCD+∠ECF＝6x，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACD＝6x，∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，∴4x+6x+6x＝180°，解得：x＝454︒，∴∠B＝4564︒⨯＝67.5°．故答案为：67.5．【点睛】本题主要考查了等腰三角形，熟练掌握等腰三角形的性质：等边对等角是解答本题的关键．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边AC上一点，AD＝BD，BC＝DC，则∠A的大小是_________．【答案】180 7︒【解析】【分析】由AD＝BD，BC＝DC可知，△ABD，△BCD为等腰三角形，设∠A＝∠ABD＝x，则∠CDB ＝∠CBD＝2x，又由AB＝AC可知，△ABC为等腰三角形，则∠ABC＝∠C＝3x，在△ABC 中，用内角和定理列方程求解．【详解】解：∵AD ＝BD ，BC ＝DC ，∴△ABD ，△BCD 为等腰三角形，设∠A ＝∠ABD ＝x ，则∠CDB ＝∠CBD ＝2x ，又∵AB ＝AC ，∴△ABC 为等腰三角形，∴∠ABC ＝∠C ＝3x ，在△ABC 中，∠A ＋∠ABC ＋∠C ＝180°，即x ＋3x ＋3x ＝180°，解得x ＝1807︒， 即∠A ＝1807︒． 故答案为：1807︒． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质．关键是利用等腰三角形的底角相等，外角的性质，内角和定理，列方程求解．15．如图，在钢架AB 、AC 中，从左至右顺次焊上7根相等长度的钢条12PP 、23P P 、34P P …来加固钢架，且112AP PP =，则BAC ∠的最大值为______°．（结果保留整数）【答案】12【解析】【分析】设∠BAC =x ，根据等边对等角的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AP 6P 7，∠AP 7P 6，再根据三角形的内角和定理列式进行计算即可得解．【详解】解：设∠BAC =x ，∵AP 1=P 1P 2=P 2P 3=…=P 6P 7，∴∠A =∠AP 2P 1=x ，∴∠P 2P 1P 3=2x ，∴∠P 3P 2P 4=3x ，…，∠P 7P 8P 6=7x ，∴7x ＜90°且8x ＞90°，则11.25°＜∠BAC ＜（907）°， 故∠BAC 的最大值约为12°．故答案为：12．【点睛】考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，规律探寻题，难度较大．16．如图，在ABC 中，,,AB AC BD BC AD DE EB ====，则A ∠=________．【答案】45︒【解析】【分析】设∠A =x °根据等腰三角形的性质及等边对等角性质进行分析得出∠ABC =∠C =∠BDC902x DBC A x ︒︒︒=-∠=∠=，，2x EBD ︒∠=，再利用三角形的内角和定理即可求得∠A 的度数．【详解】解：设∠A =x °∵AB =AC ，BD =BC∴∠ABC =∠C =∠BDC 902x DBC A x ︒︒︒=-∠=∠=， ∵AD =DE =BE∴∠A =∠AED =2∠EBD =2∠EDB ∴2x EBD ︒∠= ∵∠ABC =∠C ∴9022x x x ︒︒︒︒-=+ ∴x =45即∠A 等于45°．故答案为：45︒【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等边对等角，以及三角形的内角和定理的运用．17．如图，在ABC 中，AB AC CD ==，点D 在BC 上，且AD BD =，求BAC ∠的度数．【答案】∠BAC ＝108°．【解析】【分析】利用AB ＝AC ，可得∠B 和∠C 的关系，利用AD ＝BD ，可求得∠CAD ＝∠CDA 及其与∠B 的关系，在△ABC 中利用内角和定理可求得∠B ，进一步求得∠ABC ，得到结果．【详解】解：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∵BD ＝AD ，∴∠B ＝∠DAB ，∵AC ＝DC ，∴∠DAC ＝∠ADC ＝2∠B ，∴∠BAC ＝∠BAD +∠DAC ＝∠B +2∠B ＝3∠B ，又∠B +∠C +∠BAC ＝180°，∴5∠B ＝180°，∴∠B ＝36°，∠C ＝36°，∠BAC ＝108°．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用．18．已知：如图，A 1，A 2，A 3是∠MON 的ON 边上顺次三个不同的点，B 1，B 2，B 3是∠MON 的OM 边上顺次三个不同的点，且有OA 1＝A 1B 1＝B 1A 2＝A 2B 2＝B 2A 3(1)当∠MB 1A 2＝45°时，∠MON ＝_______；(2)若OM 边上不存在B 3点，使得A 3B 3＝B 2A 3 ，则∠MON 的最小值是_______．【答案】(1)15°(2)18°【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质以及三角形外角的性质求解即可； （2）由OM 边上不存在B 3点，使得A 3B 3＝B 2A 3 ，则OM 边上不存在B 3点，使得323332A B B A B B =∠∠，则32390180A B B ︒≤∠<︒，再由323325A B B MON OA B MON ∠=∠+∠=∠求解即可．(1)解：∵OA 1＝A 1B 1＝B 1A 2＝A 2B 2＝B 2A 3∴1111AOB A B O =∠∠，112121B A A B A A =∠∠，∵1121111112B A A AOB A B O AOB ∠=∠+∠=∠，1212MB A MON B A O =+∠∠∠， ∴1212=3=45MB A MON B A O MON =+︒∠∠∠∠，∴∠MON =15°；故答案为：15°；(2)解：∵OM 边上不存在B 3点，使得A 3B 3＝B 2A 3 ，∴OM 边上不存在B 3点，使得323332A B B A B B =∠∠，∴32390180A B B ︒≤∠<︒ ，同理可求出223224B A A MON OB A MON =+=∠∠∠∠ ，∴323325A B B MON OA B MON ∠=∠+∠=∠，∴905180MON ︒≤<︒∠，∴1836MON ︒≤<︒∠，故答案为：18°．。

三角形的角度计算练习题

三角形的角度计算练习题

三角形的角度计算练习题1. 已知一个三角形的两个角分别为60度和80度，求第三个角的度数。

解析：根据三角形内角和为180度的性质，我们可以得到第三个角的度数为180度减去已知两个角的度数之和。

第三个角的度数 = 180度 - (60度 + 80度) = 40度2. 已知一个三角形的一个角为75度，另外两个角的度数互补，求这两个角各自的度数。

解析：由于两个角的度数互补，即它们的和为90度，则可设其中一个角的度数为x度，那么另一个角的度数为90度减去x度。

根据已知角度的信息，我们得到方程x + (90度 - x) = 75度，解这个方程可以得到第一个角的度数为45度，第二个角的度数为90度 - 45度 = 45度。

3. 已知一个三角形的两个角分别为55度和65度，求第三个角的度数。

解析：与第一题类似，我们可以利用三角形内角和为180度的性质，计算第三个角的度数。

第三个角的度数 = 180度 - (55度 + 65度) = 60度4. 已知一个三角形的一个角为30度，另外一个角为120度，求第三个角的度数。

解析：根据三角形内角和为180度的性质，我们可以得到第三个角的度数为180度减去已知两个角的度数之和。

第三个角的度数 = 180度 - (30度 + 120度) = 30度5. 已知一个三角形的两个角分别为45度和60度，求第三个角的度数。

解析：与第一题和第三题相似，我们可以利用三角形内角和为180度的性质，计算第三个角的度数。

第三个角的度数 = 180度 - (45度 + 60度) = 75度通过以上题目的解析，我们可以进一步加深对三角形角度计算的理解和应用。

三角形的角度计算是数学中的基础知识，掌握了角度计算的方法，对于解决与三角形相关的问题将会更加游刃有余。

通过不断练习解答类似的题目，我们可以提高解决问题的能力和角度计算的准确性。

总结：本篇文章通过五道三角形的角度计算练习题，介绍了解决该类问题的思路和方法。

三角形计算练习题边长与角度

三角形计算练习题边长与角度

三角形计算练习题边长与角度在几何学中，三角形是研究最为深入的图形之一。

它由三条边和三个角组成，根据给定的条件可以通过各种计算方法来确定三角形的边长和角度。

本文将介绍一些常见的三角形计算练习题，帮助读者增强对三角形相关知识的理解。

一、已知两边及夹角首先考虑一种常见的情况：已知三角形的两条边长及它们之间的夹角。

假设已知三角形的两边分别为a和b，夹角为θ。

我们可以利用余弦定理来计算第三边c：c = √(a² + b² - 2abcosθ)此外，我们还可以利用正弦定理来计算三角形的角度。

根据正弦定理，我们可以得到以下等式：sinθ = sin(180° - θ) = sin(180° - θ) = bsinα / c其中，α为与夹角θ对应的角度，请注意在求夹角的时候可以使用正弦函数。

二、已知两边及一个角度在这种情况下，我们已知三角形的两条边长和一个角度。

假设已知三角形的两边分别为a和b，已知一个角度为θ。

我们可以利用正弦定理来计算第三边c：c = (sinθ / sinα) * a其中，α为与已知角度θ对应的角度，请注意在求第三边的时候需要使用正弦函数。

三、已知一个边及两个角度在这种情况下，我们已知三角形的一条边和两个角度。

假设已知三角形的一条边为a，已知两个角度为θ和α。

我们可以首先利用三角形内角和为180°的性质来计算第三个角度β：β = 180° - θ - α然后，利用正弦定理来计算第二条边b：b = (sinβ / sinθ) * a最后，利用余弦定理来计算第三条边c：c = √(a² + b² - 2abcosα)四、已知三个角度在这种情况下，我们已知三角形的三个角度。

假设已知三个角度分别为θ、α和β。

由于三角形内角和为180°的性质，我们可以直接计算第三个角度γ：γ = 180° - θ - α - β值得注意的是，当已知三个角度后，我们无法直接计算任意一条边的长度，因为我们缺乏相应的边长信息。

专题训练七与三角形中内外角有关的计算全方位求角度讲课文档

专题训练七与三角形中内外角有关的计算全方位求角度讲课文档

度数是( B )
A．10°
B．15°
C．25°
D．30°
[解析] 因为∠B＝45°，所以∠BAC＝45°，所以∠EAF＝ 135°，所以∠AFD＝135°＋30°＝165°，所以∠BFD＝180°－ ∠AFD＝15°.故选 B.
图 7－ZT－1
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专题训练(七) 与三角形中内、外角有关的计算 ——全方位求角度
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专题训练(七) 与三角形中内、外角有关的计算
——全方位求角度
类型四 与截取或折叠有关的角度计算
14．如图 7－ZT－14，在△ABC 中，∠C＝70°，若沿图中虚线截去 ∠C，则∠1＋∠2 等于( B )
A．360° B．250° C．180° D．140°
图 7－ZT－14
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专题训练七与三角形中内外角有关的计算全方位求角度
第1页，共18页。
专题训练(七) 与三角形中内、外角有关的计算 ——全方位求角度
类型一 利用三角形内角和定理与外角定理求角度
1．一副分别含有 30°和 45°角的两个三角尺，拼成如图 7－ZT
－1 所示图形，其中∠C＝90°，∠B＝45°，∠E＝30°，则∠BFD 的
图 7－ZT－6
1
1
解：∠AEC＝180°－(∠ECA＋∠EAC)＝180°－(2∠DAC＋2∠ACF)
1
1
＝ 180 ° － 2 [(∠B ＋ ∠BCA) ＋ (∠B ＋ ∠BAC)] ＝ 180 ° － 2 (∠B ＋ ∠BCA ＋
∠BБайду номын сангаасC＋∠B)
＝180°－12(180°＋∠B)＝70°.
第7页，共18页。

角度计算的综合大题专项训练(30道)(含答案)

角度计算的综合大题专项训练(30道)(含答案)

专题11.7 角度计算的综合大题专项训练（30道）考卷信息：本套训练卷共30题，培优篇15题，拔尖篇15题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，渗透角度计算由一般到特殊的思想！1．（2021春•平顶山期末）如图，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC于点E，∠B＜∠C．（1）若∠B＝44°，∠C＝72°，求∠DAE的度数；（2）若∠B＝27°，当∠DAE＝21度时，∠ADC＝∠C．【解题思路】（1）利用三角形的内角和求出∠BAC，再利用内角与外角的关系先求出∠ADC，再求出∠DAE；（2）利用三角形的内角和定理及推论，用含∠C的代数式表示出∠BAC、∠ADC，根据∠C＝∠ADC得到关于∠C的方程，先求出∠C，再求出∠DAE的度数．【解答过程】解：∵AD平分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC于点E，∴∠BAD＝∠CAD=12∠BAC，∠AED＝90°．（1）∵∠B＝44°，∠C＝72°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣44°﹣72°＝64°．∴∠BAD=12×64°＝32°．∵∠ADC＝∠B+∠BAD ＝44°+32°＝76°，∴∠DAE＝90°﹣∠ADC＝90°﹣76°＝24°．（2））∵∠B＝27°，∠C＝∠ADC，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣27°﹣∠C＝153°﹣∠C．∴∠BAD=12×（153°﹣∠C）＝76.5°−12∠C．∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝27°+76.5°−12∠C＝103.5°−12∠C．∵∠ADC＝∠C，∴103.5°−12∠C＝∠C．∴∠ADC＝∠C＝69°．∴∠DAE＝∠AED﹣∠ADC＝90°﹣69°＝21°．故答案为：21．2．（2021春•长春期末）如图，点A、B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合），AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，BC延长线交OM于点G．解决问题：（1）若∠OBA＝80°，∠OAB＝40°，则∠ACG＝60°；（直接写出答案）（2）若∠MON＝100°，求出∠ACG的度数．【解题思路】（1）由角平分线的定义可求出∠CBA和∠CAB的度数，再根据三角形外角的性质求出∠ACG的度数即可；（2）先根据三角形内角和定理求出∠OBA+∠OAB的度数，然后再根据角平分线的定义求出∠CBA+∠CAB的度数，最后根据三角形外角的性质求出结果即可．【解答过程】解：（1）∵AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，∴∠CBA=12∠ABO，∠CAB=12∠BAO，∵∠OBA＝80°，∠OAB＝40°，∴∠CBA＝40°，∠CAB＝20°，∴∠ACG＝∠CBA+∠CAB＝60°．故答案为：60°．（2）∵∠MON＝100°，∴∠BAO+∠ABO＝180°﹣100°＝80°，∵AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，∴∠CBA=12∠ABO，∠CAB=12∠BAO，∴∠CBA+∠CAB=12（∠ABO+∠BAO）=12×80°＝40°，∴∠ACG＝∠CBA+∠CAB＝40°．3．（2021春•兴化市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠CAB，CD⊥AB，AE、CD相交于点F．（1）若∠DCB＝50°，求∠CEF的度数；（2）求证：∠CEF＝∠CFE．【解题思路】（1）根据直角三角形的性质得到∠DCB+∠B＝90°，∠CAB+∠B＝90°，进而得到∠CAB ＝∠DCB，根据角平分线的定义计算即可；（2）根据角平分线的定义得到∠BAE＝∠CAE，根据直角三角形的性质得到∠CEF＝∠AFD，根据对顶角相等证明结论．【解答过程】（1）解：∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠B＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠B＝90°，∴∠CAB＝∠DCB＝50°，∵AE平分∠CAB，∴∠CAE=12∠CAB＝25°，∴∠CEF＝90°﹣∠CAE＝65°；（2）证明：∵AE平分∠CAB，∴∠BAE＝∠CAE，∵∠CAE+∠CEF＝90°，∠BAE+∠AFD＝90°，∴∠CEF＝∠AFD，∵∠CFE＝∠AFD，∴∠CEF＝∠CFE．4．（2021春•海陵区期末）如图，CD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．（1）若∠A＝45°，∠BDC＝70°，求∠CED的度数；（2）若∠A﹣∠ACD＝34°，∠EDB＝97°，求∠A的度数．【解题思路】（1）利用三角形内角和定理求出∠ACB，再求出∠ECD，∠EDC，可得结论．（2）设∠A＝x，则∠ACD＝x﹣34°，根据∠EDB＝∠A+∠AED，构建方程求解即可．【解答过程】解：（1）∵∠CDB＝∠A+∠ACD，∴∠ACD＝70°﹣45°＝25°，∵CD平分∠ACB，∴∠DCB＝∠ACB＝25°，∵DE∥CB，∴∠EDC＝∠BCD＝25°，∴∠DEC＝180°﹣25°﹣25°＝130°．（2）设∠A＝x，则∠ACD＝x﹣34°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝2x﹣68°，∵DE∥CB，∴∠AED＝∠ACB＝2x+68°，∵∠EDB＝∠A+∠AED，∴97°＝x+2x﹣68°，∴x＝55°，∴∠A＝55°．5．（2021春•宽城区期末）如图，在△ABC中，点E是边AC上一点，∠AEB＝∠ABC．（1）如图1，作∠BAC的平分线交CB、BE于D、F两点．求证：∠EFD＝∠ADC．（2）如图2，作△ABC的外角∠BAG的平分线，交CB的延长线于点D，延长BE、DA交于点F，试探究（1）中的结论是否成立？请说明理由．【解题思路】（1）首先根据角平分线的性质可得∠BAD＝∠DAC，再根据内角与外角的性质可得∠EFD ＝∠DAC+∠AEB，∠ADC＝∠ABC+∠BAD，进而得到∠EFD＝∠ADC；（2）首先根据角平分线的性质可得∠BAD＝∠DAG，再根据等量代换可得∠F AE＝∠BAD，然后再根据内角与外角的性质可得∠EFD＝∠AEB﹣∠F AE，∠ADC＝∠ABC﹣∠BAD，进而得∠EFD＝∠ADC．【解答过程】解：（1）∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∵∠EFD＝∠DAC+∠AEB，∠ADC＝∠ABC+∠BAD，又∵∠AEB＝∠ABC，∴∠EFD＝∠ADC；（2）探究（1）中结论仍成立；理由：∵AD平分∠BAG，∴∠BAD＝∠GAD，∵∠F AE＝∠GAD，∴∠F AE＝∠BAD，∵∠EFD＝∠AEB﹣∠F AE，∠ADC＝∠ABC﹣∠BAD，又∵∠AEB＝∠ABC，∴∠EFD＝∠ADC．6．（2021春•镇江期中）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使得点A落在四边形BCDE的外部A'的位置，且A'与点C在直线AB的异侧，折痕为DE，已知∠C＝90°，∠A＝30°．（1）求∠1﹣∠2的度数；（2）若保持△A′DE的一边与BC平行，求∠ADE的度数．【解题思路】（1）先求出∠B的度数，在根据四边形内角和求出∠1+∠BFD的度数，由∠BFD＝∠A′FE和∠A’的度数可求出答案．（2）分EA'∥BC和DA'∥BC两种情况讨论．当DA'∥BC时，先求出∠A′DA＝90°，再根据折叠可得出∠ADE＝45°；当EA'∥BC时，根据平行线的性质求出∠2＝∠ABC＝60°，由（1）得出∠1＝120°，再根据折叠可求出∠ADE的度数．【解答过程】解：（1）由折叠可知，∠A′＝∠A＝30°，在△A′EF中，∠A′+∠2+∠A′FE＝180°，∴∠2＝180°﹣∠A′﹣∠A′FE＝150°﹣∠A′FE，在△ABC中，∠B＝180°﹣∠C﹣∠A＝60°，在四边形BCDF中，∠1+∠C+∠B+∠BFD＝360°，∴∠1＝360°﹣∠C﹣∠B﹣∠BFD＝210°﹣∠BFD，∵∠BFD＝∠A′FE，∴∠1﹣∠2＝210°﹣150°＝60°；（2）当DA'∥BC时，如图，∠A′DA＝∠ACB＝90°，∵△ADE沿DE折叠到△A′DE，∴∠ADE＝∠A′DE=12∠ADA′＝45°，当EA'∥BC时，如图，∠2＝∠ABC＝60°．由（1）知，∠1﹣∠2＝60°，∴∠1＝∠2+60°＝120°，∵△ADE沿DE折叠到△A′DE，∴∠ADE＝∠A′DE=12∠ADA′＝（180°﹣∠1）＝30°．综上所述∠ADE的度数为：45°或30°．7．（2021春•常熟市期中）已知△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，过点A作直线GH∥BC，且∠GAB＝60°，∠C＝40°．（1）求△ABC的外角∠CAF的度数；（2）求∠DAE的度数．【解题思路】（1）根据平行线的性质、对顶角相等计算即可；（2）根据角平分线的定义得到∠BAE＝40°，根据平行线的性质求出∠GAD＝90°，结合图形计算，得到答案．【解答过程】解：（1）∵GH∥BC，∠C＝40°，∴∠HAC＝∠C＝40°，∵∠F AH＝∠GAB＝60°，∴∠CAF＝∠HAC+∠F AH＝100°；（2）∵∠HAC＝40°，∠GAB＝60°，∴∠BAC＝80°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝40°，∵GH∥BC，AD⊥BC，∴∠GAD＝90°，∴∠BAD＝90°﹣60°＝30°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝10°．8．（2020秋•红桥区期末）如图，在△ABC中，AD是高，角平分线AE，BF相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC和∠BOA的大小．【解题思路】根据三角形高线可得∠ADC＝90°，利用三角形的内角和定理可求解∠DAC的度数；由三角形的内角和可求解∠B的度数，再根据角平分线的定义可求出∠BAO和∠ABO的度数，再利用三角形的内角和定理可求解．【解答过程】解：∵AD是△ABC的高线，∴∠ADC＝90°，∵∠ADC+∠C+∠CAD＝180°，∠C＝70°，∴∠CAD＝180°﹣90°﹣70°＝20°；∵∠ABC+∠C+∠CAB＝180°，∠C＝70°，∠BAC＝50°，∴∠ABC＝180°﹣70°﹣50°＝60°，∵AE，BF分别平分∠BAC，∠ABC，AE，BF相交于点O，∴∠BAO=12∠BAC＝25°，∠ABO=12∠ABC＝30°，∵∠ABO+∠BAO+∠AOB＝180°，∴∠AOB＝180°﹣25°﹣30°＝125°．9．（2020秋•涪城区期末）如图，在△ABC中，∠1＝∠2＝∠3．（1）证明：∠BAC＝∠DEF；（2）∠BAC＝70°，∠DFE＝50°，求∠ABC的度数．【解题思路】（1）利用三角形的外角的性质解决问题即可．（2）利用三角形的外角的性质解决问题即可．【解答过程】（1）证明：∵∠BAC＝∠1+∠CAE，∠DEF＝∠3+∠CAE，∠1＝∠3，∴∠BAC＝∠DEF．（2）∵∠ABC＝∠2+∠ABD，∠1＝∠2，∴∠ABC＝∠1+∠ABD＝∠EDF，由（1）可知∠DEF＝∠BAC＝70°，∴∠ABC＝∠1+∠ABD＝∠EDF＝180°﹣∠DEF﹣∠DFE＝180°﹣70°﹣50°＝60°，∴∠ABC＝60°．10．（2021春•苏州期末）如图，△ABC中，D为BC上一点，∠C＝∠BAD，△ABC的角平分线BE交AD 于点F．（1）求证：∠AEF＝∠AFE；（2）G为BC上一点，当FE平分∠AFG且∠C＝30°时，求∠CGF的度数．【解题思路】（1）由角平分线定义得∠ABE＝∠CBE，再根据三角形的外角性质得∠AEF＝∠AFE；（2）由角平分线定义得∠AFE＝∠GFE，进而得∠AEF＝∠GFE，由平行线的判定得FG∥AC，再根据平行线的性质求得结果．【解答过程】解：（1）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠ABF+∠BAD＝∠CBE+∠C，∵∠AFE＝∠ABF+∠BAD，∠AEF＝∠CBE+∠C，∴∠AEF＝∠AFE；（2）∵FE平分∠AFG，∴∠AFE＝∠GFE，∵∠AEF＝∠AFE，∴∠AEF＝∠GFE，∴FG∥AC，∵∠C＝30°，∴∠CGF＝180°﹣∠C＝150°．11．（2020秋•恩施市期末）已知：如图，△ABC中，∠BAD＝∠EBC，AD交BE于F．（1）试说明：∠ABC＝∠BFD；（2）若∠ABC＝35°，EG∥AD，EH⊥BE，求∠HEG的度数．【解题思路】（1）根据三角形的外角性质即可得出结论；（2）根据三角形内角和和互余进行分析解答即可．【解答过程】解：（1）∵∠BFD＝∠ABF+∠BAD，∠ABC＝∠ABF+∠FBC，∵∠BAD＝∠EBC，∴∠ABC＝∠BFD；（2）∵∠BFD＝∠ABC＝35°，∵EG∥AD，∴∠BEG＝∠BFD＝35°，∵EH⊥BE，∴∠BEH＝90°，∴∠HEG＝∠BEH﹣∠BEG＝55°．12．（2020秋•白银期末）（1）探究：如图1，求证：∠BOC＝∠A+∠B+∠C．（2）应用：如图2，∠ABC＝100°，∠DEF＝130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度数．【解题思路】（1）作射线OA，由三角形外角的性质可知∠1+∠B＝∠3，∠2+∠C＝∠4，两式相加即可得出结论；（2）连接AD，由（1）的结论可知∠F+∠2+∠3＝∠DEF，∠1+∠4+∠C＝∠ABC，两式相加即可得出结论．【解答过程】解：（1）作射线OA，∵∠3是△ABO的外角，∴∠1+∠B＝∠3，①∵∠4是△AOC的外角，∴∠2+∠C＝∠4，②①+②得，∠1+∠B+∠2+∠C＝∠3+∠4，即∠BOC＝∠A+∠B+∠C；（2）连接AD，同（1）可得，∠F+∠2+∠3＝∠DEF③，∠1+∠4+∠C＝∠ABC④，③+④得，∠F+∠2+∠3+∠1+∠4+∠C＝∠DEF+∠ABC＝130°+100°＝230°，即∠A+∠C+∠D+∠F＝230°．13．（2021春•新蔡县期末）如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB ＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数．【解题思路】先利用三角形内角和定理可求∠ABC，在直角三角形ACD中，易求∠DAC；再根据角平分线定义可求∠CBF、∠EAF，可得∠DAE的度数；然后利用三角形外角性质，可先求∠AFB，再次利用三角形外角性质，容易求出∠BOA．【解答过程】解：∵∠CAB＝50°，∠C＝60°∴∠ABC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，又∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝180°﹣90°﹣∠C＝30°，∵AE、BF是角平分线，∴∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝25°，∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAF＝5°，∠AFB＝∠C+∠CBF＝60°+35°＝95°，∴∠BOA＝∠EAF+∠AFB＝25°+95°＝120°，∴∠DAC＝30°，∠BOA＝120°．故∠DAE＝5°，∠BOA＝120°．14．（2020春•香坊区校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝40°，AE、BF分别为△ABC的角平分线，它们相交于点O．（1）求∠EOF的度数．（2）AD是△ABC的高，∠AFB＝80°时，求∠DAE的度数．【解题思路】（1）先根据三角形内角和定理得∠C＝180°﹣（∠BAC+∠ABC）的度数，由角平分线的定义和三角形内角和定理可得结论；（2）先根据垂直的定义及三角形内角和可得到∠CAD的度数，再求出∠1的度数，最后根据三角形内角和即可求解．【解答过程】解：（1）∵∠CAB+∠ABC＝180°﹣∠C，∵AE、BF是角平分线，∴∠EAB=12∠BAC，∠FBA=12∠ABC，∴∠EAB+∠FBA=12（∠BAC+∠ABC）=12（180°﹣∠C）＝90°−12∠C，∴∠AOB＝180°﹣（90°−12∠C）＝90°+12∠C，∵∠C＝40°，∴∠AOB＝110°，∴∠EOF＝∠AOB＝110°．（2）∵AD⊥BC，∠C＝40°，∴∠CAD＝50°，∵∠AFB＝80°，∴∠1＝180°﹣50°﹣80°＝50°，∴∠DAE＝180°﹣∠1﹣∠AOB＝180°﹣50°﹣110°＝20°．15．（2021春•海陵区校级月考）如图1，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC，垂足为E，CF∥AD．（1）如图1，∠B＝30°，∠ACB＝70°，求∠CFE的度数；（2）若（1）中的∠B＝α，∠ACB＝β（α＜β），则∠CFE＝12β−12α；（用α、β表示）（3）如图2，（2）中的结论还成立么？请说明理由．【解题思路】（1）求∠CFE的度数，求出∠DAE的度数即可，只要求出∠BAE﹣∠BAD的度数，由平分和垂直易得∠BAE和∠BAD的度数即可；（2）由（1）类推得出答案即可；（3）类比以上思路，把问题转换为∠CFE＝90°﹣∠ECF即可解决问题．【解答过程】解：（1）∵∠B＝30°，∠ACB＝70°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝80°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝40°，∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°∴∠BAE＝60°∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝60°﹣40°＝20°，∵CF∥AD，∠B＝α，∠ACB＝β，∴∠CFE＝∠DAE＝20°；（2）∵∠BAE＝90°﹣∠B，∠BAD=12∠BAC=12（180°﹣∠B﹣∠ACB），∵CF ∥AD ，∴∠CFE ＝∠DAE ＝∠BAE ﹣∠BAD ＝90°﹣∠B −12（180°﹣∠B ﹣∠BCA ）=12（∠ACB ﹣∠B ）=12β−12α， 故答案为：12β−12α； （3）（2）中的结论成立．∵∠B ＝α，∠ACB ＝β，∴∠BAC ＝180°﹣α﹣β，∵AD 平分∠BAC ，∴∠DAC =12∠BAC ＝90°−12α−12β，∵CF ∥AD ，∴∠ACF ＝∠DAC ＝90°−12α−12β，∴∠BCF ＝β+90°−12α−12β＝90°−12α+12β，∴∠ECF ＝180°﹣∠BCF ＝90°+12α−12β，∵AE ⊥BC ，∴∠FEC ＝90°，∴∠CFE ＝90°﹣∠ECF =12β−12α．16．（2021春•市北区期末）阅读并填空将三角尺（△MPN ，∠MPN ＝90°）放置在△ABC 上（点P 在△ABC 内），如图1所示，三角尺的两边PM 、PN 恰好经过点B 和点C ．我们来探究：∠ABP 与∠ACP 是否存在某种数量关系．（1）特例探索：若∠A ＝50°，则∠PBC +∠PCB ＝ 90 度；∠ABP +∠ACP ＝ 40 度；（2）类比探索：∠ABP、∠ACP、∠A的关系是∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A；（3）变式探索：如图2所示，改变三角尺的位置，使点P在△ABC外，三角尺的两边PM、PN仍恰好经过点B和点C，则∠ABP、∠ACP、∠A的关系是∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A．【解题思路】（1）利用三角形内角和定理即可解决问题．（2）结论：∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．利用三角形内角和定理即可证明．（3）不成立；存在结论：∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A．利用三角形内角和定理即可解决问题．【解答过程】解：（1）∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝130°，∵∠P＝90°，∴∠PBC+∠PCB＝90°，∴∠ABP+∠ACP＝130°﹣90°＝40°，故答案为：90，40；（2）结论：∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．证明：∵（∠PBC+∠PCB）+（∠ABP+∠ACP）+∠A＝180°，∴90°+（∠ABP+∠ACP）+∠A＝180°，∴∠ABP+∠ACP+∠A＝90°，∴∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．故答案为：∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A；（3）结论：∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A，理由是：设AB交PC于O，如图2：∵∠AOC＝∠POB，∴∠ACO+∠A＝∠P+∠PBO，即∠ACP+∠A＝90°+∠ABP，∴∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A，故答案为：∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A．17．（2021春•东海县期末）如图1．△ABC的外角平分线BF、CF交于点F．（1）若∠A＝50°．则∠F的度数为65°；（2）如图2，过点F作直线MN∥BC，交AB，AC延长线于点M、N．若设∠MFB＝α，∠NFC＝β，则∠A与a+β满足的数量关系是α+β−12∠A＝90°；（3）在（2）的条件下，将直线MN绕点F转动．①如图3，当直线MN与线段BC没有交点时，试探索∠A与α，β之间满足的数量关系，并说明理由；②当直线MN与线段BC有交点时，试问①中∠A与α，β之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出三者之间满足的数量关系．【解题思路】（1）根据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到∠F的度数；（2）根据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到∠BFC的度数，再根据平行线的性质，即可得到∠A与α+β的数量关系；（3）①根据（2）中的结论∠BFC＝90°﹣∠A，以及平角的定义，即可得到∠A与α，β之间的数量关系；②分两种情况进行讨论，根据（2）中的结论∠BFC＝90°﹣∠A，以及平角的定义，即可得到∠A与α，β之间的数量关系．【解答过程】解：（1）如图1，∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝130°，∴∠DBC﹣∠ECB＝360°﹣130°＝230°，又∵△ABC的外角平分线交于点F，∴∠FBC+∠FCB=12（∠DBC+∠ECD）=12×230°＝115°，∴△BCF中∠F＝180°﹣115°＝65°，故答案为65°；（2）如图2，∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A，又∵△ABC的外角平分线交于点F，∴∠FBC+∠FCB=12（∠DBC+∠ECB）=12×（180°+∠A）＝90°+12∠A，∴△BCF中，∠BFC＝180°﹣（90°+12∠A）＝90°−12∠A，又∵∠MFB＝α，∠NFC＝β，MN∥BC，∴∠FBC＝α，∠FCB＝β，∵△BCF中，∠FBC+∠FCB+∠BFC＝180°，∴α+β+90°−12∠A＝180°，即α+β−12∠A＝90°，故答案为：α+β−12∠A＝90°；（3）①α+β−12∠A＝90°，理由如下：如图3，由（2）可得，∠BFC＝90°−12∠A，∵∠MFB+∠NFC+∠BFC＝180°，∴α+β+90°−12∠A＝180°，即α+β−12∠A＝90°，②当直线MN与线段BC有交点时，①中∠A与α，β之间的数量关系不成立，分两种情况：如图4，当M在线段AB上，N在AC延长线上时，由（2）可得，∠BFC＝90°−12∠A，∵∠BFC﹣∠MFB+∠NFC＝180°，∴90°−12∠A﹣α+β＝180°，即β﹣α−12∠A＝90°；如图5，当M在AB的延长线上，N在线段AC上时，由（2）可得，∠BFC＝90°−12∠A，∴∠BFC﹣∠NFC+∠MFB＝180°，∴90°−12∠A﹣β+α＝180°，即α﹣β−12∠A＝90°；综上所述，∠A与α，β之间的数量关系为β﹣α−12∠A＝90°或α﹣β−12∠A＝90°．18．（2021春•宽城区期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别是边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．（1）如图1，点P在斜边AB上运动．①若∠α＝70°，则∠1+∠2＝160度．②写出∠α、∠1、∠2之间的关系，并说明理由．（2）如图2，点P在斜边AB的延长线上运动（CE＜CD），BE、PD交于点F，试说明∠1﹣∠2＝90°+∠α．（3）如图3，点P在△ABC外运动（只需研究图③的情形），直接写出∠α、∠1、∠2之间的关系．【解题思路】（1）①求出∠CEP+∠CDP，可得结论．②结论：∠1+∠2＝90°+∠α．连接PC，利用三角形的外角的性质解决问题即可．（2）利用三角形的外角的性质以及三角形内角和定理证明即可．（3）利用基本结论∠C+∠3＝∠P+∠4，构建关系式，可得结论．【解答过程】解：（1）①∵∠C＝90°，α＝70°，∴∠CEP+∠CDP＝360°﹣（90°+70°）＝200°，∴∠1+∠2＝360°﹣200°＝160°，故答案为：160．②结论：∠1+∠2＝90°+∠α．理由：如图1中，连结CP．∵∠1＝∠DCP+∠CPD，∠2＝∠ECP+∠CPE，∴∠1+∠2＝∠DCP+∠CPD+∠ECP+∠CPE，∵∠DCP+∠ECP＝∠ACB＝90°，∠CPD+∠CPE＝∠DPE＝∠α，∴∠1+∠2＝90°+∠α．（2）如图2中，∵∠1＝∠ACB+∠CFD，∠CFD＝∠2+∠α，∴∠1＝∠ACB+∠2+∠α．∵∠ACB＝90°，∴∠1＝90°+∠2+∠α．∴∠1﹣∠2＝90°+∠α．（3）结论：∠2﹣∠1＝90°﹣∠α．理由：如图3中，∵∠C+∠3＝∠P+∠4，∠C＝90°，∠P＝α，∴90°+（180°﹣∠2）＝α+（180°﹣∠1），∴∠2﹣∠1＝90°﹣∠α．19．（2021春•延庆区期末）在三角形ABC中，点D在线段AC上，ED∥BC交AB于点E，点F在线段AB上（点F不与点A，E，B重合），连接DF，过点F作FG⊥FD交射线CB于点G．（1）如图1，点F在线段BE上，用等式表示∠EDF与∠BGF的数量关系，并证明；（2）如图2，点F在线段BE上，求证：∠ABC+∠BFG﹣∠EDF＝90°；（3）当点F在线段AE上时，依题意，在图3中补全图形，请直接用等式表示∠EDF与∠BGF的数量关系，不需证明．【解题思路】（1）结论：∠EDF+∠BGF＝90°．如图1中，过点F作FH∥BC交AC于点H．利用平行线的性质求解即可．（2）如图2中，过点F作FH∥BC交AC于点H．利用平行线的性质求解即可．（3）作出图形，利用平行线的性质求解即可．【解答过程】（1）解：结论：∠EDF+∠BGF＝90°．理由：如图1中，过点F作FH∥BC交AC于点H．∵ED∥BC，∴ED∥FH．∴∠EDF＝∠1．∵FH∥BC，∴∠BGF＝∠2．∵FG⊥FD，∴∠DFG＝90°．∴∠1+∠2＝90°．∴∠EDF+∠BGF＝90°．（2）证明：如图2中，过点F作FH∥BC交AC于点H．∴∠ABC＝∠AFH．∴∠ABC＝∠1+∠3．∴∠3＝∠ABC﹣∠1．∵∠EDF＝∠1，∴∠3＝∠ABC﹣∠EDF．∵FG⊥FD，∴∠DFG＝90°．∴∠BFG+∠3＝90°．∴∠3＝90°﹣∠BFG．∴90°﹣∠BFG＝∠ABC﹣∠EDF．∴∠ABC+∠BFG﹣∠EDF＝90°．（3）解：结论：∠BGF﹣∠EDF＝90°．理由：设DE 交FG 于J ．∵DE ∥BC ，∴∠BGF ＝∠FJE ，∵∠FJE ＝∠DEJ +∠EDF ，∠DEJ ＝90°，∴∠BGF ﹣∠EDF ＝90°20．（2021春•中山市期末）同学们以“一块直角三角板和一把直尺”开展数学活动，提出了很多数学问题，请你解答：（1）如图1，∠α和∠β具有怎样的数量关系？请说明理由；（2）如图2，∠DFC 的平分线与∠EGC 的平分线相交于点Q ，求∠FQG 的大小；（3）如图3，点P 是线段AD 上的动点（不与A ，D 重合），连接PF 、PG ，∠DFP+∠FPG ∠EGP 的值是否变化？如果不变，请求出比值；如果变化，请说明理由．【解题思路】（1）如图1，延长AM 交EG 于M ．由题意知：DF ∥EG ，∠ACB ＝90°，故∠α＝∠GMC ，∠ACB ＝∠GMC +∠CGM ＝90°．进而推断出∠β+∠α＝90°．（2）如图2，延长AC 交EG 于N ．由题意知：DF ∥EN ，∠ACB ＝90°，得∠1＝∠GNC ，∠CGN +∠GNC ＝90°，故∠1+∠CGN ＝90°．因为∠DFC 的平分线与∠EGC 的平分线相交于点Q ，所以∠QFC =12∠DFC =12(180°−∠1)=90°−12∠1，∠GQC ＝90°−12∠CGN ．那么，∠FQG ＝360°﹣∠QFC ﹣∠QGC﹣∠ACB ＝135°．（3）由题意知：DF ∥EG ，得∠FOG ＝∠EGO ，故∠DFP+∠FPG ∠EGP =∠GOF ∠EGP =1．【解答过程】解：（1）如图1，延长AM 交EG 于M ．∠β+∠α＝90°，理由如下：由题意知：DF ∥EG ，∠ACB ＝90°．∴∠α＝∠GMC ，∠ACB ＝∠GMC +∠CGM ＝90°．∵∠EGB 和∠CGM 是 对顶角，∴∠β＝∠CGM ．∴∠β+∠α＝90°．（2）如图2，延长AC 交EG 于N ．由题意知：DF ∥EN ，∠ACB ＝90°．∴∠1＝∠GNC ，∠CGN +∠GNC ＝90°．∴∠1+∠CGN ＝90°．∵QF 平分∠DFC ，∴∠QFC =12∠DFC =12(180°−∠1)=90°−12∠1．同理可得：∠GQC ＝90°−12∠CGN ．∵四边形QFCG 的内角和等于360°．∴∠FQG ＝360°﹣∠QFC ﹣∠QGC ﹣∠ACB ＝360°﹣（90°−12∠1）﹣（90°−12∠CGN ）﹣90°． ∴∠FQG ＝135°．（3）如图3，由题意知：DF ∥EG ．∴∠FOG ＝∠EGO ．∴∠DFP+∠FPG ∠EGP =∠GOF ∠EGP =1． ∴∠DFP+∠FPG ∠EGP 的值不变．21．（2021春•禅城区期末）△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，AE 是△ABC 的高．（1）如图1，若∠B ＝40°，∠C ＝60°，求∠DAE 的度数；（2）如图2（∠B ＜∠C ），试说明∠DAE 与∠B 、∠C 的数量关系；（3）拓展：如图3，四边形ABDC 中，AE 是∠BAC 的角平分线，DA 是∠BDC 的角平分线，猜想：∠DAE 与∠B 、∠C 的数量关系是否改变．说明理由．【解题思路】（1）根据三角形的内角和定理可求得∠BAC ＝80°，由角平分线的定义可得∠CAD 的度数，利用三角形的高线可求∠CAE 得度数，进而求解即可得出结论；（2）根据（1）的推理方法可求解∠DAE、∠B、∠C的数量关系；（3）连接BC交AD于F，过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，根据角平分线的定义得到∠EAM=12（∠ACB﹣∠ABC），同理，∠ADN=12（∠BCD﹣∠CBD），求得∠MAD＝∠ADN，根据角的和差即可得到结论．【解答过程】解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝60°，∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴∠BAC＝80°，∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠CAD＝∠BAD=12∠BAC＝40°，∵AE是△ABC的高，∴∠AEC＝90°，∵∠C＝60°，∴∠CAE＝90°﹣60°＝30°，∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝10°；（2）∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠CAD＝∠BAD=12∠BAC，∵AE是△ABC的高，∴∠AEC＝90°，∴∠CAE＝90°﹣∠C，∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE=12∠BAC﹣（90°﹣∠C）=12（180°﹣∠B﹣∠C）﹣90°+∠C=12∠C−12∠B，即∠DAE=12∠C−12∠B；（3）不变，理由：连接BC交AD于F，过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，∵AE是∠BAC的角平分线，AM是高，∴∠EAM=12（∠ACB﹣∠ABC），同理，∠ADN=12（∠BCD﹣∠CBD），∵∠AFM＝∠DFN，∠AMF＝∠DNF＝90°，∴∠MAD＝∠ADN，∴∠DAE＝∠EAM+∠MAD＝∠EAM+∠ADN=12（∠ACB﹣∠ABC）+12（∠BCD﹣∠CBD）=12（∠ACD﹣∠ABD）．22．（2021春•侯马市期末）（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：∠A+∠B＝∠C+∠D．（2）如图②，AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，求∠P的度数．（3）如图（3），直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的数量关系是∠P＝90°+12（∠B+∠D）；（4）如图（4），直线AP平分∠BAD的外角∠F AD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的数量关系是∠P＝180°−12（∠B+∠D）．【解题思路】（1）根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得证；（2）根据角平分线的定义可得∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根据（1）的结论列出整理即可得解；（3）表示出∠P AD和∠PCD，再根据（1）的结论列出等式并整理即可得解；（4）根据四边形的内角和等于360°可得（180°﹣∠1）+∠P+∠4+∠B＝360°，∠2+∠P+（180°﹣∠3）+∠D＝360°，然后整理即可得解．【解答过程】解：（1）∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，∴∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D+∠COD．∵∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D．（2）∵AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，∴∠BAP＝∠P AD，∠BCP＝∠PCD，由（1）的结论得，∠P+∠BCP＝∠ABC+∠BAP，①，∠P+∠P AD＝∠ADC+∠PCD②，①+②得，2∠P+∠BCP+∠P AD＝∠BAP+∠PCD+∠ABC+∠ADC，∴2∠P＝∠ABC+∠ADC，∵∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，∴∠P＝26°．（3）∵直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠P AB＝∠P AD，∠PCB＝∠PCE，∴2∠P AB+∠B＝180°﹣2∠PCB+∠D，∴180°﹣2（∠P AB+∠PCB）+∠D＝∠B，∵∠P+∠P AD＝∠PCB+∠AOC＝∠PCB+∠B+2∠P AD，∴∠P＝∠P AD+∠B+∠PCB＝∠P AB+∠B+∠PCB，∴∠P AB+∠PCB＝∠P﹣∠B，∴180°﹣2（∠P﹣∠B）+∠D＝∠B，即∠P＝90°+12（∠B+∠D）．故答案为：∠P＝90°+12（∠B+∠D）．（4）∵直线AP平分∠BAD的外角∠F AD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠F AP＝∠P AO，∠PCE＝∠PCB，在四边形APCB中，（180°﹣∠F AP）+∠P+∠PCB+∠B＝360°①，在四边形APCD中，∠P AD+∠P+（180°﹣∠PCE）+∠D＝360°②，①+②得：2∠P+∠B+∠D＝360°，∴∠P＝180°−12（∠B+∠D）．故答案为：∠P＝180°−12（∠B+∠D）．23．（2020春•西城区校级期末）在△ABC中，BD，CE是它的两条角平分线，且BD，CE相交于点M，MN⊥BC于点N．将∠MBN记为∠1，∠MCN记为∠2，∠CMN记为∠3．（1）如图1，若∠A＝110°，∠BEC＝130°，则∠2＝20°，∠3﹣∠1＝55°；（2）如图2，猜想∠3﹣∠1与∠A的数量关系，并证明你的结论；（3）若∠BEC＝α，∠BDC＝β，用含α和β的代数式表示∠3﹣∠1的度数．（直接写出结果即可）解：（2）∠3﹣∠1与∠A的数量关系是：∠3﹣∠1=12∠A．（3）∠3﹣∠1＝α+β3−30°．【解题思路】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACE＝∠BEC﹣∠A，再根据角平分线的定义可得∠2＝∠ACE；根据角平分线的定义求出∠ACB，再根据三角形的内角和定理求出∠ABC，然后求出∠1，根据直角三角形两锐角互余求出∠3，然后相减即可得解；（2）根据角平分线的定义可得∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACB，再根据直角三角形两锐角互余表示出∠3，然后表示出∠3﹣∠1＝90°−12∠ACB−12∠ABC，再根据三角形的内角和定理可得∠ACB+∠ABC＝180°﹣∠A，然后代入整理即可得解；（3）在△BCE和△BCD中，根据三角形内角和定理列式整理得到∠1+∠2，再根据三角形的内角和定理和角平分线的定义用∠A表示出∠1+∠2，然后根据∠3﹣∠1=12∠A整理即可得解．【解答过程】（1）解：在△ACE中，∠ACE＝∠BEC﹣∠A＝130°﹣110°＝20°，∵CE平分∠ACE，∴∠2＝∠ACE＝20°，∴∠ACB＝2∠2＝2×20°＝40°，在△ABC中，∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣110°﹣40°＝30°，∵BD平分∠ABC，∴∠1=12∠ABC=12×30°＝15°，∵MN⊥BC，∴∠3＝90°﹣∠2＝90°﹣20°＝70°，∴∠3﹣∠1＝70°﹣15°＝55°，故答案为：20，55；（2）∠3﹣∠1与∠A的数量关系是：∠3﹣∠1=12∠A．证明：在△ABC中，BD，CE是它的两条角平分线，∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACB，∵MN⊥BC于点N，∴∠MNC＝90°，在△MNC中，∠3＝90°﹣∠2，∴∠3﹣∠1＝90°﹣∠2﹣∠1，＝90°−12∠ACB−12∠ABC，＝90°−12（∠ACB+∠ABC），∵在△ABC中，∠ACB+∠ABC＝180°﹣∠A，∴∠3﹣∠1＝90°−12（180°﹣∠A）=12∠A；故答案为：∠3﹣∠1=12∠A ；（3）∵BD ，CE 是△ABC 的两条角平分线， ∴∠ABC ＝2∠1，∠ACB ＝2∠2，在△BCE 和△BCD 中，∠1+2∠2+β＝180°， ∠2+2∠1+α＝180°， ∴∠1+∠2＝120°−α+β3，∵∠1+∠2=12（∠ACB +∠ABC ）=12（180°﹣∠A ）， ∴120°−α+β3=12（180°﹣∠A ）， 整理得，12∠A =α+β3−30°，∴∠3﹣∠1=α+β3−30°． 故答案为：α+β3−30°．24．（2020春•福山区期中）直线在同一平面内有平行和相交两种位置关系，线段首尾连接可以变换出很多不同的图形，这些不同的角又有很多不同关系，今天我们就来探究一下这些奇妙的图形吧！ 【问题探究】（1）如图1，请直接写出∠A +∠B +∠C +∠D +∠E ＝ 180° ；（2）将图1变形为图2，∠A +∠DBE +∠C +∠D +∠E 的结果如何？请写出证明过程； （3）将图1变形为图3，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E 的结果如何？请写出证明过程． 【变式拓展】（4）将图3变形为图4，已知∠BGF ＝160°，那么∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F 的度数是 320° ．【解题思路】（1）根据三角形外角的性质，得到∠2＝∠C+∠E，∠1＝∠A+∠2，根据三角形内角和等于180°即可求解．（2）根据三角形外角的性质，得到∠ABE＝∠C+∠E，∠DBC＝∠A+∠D，即可证明此结论．（3）根据三角形外角的性质，得到∠DFG＝∠B+∠E，∠FGD＝∠A+∠C，即可证明此结论；（4）根据三角形外角的性质，得到∠BGF＝∠B+∠2＝160°，∠2＝∠D+∠F，∠BGF＝∠1+∠E＝160°，∠1＝∠A+∠C，即可得到结论．【解答过程】（1）解：如图1，∵∠2＝∠C+∠E，∠1＝∠A+∠2，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠1+∠B+∠D＝180°，故答案为：180°；（2）证明：∵∠ABE＝∠C+∠E，∠DBC＝∠A+∠D，∠ABE+∠DBE+∠DBC＝180°，∴∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E＝180°∴将图①变形成图②∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E仍然为180°；（3）证明：∵在△FGD中，∠DFG+∠FGD+∠D＝180°，∠DFG＝∠B+∠E，∠FGD＝∠A+∠C，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，∴将图①变形成图③，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E还为180°；（4）解：∵∠BGF＝∠B+∠2＝160°，∠2＝∠D+∠F，∴∠B+∠D+∠F＝160°，∵∠BGF＝∠1+∠E＝160°，∠1＝∠A+∠C，∴∠A+∠C+∠E＝160°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝320°，故答案为：320°．25．（2020春•蓬溪县期末）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC＝122°；（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；（3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠BQC 与∠A的数量关系，并说明理由．（4）如图4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，∠A＝64°，∠CBQ，∠BCQ的平分线交于点P，则∠BPC＝119°，延长BC至点E，∠ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R，则∠R＝29°．【解题思路】（1）根据三角形的内角和角平分线的定义；（2）由角平分线得出∠ECB=12∠ACB，∠EBD=12∠ABD．由三角形外角的性质知∠ABD＝∠A+∠ACB，∠EBD＝∠ECB+∠BEC，根据∠EBD=12∠ABD=12（∠A+∠ACB）＝∠BEC+∠ECB可得答案；（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠QBC与∠QCB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（4）结合（1）（2）（3）的解析即可求得．【解答过程】解：（1）∵PB、PC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠ACB（角平分线的定义），∵∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°（三角形内角和定理），∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（12∠ABC+12∠ACB）＝180°−12（∠ABC+∠ACB）＝180°−12（180°﹣∠A）＝180°﹣90°+12∠A＝90°+12∠A＝90°+12×64°＝122°．故答案为：122°；（2）∵BE是∠ABD的平分线，CE是∠ACB的平分线，∴∠ECB=12∠ACB，∠EBD=12∠ABD．∵∠ABD是△ABC的外角，∠EBD是△BCE的外角，∴∠ABD＝∠A+∠ACB，∠EBD＝∠ECB+∠BEC，∴∠EBD=12∠ABD=12（∠A+∠ACB）＝∠BEC+∠ECB，即12∠A+∠ECB＝∠ECB+∠BEC，∴∠BEC=12∠A=12α；（3）结论：∠BQC＝90°−12∠A．理由如下：∵∠CBM与∠BCN是△ABC的外角，∴∠CBM＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，∵BQ，CQ分别是∠ABC与∠ACB外角的平分线，∴∠QBC=12（∠A+∠ACB），∠QCB=12（∠A+∠ABC）．∵∠QBC+∠QCB+∠BQC＝180°，∴∠BQC＝180°﹣∠QBC﹣∠QCB，＝180°−12（∠A+∠ACB）−12（∠A+∠ABC），＝180°−12∠A−12（∠A+∠ABC+∠ACB），＝180°−12∠A﹣90°＝90°−12∠A；（4）由（3）可知，∠BQC＝90°−12∠A＝90°−12×64°=58°，由（1）可知∠BPC＝90°+12∠BQC＝90°+12×58°=119°；由（2）可知，∠R=12∠BQC＝29°故答案为119，29．26．（2021春•鄂州期末）探究知：任何一个三角形都满足三角形三内角和等于180°，我们把这个结论称之为三角形三内角和定理．如图1，AB∥CD，且∠BED+∠CDE＝120°，请根据题目条件，结合三角形三内角和定理，探究下列问题：（1）如图2，在图1基础上作：∠BEF=12∠DEF，∠CDE＝3∠CDF，EF与DF交于点F，求∠EFD的度数；（2）如图3，在图1基础上作：过B作BG⊥AB，交CD于点F，且∠CDG=34∠CDE，求∠G∠E的值．【解题思路】（1）设∠BEF＝α，∠CDF＝β，根据角之间的比例关系可得∠DEF＝2α，∠DEB＝3α，∠CDE＝3β，∠EDF＝2β，进而可得∠DEF+∠EDF＝80°，所以可得答案；（2）根据垂直可得∠CDG ＝90°﹣∠G ，再根据∠E +∠CDE ＝120°经过整理得3∠E ＝4∠G ，进而可得答案．【解答过程】解：（1）∵∠BEF =12∠DEF ， ∴∠DEF ＝2∠BEF ， 又∵∠CDE ＝3∠CDF ， ∴设∠BEF ＝α，∠CDF ＝β，∴∠DEF ＝2α，∠DEB ＝3α，∠CDE ＝3β，∠EDF ＝2β， ∵∠BED +∠CDE ＝120°， ∴3α+3β＝120°， ∴α+β＝40°， ∴2α+2β＝80°，∴∠EFD ＝180°﹣∠DEF ﹣∠EDF ＝180°﹣（2α+2β）＝180°﹣80°＝100°， 答：∠EFD 的度数为100°； （2）∵BF ⊥AB ， ∴∠ABG ＝90°， ∵AB ∥CD ，∴∠ABG +∠BFC ＝180°， ∴∠BFC ＝∠GFD ＝90°，在△GFD 中，∠GFD +∠CDG +∠G ＝180°， ∴∠CDG ＝90°﹣∠G ，∵∠E +∠CDE ＝120°，∠CDG =34∠CDE ，∴∠E +43∠CDG =120°，∠E +43（90°﹣∠G ）＝120°， 整理得：3∠E ＝4∠G ， ∴∠G ∠E=34．27．（2020秋•南昌期中）【问题探究】将三角形ABC 纸片沿DE 折叠，使点A 落在点A ′处（1）如图1，当点A 落在四边形BCDE 的边CD 上时，直接写出∠A 与∠1之间的数量关系； （2）如图2，当点A 落在四边形BCDE 的内部时，求证：∠1+∠2＝2∠A ；（3）如图3，当点A落在四边形BCDE的外部时，探索∠1，∠2，∠A之间的数量关系，并加以证明；【拓展延伸】（4）如图4，若把四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点A、D落在四边形BCFE的内部点A′、D′的位置，请你探索此时∠1，∠2，∠A，∠D之间的数量关系，写出你发现的结论，并说明理由．【解题思路】（1）运用折叠原理及三角形的外角性质即可解决问题；（2）运用折叠原理及四边形的内角和定理即可解决问题；（3）运用三角形的外角性质即可解决问题；（4）根据三角形的内角和和四边形的内角和即可得到结论．【解答过程】解：（1）如图1，∠1＝2∠A．理由如下：由折叠知识可得：∠EA′D＝∠A；∵∠1＝∠A+∠EA′D，∴∠1＝2∠A；（2）如图2，2∠A＝∠1+∠2．理由如下：∵∠1+∠A′DA+∠2+∠A′EA＝360°，∠A+∠A′+∠A′DA+∠A′EA＝360°，∴∠A′+∠A＝∠1+∠2，由折叠知识可得：∠A＝∠A′，∴2∠A＝∠1+∠2；（3）如图3，∠1﹣∠2＝2∠A，理由：∵∠1+2∠AED＝180°，2∠ADE﹣∠2＝180°，∴∠1﹣∠2+2∠AED+2∠AED＝360°，∵∠A+∠AED+∠ADE＝180°，∴2∠A+2∠AED+2∠ADE＝360°，∴∠1﹣∠2＝2∠A；（4）∠1+∠2＝2（∠A+∠D）﹣360°，理由：∵∠1+2∠AEF＝180°，∠2+2∠DFE＝180°，∴∠1+∠2+2∠AEF+2∠DFE＝360°，∵∠A+∠D+∠AEF+∠DFE＝360°，∴2∠A+2∠D+2∠AEF+2∠DFE＝720°，∴∠1+∠2＝2（∠A+∠D）﹣360°．28．（2021春•桥西区期末）请认真思考，完成下面的探究过程．已知在△ABC中，AE是∠BAC的角平分线，∠B＝60°，∠C＝40°．【解决问题】如图1，若AD⊥BC于点D，求∠DAE的度数；【变式探究】如图2，若F为AE上一个动点（F不与E重合），且FD⊥BC于点D时，则∠DFE＝10°；【拓展延伸】如图2，△ABC中，∠B＝x°，∠C＝y°，（且∠B＞∠C），若F为线段AE上一个动点（F不与E重合），且FD⊥BC于点D时，试用x，y表示∠DFE的度数，并说明理由．【解题思路】（1）由∠B＝60°，∠C＝40°，得∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°．由角平分线的定义，得∠EAC＝40°．根据三角形外角的性质，得∠FED＝80°．由FD⊥BC，根据三角形内角和定理，故可求得∠DFE．（2）与（1）同理．（3）与（1）同理．【解答过程】解：（1）解决问题：∵∠B＝60°，∠C＝40°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°．又∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠EAC=12∠BAC=40°．∴∠AED＝∠C+∠EAC＝40°+40°＝80°．∵AD⊥BC，∴∠ADE＝90°．∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝180°﹣90°﹣80°＝10°．（2）变式探究：由（1）知：∠AED＝80°．∵FD⊥BC，∴∠FDE＝90°．∴∠DFE＝180°﹣∠FDE﹣∠FED＝180°﹣90°﹣80°＝10°．故答案为：10°．（3）拓展延伸：∠DFE=12x°−12y°，理由如下：∵∠B＝x°，∠C＝y°，∴∠BAC＝180°﹣x°﹣y°．又∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠CAE=12∠BAC=12(180°−x°−y°)=90°−12x°−12y°．∴∠AED＝∠C+∠CAE＝y°+90°−12x°−12y°=90°−12x°+12y°．∵FD⊥BC，∴∠FDE＝90°．∴∠DFE＝180°﹣∠FDE﹣∠FED＝180°﹣90°﹣（90°−12x°+12y°）=12x°−12y°．29．（2021春•庐江县期末）如图1，AB⊥BC于点B，CD⊥BC于点C，点E在线段BC上，且AE⊥DE．（1）求证：∠EAB＝∠CED；（2）如图2，AF、DF分别平分∠BAE和∠CDE，则∠F的度数是45°（直接写出答案即可）；（3）如图3，EH平分∠CED，EH的反向延长线交∠BAE的平分线AF于点G．求证：EG⊥AF．（提示：三角形内角和等于180°）【解题思路】（1）根据垂直得到直角三角形，由直角三角形两锐角互余利用等量代换证明结论；（2）通过作FM∥AB∥CD可证∠DF A＝∠CDF+∠BAF，因为∠CDE+∠BAE＝90°和角平分线的定义可得∠F=12（∠CDE+∠BAE），继而得到答案；（3）根据角平分线的定义得∠CEH＝∠DEH＝∠GEB＝∠BAG＝∠EAF，由于∠B＝90°，∠BAE+∠BEA ＝90°，在△AEG中，可证得∠EAG+∠AEG＝90°，从而证得结论．【解答过程】（1）证明：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°，∴∠AEB+∠CED＝90°，∴∠BAE＝∠CED．（2）解：答案为45°；过点F作FM∥AB，如图，∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°，∴AB∥CD，∵∠C＝90°，∴∠CED+∠CDE＝90°，∵∠BAE＝∠CED，∴∠BAE+∠CDE＝90°，∵AF、DF分别平分∠BAE和∠CDE，∴∠CDF=12∠CDE，∠BAF=12∠BAE，∴∠CDF+∠BAF=12（∠BAE+∠CDE）＝45°，∵FM∥AB∥CD，∴∠CDF＝∠DFM，∠BAF＝∠AFM，∴∠AFD＝∠CDF+∠BAF＝45°．（3）∵EH平分∠CED，∴∠CEH=12∠CED，∴∠BEG=12∠CED，∵AF平分∠BAE，∴∠BAG=12∠BAE，∵∠BAE＝∠CED，∴∠BAG＝∠BEG，∵∠BAE+∠BEA＝90°，∴∠BAG+∠GAE+∠AEB＝90°，即∠GAE+∠AEB+∠BEG＝90°，∴∠AGE＝90°，∴EG⊥AF．30．（2021春•崇川区期末）在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，E为边AC上一点，EF⊥BC，垂足为F，EG平分∠AEF交BC于点G．（1）如图1，若∠BAC＝90°，延长AB、EG交于点M，∠M＝α．①用含α的式子表示∠AEF为180°﹣2α；②求证：BD∥ME；（2）如图2，∠BAC＜90°，延长DB，EG交于点N，请用等式表示∠A与∠N的数量关系，并证明．。

专题训练7 直角三角形及等腰三角形中的角度计算

专题训练7 直角三角形及等腰三角形中的角度计算

专题训练7 直角三角形及等腰三角形中的角度计算专题训练7: 直角三角形及等腰三角形中的角度计算本文档将介绍如何计算直角三角形中角度的方法，以及等腰三角形中角度的特点和计算方式。

直角三角形中的角度计算直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度（直角）。

在直角三角形中，我们可以通过已知两个角度或两个边长来计算第三个角度。

1. 已知两个角度：- 如果已知一个角度为90度，另一个角度为30度，我们可以使用直角三角形的性质，将两个已知角度相加，再用90度减去相加后的结果，即可得到第三个角度。

- 示例计算：已知两个角度为90度和30度，第三个角度 = 90度 - 30度 = 60度2. 已知两个边长：- 如果已知两条边分别为3和4，我们可以使用三角形中的三角函数（如正弦、余弦、正切），推算出夹角的值。

- 示例计算：已知两条边长分别为3和4，我们可以通过计算正切值来求得夹角的大小。

夹角的正切值 = 对边长度 ÷临边长度 = 3 ÷ 4 = 0.75。

我们可以使用反正切函数（arctan）来求得夹角的大小。

夹角= arctan(0.75) ≈ 36.87度等腰三角形中的角度计算等腰三角形是指两个边相等的三角形。

在等腰三角形中，角度的特点是底角（两边所夹的角）相等，而顶角（底角的对角）可以通过底角的计算得到。

1. 底角的计算：- 在等腰三角形中，底角等于180度减去顶角的两倍。

- 示例计算：已知顶角为30度，底角 = 180度 - 30度 × 2 = 180度 - 60度 = 120度2. 顶角的计算：- 顶角可以通过底角的计算得到，即顶角 = 180度减去底角的一半。

- 示例计算：已知底角为90度，顶角 = 180度 - 90度 ÷ 2 = 180度 - 45度 = 135度注意：等腰三角形中的角度计算只适用于等腰三角形，其他类型的三角形需要使用其他方法进行计算。

3.方法技巧专题：三角形中有关角度的计算

3.方法技巧专题：三角形中有关角度的计算

方法技巧专题：三角形中有关角度的计算——全方位求角度，一网搜罗◆类型一已知角的关系，直接利用内角和或结合方程思想求角度1．一个三角形三个内角的度数之比是2∶3∶5，则这个三角形一定是()A．直角三角形B．等腰三角形C．钝角三角形D．锐角三角形2．在△ABC中，∠A＝2∠B＝75°，则∠C＝________.3．在△ABC中，∠A＝3∠B，∠A－∠C＝30°，则∠A＝________°，∠C＝________°.4．如图，已知在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．◆类型二综合内、外角的性质求角度5．如图，∠B＝20°，∠A＝∠C＝40°，则∠CDE的度数为()A．40°B．60°C．80°D．100°6．如图，在△ABC中，D是BC上的一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠B＝40°，求∠BAC的度数．7．如图，AD平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA.(1)求证：∠EAC＝∠B；(2)若∠B＝50°，∠CAD∶∠E＝1∶3，求∠E的度数．◆类型三在三角板或直尺中求角度8．如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在矩形直尺的一组对边上，如果∠2＝60°，那么∠1的度数为()A．60°B．50°C．40°D．30°第8题图第9题图9．(2016－2017·湘潭市期末)将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是()A．75°B．90°C．105°D．120°10．(2016－2017·娄底市新化县期中)如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1＝50°，∠2＝60°，则∠3的度数为()A．50°B．60°C．70°D．80°11．(1)如图①，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY，XZ分别经过点B，C.在△ABC中，∠A＝30°，则∠ABC＋∠ACB＝________，∠XBC＋∠XCB＝________；(2)如图②，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY，XZ仍然分别经过B，C，那么∠ABX＋∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX＋∠ACX的大小．◆类型四与平行线结合求角度12．如图，已知AB∥CD，∠A＝60°，∠C＝25°，则∠E等于()A．60°B．25°C．35°D．45°第12题图第13题图13．(2016·丽水中考)如图，在△ABC中，∠A＝63°，直线MN∥BC，且分别与AB，AC相交于点D，E，若∠AEN＝133°，则∠B的度数为________．◆类型五与截取或折叠结合求角度14．如图，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝24°，则∠BDC 等于()A．42°B．66°C．69°D．77°第14题图第15题图15．如图所示，一个含60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，那么∠1＋∠2的度数为()A．120°B．180°C．240°D．300°16．★如图，把三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE的内部A′处，已知∠1＋∠2＝80°，则∠A的度数为________．【变式题】如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC 内部C′处，若∠1＝20°，求∠2的度数．参考答案与解析1．A 2.67.5° 3.90 604．解：设∠A ＝x ，则∠C ＝∠ABC ＝2x .根据三角形内角和为180°知∠C ＋∠ABC ＋∠A ＝180°，即2x ＋2x ＋x ＝180°，∴x ＝36°，∴∠C ＝2x ＝72°.在△BDC 中，∠DBC ＝180°－90°－∠C ＝18°.5．C6．解：∵∠1＝∠2，∠B ＝40°，∴∠2＝∠1＝(180°－40°)÷2＝70°.又∵∠2是△ADC 的外角，∴∠2＝∠3＋∠4.∵∠3＝∠4，∴∠2＝2∠3，∴∠3＝12∠2＝35°，∴∠BAC ＝∠1＋∠3＝105°.7．(1)证明：∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD .又∵∠EAD ＝∠EDA ，∴∠EAC ＝∠EAD －∠CAD ＝∠EDA －∠BAD ＝∠B .(2)解：设∠CAD ＝x °，则∠E ＝3x °.由(1)知∠EAC ＝∠B ＝50°，∴∠EAD ＝∠EDA ＝(x ＋50)°.在△EAD 中，∠E ＋∠EAD ＋∠EDA ＝180°，即3x °＋2(x ＋50)°＝180°，解得x ＝16.∴∠E ＝48°.8．D 9.C 10.C 11．解：(1)150° 90° (2)不变化．因为∠A ＝30°，所以∠ABC ＋∠ACB ＝150°.因为∠X ＝90°，所以∠XBC ＋∠XCB ＝90°，所以∠ABX ＋∠ACX ＝(∠ABC －∠XBC )＋(∠ACB －∠XCB )＝(∠ABC ＋∠ACB )－(∠XBC ＋∠XCB )＝150°－90°＝60°.12．C 13.70° 14.C15．C 解析：因为∠1＝180°－∠AMN ，∠2＝180°－∠ANM ，所以∠1＋∠2＝360°－(∠ANM ＋∠AMN )．又因为∠ANM ＋∠AMN ＝180°－∠A ＝120°，所以∠1＋∠2＝240°.故选C.16．40° 解析：由折叠的性质得∠AED ＝∠A ′ED ，∠ADE ＝∠A ′DE .因为∠1＋∠A ′EA ＝180°，∠2＋∠A ′DA ＝180°，所以∠1＋∠2＋2∠AED ＋2∠ADE ＝360°，所以∠AED ＋∠ADE ＝140°，所以∠A ＝40°.【变式题】解：如图，因为∠A ＝65°，∠B ＝75°，所以∠CEF ＋∠CFE ＝∠A ＋∠B ＝140°，所以∠CEF ＋∠CFE ＋∠C ′EF ＋∠C ′FE ＝280°，所以∠2＝360°－(∠CEF ＋∠CFE ＋∠C ′EF ＋∠C ′FE )－∠1＝360°－280°－20°＝60°.。

几何知识 求直角三角形的角度

几何知识 求直角三角形的角度

求直角三角形的角度从已知两边求角度若我们知道 直角三角形两条边的长度，我们便可以求三角形的未知角度。

例子梯子搁在墙上，如图。

梯子与墙之间的 角度 是多少？我们可以用 正弦、余弦或正切来做！但应该用哪个呢？我们可以这样做：一、看看已知的边是邻边（就是：我们想求的角的其中一边，但不是最长的边），对边（就是：对着我们想求的角的边），或斜边（就是：最长的边）例子：在这个梯子的例子，我们知道：角 "x" 的 对边的长度：2.5最长的边（斜边）的长度：5二、用以下的公式来决定用正弦、余弦 或 正切：正弦sin(θ) = 对边 / 斜边余弦cos(θ) = 邻边 / 斜边正切tan(θ) = 对边 / 邻边在这个例子，已知值是对边 和 斜边，所以我们用 正弦。

三、把已知值代入正弦方程：S in (x) = 对边 / 斜边 = 2.5 / 5 = 0.5在计算器上，按以下的键（视乎计算器的牌子）： '2ndF sin' 或 'shift sin'。

例子再看一些例子：例子求从地上的点 A 到飞机的仰角。

一、已知的边是 对边 (300) 和 邻边 (400)。

二、从上面的公式，我们知道应该用 正切。

三、计算 对边/邻边 = 300/400 = 0.75四、用计算器的 tan-1 键来求角度Tan x° = 对边/邻边 = 300/400 = 0.75tan-1 of 0.75 = 36.9° （保留一位小数）角度通常是舍入到一个小数位的。

例子求 角 a°的大小一、已知的边是 邻变 (6,750) 和 斜边 (8,100)。

二、从上面的公式，我们知道应该用 余弦。

三、计算 邻边/斜边 = 6,750/8,100 = 0.8333四、用计算器来算 cos-1(0.8333) ：cos a° = 6,750/8,100 = 0.8333cos-1(0.8333) = 33.6° (保留一位小数）。

专题116三角形有关角的计算与证明大题专练30题-2021-2022学年八年级数学上(解析版人教版】

专题116三角形有关角的计算与证明大题专练30题-2021-2022学年八年级数学上(解析版人教版】

2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题11.6三角形有关角的计算与证明大题专练30题（重难点培优）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷试题共30题，解答30道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一．解答题（共30小题）1．（2021春•泰兴市月考）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝110°．（1）画出下列图形：①BC边上的高AD；②∠A的角平分线AE．（2）试求∠DAE的度数．【分析】（1）利用直角三角板一条直角边与BC重合，沿BC平移使另一直角边过A画BC边上的高AD 即可；再根据角平分线的做法作∠A的角平分线AE；（2）首先计算出∠BAE的度数，再计算出∠BAD的度数，利用角的和差关系可得答案．【解析】（1）如图所示；（2）在△ABC中，∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣40°﹣110°＝30°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=12∠BAC＝15°，在Rt△ADB中，∠BAD＝90°﹣∠B＝50°，∴∠DAE＝∠DAB﹣∠BAE＝35°．2．（2021春•贺兰县期中）如图，F A⊥EC，垂足为E，∠F＝40°，∠C＝20°，求∠FBC的度数．【分析】根据三角形的内角和可得∠A的度数，再利用外角的性质可得∠FBC的度数．【解析】：在△AEC中，F A⊥EC，∴∠AEC＝90°，∴∠A＝90°﹣∠C＝70°．∴∠FBC＝∠A+∠F＝70°+40°＝110°．3．（2021春•福田区校级月考）已知：如图，在△ABC中，∠DAE＝10°，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，∠B＝60°，求∠C的度数．【分析】由AD⊥BC，∠B＝60°及三角形内角和定理可求出∠BAD＝30°，再由∠DAE＝10°及AE平分∠BAC可求出∠BAC＝80°，在△ABC中由三角形内角和定理进而求得∠C为40°．【解析】：∵AD⊥BC，∠B＝60°，∴在△ABD中，∠BAD＝180°﹣90°﹣60°＝30°，又∵∠DAE＝10°，∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝30°+10°＝40°，又∵AE平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAE＝80°，∴在△ABC中，∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣80°﹣60°＝40°．答：∠C的度数是40°．4．（2020秋•沙县期末）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝80°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．（1）求∠CBE的度数；（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．【分析】（1）根据三角形的外角的性质求出∠CBD，根据角平分线的定义计算，得到答案；（2）先根据三角形外角的性质得出∠CEB＝∠ACB﹣∠CBE，再根据平行线的性质即可求出∠F＝∠CEB 即可．【解析】：（1）∵在△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝80°，∴∠CBD＝∠A+∠ACB＝110°，∵BE是∠CBD的平分线，∴∠CBE=12∠CBD＝55°；（2）∵∠ACB＝80°，∠CBE＝55°，∴∠CEB＝∠ACB﹣∠CBE＝80°﹣55°＝25°，∵DF∥BE，∴∠F＝∠CEB＝25°．5．（2021春•沙坪坝区期中）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．（1）若∠B＝35°，∠E＝25°，求∠BAC的度数；（2）证明：∠BAC＝∠B+2∠E．【分析】（1）根据三角形的外角性质求出∠ECD，根据角平分线的定义求出∠ACE，再根据三角形的外角性质计算，得到答案；（2）根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算，证明结论．【解析】（1）解：∵∠B＝35°，∠E＝25°，∴∠ECD＝∠B+∠E＝60°，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠ECD＝60°，∴∠BAC＝∠ACE+∠E＝85°；（2）证明：∵CE平分∠ACD，∴∠ECD＝∠ACE，∵∠BAC＝∠E+∠ACE，∴∠BAC＝∠E+∠ECD，∵∠ECD＝∠B+∠E，∴∠BAC＝∠E+∠B+∠E，∴∠BAC＝2∠E+∠B．6．（2021春•亭湖区校级期中）互动学生课堂上，某小组同学对一个课题展开了探究．小亮：已知，如图三角形ABC，点D是三角形ABC内一点，连接BD，CD，试探究∠BDC与∠A、∠1、∠2之间的关系．小明：可以用三角形内角和定理去解决．小丽：用外角的相关结论也能解决．（1）请你在横线上补全小明的探究过程：∵∠BDC+∠DBC+∠BCD＝180°，（三角形内角和定理）∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠BCD，（等式性质）∵∠A+∠1+∠2+∠DBC+∠BCD＝180°，∴∠A+∠1+∠2＝180°﹣∠DBC﹣∠BCD，∴∠BDC＝∠A+∠1+∠2．（等量代换）（2）请你按照小丽的思路完成探究过程．【分析】（1）根据三角形内角和定理、等式的性质解答；（2）延长BD交AC于E，根据三角形的外角性质证明结论．【解析】：（1）∵∠BDC+∠DBC+∠BCD＝180°，（三角形内角和定理）∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠BCD，（等式性质）∵∠A+∠1+∠2+∠DBC+∠BCD＝180°，∴∠A+∠1+∠2＝180°﹣∠DBC﹣∠BCD，∴∠BDC＝∠A+∠1+∠2 （等量代换），故答案为：三角形内角和定理；∠2；∠DBC；等量代换；（2）如图，延长BD交AC于E，由三角形的外角性质可知，∠BEC＝∠A+∠1，∠BDC＝∠BEC+∠2，∴∠BDC＝∠A+∠1+∠2．7．（2021春•东城区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线交AC于点E，过点E作DF∥BC，交AB于点D，且EC平分∠BEF．（1）若∠ADE＝50°，求∠BEC的度数；（2）若∠ADE＝α，则∠AED＝90°−14α（含α的代数式表示）．【分析】（1）根据平行线的性质得到∠ABC＝∠ADE＝50°，根据角平分线的定义∠EBC＝25°，根据角平分线的定义和平行线的性质可得∠BEC＝∠C，根据三角形的内角和定理即可得到结论；（2）根据角平分线的定义和平行线的性质以及三角形的内角和定理即可得到结论．【解析】：（1）∵DF∥BC，∴∠ADE＝∠ABC＝50°，∠CEF＝∠C，∵BE平分∠ABC，∴∠DEB＝∠EBC＝25°，∵EC平分∠BEF，∴∠CEF＝∠BEC＝∠C，∵∠BEC+∠C+∠EBC＝180°，∴∠BEC＝77.5°；（2）∵DF∥BC，∴∠ADE＝∠ABC＝α，∵BE平分∠ABC，∴∠DEB＝∠EBC=12α，∵EC平分∠BEF，∴∠AED＝∠CEF=12（180°−12α）＝90°−14α．故答案为：90°−14α．8．（2021春•姑苏区期中）如图，在△ABC中，BE是△ABC角平分线，点D是AB上的一点，且满足∠DEB ＝∠DBE．（1）DE与BC平行吗？请说明理由；（2）若∠C＝50°，∠A＝45°，求∠DEB的度数．【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠DBE＝∠EBC，从而求出∠DEB＝∠EBC，再利用内错角相等，两直线平行证明即可；（2）先根据三角形的内角和等于180°求出∠ABC，最后用角平分线求出∠DBE＝∠EBC，即可得解．【解析】：（1）DE∥BC．理由如下：∵BE是△ABC的角平分线，∴∠DBE＝∠EBC，∵∠DEB＝∠DBE，∴∠DEB＝∠EBC，∴DE∥BC；（2）在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣45°﹣50°＝85°．∵BE是△ABC的角平分线，∴∠DBE＝∠EBC＝42.5°，∴∠DEB＝∠EBC＝42.5°．9．（2021春•莲湖区期中）如图，已知∠DAE+∠CBF＝180°，CE平分∠BCD，∠BCD＝2∠E．（1）CD与EF是否平行，请说明理由．（2）若DF平分∠ADC，求∠DOC的度数（注：三角形的三个内角和等于180°）．【分析】（1）依据∠BCD＝2∠DCE，∠BCD＝2∠E，即可得出∠E＝∠DCE，进而判定CD∥EF；（2）根据同角的补角相等，即可得到∠CBF＝∠DAB，进而得到AD∥BC；依据AD∥BC，可得∠ADC+∠DCB＝180°，进而得到∠COD＝90°，即可得出CE⊥DF．【解析】：（1）CD与EF平行．∵CE平分∠BCD，∴∠BCD＝2∠DCE，又∵∠BCD＝2∠E，∴∠E＝∠DCE，∴CD∥EF；（2）∵DF平分∠ADC，∴∠CDF=12∠ADC，∵∠BCD＝2∠DCE，∴∠DCE=12∠DCB，∵∠DAE+∠CBF＝180°，∠DAE+∠DAB＝180°，∴∠CBF＝∠DAB，∴AD∥BC；∴∠ADC+∠DCB＝180°，∴∠CDF+∠DCE=12（∠ADC+∠DCB）＝90°，∴∠DOC＝90°．10．（2021春•宝应县月考）如图，△ABC中，∠ABC＝40°，∠C＝60°，AD⊥BC于D，AE是∠BAC的平分线．求∠DAE的度数．【分析】根据三角形的高和角平分线的性质，可求∠DAE的度数．【解析】：∵AD⊥BC于D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵∠ABC＝40°，∠C＝60°，∴∠BAD＝50°，∠CAD＝30°，∴∠BAC＝50°+30°＝80°，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝40°，∴∠DAE＝50°﹣40°＝10°．11．（2020秋•兰州期末）如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高．（1）求证：∠DAC＝∠ABC；（2）如图②，△ABC的角平分线CF交AD于点E，求证：∠AFE＝∠AEF．【分析】（1）利用三角形内角和定理可得出∠ABC+∠ACB＝90°，∠DAC+∠ACB＝90°，进而可证出∠DAC＝∠ABC；（2）由CF是△ABC的角平分线，利用角平分线的定义可得出∠ACF＝∠BCF，利用三角形内角和定理可得出∠AFE+∠ACF＝90°，∠CED+∠BCF＝90°，进而可得出∠AFE＝∠CED，再结合对顶角相等即可证出∠AFE＝∠AEF．【解析】证明：（1）∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∵AD是BC边上的高，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC+∠ACB＝90°，∴∠DAC＝∠ABC．（2）∵CF是△ABC的角平分线，∴∠ACF＝∠BCF，∵∠BAC＝∠ADC＝90°，∴∠AFE+∠ACF＝∠CED+∠BCF＝90°，∴∠AFE＝∠CED，又∵∠AEF＝∠CED，∴∠AFE＝∠AEF．12．（2021春•黄陂区期中）如图，在三角形ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，∠B＝60°，∠BDE ＝120°，∠AED＝45°．（1）求证：DE∥BC；（2）若DF平分∠ADE，交AC于点F，∠ECD＝2∠BCD，求∠CDF的度数．【分析】（1）根据平行线的判定定理即可得到结论；（2）根据平行线的性质和角平分线的定义即可得到结论．【解析】（1）证明：∵∠B＝60°，∠BDE＝120°，∴∠B+∠BDE＝60°+120°＝180°，∴DE∥BC（同旁内角互补，两直线平行）；（2）解：∵DE∥BC，∠AED＝45°，∴∠ADE＝∠B＝60°，∠ACB＝∠AED＝45°，∠EDC＝∠BCD，∵DF平分∠ADE，∴∠ADF＝∠EDF=12∠ADE＝30°，∵∠ECD＝2∠BCD，∴∠BCD=13∠ACB＝15°，∴∠EDC＝15°，∴∠CDF＝∠EDC+∠EDF＝45°．13．（2021春•海陵区校级月考）直角△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别是边AC，BC上的点，点P是一动点，令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．（1）若点P在线段AB上，如图1所示，且∠α＝50°，则∠1+∠2＝140°；（2）若点P在边AB上运动，如图2所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系，并说明理由；（3）如图3，若点P在斜边BA的延长线上运动（CE＜CD），请写出∠α、∠1、∠2之间的关系式．【分析】（1）根据四边形内角和定理以及邻补角的定义得出∠1+∠2＝∠C+∠α，进而得出即可；（2）利用（1）中所求得出答案即可；（3）利用三角外角的性质分三种情况讨论即可．【解析】：（1）∵∠1+∠2+∠CDP+∠CEP＝360°，∠C+∠α+∠CDP+∠CEP＝360°，∴∠1+∠2＝∠C+∠α，∵∠C＝90°，∠α＝50°，∴∠1+∠2＝140°；（2）由（1）得出：∠α+∠C＝∠1+∠2，∴∠1+∠2＝90°+α．（3）如图，分三种情况：在BA延长线上取点P，连接EP、DP，如图1，由三角形的外角性质，∠2＝∠C+∠1+∠α，∴∠2﹣∠1＝90°+∠α；如图2，∠α＝0°，∠2＝∠1+90°；如图3，∠2＝∠1﹣∠α+∠C，∴∠1﹣∠2＝∠α﹣90°．14．（2021春•海陵区校级月考）如图1，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC，垂足为E，CF∥AD．（1）如图1，∠B ＝30°，∠ACB ＝70°，求∠CFE 的度数；（2）若（1）中的∠B ＝α，∠ACB ＝β（α＜β），则∠CFE ＝12β−12α ；（用α、β表示） （3）如图2，（2）中的结论还成立么？请说明理由．【分析】（1）求∠CFE 的度数，求出∠DAE 的度数即可，只要求出∠BAE ﹣∠BAD 的度数，由平分和垂直易得∠BAE 和∠BAD 的度数即可；（2）由（1）类推得出答案即可；（3）类比以上思路，把问题转换为∠CFE ＝90°﹣∠ECF 即可解决问题．【解析】：（1）∵∠B ＝30°，∠ACB ＝70°，∴∠BAC ＝180°﹣∠B ﹣∠ACB ＝80°，∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝40°，∵AE ⊥BC ，∴∠AEB ＝90°∴∠BAE ＝60°∴∠DAE ＝∠BAE ﹣∠BAD ＝60°﹣40°＝20°，∵CF ∥AD ，∠B ＝α，∠ACB ＝β，∴∠CFE ＝∠DAE ＝20°；（2）∵∠BAE ＝90°﹣∠B ，∠BAD =12∠BAC =12（180°﹣∠B ﹣∠ACB ），∵CF ∥AD ，∴∠CFE ＝∠DAE ＝∠BAE ﹣∠BAD ＝90°﹣∠B −12（180°﹣∠B ﹣∠BCA ）=12（∠ACB ﹣∠B ）=12β−12α， 故答案为：12β−12α；（3）（2）中的结论成立．∵∠B＝α，∠ACB＝β，∴∠BAC＝180°﹣α﹣β，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=12∠BAC＝90°−12α−12β，∵CF∥AD，∴∠ACF＝∠DAC＝90°−12α−12β，∴∠BCF＝β+90°−12α−12β＝90°−12α+12β，∴∠ECF＝180°﹣∠BCF＝90°+12α−12β，∵AE⊥BC，∴∠FEC＝90°，∴∠CFE＝90°﹣∠ECF=12β−12α．15．（2021春•吴中区月考）如图，点O在直线AB上，OC⊥AB．在△ODE中，∠ODE＝90°，∠EOD＝60°．先将△ODE一边OE与OC重合，然后绕点O顺时针方向旋转，当OE与OB重合时停止旋转．（1）当OD在OA与OC之间，且∠COD＝25°时，则∠AOE＝125°．（2）试探索：在△ODE旋转过程中，∠AOD与∠COE大小的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请说明理由；（3）在△ODE的旋转过程中，若∠AOE＝7∠COD，试求∠AOE的大小．【分析】（1）求出∠COE的度数，即可求出答案；（2）分为两种情况，根据∠AOC＝90°和∠DOE＝60°求出即可；（3）根据∠AOE＝7∠COD、∠DOE＝60°、∠AOC＝90°求出即可．【解析】：（1）∵OC⊥AB，∴∠AOC＝90°，∵OD在OA和OC之间，∠COD＝25°，∠EOD＝60°，∴∠COE＝60°﹣25°＝35°，∴∠AOE＝90°+35°＝125°，故答案为：125；（2）在△ODE旋转过程中，∠AOD与∠COE的差不发生变化，有两种情况：①如图1，∵∠AOD+∠COD＝90°，∠COD+∠COE＝60°，∴∠AOD﹣∠COE＝90°﹣60°＝30°，②如图2，∵∠AOD＝∠AOC+∠COD＝90°+∠COD，∠COE＝∠DOE+∠DOC＝60°+∠DOC，∴∠AOD﹣∠COE＝（90°+∠COD）﹣（60°+∠COD）＝30°，即△ODE在旋转过程中，∠AOD与∠COE的差不发生变化，为30°；（3）如图1、∵∠AOE＝7∠COD，∠AOC＝90°，∠DOE＝60°，∴90°+60°﹣∠COD＝7∠COD，解得：∠COD＝18.75°，∴∠AOE＝7×18.75°＝131.25°；如图2、∵∠AOE＝7∠COD，∠AOC＝90°，∠DOE＝60°，∴90°+60°+∠COD＝7∠COD，∴∠COD＝25°，∴∠AOE＝7×25°＝175°；即∠AOE＝131.25°或175°．16．（2020秋•前郭县期末）如图所示，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB；BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB的外角．（1）若∠BAC＝70°，求：∠BOC的度数；（2）探究∠BDC与∠A的数量关系．（直接写出结论，无需说明理由）【分析】（1）根据三角形的角平分线定义和三角形的内角和定理求出∠OBC+∠OCB的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出∠BOC的度数；（2）根据三角形外角平分线的性质可得∠BCD=12（∠A+∠ABC）、∠DBC=12（∠A+∠ACB）；根据三角形内角和定理可得∠BDC＝90°−12∠A．【解析】：（1）∵OB、OC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠OBC+∠OCB=12∠ABC+12∠ACB=12（∠ABC+∠ACB），∵∠A＝70°，∴∠OBC+∠OCB=12（180°﹣70°）＝55°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣55°＝125°；（2）∠BDC＝90°−12∠A．理由如下：∵BD、CD为△ABC两外角∠ABC、∠ACB的平分线，∴∠BCD=12（∠A+∠ABC）、∠DBC=12（∠A+∠ACB），由三角形内角和定理得，∠BDC＝180°﹣∠BCD﹣∠DBC，＝180°−12[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]，＝180°−12（∠A+180°），＝90°−12∠A；17．（2021春•东台市月考）如图，EF∥GH，Rt△ABC的两个顶点A、B分别在直线EF、GH上，∠C＝90°，AC交EF于点D，若BD平分∠ABC，∠BAH＝32°，求∠BAC的度数．【分析】根据平行线的性质和已知条件求出∠DBA＝∠BAH＝32°，根据角平分线的定义得出∠CBD＝∠DBA＝32°，求出∠ABC，再根据直角三角形的性质求出答案即可．【解析】：∵∠BAH＝32°，EF∥GH，∴∠DBA＝∠BAH＝32°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠DBA＝32°，即∠ABC＝64°，∵∠C＝90°，∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣64°＝26°．18．（2021春•青羊区校级期中）已知：△ABC中，BE是△ABC的角平分线，BD是△ABC的AC边上的高，过点A作AF∥BE，交直线BD于点F．（1）如图1，若∠ABC＝74°，∠C＝32°，则∠AFB＝21°；（2）若（1）中的∠BAC＝α，∠ACB＝β（α＞β），求∠AFB；（用α，β表示）；（3）如图2，（2）中的结论还成立吗？若成立，说明理由；若不成立，求出∠AFB．（用α，β表示）【分析】（1））先根据角平分线的定义可得∠CBE＝37°，由三角形的外角的性质可得∠AEB＝69°，最后由平行线的性质可得结论；（2）同理可得∠AFB的度数；（3）如图2，（2）中的结论不成立，先根据三角形内角和定理可得∠ABC＝180°﹣α﹣β，由角平分线的定义得∠ABE＝90°−12α−12β，最后由平行线的性质和三角形的内角和定理可得结论．【解析】：（1）∵∠ABC＝74°，BE平分∠ABC，∴∠CBE=12∠ABC=37°，△CBE中，∠AEB＝∠C+∠CBE＝32°+37°＝69°，∵BF⊥AC，∴∠BDE＝90°，∴∠EBD＝90°﹣69°＝21°，∵AF∥BE，∴∠AFB＝∠EBD＝21°，故答案为：21；（2）∵∠BAC＝α，∠ACB＝β，∴∠ABC＝180°﹣α﹣β，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=12∠ABC=90°−12α−12β，△CBE中，∠AEB＝∠C+∠CBE＝β+90°−12α−12β＝90°−12α+12β，∵∠BDE＝90°，∴∠EBD＝90°﹣（90°−12α+12β）=12α−12β，∵AF∥BE，∴∠AFB＝∠EBD=12α−12β；（3）如图2，（2）中的结论不成立，理由如下：∵∠BAC＝α，∠ACB＝β，∴∠ABC＝180°﹣α﹣β，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=12∠ABC=90°−12α−12β，△ABC中，∠DAB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣α，∵AF∥BE，∴∠F AB＝∠ABE，∵∠D＝90°，∴∠ABD＝90°﹣∠DAB＝90°﹣（180°﹣α）＝α﹣90°，∴∠AFB＝180°﹣∠F AB﹣∠ABD＝180°﹣（90°−12α−12β）﹣（α﹣90°）＝180°+12β−12α．19．（2021春•高新区校级月考）（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明：∠A+∠B＝∠C+∠D．（2）阅读下面的内容，并解决后面的问题：（①）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，求∠P的度数．（②）如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠F AD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，请猜想∠P的度数，并说明理由．（③）如图4中，直线AP平分∠BAD的外角∠F AD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论，无需说明理由．【分析】（1）根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得证；（2）①根据角平分线的定义可得∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根据（1）的结论列出整理即可得解；②表示出∠P AD和∠PCD，再根据（1）的结论列出等式并整理即可得解；③根据四边形的内角和等于360°可得（180°﹣∠1）+∠P+∠4+∠B＝360°，∠2+∠P+（180°﹣∠3）+∠D＝360°，然后整理即可得解．【解析】：（1）∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，∴∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D+∠COD，∵∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）①如图2：∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，由（1）的结论得：∠P+∠3＝∠2+∠B①，∠P+∠1＝∠4+∠D②，①+②，得2∠P+∠2+∠3＝∠1+∠4+∠B+∠D，∵∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，∴∠P=12（∠B+∠D）＝26°．②∠P＝26°．如图3：∵AP平分∠BAD的外角∠F AD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，由（1）的结论得：∠P AD+∠P＝∠PCD+∠D①，∠P AB+∠P＝∠PCB+∠B②，∵∠P AB＝∠1，∠1＝∠2，∴∠P AB＝∠2，∴∠2+∠P＝∠3+∠B③，①+③得∠2+∠P+∠P AD+∠P＝∠3+∠B+∠PCD+∠D，即2∠P+180°＝∠B+∠D+180°，∴∠P=12（∠B+∠D）＝26°．③如图4，∵AP平分∠BAD的外角∠F AD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴（180°﹣2∠1）+∠B＝（180°﹣2∠4）+∠D，在四边形APCB中，（180°﹣∠1）+∠P+∠4+∠B＝360°，在四边形APCD中，∠2+∠P+（180°﹣∠3）+∠D＝360°，∴2∠P+∠B+∠D＝360°，∴∠P＝180°−12（∠B+∠D）．20．（2021春•增城区期中）如图①，直线PQ∥MN，点A在直线PQ上，点C、D在直线MN上，连接AC、AD，∠P AC＝50°，∠ADC＝30°，AE平分∠P AD，CE平分∠ACD，AE与CE相交于点E．（1）求∠AEC的度数；（2）若线段AD沿MN向右平移到A1D1如图2所示位置，此时A1E平分∠AA1D1，CE平分∠ACD1，A1E与CE相交于E，∠P AC＝50°，∠A1D1C＝30°，求∠A1EC的度数．【分析】（1）利用平行线性质求出∠ACE和∠CAE度数，再根据三角形内角和定理即可求出∠AEC的度数；（2）利用平行线性质求出∠AA1E、∠ACE、∠A1AC的度数，再根据四边形内角和即可求出∠A1EC的度数．【解析】：（1）∵PQ∥MN，∴∠ADC＝∠QAD＝30°（两直线平行，内错角相等），∴∠P AD＝180°﹣30°＝150°，而AE平分∠P AD，∠P AC＝50°，∴∠CAE=12×150°−50°=25°，又∵PQ∥MN，∠CAQ＝130°，∴∠ACD＝180°﹣∠CAQ＝180°﹣130°＝50°（两直线平行，同旁内角互补），而CE平分∠ACD，∴∠ACE＝25°，在△ACE中，∠AEC＝180°﹣∠ACE﹣∠CAE＝180°﹣25°﹣25°＝130°，（2）∵PQ∥MN，∴∠A1D1C＝∠QA1D1＝30°（两直线平行，内错角相等），∠P AC＝∠ACD1＝50°（同上），∴∠A1AC＝180°﹣50°＝130°，而CE平分∠ACD1，∴∠ACE＝25°，而∠AA1D1＝180°﹣∠QA1D1＝180°﹣30°＝150°，A1E平分∠AA1D1，∴∠AA1E＝75°，在四边形ACEA1中，∠A1EC＝360°﹣∠AA1E﹣∠ACE﹣∠A1AC＝360°﹣75°﹣25°﹣130°＝130°．21．（2021春•吴江区期中）在△ABC中，∠A＝70°，点D、E分别是边AC、AB上的点（不与A、B、C 重合），点P是平面内一动点（P与D、B不在同一直线上），设∠PEB＝∠1，∠DPE＝∠2，∠PDC＝∠3．（1）若点P在边BC上运动（不与点B和点C重合），如图（1）所示，则∠2＝∠1+∠3﹣70°；（用含有∠1、∠3的代数式表示）（2）若点P在△ABC的外部，如图（2）所示，则∠1、∠2、∠3之间有何关系？写出你的结论，并说明理由．（3）当点P在边CB的延长线上运动时，试画出相应图形，标注有关字母与数字，并写出对应的∠1、∠2、∠3之间的关系式．（不需要证明）【分析】（1）根据∠AEP＝180°﹣∠1，∠ADP＝180°﹣∠3和四边形AEPD的内角和为360°，表示出∠3，∠1，∠2之间的关系；（2）根据三角形外角的性质∠4＝∠1﹣70°，∠3＝∠5+∠2，求出∠3，∠1，∠2之间的关系；（3）画出符合条件的图形，根据图形和（2）的结论解答即可．【解析】：（1）∵∠AEP＝180°﹣∠1，∠ADP＝180°﹣∠3，∴180°﹣∠1+180°﹣∠3+∠2+70°＝360°，即∠2＝∠1+∠3﹣70°；故答案为：∠1+∠3﹣70°．（2）结论：∠3＝∠1+∠2﹣70°．如图：根据三角形外角的性质可知，∠4＝∠1﹣70°，∠3＝∠5+∠2，由对顶角可知：∠5＝∠4＝∠1﹣70°，∴∠3＝∠1﹣70°+∠2＝∠1+∠2﹣70°．（3）如图①，由外角的性质得：∠4＝∠3﹣70°，∠1＝∠5+∠2，由对顶角可知：∠5＝∠4＝∠3﹣70°，∴∠1＝∠3﹣70°+∠2＝∠3+∠2﹣70°．如图②，由外角的性质得：∠4＝∠3﹣70°，∠5＝∠2+∠1，由对顶角可知：∠5＝∠4，∴∠3﹣70°＝∠1+∠2，即∠3＝∠1+∠2+70°．综上：∠1＝∠3+∠2﹣70°或∠3＝∠1+∠2+70°．22．（2020秋•南海区校级期末）阅读理解：如果三角形满足一个角α是另一个角β的3倍时，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．其中α称为“智慧角”．解答问题：（1）一个角为60°的直角三角形是（填“是”或“不是”）“智慧三角形”，若是，“智慧角”是90°．（2）已知一个“智慧三角形”的“智慧角”为108°，求这个“智慧三角形”各个角的度数．【分析】（1）根据“智慧三角形”，“智慧角”的定义判断即可．（2）根据一个“智慧三角形”的“智慧角”的定义，求出三角形的另一个内角，可得结论．【解析】：（1）在直角三角形，一个内角为60°，则另一个内角为30°，∵90°＝3×30°，∴这个直角三角形是“智慧三角形”．其中90°称为“智慧角”．故答案为：是，90°．（2）∵一个“智慧三角形”的“智慧角”为108°，∴这个三角形的另一个内角为36°，∴这个三角形的三个内角分别为36°，36°，108°．23．（2021春•福田区校级期中）直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在射线OP上运动（点A不与点O重合），点B在射线OM上运动（点B不与点O重合）．（1）如图1，MN⊥PQ，若∠BAO＝30°，∠BAO与∠ABO的角平分线相交于点E，∠AEB的度数为135°，（2）如图2，MN⊥PQ，∠BAP与∠ABM的角平分线相交于点E，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值；（3）如图3，若∠MOQ＜90°，∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于点E，延长BA至点G，∠OAG的角平分线与射线EO相交于点F，点A、B在运动的过程中，试探索∠F与∠ABO之间的等量关系，并证明你的结论．【分析】（1）根据三角形内角和定理、角分线定义即可求得∠AEB的度数；（2）与（1）同理，只是把内角平分线转化为外角平分线，借助外角的性质即可得结论；（3）根据内角和外角平分线的定义可得∠E=12∠ABO，再利用∠EAF＝90°可得结论．【解析】：（1）∵MN⊥PQ，∴∠AOB＝90°，∵∠BAO＝30°，∴∠ABO＝60°，∵AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线，∴∠ABE =12∠ABO ＝30°，∠BAE =12∠BAO ＝15°，∴∠AEB ＝180°﹣∠ABE ﹣∠BAE ＝135°．故答案为：135°．（2）不会发生变化．∵∠BAP 与∠ABM 的角平分线相交于点E ，∴∠EAB =12∠P AB ，∠EBA =12∠MBA ，∵MN ⊥PQ ，∴∠AOB ＝90°，∵∠P AB ＝∠ABO +∠AOB ＝90°+∠ABO ，∠MBA ＝∠BAO +∠AOB ＝90°+∠BAO ，∴∠EAB +∠EBA =12（90°+∠ABO +90°+∠BAO ）＝90°+12（∠ABO +∠BAO ），∵∠ABO +∠BAO ＝90°，∴∠EAB +∠EBA ＝90°+45°＝135°，∴∠AEB ＝180°﹣135°＝45°．（3）12∠ABO +∠F ＝90°．如图：∵∠BAO 与∠BOQ 的角平分线相交于点E ，∴∠1=12∠BAO ，∠2=12∠BOQ ，由外角的性质可得：∠ABO ＝∠BOQ ﹣∠BAO ，∠E ＝∠2﹣∠1，∴∠E =12∠ABO ．∵AE 平分∠BAO ，AF 平分∠GAO ，∴∠EAF ＝90°，∴∠E +∠F ＝90°，即12∠ABO +∠F ＝90°． 24．（2021春•江都区月考）如图①，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点P ．（1）如果∠A ＝70°，求∠BPC 的度数；（2）如图②，作△ABC 外角∠MBC ，∠NCB 的角平分线交于点Q ，试探索∠Q ，∠A 之间的数量关系．（3）如图③，延长线段BP ，QC 交于点E ，在△BQE 中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求∠A 的度数．【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ABC +∠ACB ＝110°，根据角平分线的定义得出∠PBC =12∠ABC ，∠PCB =12∠ACB ，求出∠PBC +∠PCB ＝55°，再根据三角形内角和定理求出即可； （2）根据三角形外角性质得出∠MBC ＝∠ACB +∠A ，∠NCB ＝∠ABC +∠A ，求出∠MBC +∠NCB ＝180°+∠A ，根据角平分线的定义得出∠QBC =12∠MBC ，∠QCB =12∠NCB ，求出∠QBC +∠QCB ＝90°+12∠A ，根据三角形内角和定理求出即可；（3）根据角平分线的定义得出∠ACF ＝2∠ECF ，∠ABC ＝2∠EBC ，根据三角形外角性质得出∠ECF ＝∠EBC +∠E ，求出∠A ＝2∠E ，求出∠EBQ ＝90°，分为四种情况：①∠EBQ ＝3∠E ＝90°，②∠EBQ ＝3∠Q ，③∠Q ＝3∠E ，④∠E ＝3∠Q ，再求出答案即可．【解析】：（1）∵∠A ＝70°，∴∠ABC +∠ACB ＝180°﹣∠A ＝110°，∵点P 是∠ABC 和∠ACB 的角平分线的交点，∴∠PBC =12∠ABC ，∠PCB =12∠ACB ，∴∠PBC +∠PCB ＝55°，∴∠BPC ＝180°﹣（∠PBC +∠PCB ）＝125°；（2）∵∠MBC＝∠ACB+∠A，∠NCB＝∠ABC+∠A，∴∠MBC+∠NCB＝∠ACB+∠A+∠ABC+∠A＝180°+∠A，∵点Q是∠MBC和∠NCB的角平分线的交点，∴∠QBC=12∠MBC，∠QCB=12∠NCB，∴∠QBC+∠QCB=12（∠MBC+∠NCB）=12（180°+∠A）＝90°+12∠A，∴∠Q＝180°﹣（∠QBC+∠QCB）＝180°﹣（90°+12∠A）＝90°−12∠A；（3）如图③中，延长BC到F．∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ACF＝2∠ECF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC，∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠ABC+2∠E，∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠E，即∠E=12∠A，∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ=12∠ABC+12∠MBC=12（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°，如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分为四种情况：①∠EBQ＝3∠E＝90°，则∠E＝30°，∠A＝2∠E＝60°；②∠EBQ＝3∠Q，则∠Q＝30°，∠E＝60°，∠A＝2∠E＝120°；③∠Q＝3∠E，则∠E＝22.5°，∠A＝2∠E＝45°；④∠E＝3∠Q，则∠E＝67.5°，∠A＝2∠E＝135°，综合上述，∠A的度数是45°或60°或120°或135°．25．（2021春•奉贤区期中）在△ABC中，若存在一个内角是另外一个内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，∠C＝40°，可知∠A ＝2∠C，所以△ABC为2倍角三角形．（1）在△DEF中，∠E＝40°，∠F＝35°，则△DEF为3倍角三角形；（2）如图，直线MN⊥直线PQ于点O，点A、点B分别在射线OP、OM上；已知∠BAO、∠OAG的角平分线分别与∠BOQ的角平分线所在的直线交于点E、F；①说明∠ABO＝2∠E的理由；②若△AEF为4倍角三角形，直接写出∠ABO的度数．【分析】（1）由∠E＝40°，∠F＝35°可知∠D＝105°，再根据n倍角三角形的定义可得结论．（2）①根据三角形内角和定理及一个外角等于与它不相邻的两个内角和，利用角的和差计算即可求得结果．②首先证明∠EAF＝90°，分两种情形分别求出即可．【解析】：（1）∵∠E＝40°，∠F＝35°，∴∠D＝180°﹣40°﹣35°＝105°，∴∠D＝3∠F，∴△ABC为3倍角三角形，故答案为：3；（2）①∵AE平分∠BAO，OE平分∠BOQ，∴∠BAO＝2∠EAQ，∠BOG＝2∠EOQ，由外角的性质可得：∠BOQ＝∠BAO+∠ABO，∠EOQ＝∠EAQ+∠E，∴∠ABO＝2∠E．②∵AE平分∠BAO，AF平分∠OAG，∴∠EAB＝∠EAO，∠OAF＝∠F AG，∴∠EAF＝∠EAO+∠OAF=12（∠BAO+∠OAG）＝90°，∵△EAF是4倍角三角形，∴∠E=14×90°＝22.5°或15×90°＝18°，∵∠ABO＝2∠E，∴∠ABO＝45°或36°．26．（2021春•东台市月考）（1）阅读并填空：如图1，BD、CD分别是△ABC的内角∠ABC、∠ACB的平分线．试说明∠D＝90°+12∠A的理由．解：因为BD平分∠ABC（已知），所以∠1＝12∠ABC（角平分线定义）．同理：∠2＝12∠ACB．所以∠1+∠2＝12（∠ABC+∠ACB）．因为∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠1+∠2+∠D＝180°（三角形的内角和等于180°），所以∠D＝180°−12（∠ABC+∠ACB）（等式性质）．即：∠D＝90°+12∠A．（2）探究，请直接写出结果（i）如图2，BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线．试探究∠D与∠A之间的等量关系．答：∠D与∠A之间的等量关系是∠D＝90°−12∠A．（ii）如图3，BD、CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线．试探究∠D与∠A 之间的等量关系．答：∠D与∠A之间的等量关系是∠D=12∠A．（3）拓展应用请用以上结论解决下列问题：如图4，在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，（i）∠A＝80°，则∠F＝12.5°；（ii）∠F＝n°，则∠A＝180°﹣4n°．【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理即可得到结论；（2）（i）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理以及三角形外角的性质即可得到结论；（ii）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理以及三角形外角的性质即可得到结论；（3）（i）根据（2）（i）中的结论即可得到结论；（ii）根据（2）（ii）中的结论即可得到结论．【解析】：（1）解：因为BD平分∠ABC（已知），所以∠1=12∠ABC（角平分线定义）．同理：∠2=12∠ACB．所以∠1+∠2=12（∠ABC+∠ACB），因为∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠1+∠2+∠D＝180°，（三角形的内角和等于180°），所以∠D ＝180°−12（∠ABC +∠ACB ）（等式性质）．即：∠D ＝90°+12∠A ．故答案为：12∠ABC ，12∠ACB ，12（∠ABC +∠ACB ），三角形的内角和等于180°，180°−12（∠ABC +∠ACB ）．（2）解：（i ）∠D 与∠A 之间的等量关系是：∠D ＝90°−12∠A ．理由：∵BD 、CD 分别是△ABC 的两个外角∠EBC 、∠FCB 的平分线，∴∠EBD ＝∠DBC ，∠BCD ＝∠DCF ，∴∠DBC +∠DCB +∠D ＝180°，∴∠A +∠ABC +∠ACB ＝180°，而∠ABC ＝180°﹣2∠DBC ，∠ACB ＝180°﹣2∠DCB ，∴∠A +180°﹣2∠DBC +180°﹣2∠DCB ＝180°，∴∠A ﹣2（∠DBC +∠DCB ）＝﹣180°，∴∠A ﹣2（180°﹣∠D ）＝﹣180°，∴∠A ﹣2∠D ＝180°，∴∠D ＝90°−12∠A ，故答案为：∠D ＝90°−12∠A ；（ii ）∠D 与∠A 之间的等量关系是：∠D =12∠A ．理由：∵BD 、CD 分别是△ABC 的一个内角∠ABC 和一个外角∠ACE 的平分线，∴∠DCE ＝∠DBC +∠D ，∵∠A +2∠DBC ＝2∠DCE∴∠A +2∠DBC ＝2∠DBC +2∠D ，∴∠A ＝2∠D ，即：∠D =12∠A ．故答案为：∠D =12∠A ；（3）（i）由（1）知：∠D＝90°+12∠A．∵∠A＝80°，∴∠D＝130°，∴∠DBC+∠DCB＝50°，∴∠MBC+∠NCB＝360°﹣50°＝310°，∵BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，∴∠CBE+∠BCN=12（∠MBC+∠NCB）＝155°，∴∠E＝180°﹣155°＝25°，由（2）（ii）知∠F=12∠E=12×25°＝12.5°，故答案为：12.5°；（ii）由（1）得∠D＝90°+12∠A，∵BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，∴2（∠EBC+∠ECB）+∠DBC+∠DCB＝360°，∵∠EBC+∠ECB＝180°﹣∠E，∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠D，∴2（180°﹣∠E）+180°﹣∠D＝360°，∴∠E＝90°−12∠D＝90°−12（90°+12∠A）＝45°−14∠A，∴∠F＝90°−12∠E=12（45°−14∠A）＝n°，∴∠A＝180°﹣8n°．故答案为：180°﹣8n°．27．（2020秋•南山区期末）（1）如图1，则∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为∠A+∠B＝∠C+∠D．（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD．若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度数；（3）如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠F AD，AG反向延长线交CP于点P，请猜想∠P、∠B、∠D 之间的数量关系．并说明理由．【分析】（1）根据三角形的内角和定理，结合对顶角的性质可求解；（2）根据角平分线的定义可得∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP，结合（1）的结论可得2∠P＝∠B+∠D，再代入计算可求解；（3）根据角平分线的定义可得∠ECP＝∠PCB，∠F AG＝∠GAD，结合三角形的内角和定理可得∠P+∠GAD＝∠B+∠PCB，∠P+（180°﹣∠GAD）＝∠D+（180°﹣∠ECP），进而可求解．【解析】：（1）∵∠AOB+∠A+∠B＝∠COD+∠C+∠D＝180°，∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D，故答案为∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，∴∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP，由（1）可得：∠BAP+∠B＝∠BCP+∠P，∠DAP+∠P＝∠DCP+∠D，∴∠B﹣∠P＝∠P﹣∠D，即2∠P＝∠B+∠D，∵∠B＝36°，∠D＝14°，∴∠P＝25°；（3）2∠P＝∠B+∠D．理由：∵CP、AG分别平分∠BCE、∠F AD，∴∠ECP＝∠PCB，∠F AG＝∠GAD，∵∠P AB＝∠F AG，∴∠GAD＝∠P AB，∵∠P+∠P AB＝∠B+∠PCB，∴∠P+∠GAD＝∠B+∠PCB，∵∠P+∠P AD＝∠D+∠PCD，∴∠P+（180°﹣∠GAD）＝∠D+（180°﹣∠ECP），∴2∠P＝∠B+∠D．28．（2020秋•南海区期末）已知：线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB．（1）如图1，求证：∠A+∠D＝∠B+∠C；（2）如图2，∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M、N，∠A＝28°，∠C＝32°，求∠E的度数；（3）如图3，∠ADC和∠ABC的三等分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M、N，∠CDE=13∠ADC，∠CBE=13∠ABC，试探究∠A、∠C、∠E三者之间存在的数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据三角形的内角和定理，结合对顶角相等可求解；（2）由角平分线的定义可得∠ADE＝∠CDE，∠ABE＝∠CBE，结合（1）可得∠A+∠C＝2∠E，再代入计算即可求解；（3）由∠CDE=13∠ADC，∠CBE=13∠ABC可得∠ADE＝2∠CDE，∠ABE＝2∠CBE，结合（1）可得∠A+2∠C+∠ADE+2∠CBE＝3∠E+∠ABE+2∠CDE，进而可求解．【解析】（1）证明：∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，∴∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）解：∵∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E，∴∠ADE＝∠CDE，∠ABE＝∠CBE，由（1）可得∠A+∠ADE＝∠E+∠ABE，∠C+∠CBE＝∠E+∠CDE，∴∠A+∠C＝2∠E，∵∠A＝28°，∠C＝32°，∴∠E＝30°；（3）解：∠A+2∠C＝3∠E．理由：∵∠CDE=13∠ADC，∠CBE=13∠ABC，∴∠ADE＝2∠CDE，∠ABE＝2∠CBE，由（1）可得∠A+∠ADE＝∠E+∠ABE，∠C+∠CBE＝∠E+∠CDE，∴2∠C+2∠CBE＝2∠E+2∠CDE，∴∠A+2∠C+∠ADE+2∠CBE＝3∠E+∠ABE+2∠CDE，即∠A+2∠C＝3∠E．29．（2021春•玄武区校级月考）【概念认识】如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．【问题解决】（1）如图②，在△ABC中，∠A＝73°，∠B＝42°，若∠B的三分线BD交AC于点D，则∠BDC＝87°或101°；（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线，且BP⊥CP，求∠A的度数；【延伸推广】（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝α°，∠B＝β°，直接写出∠BPC的度数．（用含α、β的代数式表示）【分析】（1）分为两种情况：当BD是“邻AB三分线”时，当BD′是“邻BC三分线”时，根据三角形的外角性质求出即可；（2）求出∠PBC+∠PCB＝90°，根据BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线求出∠PBC=23∠ABC，∠PCB=23∠ACB，求出∠ABC+∠ACB＝135°，再求出∠A即可；（3）画出符合的所有情况，①当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻AC三分线”时，②当BP和CP 分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时，③当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻CD三分线”时，④当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时，再根据三角形的外角性质求出答案即可．【解析】：（1）如图，当BD是“邻AB三分线”时，∵∠A＝73°，∠B＝42°，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝73°+13×42°＝87°；当BD′是“邻BC三分线”时，∠BDC′＝∠A+∠ABD′＝73°+23×42°＝101°；故答案为：87°或101；（2）∵BP⊥CP，∴∠BPC＝90°，∴∠PBC+∠PCB＝90°，∵BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线，∴∠PBC =23∠ABC ，∠PCB =23∠ACB ，∴23∠ABC +23∠ACB ＝90°， ∴∠ABC +∠ACB ＝135°，∴∠A ＝180°﹣（∠ABC +∠ACB ）＝180°﹣135°＝45°；（3）分为四种情况：情况一：如图1，当BP 和CP 分别是“邻AB 三分线”、“邻AC 三分线”时，由外角可得：∠PCD =23∠ACD =23（α+β），∴∠BPC ＝∠PCD ﹣∠PBC =23（α+β）−23β=23α；情况二：如图2，当BP 和CP 分别是“邻BC 三分线”、“邻AC 三分线”时，由外角可知：∠PCD =23∠ACD =23（α+β），∴∠BPC ＝∠PCD ﹣∠PBC =23（α+β）−13β=2α−β3； 情况三、当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻CD三分线”时，当α＞β时，如图3，由外角可得：∠PCD=13∠ACD=13（α+β），∴∠BPC＝∠PCD﹣∠PBC=13（α+β）−23β=α−β3；当α＜β时，如图4，当α＜β时，如图4，由外角及对顶角可得：∠DCE＝∠PCB=13∠ACD=13（α+β），∴∠BPC＝∠FBC﹣∠PCB=23β−13（α+β）=β−α3；情况四、如图5，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时，由外角可得：∠PCD=13∠ACD=13（α+β），∴∠BPC＝∠PCD﹣∠PBC=13（α+β）−13β=13α；综合上述：∠BPC的度数是23α°或（2α+β3）°或（α−β3）°或（β−α3）°或13α°．30．（2021春•深圳期中）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠1+∠2，进而求出∠BPC即可解决问题；（2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC与∠BCN，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根据三角形内角和定理即可求解；（3）在△BQE中，由于∠Q＝90°−12∠A，求出∠E=12∠A，∠EBQ＝90°，所以如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ＝2∠E＝90°；②∠EBQ＝2∠Q ＝90°；③∠Q＝2∠E；④∠E＝2∠Q；分别列出方程，求解即可．【解析】（1）解：∵∠A＝80°．∴∠ABC+∠ACB＝100°，∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，∴∠P＝180°−12（∠ABC+∠ACB）＝180°−12×100°＝130°，（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，∴∠QBC+∠QCB=12（∠MBC+∠NCB）=12（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）=12（180°+∠A）＝90°+12∠A∴∠Q＝180°﹣（90°+12∠A）＝90°−12∠A；（3）延长BC至F，∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ACF＝2∠ECF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC，∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠ABC+2∠E，又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠E，即∠E=12∠A；∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ=12∠ABC+12∠MBC=12（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：①∠EBQ＝2∠E＝90°，则∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；②∠EBQ ＝2∠Q ＝90°，则∠Q ＝45°，∠E ＝45°，∠A ＝2∠E ＝90°； ③∠Q ＝2∠E ，则90°−12∠A ＝∠A ，解得∠A ＝60°；④∠E ＝2∠Q ，则12∠A ＝2（90°−12∠A ），解得∠A ＝120°． 综上所述，∠A 的度数是90°或60°或120°．。

三角形角度的计算专题

三角形角度的计算专题

三角形角度的计算专题一、 选择题1. 等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（ ） A ．100°B ．100°或40°C ．40°D ．80°2. 等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（ ） A ．40°B ．50°C ．60°D ．30°3.如图，C 、E 和B 、D 、F 分别在∠GAH 的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF ，若∠A=18°，则∠GEF 的度数是（ ） A ．80° B ．90°C ．100°D ．108°二、填空题4.等腰三角形的顶角的度数是底角的4倍，则它的顶角是________．5.已知：△ABC 中，AB=AC ，BD 是AC 上的高，且∠CBD=35°，则∠A= .6.如图，△ABC 中AB=AC ，EB=FC BD =CE ，∠A=52°，则∠DEF 的度数是____.7. 如图，∠B=∠D=90°，C 是BD 的中点，MC 平分∠AMD ，∠DCM=35°，∠CAB 是 .第6题三、解答题8.如图，△ABC ≌△AED ，∠E=∠B,∠C=∠ADE,若∠BAD=40°，∠EAC=4∠BAD. （1）求∠DAC 的度数 ; （2）求∠BDE 的度数.9.ABCDEF 12BDAEC第8题图DACBM 第7题ECAHFG10.如图，已知：在∆ABC 中，080=∠A ，BD=BE,CD=CF,.求EDF ∠ 的度数.11．如图，已知：在∆ABC 中， AB=AC ，BD=BC ，AD=DE=BE ，求A ∠ 的度数.12.如图，AE=AC=AD ，BD=BA ，CB=CE ，求∠ABD 的度数.13..如图，已知△ABC 为等边三角形，在AC 边外侧作AD=BC ，求∠BDC 的大小．14．如图，△ABC 中，AB=AC ，BC=3AD ，AD ⊥AC 交BC 交于点D.求∠BAC.D CAB。

三角形角度计算

三角形角度计算

三角形角度计算三角形是几何学中最基本的形状之一，由三条线段组成。

在三角形中，角度是一个重要的概念，它决定了三角形的形状和性质。

本文将介绍三角形角度的计算方法，包括内角和外角的计算公式。

一、内角的计算在三角形中，内角是指三个顶点围成的角。

由于三角形的内角和为180度，我们可以通过以下公式来计算三角形的内角大小：内角A = 180 - 内角B - 内角C内角B = 180 - 内角A - 内角C内角C = 180 - 内角A - 内角B例如，如果已知三角形的内角A为60度，内角B为40度，我们可以通过代入公式计算出内角C的大小：内角C = 180 - 60 - 40 = 80度二、外角的计算三角形的外角指的是一个三角形的某一内角的补角。

外角的大小与对应的内角之和为180度。

因此，我们可以使用以下公式计算三角形的外角：外角A = 180 - 内角A外角B = 180 - 内角B外角C = 180 - 内角C以前面的例子为例，已知三角形的内角A为60度，那么我们可以通过代入公式计算出外角A的大小：外角A = 180 - 60 = 120度三、角度计算的应用三角形角度计算在实际中有着广泛的应用，特别是在建筑和测量领域。

以下是一些常见的实际应用场景：1. 三角测量：在地理测量中，使用三角形的角度计算方法来测量无法直接测量的距离或高度。

通过测量已知角度和距离，可以利用三角形角度的计算方法来推算出未知距离或高度。

2. 建筑设计：在建筑设计中，三角形的角度计算通常用于确定房屋的布局和形状。

设计师可以通过计算三角形的角度来确保建筑物的结构稳定，并保持各个房间的合理布局。

3. 制图和机械设计：在制图和机械设计中，角度的准确计算非常重要。

设计师可以通过三角形的角度计算方法来确定零件的定位和排列，确保设计的精确性和工作效率。

总结：通过本文的介绍，我们了解了三角形角度计算的方法。

内角的计算可以使用三角形内角和为180度的特性，而外角的计算则是对应内角的补角。

专题01 解三角形中的角、边、面积、周长计算问题(解析版)

专题01 解三角形中的角、边、面积、周长计算问题(解析版)

专题01 解三角形中的角、边、面积、周长计算问题考点一 角的计算典例1．在ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，已知()sin sin sin sin c C b B a A B -=-，b =6c =.（1）求角C 的大小； （2）求sin B 的值；（3）求cos 26B π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）3π（2）14（3【分析】（1）利用正弦定理边角互化结合余弦定理即可求解； （2）利用正弦定理即可求解；（3）先求出cos B ，再利用三角恒等变换结合二倍公式即可求解. （1）解：()sin sin sin sin c C b B a A B -=- 由正弦定理将角化为边整理得：222a b c ab +-=所以2221cos 222a b c ab C ab ab +-=== 又()0,πC ∈ 所以3C π=（2）解：由（1）知，3C π=，又b =6c =由正弦定理得：sin sin b cB C=6sin3π=解得：1sin 4B =（3）解：由题知，b =6c = 即b c < 所以3B C π<=所以B 为锐角 由（2）知，1sin 4B =所以cos B ==所以1sin 22sin cos 24B B B ==⨯=217cos 212sin 12168B B =-=-⨯=所以7cos 2cos 2cos sin 2sin 612668B B B πππ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭=即cos 26B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 变式1-1．在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c .已知b =1,c =√2，3cosC 4= （1）求a 的值； （2）求sin A 的值；（3）求cos 26A π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【答案】 （1）2（2）√144（3）−3√38−√78【分析】（1）根据余弦定理解方程； （2）利用正弦定理即可得解；（3）求出cosA ，利用两角差的余弦公式求解. （1）由余弦定理可得：2=a 2+1−2a ×34，2a 2−3a −2=0,a >0 所以解得：a =2 （2）cos C =34,sinC =√74，由正弦定理可得：√2√74=2sinA解得：sinA =√144（3）由余弦定理cosA =2√2=−√24cos (2A −π6)=√32cos2A +12sin2A =√32(1−2sin 2A )+sinAcosA =−3√38−√78变式1-2．在ABC 中，角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，已知()22332a c b ac -=- （1）求cos B 的值；（2）若53a b =，求sin A 的值. 【答案】 （1）23（2【分析】（1）化简原式，直接利用余弦定理求cos B 的值即可；（2）由（1）可得sin B =sin A =．（1）在ABC 中，由()22332a c b ac -=-，整理得222223a cb ac +-=，又由余弦定理，可得2cos 3B =； （2）()0,B π∈由（1）可得sin B =，又由正弦定理sin sin a bA B =，及已知53a b =，可得sin 3sin 5a B A b ===故sin A =. 变式1-3．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足sin 1sin sin b Ca c A B=-++ （1）求角A 的值（2）若3,a b ==sin(2)B A +的值 【答案】 （1）3A π=（2【分析】（1）根据已知条件，由正弦定理角化边，得到三边的关系，进而利用余弦定理求解；（2）由正弦定理求得sin B ,并根据边的大小关系判定B 为锐角，然后利用倍角公式和两角和的正弦公式计算. （1） 解：∵sin 1sin sin b C a c A B=-++， 由正弦定理得，1b ca c a b=-++. 化简得，222b c a bc +-=.由余弦定理得，2221cos 22b c a A bc +-==.又0A π<<， ∴3A π=.（2）解：由（1）知，3A π=，又3a =，b =，∴sin sin b A B a ⋅==. 又b a <，∴cos B ==∴sin 22sin cos B B B ==21cos 212sin 3B B =-=-，∴()sin 2sin 2sin 2cos cos 2sin 333B A B B B πππ⎛⎫+=+=+=⎪⎝⎭考点二 边的计算典例2．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22cos c b a B +=． （1）求角A 的大小；（2）若1b =，2c =，点D 在边BC 上，且2CD BD =，求线段AD 的长． 【答案】 （1）23A π=（2）AD =【分析】（1）由正弦定理化边为角，然后由诱导公式、两角和的正弦公式化简可得A 角；（2）ABC 中由余弦定理求得a ，再由余弦定理求得cos B ，然后在ABD △中由余弦定理求得AD ． （1）在ABC 中，由正弦定理得2sin sin 2sin cos C B A B += 因为()()sin sin sin C A B A B π=--=+，代入得2sin cos 2cos sin sin 2sin cos A B A B B A B ++=即2cos sin sin 0A B B +=．又sin 0B ≠，所以1cos 2A =-． 又()0,A π∈，所以23A π=． （2）在ABC 中，由余弦定理得2222cos 7a b c bc A =+-=所以a =13BD a ==在ABC 中，由余弦定理得222cos 2a c b B ac +-==在ABD △中，由余弦定理得222132cos 9AD AB BD AB BD B =+-⨯⨯⨯=，所以AD =变式2-1．已知钝角ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且___________，4sin cos sin b A A a B =+，1a =，求c 的值.（1）从条件①sin A =，②sin C B =中选择一个填到横线上，并解决问题； （2）以（1）中结论为条件，若D 是边AC 上一点，且2AD DC =，求线段BD 的长度. 【答案】 （1）1（2【分析】（1）由正弦定理化边为角可得tan A =6A π=.选择条件①：求得b =可求出；选择条件②，由正弦定理可得b =，再由余弦定理即可求出； （2）利用余弦定理即可求出. （1）因为4sin cos sin b A A a B +，由正弦定理可得4sin sin cos sin sin A B B A B A =+，sin sin cos A B B A =，因为sin 0B ≠cos A A =，则tan A =， 又0A π<<，所以6A π=.选择条件①：由sin A =，得6b A π===由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即2221cos 6c π=+-，解得1c =或2c =，当2c =时，222c a b =+，ABC 是直角三角形，不符合题意； 当1c =时，2,63A CB ππ===，ABC 是钝角三角形，符合题意；所以1c =. 选择条件②，因为sin C B =，由正弦定理可得b ， 由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即2221)cos6c c π=+-⋅⋅，解得1c =.（2）由（1）知，BAD 中，221,336BA AD AC A π=====， 由余弦定理可得2222cos BD BA AD BA AD A =+-⋅⋅，即22211213BD =+-⨯=⎝⎭，故BD . 变式2-2．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin 21sin A bB a=-. （1）判断三角形△ABC 的形状；（2）记线段AB 上靠近点A 的三等分点为D ，若CD =6b =，求c . 【答案】（1）等腰三角形； （2）6c =. 【分析】（1）由已知，结合正弦定理可得()()20a b a b +-=，根据20a b +>即可判断形状.（2）应用余弦定理，结合CDB CDA π∠=-∠有cos CDB ∠=cos CDA -∠求AD ，即可求c . （1）∵sin 21sin A b B a =-，由正弦定理得21a bb a=-，整理得()()20a b a b +-=. ∴由20a b +>，可得a b =，即三角形为等腰三角形. （2）设AD x =，则2BD x =，由余弦定理得：2cosCDB ∠=，2cos CDA ∠=，而CDB CDA π∠=-∠，22=，解得2x =，∴36c AB BD ===.变式2-3．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos sin 0a C C b c --=. （1）求A ；（2）若a =2，ABC b ，c 的值. 【答案】 （1）3A π=（2）2b c == 【分析】（1）先利用正弦定理将边变成角，然后利用()sin sin B A C =+以及两角和的正弦公式代入计算即可； （2）先利用面积公式求出bc ，再利用余弦定理求出22b c +，然后解方程组即可. （1）由cos sin 0a C C b c --=及正弦定理得sin cos sin sin sin 0A C A C B C --=.因为()()sin sin sin sin cos cos sin B A C A C A C A C π=--=+=+，sin cos sin sin 0A C A C C --=.由于sin 0C ≠，cos 10A A --= 所以1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭.又0A π<<，故3A π=.（2）由题得ABC 的面积1sin 2S bc A ==4bc =①. 而222a b c =+-2cos bc A ，且2a =，故228b c +=②， 由①②得2b c ==.考点三 面积的计算典例3．在ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，2cos 1cos b BaA-=+．(1)证明：2a b c =+；(2)若4cos ,5A a ==ABC 的面积． 【答案】(1)证明见解析(2)6 【解析】 【分析】小问1：证法一：运用余弦定理可证，证法二：利用正弦定理可证； 小问2：由余弦定理求得20bc =，结合三角形面积公式可求结果． (1)（1）证法一：∵2cos 1cos b BaA-=+，∵cos 2cos b b A a a B +=-，由余弦定理可得222222222b c a a c b b b a a bc ac+-+-+⨯=-⨯．则()22222222222224,24bc b c a ac a c b bc b c a ac a c b ++-=-+-++-=--+，2224bc c ac +=，∵2a b c =+．证法二：∵2cos 1cos b B a A -=+，由正弦定理得sin 2cos sin 1cos B BA A-=+，∵2sin sin cos sin sin cos A A B B B A -=+，可得2sin sin sin cos sin cos sin sin()sin sin A B A B B A B A B B C =++=++=+， 所以由正弦定理可得2a b c =+． (2)（2）由余弦定理可得22222()2cos 22b c a b c bc a A bc bc+-+--== 222242323412225a bc a a bc a bc bc bc ---===-=．∵24325bc =，∵20bc =，∵4cos 5A =，A 为三角形内角，∵3sin 5A ==， ∵113sin 206225ABCSbc A ==⨯⨯=． 变式3-1．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知221cos sin 02A A -+=.(1)求角A 的值；(2)若ABC 为锐角三角形，设a =5b =，求ABC 的面积. 【答案】(1)1π3A =或2π3【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换得到1cos 22A =-，进而求出22π3A =或4π3，故1π3A =或2π3；（2）利用余弦定理求出2c =或3，验证后得到3c =，进而利用三角形面积公式进行求解. (1)2211cos sin cos 2022A A A -+=+=，所以1cos 22A =-，因为(0,π)A ∈，所以2(0,2π)A ∈，故22π3A =或4π3，即1π3A =或2π3. (2)由第一问所求和ABC 为锐角三角形得1π3A =，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，化为2560c c -+=，解得2c =或3， 若2c =，则cos 0B =<，即B 为钝角，2c ∴=不成立，当3c =，经检验符合条件，ABC 的面积为11sin 5322S bc A ==⨯⨯=变式3-2．在ABC 中，7cos 8A =，3c =，且b c ≠，再从条件∵、条件∵中选择一个作为已知. 条件∵：sin 2sinB A =； 条件∵：sin sin 2sin A BC +=. (1)求b 的值； (2)求ABC 的面积.【答案】(1)选条件∵：4b =；选条件∵：4b =(2)选条件∵；选条件∵【解析】 【分析】（1）若选∵：在三角形ABC 中由正弦定理及余弦定理可得a ，b 关系式，解方程可得b 的值；若选∵：由正弦定理可得a ，b ，c 的关系，再由余弦定理可得a ，b ，c 的关系，再由A 角的余弦值可得b 的值． （2）结合（1），利用三角形面积公式即可求出三角形的面积； (1)选条件∵：sin 2sin B A =. 在ABC 中，因为sin sin b a B A =，所以sin 2sin a Bb a A ==. 因为222cos 2b c a A bc+-=，且3c =，7cos 8A =，2b a =，所以22497128a a a +-=， 化简得22760a a -+=，解得2a =或32a =. 当32a =时，23b ac ===，与题意矛盾， 所以2a =，所以4b =. 选条件∵：sin sin 2sin A B C +=.在ABC 中，因为sin sin sin abcA B C==，且3c =，所以由sin sin 2sin A B C +=，得26a b c +==.因为222cos 2b c a A bc+-=，且3c =，7cos 8A =，6a b =-，所以()2296768b b b +--=，解得4b =.(2)选条件∵：sin 2sin B A =.因为7cos 8A =，()0,πA ∈，所以sin A =所以11sin 4322ABC S bc A ==⨯⨯△.选条件∵：sin sin 2sin A B C +=. 由（1）知4b =，所以62a b =-=.因为7cos 8A =，()0,πA ∈，所以sin A =所以11sin 4322ABC S bc A ==⨯⨯△.变式3-3．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，3B π=，3a =.(1)若4A π=，求b .(2)若______，求c 的值及ABC 的面积.请从∵b =∵sin 2sin C A =，这两个条件中任选一个，将问题（2）补充完整，并作答.【答案】(2)选14ABCc S ==：，26ABCc S==：，【解析】 【分析】(1)根据正弦定理计算即可得出结果；(2)利用余弦定理或正弦定理求出c 的值，再结合三角形的面积公式计算即可. (1)334B a A ππ===，，，由正弦定理，得sin sin b aB A=，所以sin sin 2a b B A =⨯== (2)选∵：由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-，即21139232c c =+-⨯⨯，整理，得2340c c --=，由c >0，得c =4，所以11sin 3422ABCSac B ==⨯⨯= 选∵：因为sin 2sin C A =，由正弦定理，得c =2a ， 所以c =6，所以11sin 6322ABCSac B ==⨯⨯=考点四 周长的计算典例4．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足22()b c a bc -=-. (1)求角A 的大小； (2)若a =ABC S =△，求ABC 的周长.【答案】(1)π3A =；(2)5 【解析】 【分析】（1）由已知可得222b c a bc +-=，由余弦定理求出cos A 的值，再结合()0,πA ∈即可得角A 的大小； （2）根据三角形的面积公式可得bc 的值，再由余弦定理即可求出b c +的值，进而可得ABC 的周长. (1)因为22()b c a bc -=-，所以222b c a bc +-=，由余弦定理可得：2221cos 222b c a bc A bc bc +-===， 又因为()0,πA ∈，所以π3A =. (2)由已知11sin 2222ABCSbc A bc ==⨯=所以6bc =， 由已知及余弦定理得2222222cos ()3a b c bc A b c bc b c bc =+-=+-=+-，即27()36b c =+-⨯，所以2()25b c +=，解得：5b c +=或5b c +=-（舍），所以ABC 的周长为5a b c ++=变式4-1．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ab=． (1)求角B ；(2)若c b ==，ABC 的周长l ． 【答案】(1)6B π=(2)3 【解析】 【分析】(1)ab=cos B B =，由此可求角B ；(2)由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，解方程求a c ，，由此可得ABC 的周长l ．(1)ab=sin sin cos B A A B =．在ABC 中，sin 0A ≠cos B B =，所以tan B ． 又0B π<<，所以6B π=．(2)由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得2232cos 6a c ac π=+-，即223a c +-=，又c =，解得3a c ==．故ABC 的周长33l a b c =++==变式4-2．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()1cos cos a C c A -=． (1)证明：ABC 是等腰三角形；(2)若ABC ，且1cos 3C =，求ABC 的周长．【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】 【分析】(1)根据给定条件利用三角形射影定理化简即可得解.(2)根据给定条件求出sin C ，再利用三角形面积定理及(1)的结论求出a ，b ，然后借助余弦定理求出c 即可计算作答. (1)在ABC 中，()1cos cos cos cos a C c A a a C c A -=⇔=+， 由射影定理cos cos b a C c A =+得，a b =， 所以ABC 是等腰三角形． (2)在ABC 中，因1cos 3C =且()0,πC ∈，则sin C =又1sin 2ABC S ab C ==△，即2ab =，由(1)知a b =，则有a b ==在ABC 中，由余弦定理得：222182cos 22233c a b ab C =+-=+-=，解得c =又a b ==a ，b ，c 能构成三角形，符合题意，a b c ++=+所以ABC 的周长为 变式4-3．在ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，满足2cos cos cos a A b C c B =+． (1)求A 的大小；(2)若a =ABC 的面积为ABC 的周长． 【答案】(1)3A π=(2)10+【解析】 【分析】（1）通过正弦定理将边化为角的关系，可得cos A ，进而可得结果； （2）由面积公式得24bc =，结合余弦定理得b c +，进而得结果. (1)∵2cos cos cos a A b C c B =+∵由正弦定理，得2sin cos sin cos sin cos A A B C C B =+ ∵2sin cos sin A A A =∵0A π<<，∵1cos 2A =，故3A π=(2)由（1）知，3A π=∵1sin 2ABCSbc A ==∵24bc =∵由余弦定理知，2222cos a b c bc A =+- ∵2228b c bc +-=， 故()2100b c +=∵10b c +=，故10a b c ++=+∵ABC的周长为10+巩固练习练习一 角的计算1．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知1cos 3a C cb +=. （1）求cos A 的值； （2）求πsin 23A ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【答案】 （1）13.（2. 【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，再由正弦的和角公式可求得答案； （2）由正弦的二倍角公式和正弦的差角公式可求得答案. （1）解：因为1cos 3a C c b +=，由正弦定理得1cos sin sin 3sin C C B A +=， 又sin sin()sin cos cos sin B A C A C +A C =+=，所以1sin sin cos 3C C A =， 因为sin 0C ≠，所以1cos 3A =. （2）解：由（1）得1cos 3A =，所以sin A ，所以sin 22sin cos A A A ==27cos 22cos 19A A =-=-，所以117sin(2)sin 22()3229A A A π-==-=，所以sin(2)3A π-=. 2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足()22232cos b c b A a b c -=+-.（1）求cos A 的值；（2）求cos 23A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 【答案】 （1）23（2【分析】（1）由余弦定理结合正弦定理化简可得；（2）由（1）求出sin 2A 和cos2A ，再利用和的余弦公式即可求出. （1）由已知结合余弦定理得()32cos 2cos b c b A ab C -=，∴()32cos 2cos b c A a C -=. 由正弦定理得()3sin 2sin cos 2sin cos B C A A C -= ∴()()3sin cos 2sin cos cos sin 2sin B A A C A C A C =+=+. ∵A B C π++=，∴3sin cos 2sin B A B =， ∵sin 0B >，∴2cos 3A =. （2）因为2cos 3A =，所以sin A =，则sin 22sin cos A A A ==， 则21cos 22cos 19A A =-=-，所以cos 2cos 2cos sin 2sin 333A A A πππ⎛⎫+=-=⎪⎝⎭3．在ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，已知sin :sin :sin 2A B C =b = （1）求a 的值； （2）求cos C 的值；（3）求sin 26C π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）（2）34（3 【分析】（1）利用正弦定理和已知条件可求；（2）根据边的比例关系和余弦定理可求cos C ；（3）利用倍角公式求解sin 2,cos 2C C ，然后利用和角公式可求结果. （1）因为sin :sin :sin 2A B C =::2a b c =因为b =a = （2）由（1）可得2,c a ==2223cos24a b c C ab +-==. （3）因为a c >，所以C 为锐角，所以sin C =sin 22sin cos C C C ==，21cos 22cos 18C C =-=；所以111sin 22cos 26228C C C π⎛⎫++=⨯= ⎪⎝⎭4．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin cos 0b A B =，2a c =，2b =. （1）求角B ； （2）求a ，c ； （3）求()cos 2A B -的值. 【答案】 （1）23B π=（2）c =a =（3）1314【分析】（1）根据题目条件，结合正弦定理，可以得到tan B =（2）2a c =，2b =，结合第一问求出的B ，列余弦定理方程求解；（3）直接利用两角差的余弦公式展开，分别求出展开式的每一项.（1）在ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B=，得sin sin cos 0B A A B =.又因为在ABC 中sin 0A ≠，所以sin =B B . 因为0B π<<，所以sin 0B ≠，因而cos 0B ≠.所以sin tan cos B B B ==23B π=. （2）因为2a c =，2b =，由余弦定理得22242cos3a c ac π=+-，解得c =a =（3）由余弦定理得222cos 2b c a A bc +-==(0,)A π∈，则sin 0A >所以sin A ，所以sin 22sin cos A A A =21cos 22cos 17A A =-=，所以()cos 2cos2cos sin 2sin A B A B A B -=+11137214=⨯=.练习二 边的计算5．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c cos sin C c B =. （1）求角C ；（2）若2b =，ABC 的面积为c . 【答案】 （1）3C π=（2）c =【分析】（1cos sin sin B C C B =，进而得tan C = （2）由面积公式得8ab =，进而根据题意得2b =，4a =，再根据余弦定理求解即可. （1）cos sin C c B =，cos sin sin B C C B =， 因为()0,,sin 0B B π∈≠，sin C C =，即tan C = 因为()0,C π∈，所以3C π=.（2）解：因为ABC 的面积为3C π=，所以1sin 2S ab C ===8ab =， 因为2b =，所以4a =，所以2222201cos 2162a b c c C ab +--===，解得c =所以c =.6．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a b c <<，三角形三边上的高之比为2:3:4. （1）求cos C 的值；（2）若E 为边AC 上一点，30CEB ∠=︒，3BC =，求BE 的长. 【答案】 （1）1124-（2 【分析】()1由于a b c <<，则三边a ，b ，c 上的高之比为123::4:3:2h h h =，根据123111222ABC S ah bh ch ===△，得出432a b c ==，并利用余弦定理求出cos C 的值； ()2利用()1中cos C 的值求出sin C 的值，进而利用正弦定理求出BE 的长.（1）解：由于a b c <<，则三边a ，b ，c 上的高之比为123::4:3:2h h h =. 又因为123111222ABC S ah bh ch ===△，则432a b c ==. 设43212a b c x ===，则3a x =，4b x ，6c x =. 在ABC 中，由余弦定理得222cos 2a b c C ba+-=222291636112424x x x x +-==-. （2） 解：将11cos 24C =-代入22sin cos 1C C +=，得2223513sin 1cos 24C C ⨯=-=，又()0,C π∈，则sin C ==在EBC 中，由正弦定理得sin sin BC BECEB C=∠，则6BE ==7．已知钝角ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且___________，4sin cos sin b A A a B +，1a =，求c 的值.从条件①sin A =，②sin C B =中选择一个填到横线上，并解决问题. 【答案】条件选择见解析，1c = 【分析】结合正弦定理化简已知条件，求得A .若选①，则利用余弦定理求得c ；若选②，则结合正弦定理、余弦定理求得c 的值. 【详解】依题意4sin cos sin b A A a B =+，由正弦定理得4sin sin cos sin sin B A B A A B =+, 在三角形ABC 中，sin 0,sin 0A B >>，所以4sin sin A A A =+，3sin ,tan A A A == 由于()0,A π∈，所以6A π=.若选①，则1,2b == 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即2213320c c c =+--+=， 解得1c =或2c =. 当1c =时，2,63A CB ππ===符合题意. 当2c =时，222c a b =+，则ABC 是直角三角形，不符合题意.若选②，sin C B =，由正弦定理得c =， 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即222112cos ,1,3b b A b b ⎫=+-⋅==⎪⎪⎝⎭，所以1c ==.8．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a （1）求角A 的大小；（2）若a =4B π=，求c .【答案】 （1）3A π=（2）c【分析】（1）根据余弦定理直接计算cos A 即可； （2）根据正弦定理直接计算即可. （1）因为a由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-⋅， 所以1cos 2A =，结合()0,A π∈， 故3A π=.（2）由（1）得：3A π=，于是53412C A B πππππ=--=--=， 由正弦定理得：sin sin a cA C=，于是sin sin a C c A ππ⎛⎫+ ⎪===，故c .练习三 面积的计算9．在ABC 中，角,,A B C 所对边分别为,,a b csin cos 3B bC π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(1)求角C 的大小；(2)若22223a c a b ==-，求ABC 的面积. 【答案】(1)6π；【解析】 【分析】（1）由正弦定理边角关系、三角形内角的性质可得tan C =，即可知C 的大小. （2）由余弦定理及已知条件可得1b =或2b =，再应用三角形面积公式求∵ABC 的面积. (1)sin sin cos 3C B B C π⎛⎫=- ⎪⎝⎭0B π<<，则sin 0B ≠，1cos 2C C C =，可得tan C =，又0C π<<， ∵6C π=.(2)由余弦定理：2222cos c a b ab C =+-且a =22126c b b =+-，222332c b a +=，则228c b =-，∵228126b b b -=+-，整理得2320b b -+=，解得1b =或2b =，∴∵当1b =时，c =1sin 2ABCSab C ==∵当2b =时，2c =，此时1sin 2ABC S ab C ==△∵∵ABC 10．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足22()b c a bc -=-.(1)求角A 的大小；(2)若2a =，sin 2sin C B =，求ABC 的面积. 【答案】(1)3A π=【解析】 【分析】（1）由22()b c a bc -=-可得222b c a bc +-=，再利用余弦定理可求得角A ，（2）由sin 2sin C B =可得2c b =，再利用余弦定理可求出,b c 的值，然后利用三角形的面积公式可求得答案 (1)因为22()b c a bc -=-可得：222b c a bc +-=，由余弦定理可得，2221cos 22b c a A bc +-==又(0,)A π∈，所以3A π=(2)由sin 2sin C B =可得2c b =，由余弦定理知：2222cos a b c bc A =+-，22144222b b b b =+-⋅⨯，解得b =c =11sin 22ABCSbc A ===11．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c cos sin 0A a B +=. (1)求角A 的大小；(2)若a =2b c +=，求ABC 的面积. 【答案】(1)23π【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角即可求解角A 的大小；（2）结合余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，由()2222b c b c bc +=+-代换可得bc ，联立正弦面积公式可求ABC 的面积.(1)cos sin sin 0B A A B +=，(0,)B π∈，sin 0B ≠sin 0A A +=，显然2A π≠，则tan A =(0,)A π∈23A π∴=； (2)由余弦定理得：22222cos ()22cos =+-=+--a b c bc A b c bc bc A ，将1cos 2A =-代入得22()a b c bc =+-，a =2b c +=代入得2,11sin bc S bc A ===12．在ABC 中，()2cos cos b A C =． (1)求A ∠的大小；(2)现在给出三个条件：∵=c ；∵4B π=；∵2a =．试从中选出两个条件，补充在下面的问题中，______，______，求ABC 的面积． 【答案】(1)6π(2)若选∵∵，S =∵∵，1S . 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，再利用两角和的正弦公式求解；（2）根据正弦定理可知，不能同时选∵∵，若选∵∵，由余弦定理可解得各边长及三角形的面积；若选∵∵，利用正弦定理可解得各边长及面积. (1)解：由正弦定理可得()2cos cos b A C =，即2sin cos cos cos B A C A A C =，即)()2sin cos sin cos cos sin B A A C A C A C B +=+，又在ABC 中，sin 0B ≠，所以cos A =()0,A π∠∈，所以6A π∠=；(2)若选∵∵，由4B π=，sin B又正弦定理c ，即sin C B ==不成立，所以不能同时选∵∵； 若选∵∵，由余弦定理得222cos 2b c a A bc +-=222b =，c =1sin 2A =，所以111sin 2222S bc A ==⨯⨯=若选∵∵，由cos A =1sin 2A =，且sin Bcos B ()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=sin sin a b A B =，即212=b =所以11sin 2122S ab C ==⨯⨯=.练习四 周长的计算13．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin sin sin sin a A b B c C a B +=+. (1)求角C ；(2)若ABC2c =，求ABC 的周长.【答案】(1)3π(2)6 【解析】 【分析】（1）、根据正弦定理和余弦定理求解即可；（2）、利用面积公式求出ab 的值，化简求出a b +的值，从而求出ABC 的周长. (1)sin sin sin sin a A b B c C a B +=+, sin ,sin ,sin ,222a b cA B C R R R=== 222a b c ab ∴+-=,2221cos 222a b c ab C ab ab +-∴===, 又0C π<<，3C π∴=.(2)由（1）可知3C π=.1sin 2ABCSab C ==,4ab ∴=, 222a b c ab +-=,2c =,228a b ∴+=,()222216a b a b ab ∴+=++=,4a b ∴+=，6a b c ∴++=.ABC 的周长为6.14．已知ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c .若11sin sin sin sin sin A 22c C a A b B a B b --=+. (1)求角C 的大小；(2)若ABC c =ABC 的周长. 【答案】(1)23C π= (2)6+【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行角化边的运算，结合余弦定理求出cos C ，根据角的范围可求出角C .（2）由三角形面积可求出4ab =，代入（1）中的等式结合完全平方式可求出()2a b +的值，进而求出三角形的周长. (1)解：由正弦定理得2221122c a b ab ab --=+则222a b c ab +-=-，由余弦定理得2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-， 又由0C π<<，可得23C π=； (2)由12sin23ab π=4ab =， 又由2232a b ab +-=-，有2228a b +=，又由()222228836a b a ab b +=++=+=，有6a b +=，故ABC 的周长为6+15．已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且()()sin sin a A B C c B C +-=+. (1)求角C 的值；(2)若26a b +=，且ABC ABC 的周长. 【答案】(1)3C π=(2)6或5【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合二倍角的正弦公式可求得cos C 的值，结合角C 的取值范围可求得角C 的值； （2）由三角形的面积公式可求得ab 的值，结合已知条件可得出关于a 、b 的方程组，解出这两边的长，利用余弦定理求出c 的值，即可得出ABC 的周长. (1)解：由正弦定理得()()sin sin 2sin sin sin sin A C C A C A ππ-=-=，()0,A π∈，则sin 0A >，所以，sin sin 22sin cos C C C C ==， ()0,C π∈，则sin 0C >，可得1cos 2C =，故3C π=.(2)解：由三角形的面积公式可得1sin 2ABC S ab C ===△4ab =， 由已知可得264a b ab +=⎧⎨=⎩，解得22a b =⎧⎨=⎩或14a b =⎧⎨=⎩. 当2a b ==时，则ABC 为等边三角形，其周长为6；当1a =且4b =时，由余弦定理可得c =此时，ABC 的周长为5a b c ++=综上所述，ABC 的周长为6或516．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，____．从∵22()3b c a bc +-=，∵sin sin 3a Bb A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．(1)求角A 的大小；(2)若b =4，ABC 的面积ABC 的周长．【答案】(1)3π；(2)10+ 【解析】 【分析】（1）选∵，利用余弦定理化简即得解；选∵，利用正弦定理和三角恒等变换化简即得解；（2）由面积求出6,c =再利用余弦定理求出a =. (1) 解：选∵：222222221()3,,cos 22b c a b c a bc b c a bc A bc +-+-=∴+-=∴==，()0,,3A A ππ∈∴=；选∵：由正弦定理得：sin sin sin sin 3A B B A π⎛⎫=+⎪⎝⎭，在ABC 中，0,sin 0,sin sin 3B B A A ππ⎛⎫<<∴≠∴=+⎪⎝⎭，11sin sin ,sin 22A A A A A ∴=∴=，可得tan A =()0,,3A A ππ∈∴=.(2)解：由（1）知1,4,sin 632ABCA b Sbc A c π=====∴=，由余弦定理可得22212cos 1636246282a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，则a =因此，ABC 的周长为10a b c ++=+。

三角形中的角度计算

三角形中的角度计算

三角形中的角度计算三角形是几何学中基本的图形之一，它包含三条边和三个角。

计算三角形的角度是解决几何问题中常见的一步。

本文将介绍三角形角度计算的方法和公式，以及如何应用它们。

一、三角形的内角和定理三角形的内角和定理是指三角形的三个内角的和等于180度。

对于任意的三角形ABC，其内角A、B、C的度数分别为α、β、γ，则有以下公式成立：α + β + γ = 180°利用三角形的内角和定理，可以很方便地计算三角形中缺失的角度。

二、等腰三角形的角度计算等腰三角形是指两边长度相等的三角形。

在等腰三角形中，两条底边的角度相等，而顶角的度数可以通过以下公式计算：顶角度数 = (180° - 底角度数) / 2例如，若等腰三角形的底角度数为60°，则顶角的度数为(180° - 60°) / 2 = 60°。

三、直角三角形的角度计算直角三角形是指其中一个角度为90度的三角形。

对于直角三角形ABC，其中直角边为AB，斜边为AC，另一条边为BC，则可应用以下公式：1. 计算直角边的度数：tan(θ) = 对边长度 / 临边长度- 临边为AB，对边为BC，根据此公式，可得到角A的度数。

2. 计算斜边的度数：cos(θ) = 临边长度 / 斜边长度- 临边为AB，斜边为AC，根据此公式，可得到角C的度数。

举例说明：假设直角三角形ABC中，直角边AB的长度为3，临边BC的长度为4。

应用上述公式，可得到：1. 计算角A的度数：tan(θ) = 4 / 3- θ = atan(4 / 3) ≈ 53.13°2. 计算角C的度数：cos(θ) = 3 / 5- θ = acos(3 / 5) ≈ 53.13°因此，在直角三角形ABC中，角A和角C的度数均为约53.13°。

四、一般三角形的角度计算对于一般的三角形，即三边长度均不相等的情况，可以利用余弦定理和正弦定理来计算角度。

三角形的角度计算综合练习题

三角形的角度计算综合练习题

三角形的角度计算综合练习题三角形是几何学中的重要概念，它由三条边和三个内角构成。

在本篇文章中，我们将通过几个综合练习题来帮助读者提高对三角形角度计算的理解和运用能力。

练习题一已知三角形ABC的两个内角分别为70°和50°，求第三个角的度数。

解答：我们知道三角形内角的和是180°，所以可以使用下述公式来计算第三个角的度数：第三个角的度数 = 180° - 已知两个角的度数之和代入已知的两个角度值，我们可以得出：第三个角的度数 = 180° - 70° - 50° = 60°所以，第三个角的度数为60°。

练习题二在三角形ABC中，角A的度数为60°，边AB的长度为5 cm，边AC的长度为4 cm，求角B和角C的度数。

解答：我们可以利用三角形的正弦定理来计算角B和角C的度数。

正弦定理表达式如下：a/b = sinA/sinB其中，a、b分别表示三角形中对应的边，A、B分别表示相应的角。

根据已知信息，我们可以建立以下方程：5/4 = sin60°/sinB通过移项并代入数值，可以解得：sinB = (4/5) * sin60°B = arcsin[(4/5) * sin60°]使用计算器计算得到B的值约为32.38°。

由于三角形内角之和为180°，我们可以计算得到C的度数如下：C = 180° - A - BC = 180° - 60° - 32.38°C约等于87.62°。

练习题三已知三角形ABC中，边AB的长度为7 cm，边BC的长度为9 cm，角C的度数为45°，求角A和角B的度数。

解答：与练习题二类似，我们同样可以利用三角形的正弦定理来计算角A和角B的度数。

根据已知信息，建立以下方程：7/9 = sinA/sin45°移项并代入数值，可以解得：sinA = (7/9) * sin45°A = arcsin[(7/9) * sin45°]使用计算器计算得到A的值约为45.58°。

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八年级（上）数学周末同步课2三角形角的计算专题
知识点一：三角形的内角和（共10小题）
1．若一个三角形三个内角度数的比为2：7：4，那么这个三角形是（）
A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形
2．具备下列条件的三角形ABC中，不为直角三角形的是（）
A．∠A+∠B＝∠C B．∠A＝∠B＝∠C C．∠A＝90°﹣∠B D．∠A﹣∠B＝90°
3．如图，在△ABC中，∠B＝60°，AD平分∠BAC，点E在AD延长线上，且EC⊥AC．若∠E＝50°，则∠ADC的度数是．
4．如图所示，∠ABC的内角平分线与∠ACB的外角平分线交于点P，已知∠A＝50°，∠P＝．5．已知非Rt△ABC中，∠A＝38°，高BD、CE所在的直线交于点H，∠BHC的度数．
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A ＝20°，则∠ADE的度数是．
7．如图，把△ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，若∠1＝30°，∠2＝40°，则∠A＝．8．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，（1）写出图中一对全等的三角形．（2）设∠AED的度数为x，∠ADE的度数为y，那么∠1，∠2的度数分别是多少？（用含有x或y的代数式表示）
（3）∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律．
9．已知，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是边AC，BC上的点，点P是斜边AB上一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．
（1）如图①所示，当点P运动至∠α＝50°时，则∠1+∠2＝；
（2）如图②所示，当P运动至AB上任意位置时，试探求∠α，∠1，∠2之间的关系，并说明理由．
10．如图，在△ABC中，AE是角平分线，D是AB上的点，AE，CD相交于点F．
（1）若∠ACB＝∠CDB＝90°，求证：∠CFE＝∠CEF．
（2）若∠ACB＝∠CDB＝m°（0°＜m＜180°），是否存在m，使得∠CEF小于∠CFE，若存在，请求出m的范围，若不存在，请说明理由．
知识点二：三角形的外角特别训练（共13小题）
11．如图，∠1、∠2、∠3中是△ABC外角的是（）
A．∠1、∠2B．∠2、∠3C．∠1、∠3D．∠1、∠2、∠3
12．如图，在△ABC中，∠A＝60度，点D，E分别在AB，AC上，则∠1+∠2的大小为多少度（）A．140B．190C．320D．240
13．如图，把△ABC纸片的∠A沿DE折叠，点A落在四边形CBDE外，则∠1、∠2与∠A的关系是（）A．∠1﹣∠A＝2∠2B．∠2+∠1＝2∠A C．∠1﹣∠2＝2∠A D．2∠2+2∠A＝∠1
14．如图，AP，CP分别是四边形ABCD的外角∠DAM，∠DCN的平分线，设∠ABC＝α，∠APC＝β，则∠ADC的度数为（）
A．180°﹣α﹣βB．α+βC．α+2βD．2α+β
第11题图第12题图第13题图第14题图15．如图，平面直角坐标系中，点A为x轴负半轴上的动点，点B为y轴正半轴上的动点，△AOB中∠BAO 的平分线与∠OBA的外角平分线所在直线交于点C，则下列语句中正确的是（）
A．点B不动，在点A向右运动的过程中，∠BCA逐新减小
B．点A不动，在点B向上运动的过程中，∠BCA逐渐减小
C．在点A向左运动，点B向下运动的过程中，∠BCA逐渐增大
D．在点A，B运动的过程中，∠BCA的大小不变
16．如图，∠1，∠2，∠3是△ABC的不同的三个外角，则∠1+∠2+∠3＝度．
17．如图，七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线交于点O，若∠1，∠2，∠3，∠4的外角和等于210°，则∠BOD的度数为．
18．如图所示，∠A＝70°，∠B＝25°，∠C＝35°，求∠BOC的度数．（至少用两种方法）．
19．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，证明：∠BAC＝∠B+2∠E．
20．如图，已知在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACE，BD、CD相交于点D．（1）求证：∠A＝2∠D；
（2）若CD∥AB，判断∠ABC与∠A的关系，并说明理由．
21．如图①，△ABC中，BD平分∠ABC，且与△ABC的外角∠ACE的角平分线交于点D．（1）若∠ABC＝75°，∠ACB＝45°，求∠D的度数；
（2）若把∠A截去，得到四边形MNCB，如图②，猜想∠D、∠M、∠N的关系，并说明理由．
22．【探究】如图①，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．（1）若∠ABC＝80°，∠ACB＝50°．则∠A＝度，∠P＝度．
（2）∠A与∠P的数量关系为，并说明理由．
【应用】如图②，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q．直接写出∠A与∠Q的数量关系为．
23．在△ABC中：
（1）如图①，∠A＝60°，∠B、∠C的外角的平分线交于点P，求∠BPC的度数．
（2）如图②，∠A＝60°，∠B、∠C的外角的三等分线交于点P，（∠1＝∠CBD，∠2＝∠BCE），求∠BPC的度数．
（3）如图③，∠A＝x°，∠B、∠C的外角的n等分线交于点P，（∠1＝∠CBD，∠2＝∠BCE），求∠BPC的度数．（用n和x的代数式表示）
知识点三：多边形的角特别训练（共16小题）
24．将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，如果∠1＝41°，∠2＝51°，那么∠3的度数等于．
25．如图，六边形ABCDEF内部有一点G，连结BG、DG．若∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝440°，则∠BGD的大小为（）
A．60°B．70°C．80°D．90°
26．如图，一个正五边形和一个正方形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点B，则∠ABC的度数是（）A．120°B．142°C．144°D．150°
第24题图第25题图第26题图27．如果一个多边形的内角和是720°，那么这个多边形的对角线的条数是（）A．6B．9C．14D．20
28．不能作为正多边形的内角的度数的是（）
A．120°B．（128）°C．144°D．145°
29．一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和为2000°，则这个内角是（）A．20°B．160°C．200°D．140°
30．正十边形的每一个内角的度数等于，每一个外角的度数等于．
31．如图所示，分别在三角形、四边形、五边形的广场各角修建半径为R的扇形草坪．（1）图1中草坪的面积为．
（2）图2中草坪的面积为．
（3）图3中草坪的面积为．
（4）如果多边形边数为n，其余条件不变，那么，你认为草坪的面积为．
32．小明在计算一个多边形的内角和时，由于多加了一个外角，得到的答案为1665°，你能找出多边形的这个外角的度数及这个多边形的边数吗？
33．如图，在五边形ABCDE中，AB∥CD，∠A＝125°，∠D＝150°，求∠E的度数．
34．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D，问AB与CD有什么关系？为什么？BC与AD呢？35．如图所示，∠α，∠β分别是四边形ABCD的外角，求证：∠α+∠β＝∠A+∠C．
36．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的平分线．（1）试探究∠1与∠2有何关系，并说明理由．
（2）试探究BE与DF有何位置关系，并说明理由．
第33题图第34题图第35题图第36题图37．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°．
（1）∠ABC+∠ADC＝°．
（2）如图，若DE平分∠ADC，BF平分∠ABC的外角，判断DE与BF的位置关系，并说明理由．
第37题图第38题图
38．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，
（1）求证：∠B+∠D＝180°；
（2）若BM，DN分别平分∠ABC的外角，∠ADC的外角，求证：BM∥DN．
39．探究与发现：
（1）探究一：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的角之间的关系
已知：如图1，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系，并说明理由．
（2）探究二：四边形的两个内角与另两个内角的平分线所夹的角之间的关系
已知：如图2，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试探究∠P与∠A+∠B的数量关系，并说明理由．
（3）探究三：六边形的四个内角与另两个内角的平分线所夹的角之间的关系
已知：如图3，在六边形ABCDEF中，DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD，请写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系，并加以证明．。

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