第七讲一线三等角型相似三角形
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第七讲一线三等角型相似三角形
例1:如图,等边△ABC 中,边长为6,D 是BC 上动点,∠EDF =60° (1)求证:△BDE ∽△CFD
(2)当BD =1,FC =3时,求BE
例2:(1)在ABC ∆中,5==AC AB ,8=BC ,点P 、Q 分别在射线CB 、AC 上(点P 不与点C 、点B 重合)
,且保持ABC APQ ∠=∠. ①若点P 在线段CB 上(如图),且6=BP ,求线段CQ 的长;
②若x BP =,y CQ =,求y 与x 之间的函数关系式,并写出函数的定义域;
(2)正方形ABCD 的边长为5(如下图),点P 、Q 分别在直线..CB 、DC 上(点P 不与点C 、点B 重合),且保持︒=∠90APQ .当1=CQ 时,求出线段BP 的长.
例3:已知在梯形ABCD中,AD∥BC,AD<BC,且AD=5,AB=DC=2.(1)如图8,P为AD上的一点,满足∠BPC=∠A.
①求证;△ABP∽△DPC
②求AP的长.
(2)如果点P在AD边上移动(点P与点A、D不重合),且满足∠BPE=∠A,PE交直线BC于点E,同时交直线DC于点Q,那么
①当点Q在线段DC的延长线上时,设AP=x,CQ=y,求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域;
②当CE=1时,写出AP的长.
C
C
例4:如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,6AB CD BC ===,3AD =.点M 为边BC 的中点,以M 为顶点作EMF B ∠=∠,射线ME 交腰AB 于点E ,射线MF 交腰CD 于点F ,联结EF .
(1)求证:△MEF ∽△BEM ;
(2)若△BEM 是以BM 为腰的等腰三角形,求EF 的长; (3)若EF CD ⊥,求BE 的长.
相关练习:
1、如图,在△ABC 中,8==AC AB ,10=BC ,D 是BC 边上的一个动点,点E 在AC 边上,且C ADE ∠=∠. (1) 求证:△ABD ∽△DCE ;
(2) 如果x BD =,y AE =,求y 与x 的函数解析式,并写出自变量x 的定义域; (3) 当点D 是BC 的中点时,试说明△ADE 是什么三角形,并说明理由.
2、如图,已知在△ABC 中, AB =AC =6,BC =5,D 是AB 上一点,BD =2,E 是BC 上一动点,
联结DE ,并作DEF B ∠=∠,射线EF 交线段AC 于F .
(1)求证:△DBE ∽△ECF ; (2)当F 是线段AC 中点时,求线段BE 的长; (3)联结DF ,如果△DEF 与△DBE 相似,求FC 的长.
3、已知在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AD <BC ,且BC =6,AB =DC =4,点E 是AB 的中点. (1)如图,P 为BC 上的一点,且BP =2.求证:△BEP ∽△CPD ; (2)如果点P 在BC 边上移动(点P 与点B 、C 不重合),且满足∠EPF =∠C ,PF 交直线
CD 于点F ,同时交直线AD 于点M ,那么
①当点F 在线段CD 的延长线上时,设BP =x ,DF =y ,求y 关于x 的函数解析式,并
写出函数的定义域; ②当BEP DMF S S ∆∆=4
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时,求BP 的长.
4、如图,已知边长为3的等边ABC ∆,点F 在边BC 上,1CF =,点E 是射线BA 上一动点,以线段EF 为边向右侧作等边EFG ∆,直线,EG FG 交直线AC 于点,M N , (1)写出图中与BEF ∆相似的三角形; (2)证明其中一对三角形相似;
(3)设,BE x MN y ==,求y 与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围; (4)若1AE =,试求GMN ∆的面积.
一线三直角型相似三角形
例1、已知矩形ABCD 中,CD=2,AD=3,点P 是AD 上的一个动点,且和点A,D 不重合,过点P 作CP PE ⊥,交边AB 于点E,设y AE x PD ==,,求y 关于x 的函数关系式,并写出x 的取值范围。
例2、在ABC ∆中,O BC AC C ,3,4,90===∠o
是AB 上的一点,且
5
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=AB AO ,点P 是AC 上的一个动点,OP PQ ⊥交线段BC 于点Q ,(不与点B,C 重合),设y CQ x AP ==,,试求y 关于x 的函数关系,并写出定义域。
B
E
【练习1】
在直角ABC ∆中,4
3
tan ,5,90=
==∠B AB C o
,点D 是BC 的中点,点E 是AB 边上的动点,DE DF ⊥交射线AC 于点F (1)、求AC 和BC 的长 (2)、当BC EF //时,求BE 的长。 (3)、连结EF,当DEF ∆和ABC ∆相似时,求BE 的长。
F D
C
B
A
F
C
B
A